函数的单调性第一课时

函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图.
Ⅱ．知识拓宽应用函Fra bibliotek的单调性可以求解不等式，求函数的最值等．
Ⅲ．障碍分析
1．若函数f(ｘ)在区间D1、D2上分别为增函数,f(x)一定是D１∪D2上的增函数吗?
单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.若
f(2）＝ ，试求不等式f（x）f(3x２-１）< 的解集.
参考答案：
解：函数f(x）在（-∞，＋∞）上是减函数且满足ｆ（x+y)＝f(x）f(ｙ）
∴f(2)＝ｆ（1＋1)＝f(１)·(1)= ＜ｆ(1)
∴f（1）＝
由f(ｘ)·ｆ（3x2-1）< 得ｆ（x＋3x2-1）＜
而 = × ＝f（１)ｆ（2）=f（3)
∴ｆ（ｘ＋3x2-1）＜ｆ(3)，x＋３x2－１>3
解得x＜－ 或x＞1
故所求不等式的解为{x|x＜－ 或x>1＝
【同步达纲练习】
一、选择题
1．在区间(－∞,０)上为增函数的是
Ａ.ｙ=－(x＋１）２B.y=１＋ｘ2C.ｙ= Ｄ．y=
2.若函数f（x)＝x2＋２（a-１）x+2在区间(－∞,4)上是减函数，那么实数ａ的
不能用特殊值替代．
3.函数的单调性可解决什么样的问题？
已知函数在某区间内的单调性,可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区
间内的值域或最大（小)值,这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．
［例1］判断函数f（x）=ｘ+ 在区间(０,＋∞）上的单调性，并求出函数的值域.
解：任取ｘ１,x2∈(０,＋∞）,且x1＜ｘ２,
f（ｘ）在区间D1、D2上分别为增函数，但ｆ（x)不一定在区间D1∪Ｄ2上是增函数．例
如y＝- 在(-∞，0）上是增函数，在(0，＋∞）上也是增函数,但在(－∞,0)
∪(0,＋∞)上不是增函数,f（１）＜ｆ（－1）便是一例.
2.函数的单调性定义中的x1,x２能否用特殊值来代替?
单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x１,ｘ2具有任意性,
(１)ｙ＝－x3+1（x∈R)．
(2)y= －ａx（a∈［1,＋∞），x∈［0，+∞)).
（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取ｘ１、x2,使x1<x2，则f（x1）-f（x2）＝(-x13+1)-（-ｘ２3+1）＝x2３－ｘ13=（x2－x1)(x22＋x1x2＋x12）
∵x1<x2,∴x2-x1>0
些定义的本质特点．
【学习障碍】
1.由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质,实质上是区间内的性质．
２.利用定义论证单调性时,推理过程不严密不规范.
３．函数单调性的应用意识不强.
【学习策略】
Ⅰ.学习导引
1.预习课本第P5８~59页
2.本课时重点是单调性的概念,难点是判断函数的单调性．
３.对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出
∴f(x1）－f（x2）>0,即f(x1)>ｆ（x2)
∴y＝f(x)=-x３+1在Ｒ上是减函数.
（２）解:任取ｘ1,x2∈[0,+∞），且x1<x2,
f（x１)-ｆ(ｘ２）＝（ －ax1)-（ -aｘ２）
=（ )-a（x1-ｘ2）
＝ -a(x1-x2）
=(ｘ1-x2)（ －a)
∵x１，x２∈［0,+∞]，且x1＜
解:(１)f(ｘ）＝-(ｘ－ )2+
∵f(x）=－（x－ ）2＋ 的图象是开口向下的抛物线,对称轴为ｘ＝
∴f(x）在(-∞， )上是增函数，在[ ,＋∞］上是减函数.
（２）f(x）=
∴由ｆ(ｘ)的图象可知,f(x）在(－∞，0］上是减函数,在[0，＋∞)上是增函数．
Ⅲ．思维拓展
［例3]判定并证明下列函数在指定区间内的单调性
易知y=x+ (x>0）时恒有y>0
且当ｘ=１时，ymiｎ＝２．
从而值域为［2，＋∞)
点评：函数y=x+ （a≠0）是一类经常用到的函数，
当a≠0时，它有两个减区间[- ，0]，（0, ）．同时有两个增区间
[ ,＋∞）,(-∞,－ ].
［例2］判断下列函数的单调性
(1）f（x)=－x2+3x-2;(2)f（x)＝３|x｜.
∴ｘ1＋x2<
从而 <1，又ａ∈[1,+∞］
∴ －a<0
∴f（x1)－f（x2）=（x1-x2）（ －a)＞0
即f(x1）＞f（x２)
∴y＝f（x)= -ax(a∈［１,＋∞)）在区间[0,+∞）上是单调减函数.
点评:证明函数单调性的一般步骤为:①取点②作差③变形④定号.
Ⅴ.探究学习
已知函数f(x）在（-∞,＋∞）上是减函数,且满足ｆ（x+y）=ｆ（x)·f（y),
若ｘ1·ｘ２>0，则ｘ2２＋x1x2+x１2>0，
若x1·x2＝０，由x1≠ｘ2，则x１2＋x2２＞0
也有x22+x１x2＋ｘ1２＞0
若x1·x2＜0,x22＋ｘ1x２＋x12＝（ｘ１＋x2）2-x1x2＞0
∴对于任意的x1＜x2都有x２2＋ｘ１x２＋ｘ12＞０
∴f(x1）-f（ｘ2）=（x2-x1）(x22＋x1x２+x１２）>0即f(x1)＞ｆ(x2）
∴ｙ=f(x)＝-x3＋1在R上是减函数．
解法二：在(-∞,＋∞）上任取x１、ｘ2，使ｘ1＜x2则ｆ（x1)－f(ｘ2)＝x23-x1３=(x2-ｘ1)（x22＋x１x2＋x1２)＝（x2－x1)［(x２+ ）2＋ x12］
∵x1＜x2，∴x2－ｘ１>０,且x1，x2不同时为零,
∴(x２+ )2与 x12不同时为零，即(x2+ )2＋ x1２＞0
f（x1）-f（x2)＝（x１＋ ）-（x2+ )=
∵0<ｘ1<ｘ2,∴ｘ１-ｘ2<０,ｘ1ｘ2＞0．
且当1≤ｘ1＜ｘ2时,x1ｘ2－1>０,
当０＜x1<x2≤1时
x1x2＜1，x1ｘ２-1<0
∴当x１，ｘ２∈［１,＋∞］时，f(x1)-f(x2)<０,即f(ｘ１）＜ｆ（x2）
∴函数y=x+ 在区间(0，1)上是减函数,在区间[1,+∞]上是增函数．
.函数的单调性(第一课时)
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函数的单调性(第一课时）
【学习目标】
1．了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法．
２.能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这