方程与不等式之分式方程解析
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式分式方程和分式不等式是高中数学中的重要概念，它们在解决实际问题以及推理证明中有着广泛的应用。
本文将以简洁明了的方式，对分式方程与分式不等式进行全面的介绍和论述。
1. 分式方程在数学中，分式方程是指含有分式的方程，其形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为实数或未知数。
解决分式方程的关键是消除分母，使得方程变为整式方程。
举个例子，考虑分式方程2/x + 1/(x - 1) = 1/x，我们可以通过以下步骤解决这个方程：首先，我们找到方程中的最小公倍数，即x(x-1)。
然后，将方程中每一项的分母都乘以最小公倍数，得到2(x-1) + x = (x-1)(x)。
接下来，我们将方程转化为整式方程，进行多项式的运算。
最后，我们求解得到x = 3，即为原方程的解。
分式方程在代数中有着广泛的应用，特别是在解决比例问题以及抽象问题时起到了重要的作用。
2. 分式不等式分式不等式指的是含有分式的不等式，其形式为a/b > c/d 或 a/b <c/d，其中a、b、c、d是实数或未知数。
解决分式不等式的方法与解决分式方程有些许不同，但思路大致相似。
举个例子，考虑不等式1/x < 2/(x-1)，我们可以通过以下步骤解决这个不等式：首先，我们需要确定不等式的定义域。
对于本例而言，由于分母不能为0，所以x ≠ 0, x ≠ 1。
接下来，我们将不等式转化为整式不等式，通过交叉相乘的方式来消除分母。
然后，我们对整式不等式进行求解，得到x > 2，即为原不等式的解。
解决分式不等式时，我们需要特别注意定义域以及分母不为0的限制条件，以保证求解的正确性。
分式不等式在实际问题中有着广泛的应用，比如利润与成本的关系、时间与距离的关系等等，掌握解决分式不等式的方法对于解决这类问题具有重要意义。
总结：本文从分式方程和分式不等式的基本概念出发，对解决这两类问题的方法进行了详细的阐述。
分式方程的关键在于消除分母，转化为整式方程进行求解；而分式不等式的解决则需要注意定义域以及分母不为0的限制条件。
方程与不等式之分式方程基础测试题附解析
方程与不等式之分式方程基础测试题附解析一、选择题1.如果关于X 的方程ax 2 4x 30有两个实数根，且关于 x 的分式方程x a 2 a 有整数解，则符合条件的整数a 有（）个x 33 xA . 2B . 3C. 4D . 5【答案】 B【解析】【分析】由一兀— 1次方程根的判别式求得 a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案. 【详解】所以：x a 2 ax 3a ,所以：（a 1）x 2a 2, 当a 1时，方程无解，当a 1时，方程的解为x 丝上 2 —, a 1 a 1因为x 为整数且x 3,所以a 1是4的约数，所以a 1 1,a 12,a 1所以a 的值为：3, 1,0,2,3,5 ,4又因为：a -且a 0, a 1, x 3,3所以a 3,a 0,a 5不合题意舍掉，所以a 的值为：1,2,3,. 故选B . 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分 式方程的增根是解题关键.2.体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小所以：24 4a (3) 0,且 a 0,解得： 4a3且a0, 因为：x a2a ,解：因为：关于x 的方程ax 2 x 3 3 x4x 3 0有两个实数根,4,俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）【详解】 小进跑800米用的时间为-8也 秒，小俊跑800米用的时间为 型 秒,1.25x x•••小进比小俊少用了 40秒，800 800万程是 40,x 1.25x故选C.【点睛】 本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.3. 已知关于x 的分式方程— 2 —的解为正数，则k 的取值范围为（）x 11 xA . 2 k 0B . k 2 且 k 1 C. k 2 D . k 2且 k 1【答案】B 【解析】【分析】 先用k 表示x ,然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案 【详解】 解:Q 该分式方程有解,2 k 1,A . 4 1.25x 40x 800800 800 40 B.——x 2.25x 800 800 800 800 C.40D .40x1.25x1.25x x【答案】C 【解析】 【分析】先分别表示出小进和小俊跑 800米的时间，再根据小进比小俊少用了 40秒列出方程即可.故选：B . 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键2a 14.对于非零实数a 、b ，规定a? b =若 x? (2x - 1) =1，则x 的值为（)b a11A . 1B.—C.- 1D.-—33【答案】A【解析】【分析】【详解】解：根据题中的新定义可得：x2x 1 2x 1 ,= 1,2x 1 x解得：x=1,经检验x=1是分式方程的解， 故选A . 【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是 转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解•解分式方程一定注意要验根.【分析】根据分式方程的增根的定义得出 【详解】去分母得： /• x=2+m•••分式方程— 有增根,x 3 x 3x-3=0, x= 3,• 2+m=3 , 所以m=1, 故选：B . 【点睛】x 25.若关于x 的分式方程—有增根，则m 的值是（）x 3A .1【答案】B 【解析】B . 1 C. 2 D . 3x-3=0,再进行判断即可.x-2=m ,本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程 的关键，题目比较典型，难度不大.6.甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做 140个零件，若设甲每天做x 个零件，则可以列出方程为（）设甲每天做x 个零件，根据甲做 480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程 即可. 【详解】【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关 键.本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量勺:作效率.7. 春节期间嘉嘉去距家 10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已 知汽车的速度是骑车速度的 2倍，若坐公交车可以从家晚 15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是(1 10 1010 10 c 10 10 1 10 10 A.— 15B.— 15 c.— --- — D . --- ----- —x 2x2x xx 2x 42x x 4【答案】C【解析】【分析】设骑车的速度为x 千米/小时, 则坐公交车的速度为2x 千米/小时，根据 汽车所用时间坐公交车所用时间15分钟” 列出方程即可得.【详解】设骑车的速度为x 千米/小时, 则坐公交车的速度为2x 千米/小时，10 10 1所列方程正确的是：——-， x 2x 4故选：C . 【点睛】此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键.x-3=0是解此题480360 480480 A .pB.x140 x140 xx【答案】 A【解析】480 360 360 480 C.-140 D . 140x x xx解：设甲每天做x 个零件，根据题意得: 故选：A . 480 360x 140 x【分析】8. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（1)15 15115 15115 15 115 15A. B. — C.-— D.-—x 1 x 2x x 12x 1 x2x x 12【答案】B【解析】【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（X+1 ）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可.【详解】解：设小李每小时走X千米，依题意得：15 1x x 1 2故选B.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程.1 x 19. 解分式方程2 的结果是（）x 2 2 xA. x="2"B. x="3"C. x="4"D.无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1 - x+2x- 4= - 1,解得：x=2,经检验x=2是增根，分式方程无解.故选D.考点：解分式方程.10. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍. 设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（)10 1010 1010 10 11010 1A. - =20 B-=20 C. - -D. ——x 2x2x x x 2x 32x x 3【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的.【详解】由题意可得，10 10 _1x - 2x = 3 '故选：C.【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程. 11. 八年级（1）班全体师生义务植树300棵•原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的 1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（)30030030030020A20 B ———x 1.2x x 1.2x60300300 2030020300C. ----------------- -----------D.-—x x 1.2x 60x60 1.2x【答案】D【解析】【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的 1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时300小时，实际用了-300小时，根据关键语句结果提前20分钟完x 1.2x成任务”可得方程.【详解】设原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的 1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：300 20型x 60 1.2x故选：D.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间.12. 某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为【答案】B50%,这样加工同样多的零（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【解析】【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案.【详解】解：根据题意，得：12 12 ’1，x x(1 50%)解得：x 4 ；经检验，x 4是原分式方程的解••••那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个；故选：B.【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键.注意解分式方程需要检验.2 ax 413. --------------------------------------------- 如果关于x的分式方程 2 有正整数解，且关于y的不等式组3 x x 33 y 3 > 4y无解，那么符合条件的所有整数a的和是()y aA. - 16B.- 15 c.- 6 D.- 4【答案】D【解析】【分析】a的值, 先根据分式方程有正整数解确定出a的值，再由不等式组无解确定出满足题意的求出之和即可.【详解】解：分式方程去分母得：2+ax- 2x+6=- 4,整理得：(a - 2)x=- 12(a- 2工0)12解得：xa 2由分式方程有正整数解，得到a= 1, 0,- 1,- 2,- 4,- 10,当a=- 2时，x= 3，原分式方程无解，所以a= 1, 0, - 1,- 4,- 10,y< 9不等式组整理得：，y a由不等式组无解，即a>- 9,•符合条件的所有整数a有1, 0, - 1,- 4, • a = 1, 0,- 1，- 4,之和为-4,故选：D . 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的 关键.1 kx 114. 若分式方程2+=有增根，则k 的值为（ ）x 22 xA .- 2B .- 1 C. 1 D . 2【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程有增根得到 x=2,将其代入化简后的整式方程中求出 k 即可.【详解】解：分式方程去分母得：2 （x -2） +1- kx =- 1,由题意将x = 2代入得：1 - 2k =- 1, 解得：k = 1. 故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的 解是解题的关键•15.某单位向一所希望小学赠送 1080本课外书，现用 A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6个；已知每个 B 型包装箱比每个 A 型 包装箱可多装15本课外书.若设每个 A 型包装箱可以装书 x 本，则根据题意列得方程为m 216.已知关于x 的分式方程 =1的解是负数，贝U m 的取值范围是（ ）x 1( )10801080A .1 6X—151080 1080 C. ------- =6xr + ISX 【答案】C【解析】设每个A 型包装箱可以装书 x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x+15 ）本，根据单独使用1080L0806个，列方程得：——- -------- 6,故选C+ IS xA . m <3【答案】D 【解析】B . m <3 且 m ^2 C. m v 3D . m v 3 且 m ^2B 型包装箱比单独使用 A 型包装箱可少用【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于求得m的取值范围.【详解】=1,解得：x=m- 3,•••关于x的分式方程—_ =1的解是负数，x 1m - 3v 0,解得：m v 3,当x=m - 3=- 1时，方程无解，则m^2,故m的取值范围是：m v 3且m^2,故选D.【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键.17.若关于x的分式方程x3m2x2有增根，则m的值为（）.3xA. 3B. 3C. .3D. .3【答案】D【解析】解关于x的方程x2m2得：x26 m , x 3x 3•••原方程有增根，••• x 3 0，即 6 m230 , 解得：m 3故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0,由此即可求得待定字母的值•18.《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间•设规定时间为x天，则可列方程为（）900m的不等式结合分式的分母不为零，即可3【分析】设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的 关系即可列出方程. 【详解】解：设规定时间为 x 天，则慢马需要的时间为（ x +1 ）天，快马的时间为（x -3）天,•••快马的速度是慢马的 2倍900 900 2x 1x 3故选A . 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.解:x a0① 33x 10 16 ②解①得，x a 解②得，x 2 •••不等式组无解•- y900 900 C.2x 1x 3【答案】A【解析】 900 900D .2x 1 x 32倍的速度19.从 4,1, 0, 2, 5, 8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不x a等式组 二-3x 10 0无解，且关于y162 y a的分式方程—y 33 y2有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（A . 1个【答案】C 【解析】 【分析】由不等式组无解确定出 围，综上可确定【详解】)B . 2个 C. 3个 D . 4个a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定 a 的一个取值范a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值.3• a 8 且 a ^1 •综上所述，a 2且a 1•符合条件的a 的值有 4、0、2共三个. 故选：C【点睛】 本题考查了不等式(组)的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定 解决问题的关键.x 220.分式方程—1 -2 ，解的情况是( )x 1 x 1A . x = 1B . x = 2 C. x =— 1 D .无解【答案】D 【解析】 【分析】观察式子确定最简公分母为(x+1)( x — 1),再进一步求解可得. 【详解】方程两边同乘以(x+1)( x — 1)，得：x (x+1) — ( x 2— 1) = 2 ,解方程得：x =— 1 ,检验：把x =— 1代入x+1 = 0, 所以x =— 1不是方程的解. 故选：D . 【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键•••关于y 的分式方程J_3y 32有非负数解•- y8 a~3~a 的取值范围是。
人教版初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析
人教版初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析一、选择题1．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解【答案】D 【解析】 【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x=+ D ．60045025x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.3．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．如果关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，则a 的值是（ ）． A ．a =3 B ．a ≤-3C ．a =-3D ．a >3【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集得出关于a 的方程，解方程即可． 【详解】解：因为关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1， 所以a+1＜0，即a ＜-1，且21a +=-1，解得：a=-3． 经检验a=-3是原方程的根 故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．5．已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠【答案】B 【解析】 【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】 解：211x kx x-=--Q， 21x kx +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.6．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是（ ）A ．90606x x =- B ．90606x x =+ C ．90606x x=- D ．90606x x=+ 【答案】A 【解析】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x ﹣6）个零件，由题意得：90606x x =-．故选A ．7．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解，∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a+2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．8．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x=- D ．120100x 10x=+ 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100 x x10=-.故选A.9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是()A．4116xx x+=+-B．416xx x=-+C．4116xx x+=--D．4116xx x+=-+【答案】D 【解析】【分析】首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x-，而乙每天完成总工程的16x+，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可.【详解】∵工程期限为x天，∴甲每天完成总工程的11x-，乙每天完成总工程的16x+，∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，∴可列方程为：4116xx x+=-+，故选：D.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A．1515112x x-=+B．1515112x x-=+C．1515112x x-=-D．1515112x x-=-【答案】B【解析】【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x 千米，依题意得：1515112x x -=+ 故选B ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+ B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1k y -+1＝1y ky ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ）A ．2B ．0C ．﹣3D ．﹣6【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案． 【详解】解：解不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ，∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣3k＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程1k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜12且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．13．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3 B ．3C ．4D ．－4【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：3-x-x+4=1， 解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解． 故选：B ． 【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10，不等式组整理得：y<9y a -⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A ．3036101.5x x-= B ．3030101.5x x-= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x+=【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：3036101.5x x-=．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．16．关于x的方程2111axx x-=++的解为非正数，且关于x的不等式组22533a xx+⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到31a-≤0，且31a-≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A．24x2+-20x=1 B．20x-24x2+=1C．24x-20x2+=1 D．20x2+-24x=1【答案】B试题解析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：2020412x x +-=+， 即：202412x x -=+． 故选B ．考点：分式方程的应用.18．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x =- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ． 【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．19．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．20．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x 个零件，则可以列出方程为（ ）A ．480360140x x =-B ．480480140x x =-C ．480360140x x +=D ．360480140x x-= 【答案】A【解析】【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可．【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：480360140x x=-，故选：A．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．。
方程与不等式之分式方程基础测试题附答案解析
方程与不等式之分式方程基础测试题附答案解析一、选择题1．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3B ．3C ．4D ．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B ．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x-= D ．800800401.25x x -= 【答案】C【解析】【分析】 先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】 小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒， 方程是800800401.25x x-=， 故选C ．【点睛】 本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．3．若关于x 的分式方程2x x -﹣12m x--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()522126m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1B ．0C ．5D ．6 【答案】A【解析】【分析】先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可．【详解】解：化简不等式组为25632y m y y -≤⎧⎨+>+⎩， 解得：﹣2＜y ≤52m +， ∵不等式组至多有六个整数解， ∴52m +≤4， ∴m ≤3， 将分式方程的两边同时乘以x ﹣2，得x +m ﹣1=3（x ﹣2），解得：x =52m +， ∵分式方程的解为正整数，∴m +5是2的倍数，∵m ≤3，∴m =﹣3或m =﹣1或m =1或m =3，∵x ≠2， ∴52m +≠2， ∴m ≠﹣1， ∴m =﹣3或m =1或m =3，∴符合条件的所有整数m 的取值之和为1，故选：A ．【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．4．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）A ．400400(130%)x x -+＝4 B ．400400(130%)x x -+＝4 C ．400400(130%)x x--＝4 D ．4004004(130%)x x -=- 【答案】A【解析】【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程．【详解】设每月原计划生产的医疗器械有x 件， 根据题意，得：()4004004130%x x -=+故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21a b a -．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1B ．13C ．﹣1D ．-13 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选A ．【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a = 【答案】D【解析】【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质. 7．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ） A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-【答案】B【解析】【分析】设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x 千米，依题意得：1515112x x -=+ 故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．8．关于x 的分式方程230+=-x x a 解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a =B ．2a =C ．4a =D ．10a = 【答案】D【解析】【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可．【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a+=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列方程正确的是( )A ．3000200015001x x +=+B ．2000300015001x x +=+C ．3000200015001x x +=-D ．2000300015001x x +=- 【答案】C【解析】【分析】设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.【详解】设A 种月饼单价为x 元，则B 种月饼单价为(x -1)元， 根据题意可列出方程3000200015001x x +=-， 故选C.【点睛】本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.10．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：根据题意，得： 12121(150%)x x -=+， 解得：4x =；经检验，4x =是原分式方程的解.∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个；故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．11．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900213x x ⨯=+- B ．900900213x x =⨯+- C ．900900213x x ⨯=-+ D ．900900213x x =⨯-+ 【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍 ∴900900213x x ⨯=+- 故选A ．【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．12．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2B ．2C ．4D ．-4【答案】D【解析】【详解】 2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2．当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4，故选D ．13．已知关于x 的分式方程213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥- 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可【详解】213x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，Q 分式方程213x m x -=-的解是非正数，30x -≠， 30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩， 解得，3m ≤，故选：A ．【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值14．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．1010253x x-= B ．1010253x x -= C ．10105312x x -= D ．10105312x x -= 【答案】D【解析】【分析】 设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．【详解】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x 由题意得：10105312x x -= 故答案为D ．【点睛】 本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．15．若分式方程2+1kx x 2--＝12x -有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k即可.【详解】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，解得：k＝1．故选：C．【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.16．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a 的和为0．故选B ．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．17．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．【详解】解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，∴a ≠0，a≠1，∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >， 解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解， ∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a的值是：2、3、4，和为9，故选：C．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a的范围是解题的关键．18．关于x的方程2111axx x-=++的解为非正数，且关于x的不等式组22533a xx+⎧⎪+⎨⎪⎩……无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到31a-≤0，且31a-≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.20．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）.A ．120012002(120%)x x -=+ B ．120012002(120%)x x -=- C ．120012002(120%)x x -=+ D ．120012002(120%)x x -=-【答案】A【解析】设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ，由题意得,()12001200 2120%x x -=+. 故选A.。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法在数学学科中，我们经常会遇到分式方程和分式不等式的求解问题。
分式方程是指含有分数形式的方程，而分式不等式则是含有分数形式的不等式。
本文将介绍分式方程和分式不等式的基本解法。
一、分式方程的解法分式方程的解法可以分为以下几个步骤：1. 将方程中的分式化简为整式，消除分式。
2. 通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程。
3. 求解一元一次方程，得到方程的解。
举例说明：假设我们要解以下分式方程：(2/x) + 1 = 5首先，我们将方程中的分式化简为整式：2/x + 1 = 5然后，通过移项和合并同类项，将方程转化为一元一次方程：2 + x = 5x接下来，我们求解一元一次方程，得到方程的解：2 = 5x - xx = 1/2因此，原方程的解为x = 1/2。
二、分式不等式的解法分式不等式的解法可以分为以下几个步骤：1. 将不等式中的分式化简为整式。
2. 根据不等式的性质，进行等价变形。
3. 确定不等式的解集。
举例说明：假设我们要解以下分式不等式：(3/x) - 2 ≥ 1首先，我们将不等式中的分式化简为整式：3/x - 2 ≥ 1然后，根据不等式的性质，进行等价变形：3/x ≥ 3x ≤ 1最后，确定不等式的解集：解集为x ≤ 1。
分式方程的解法包括将分式化简为整式、转化为一元一次方程、求解一元一次方程等步骤。
而分式不等式的解法则包括将分式化简为整式、进行等价变形、确定解集等步骤。
掌握这些解法，我们就能够准确地求解各种类型的分式方程和不等式问题。
通过以上的讲解，我们对分式方程与分式不等式的解法有了更深入的理解。
希望本文对您在学习和应用中有所帮助。
最新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及解析
最新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及解析一.选择题X （11.若关于X的方程—- = 2 + —有增根，则a的值为（）x-4 x-4A.-4B. 2C. 0D. 4【答案】D【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.让最简公分母x-4=0,得到x=4.再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4,X a•••关于x的方程— = 2 + —有增根.x — 4 x — 4:.x-4=0,・•・分式方程的增根是x=4.Y a关于x的方程一=2 + ——去分母得x=2（x-4）+a,x-4 x-4代入x=4得a=4故选D.【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即町求得相关字母的值.2.解分式方程—+2 = —的结果是（）x—2 2 —xA.x="2"B. x="3"C. x="4"D.无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1 - x+2x - 4= - 1,解得：x=2,经检验x=2是增根，分式方程无解.故选D.考点：解分式方程.3. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨小丽家去年12月份 的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月【答案】A 【解析】【分析】 利用总水费斗单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5口弓得 出方程即可.【详解】 解：设去年居民用水价格为久元/加‘,3015 _ _根据题意得：「匚一3丿故选：A. 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽彖出分式方程，正确表示出用水量是解题关键・4・某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计 划生产450个零件所需时间相同.设原计划平均每天生产X 个零件，根据题意可列方程为（）【答案】C 【解析】 【分析】原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（X+25）个，根据现在生产600个零件所需 时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得：现在每天生产（x+25）个,600 450 • ____ — _ ，x+25 x的用水量多5〃『・求该市今年居民用水的价格. 设去年居民用水价格为X 元/“F ，根据题意列方程，正确的是（）30 15 一------ : ------- =5A. 1、 X1 + - IX3丿 3015 30XX< 3一=3D.15X30=5600 450A. ------------ =——x-25 x600 450B. --------------------- ——= --------------------x x-25600 450C. ----------- = --------x + 25 x600 450D. -------------------- ——= --------------------B.XC.故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.5. 体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1・25倍，小进比小 俊少用了 40秒，设小俊的速度是X 米/秒，则所列方程正确的是（）800 800 “C. -------------------- = 40x 1.25%【答案】C 【解析】【分析】 先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了 40秒列出方程即 可.【详解】 小进跑8。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是涉及分数的方程和不等式，其解法与一般的代数方程和不等式有一些不同之处。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并给出一些实例说明。
一、分式方程的解法分式方程是包含有分数的方程，一般形式为：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程的两边通分，以消去分母。
2. 将分子相加，将方程转化为一个整式方程。
3. 解得整式方程的解。
4. 检验解，将解代入原方程验证是否成立。
例如，解方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$：解：首先将方程的两边通分，得到$3y-2x=5xy$。
接着整理方程，得到$5xy+2x-3y=0$。
将该方程转化为整式方程：$5xy+2x-3y=0$。
解得整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。
程$5xy+2x-3y=0$的解。
二、分式不等式的解法分式不等式是包含有分数的不等式，一般形式为：$\frac{a}{x}>\frac{b}{y}$解分式不等式的一般步骤如下：1. 将不等式的两边通分，以消去分母。
2. 根据分数的正负和大小关系确定不等式符号。
3. 将分子相减，得到一个整式不等式。
4. 解得整式不等式的解。
5. 检验解，将解代入原不等式验证是否成立。
例如，解不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$：解：首先将不等式的两边通分，得到$5y>2x$。
根据分数的正负和大小关系，确定不等式符号为>。
接着整理不等式，得到$2x-5y<0$。
将该不等式转化为整式不等式：$2x-5y<0$。
解得整式不等式$2x-5y<0$的解。
等式$2x-5y<0$的解。
结论本文简要介绍了分式方程和分式不等式的解法。
对于分式方程，我们通过通分和整理方程，将其转化为整式方程来求解。
对于分式不等式，我们通过通分和整理不等式，将其转化为整式不等式来求解。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法在代数学中，我们经常会遇到涉及到分式方程和分式不等式的问题。
了解如何解决这些问题，对于解决各种数学难题至关重要。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并提供几个例子来帮助读者更好地理解。
一、分式方程的解法分式方程是指带有分式的等式。
一般来说，我们需要找到能够使方程两边相等的未知数值。
下面我们将介绍两种常见的分式方程解法。
1. 通分法通分法是解决分式方程的常用方法。
当方程两边的分母相同时，我们可以通过扩展分子来消去分母，从而得到一个简单的等式。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$我们可以通过通分消去分母，将方程转化为：$3x + \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$然后，我们再进一步化简等式，最终求解出未知数的值。
2. 方程转化法在一些情况下，我们可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x-1}{3} = \frac{x+2}{4}$我们可以通过将分式的等式两边进行交叉乘法，得到：$4(x-1) = 3(x+2)$然后，我们展开并整理等式，再次求解未知数的值。
二、分式不等式的解法分式不等式是指带有分式的不等式，例如 $\frac{x}{2} > 3$。
解决分式不等式的关键是找到使不等式成立的未知数范围。
下面我们将介绍两种常见的分式不等式解法。
1. 分数法分数法是解决分式不等式的一种常见方法，它可以通过一些数学性质来找到不等式的解。
例如，考虑以下分式不等式：$\frac{x+1}{2} \leq 3$我们可以通过将不等式的等价形式转化为：$x+1 \leq 6$然后，我们进一步化简等式，最终求解出未知数的范围。
2. 区间法区间法是一种几何方法，可以直观地找到分式不等式的解。
例如，考虑以下分式不等式：$\frac{x-2}{x+1} > 0$我们可以通过将不等式的等价形式转化为：$\frac{(x-2)(x+1)}{(\lvert x+1 \rvert)(x+1)} > 0$然后，我们可以考虑$x+1$的正负情况以及$(x-2)(x+1)$的正负情况，从而得到未知数的范围。
数学复习分式方程与分式不等式的求解
数学复习分式方程与分式不等式的求解在数学中，分式方程和分式不等式是常见的问题类型。
掌握了这些问题的求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用分式运算。
本文将介绍分式方程和分式不等式的求解方法，帮助读者复习和巩固相关知识。
一、分式方程的求解1. 清除分母法对于包含分式的方程，我们常常需要使用清除分母法进行求解。
清除分母法的基本思想是将分式方程两边的分母消去，从而得到一个关于分子的代数方程。
举个例子，考虑以下分式方程：$\frac{2}{x+1} - \frac{3}{2x-3} = \frac{4}{3}$首先，我们可以将该方程两边的分母相乘，得到：$3(2x-3) \cdot \frac{2}{x+1} - (x+1) \cdot \frac{3}{2x-3} = 4$然后，我们将上式中的分母全部消去，得到一个关于分子的方程：$6 - 9(x+1) = 8(2x-3)$通过解这个方程，我们可以求得分式方程的解。
2. 分离变量法对于某些特殊的分式方程，我们可以使用分离变量法进行求解。
分离变量法的基本思想是将分母和分子中的变量分离，并将方程转化为一个关于两个变量的代数方程。
考虑以下分式方程：$\frac{x+2}{x-3} + \frac{2x-1}{x+2} = \frac{x}{x+1}$我们可以将该方程通过通分化简，得到：$(x+2)(x+1) + (2x-1)(x-3) = x(x-3)$然后，我们可以将该方程中的分式拆分为两个方程，分别关于$x$和$y$进行求解，最后得到分式方程的解。
二、分式不等式的求解1. 全部同号法对于形如$\frac{p(x)}{q(x)}>0$或$\frac{p(x)}{q(x)}<0$的分式不等式，我们可以使用全部同号法进行求解。
该方法的基本思想是找出分式的零点和定义域，并根据其在定义域上的正负性来确定不等式的解集。
举个例子，考虑以下分式不等式：$\frac{2x-1}{x^2-4}<0$首先，我们需要找出分式的零点和定义域。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式分式方程与分式不等式是高中数学中的重要内容，它们在代数方程与不等式的研究中起着重要的作用。
本文将介绍分式方程与分式不等式的基本概念、解法以及应用。
一、分式方程分式方程是一个含有分式的方程，它的解是使得方程两边的分式取相同值的数。
分式方程的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}=c$其中，P(x)和Q(x)为多项式，c为常数。
解分式方程的关键是求出使得方程成立的x值。
解分式方程的步骤如下：1. 将分式方程中的所有分式转化为通分形式，即找到它们的最小公倍数，并将各个分式乘以使分母相同的因子。
2. 化简方程，合并同类项。
3. 将方程转化为多项式方程，通过去分母的操作，可以用等式的形式表示。
4. 求解多项式方程，得到方程的解。
需要注意的是，解分式方程时，要注意验证所得的解是否满足原始方程。
二、分式不等式分式不等式是一个含有分式的不等式，它的解是使得不等式成立的x值。
分式不等式的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}>a$或$\frac{P(x)}{Q(x)}<a$其中，P(x)和Q(x)为多项式，a为常数。
解分式不等式的关键是求出使得不等式成立的x值所在的区间。
解分式不等式的步骤如下：1. 将分式不等式中的所有分式转化为通分形式，方法与解分式方程类似。
2. 化简不等式，合并同类项。
3. 将不等式转化为多项式不等式。
4. 求解多项式不等式，得到x所在的区间。
需要注意的是，解分式不等式时，要注意分母的正负情况，以及不等式中的临界点。
三、应用举例分式方程与分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面分别举例说明。
例1：企业利润分配某企业盈利纳入员工利益分享计划，根据企业盈利比例，公司将利润的30%分配给员工。
其中，员工A分得的利润为整个利润的1/4，员工B分得的利润是员工A分得利润的2/3。
求员工A和员工B分得的利润。
解：设整个利润为x，员工A分得的利润为$\frac{1}{4}$ *$\frac{3}{10}$ * x = $\frac{3}{40}$ * x员工B分得的利润为$\frac{2}{3}$ * $\frac{3}{40}$ * x =$\frac{1}{20}$ * x所以，员工A和员工B分得的利润分别为$\frac{3}{40}$x和$\frac{1}{20}$x。
温州市初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析
温州市初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析一、选择题1．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1k y -+1＝1y ky ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ）A ．2B ．0C ．﹣3D ．﹣6【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案． 【详解】解：解不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ，∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣3k＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程1k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜12且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．2．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x-= 【答案】C 【解析】 【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可． 【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒，方程是800800401.25x x-=， 故选C ． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．3．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．60(125%)6060x x⨯+-=B ．6060(125%)60x x⨯+-= C ．606060(125%)x x-=+ D ．606060(125%)x x-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：606060(125%)x x-=+． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.5．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．18018032x x -=+ B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x-=- 【答案】D 【解析】 【分析】先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：18018032x x-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.6．已知关于x 的分式方程13222mxx x-+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可. 【详解】13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2，∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠ 故选：A. 【点睛】此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.7．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =C ．3x =-D ．1x =【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）. A ．900900213x x ⨯=+- B ．900900213x x =⨯+- C ．900900213x x ⨯=-+ D ．900900213x x =⨯++ 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为x 天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】设规定时间为x 天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍，∴900900213x x ⨯=+-， 故选：A. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x 天，∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x -+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案． 【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根， 所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-， 所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解， 当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=± 所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉， 所以a 的值为：1,2,3,-． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3 B ．3C ．4D ．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【答案】B【解析】【分析】【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，已知关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，所以m的取值范围是：m＜92且m≠32．故答案选B．14．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．1010253x x-=B．1010253x x-=C．10105312x x-=D．10105312x x-=【答案】D【解析】【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．【详解】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x由题意得：10105312 x x-=故答案为D．【点睛】本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．15．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.16．若整数a使得关于x的方程3222ax x-=--的解为非负数，且使得关于y的不等式组3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）．A．17 B．18 C．22 D．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪⎪⎩„，不等式组整理得：1 yy a>-⎧⎨⎩„，由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，2－322ax x=--，去分母得：2（x－2）－3＝－a，解得：x＝72a -，∵72a-≥0，且72a-≠2，∴a≤7，且a≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A．24x2+-20x=1 B．20x-24x2+=1C．24x-20x2+=1 D．20x2+-24x=1【答案】B【解析】试题解析：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：2020412x x +-=+， 即：202412x x -=+． 故选B ．考点：分式方程的应用.18．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x=- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B【解析】【分析】 由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可．【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ．【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x 天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．19．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．20．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（ ）A ．111103020+=--+x x x B ．111103020+=++-x x x C ．111103020-=++-x x x D ．111102030+=-+-x x x 【答案】B【解析】【分析】设规定的时间为x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x . 【详解】设规定时间为x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的110+x ， 乙队单独一天完成这项工程的130x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的120x -. 则111103020+=++-x x x . 故选B.【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.。
初中数学方程与不等式之分式方程解析含答案(1)
初中数学方程与不等式之分式方程解析含答案(1)一、选择题1．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=- C ．4241x x x +-=- D ．221x x x +-=-【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案． 【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1， 去括号得：4x+2x-4=x-1， 故选：C ． 【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．2．解分式方程11222x x x-+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3"C ．x="4"D ．无解【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ．考点：解分式方程．3．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩„有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】解方程2311a x x x --=--，得： 12a x +=，∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1， 又1x ≠， ∴12a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1，∵关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩„有解，∴a-1<y ≤8-2a ， 即a-1<8-2a ， 解得：a<3，综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1， 则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个， 故选：B ． 【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．4．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x=+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】 【分析】原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.5．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a =【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系． 【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0， 故11+423a a -+=0，解得：a=13. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.6．下列运算正确的是( )A ．25=B ．()33626x x =C ．3222x x x ÷=D ．若111x x -=-则211x x -+= 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出每一项的结果，再进行判断即可. 【详解】A. 2=B. ()33928x x =，故原选项错误；C. 3222x x x ÷= ，计算正确；D. 若111x x -=-则22=0x -，，故原选项错误 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式和解分式方程，熟练运用法则是解题关键.7．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．8．关于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5 【答案】A 【解析】解：去分母得：3x ﹣2=2x +2+m ①．由分式方程无解，得到x +1=0，即x =﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m ，解得：m =﹣5．故选A ．9．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )A ．240024008(120%)x x-=+ B ．240024008(120%)x x-=+ C ．240024008(120%)x x -=-D ．240024008(120%)x x-=- 【答案】A 【解析】 【分析】求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】原计划用的时间为：2400x，实际用的时间为：()2400120%x +．所列方程为：2400x-()2400120%x +=8．故选A 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．10．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．10x -102x =20 B ．102x -10x=20 C ．10x -102x =13D ．102x -10x =13【答案】C 【解析】 【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】 由题意可得，10x -102x =13， 故选：C ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3 B ．3C ．4D ．－4【答案】B 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：3-x-x+4=1， 解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解． 故选：B ． 【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a ⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：y<9y a -⎧⎨≥⎩， 由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．关于x的方程2111axx x-=++的解为非正数，且关于x的不等式组22533a xx+⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到31a-≤0，且31a-≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．不等式组整理得：224axx-⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a-＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.16．若关于x的分式方程3222x m mx x++=--有增根，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】解：方程两边都乘x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2+m﹣3m＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．17．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()A．5x＋16＝52xB．5x＝52x＋16C．5x＋10＝52xD．5x－10＝52x【答案】B【解析】【分析】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．【详解】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，由题意得, 5x＝52x＋16所以答案为B.【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.18．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A ．1806x +=1206x - B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x D ．180x =1206x - 【答案】A 【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -． 故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．19．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x-=+ B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．20．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）A ．18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D【解析】【分析】 设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x 人，根据题意得： 1801802x x-=-3． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．。
方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析
方程与不等式之分式方程技巧及练习题附答案解析一、选择题1．如果解关于x 的分式方程2122m xx x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4【答案】D 【解析】 【详解】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4， 故选D ．2．关于x 的方程m 3+=1x 11x--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠C ．m<2m 3≠且D ．m>2【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】方程两边同乘以()1x -，得2x m =-∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.3．若关于x 的分式方程233x mx x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可． 【详解】去分母得：x-2=m，∴x=2+m∵分式方程233x mx x-=--有增根，∴x-3=0，∴x= 3，∴2+m=3，所以m=1，故选：B．【点睛】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．4．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A．120100x x10=-B．120100x x10=+C．120100x10x=-D．120100x10x=+【答案】A【解析】【分析】【详解】甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100 x x10=-.故选A.5．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-【答案】D【解析】【分析】先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可.【详解】解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：18018032x x-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.6．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x 个零件，则可以列出方程为（ ） A ．480360140x x=- B ．480480140x x=-C ．480360140x x += D ．360480140x x-= 【答案】A 【解析】 【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：480360140x x=-， 故选：A ． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．7．若关于x 的方程244x ax x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2C ．0D ．4【答案】D 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4．关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元.根据题意，列方程正确的是( ) A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解. 【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元， ∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元， 则有故选A. 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x 天，∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =C ．3x =-D ．1x =【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.11．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（）A．300300201.2x x-=B．300300201.260x x=-C．300300201.260x x x-=+D．3002030060 1.2x x-=【答案】D【解析】【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时300x小时，实际用了3001.2x小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．【详解】设原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：3002030060 1.2x x-=，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．12．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶15 千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是A．354515x x=-B．3545+15x x=C．3545-15x x=D．3545+15x x=【答案】D【解析】【分析】首先根据甲车的速度为x千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．【详解】解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545+15x x=，故选D．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．13．若整数a 使关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】C 【解析】 【分析】解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加． 【详解】解：解关于x 的分式方程111a x ax x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1， ∴a ≠0，a≠1， ∵关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12a >， 解不等式1()02x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，∴a ≤4，∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．14．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2， 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．15．若关于x 的分式方程3222x m mx x++=--有增根，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x ﹣2＝0，得到x ＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可． 【详解】解：方程两边都乘x ﹣2， 得x +m ﹣3m ＝2（x ﹣2）， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x ﹣2＝0， 解得x ＝2，当x ＝2时，2+m ﹣3m ＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．16．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A．24x2+-20x=1 B．20x-24x2+=1C．24x-20x2+=1 D．20x2+-24x=1【答案】B【解析】试题解析：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：2020412x x+-=+，即：202412x x-=+．故选B．考点：分式方程的应用.17．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯-+【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍∴900900213x x ⨯=+- 故选A ． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．18．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -，因为分式方程的解为正数，所以43a -＞0且43a -≠4， 解得：a ＜3且a≠2，解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7，∵不等式组有解， ∴a+7＞1， 解得：a ＞-6，综上，-6＜a ＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为： |-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16， 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．19．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）A ．480x ＋480+20x ＝4 B ．480x －480+4x ＝20 C ．480x －480+20x ＝4 D ．4804x -－480x＝20 【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得 480x －480+20x ＝4 故答案为：C ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．20．关于x 的分式方程230+=-x x a 解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a =B ．2a =C ．4a =D ．10a = 【答案】D【解析】【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可．【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a+=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．。
新初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编及解析(2)
新初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编及解析(2)一、选择题1．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）A ．()006060-30x 125x =+ B ．()6060-30125%x x =+ C ．()60125%60-30x x⨯+=D ．()60125%60-30x x⨯+= 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+， 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．2．方程10020x +＝6020x-的解为（ ） A ．x ＝10 B ．x ＝﹣10C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ），解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ）， 得100（20﹣x ）＝60（20+x ）， 整理，得8x ＝40， 解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5；【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．3．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( )A．240024008(120%)x x-=+B．240024008(120%)x x-=+C．240024008(120%)x x-=-D．240024008(120%)x x-=-【答案】A【解析】【分析】求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8．【详解】原计划用的时间为：2400x，实际用的时间为：()2400120%x+．所列方程为：2400 x -()2400120%x+=8．故选A【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．4．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3得出方程即可． 【详解】解：设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意得：30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．5．已知关于x 的分式方程12111m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4且m ≠3 B ．m ＜4C ．m ≤4且m ≠3D ．m ＞5且m ≠6【答案】A 【解析】 【详解】方程两边同时乘以x -1得， 1-m -（x -1）+2=0， 解得x =4-m ． ∵x 为正数，∴4-m ＞0，解得m ＜4． ∵x ≠1，∴4-m ≠1，即m ≠3．∴m 的取值范围是m ＜4且m ≠3． 故选A ．6．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数a 使关于x 的不等式组()1242122123x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】C【分析】先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】解不等式组得：7x ax ≤⎧⎨>-⎩， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝52a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个， ∴P ＝49故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．7．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）A ．400400(130%)x x-+＝4 B ．400400(130%)x x-+＝4C ．400400(130%)x x --＝4 D ．4004004(130%)x x-=-【答案】A 【解析】 【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】设每月原计划生产的医疗器械有x 件，根据题意，得：()4004004130%x x -=+ 故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21a b a-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ．13 C ．﹣1D ．-13【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．关于x 的方程m 3+=1x 11x--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠C ．m<2m 3≠且D ．m>2【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.10．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( )A ．1a =B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解． 故选B ． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ．120012002(120%)x x -=+ B ．120012002(120%)x x -=- C ．120012002(120%)x x-=+D ．120012002(120%)x x -=-【答案】A【解析】设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ，由题意得,()12001200 2120%x x -=+. 故选A.13．如果解关于x 的分式方程2122m xx x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4【答案】D 【解析】 【详解】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4， 故选D ．14．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a ⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：y<9y a -⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a有1，0，﹣1，﹣4，∴a＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．1010253x x-=B．1010253x x-=C．10105312x x-=D．10105312x x-=【答案】D【解析】【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．【详解】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x由题意得：10105312 x x-=故答案为D．【点睛】本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．16．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可． 【详解】由关于y 的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解， ∴2a +4≥﹣2 即a ≥﹣3 又∵得x ＝而关于x 的分式方程有负数解∴a ﹣4＜0 ∴a ＜4于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数 ∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3 则符合条件的所有整数a 的和为0． 故选B ． 【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．17．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．18．若关于x的分式方程3222x m mx x++=--有增根，则m的值为（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】解：方程两边都乘x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2+m﹣3m＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．19．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）A．3212x x+=-B．32212x x x++=-C．3+2212x x+=-D．3112()12x x x++=-【答案】A 【解析】【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．【详解】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：5212x x+=-；A、3212x x+=-，与上述方程不符，所以本选项符合题意；B、32212x x x++=-可变形为5212x x+=-，所以本选项不符合题意；C、3+2212x x+=-可变形为5212x x+=-，所以本选项不符合题意；D、3112()12x x x++=-的左边化简得5212x x+=-，所以本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．20．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可以列出方程为（）A．480360140x x=-B．480480140x x=-C．480360140x x+=D．360480140x x-=【答案】A【解析】【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可．【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：480360140x x=-，故选：A．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．。
方程与不等式之分式方程专项训练及解析答案
的分母等于 0．
【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx＝（x＋2）（x−2），
整理得：（4＋m）x＝8，
当 m＝−4 时整式方程无解；
当 x＝−2 时原方程分母为 0，此时 m＝−8；
当 x＝2 时原方程分母为 0，此时 m＝0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无
2 D．关于 x 的分式方程 m 1 2 的解为非负数，则 m 的取值范围是 m≥-1
x 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
A、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；
B、9 的平方根是±3，该选项错误；
C. 2x3 x2 2x ，计算正确； D. 若 1 x 1则 2 x2 =0 ，，故原选项错误
x 1
故选 C. 【点睛】 本题主要考查了二次根式的混合运算、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式和解分式 方程，熟练运用法则是解题关键.
9．下列说法中正确的是（ ） A．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形 B．9 的平方根为 3 C．抛物线 y 1 (x 1)2 3的顶点坐标为(1，3)
车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．
【详解】
解：设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则汽车的速度为 3x
由题意得： 10 10 5 x 3x 12
故答案为 D．
【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
15．已知甲车行驶 35 千米与乙车行驶 45 千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为 x 千米/小时，依据题意列方程正确的是
初中数学 方程与不等式模块2-4 分式方程讲义(含答案解析)
分式方程题型练题型一：分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程，分式方程是方程的一种例1下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）A.35435x x -+-=B .x a x ba b b a-=+C .2(1)11x x -=-D .x n x n m n-=【详解】解：A ．35435x x -+-=中分母不含未知数，不是分式方程，故选项A 错误；B ．x a x ba b b a-=+中分母不含未知数，不是分式方程，故选项B 错误；C ．2(1)11x x -=-是分式方程，故选项C 正确；D ．x n xn m n-=中分母不含未知数，不是分式方程，故选项D 错误．故选：C ．变式1.在方程：①715832x x --=+，②1626x x -=，③28811x x x +=--，④1102x x --=，是分式方程的有（）A.①和② B.②和③C.③和④D.①和④【答案】C 【解析】【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可．【详解】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程；②分母不含未知数，故②不是分式方程；③分母含有未知数，故③是分式方程；④分母含有未知数，故④是分式方程．故选C ．【点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．题型二解分式方程的一般步骤求解分式方程的一般步骤：①方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；②解整式方程，求出整式方程的解；③检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解．注意：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．例2解分式方程：1133x xx x =+++．解：1133x x x x =+++去分母，得33(1)x x x =++，解此方程，得3x =-，经检验，3x =-是原分式方程的根．变式2.解方程：2713113x x x-+=--【答案】1x =-【解析】【分析】方程两边同时乘以（3x －1），把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得结果．【详解】解：方程两边同时乘以（3x －1），约去分母得：2731x x --=-，解这个方程，得1x =-，经检验：1x =-是原方程的解，∴原方程的解为1x =-．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解分式方程的方法是关键．题型三分式无解（增根）的条件例3已知关于x 的方程361(1)x mx x x x ++=--有增根，求m 的值．【详解】解：方程两边都乘x （x －1），得3（x －1）＋6x ＝x ＋m ，∵原方程有增根，∴最简公分母x （x －1）＝0，解得x ＝0或1，当x ＝0时，m ＝－3；当x ＝1时，m ＝5故当m ＝－3或5时，原方程有增根．变式3.若关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-有增根1x =，求k 的值.【答案】3【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k 的值即可．【详解】方程两边同乘以(1)(1)x x x +-得()()()1511x k x k x ++--=-，把1x =代入上式得21k =-，解得3k =，故k 的值为3.【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．题型四无解的分式方程例4当a 为何值时，关于x 的方程311x a x x--=-无解？【详解】把分式方程化成整式方程得出(2)3a x +=，根据等式性质得出2a =-，原方程无解．再根据当1x =或0x =时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解是分式方程的增根，代入求得1a =．变式4.己知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++无解，求m 的值．【答案】m 的值为6-或32或1-【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m 的值，由分式方程无解求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】()()211122mx x x x x +=--++去分母得：()221x mx x ++=-2+41x mx x +=-()15m x +=-由分式方程无解，得到()()120x x -+=即11x =，22x =-当1x =时，15m +=-，解得6m =-当2x =-时，225m --=-，解得32m =当10m +=，整式方程无解，解得1m =-故m 的值为6-或32或1-．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．题型五：分式的实际应用分式在实际应用过程中要重点把握等量关系的建立，列分式方程解应用题一般步骤如下：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案．例5.甲、乙两个工程队合作完成一项工程，两队合做2天后由乙队单独做1天就完成了全部工程，已知乙队单独做所需的天数是甲队单独做所需天数的1.5倍，求甲、乙两队单独做各需多少天完成该项工程？【详解】解：设甲队单独做需x 天完成该项工程，则乙队单独做需1.5x 天完成该项工程，由题意得22111.5x x++=解得：4x =经检验4x =是原分式方程的解答：甲队单独欧需4天完成该项工程，乙队单独做需6天完成该项工程变式5.小明骑助动车，从家到学校去参加计算机能力考试，两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，请问他原计划的车速是多少千米/小时？【答案】20【解析】【分析】设原计划车速为x 千米/小时，根据两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，列出方程即可解答.【详解】设原计划车速为x 千米/小时1055010120x x x -=++102050x x x--=120x =1x=20.经检验x=20是原方程的解.答：他原计划的车速是20千米/小时.【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程.实战练6.解分式方程3511y y y =---时，去分母正确的是（）A.35y =-- B.3(1)(1)5y y y -=-- C.35(1)y y =--D.35(1)y y =---【答案】D 【解析】【分析】方程两边同时乘以()1y -，利用等式的性质即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以()1y -可得：35(1)y y =---，故选：D ．【点睛】本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．7.分式方程12211xx x -+=--的解是（）A.1 B.0C.1- D.无解【答案】D 【解析】【分析】首先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】解：去分母得：()1212x x +-=-，去括号得：1222x x +-=-，移项合并得：33x =，系数化为1得：1x =，∵1x =时，10x =﹣，∴x =1是分式方程的增根，∴分式方程无解．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8.若关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，则m 的值是（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】C 【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．【详解】解：322x m x x -=--，去分母得：()32x x m --=，∵关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，增根为：x =2，∴()2322m --=，即：m =2，故选C ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．9.根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x 箱药品，则下面所列方程正确的是（）A.60004500500x x =+ B.60004500500x x =- C.60004500500x x =- D.60004500500x x =+【答案】D 【解析】【分析】设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产(500)x +箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．【详解】解：设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产(500)x +箱药品，原计划生产4500箱所需要的时间为：4500x ，现在生产6000箱所需要的时间为：6000500x +，由题意得：60004500500x x=+；故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．10.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：22a b a b =-⊗，这里等式右边是通常的实数运算．例如：22113134==--⊗，则方程()6111x x ⊗-=--的解是（）A.4x =B.5x = C.6x = D.7x =【答案】B 【解析】【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】根据题中的新定义化简得：26111x x =---，去分母得：261x =-+，解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解．故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11.定义运算ab ＝a 2﹣2ab +1，下面给出了关于这种运算的几个结论：①25＝﹣15；②不等式组()310250x x ⎧-⊗-<⎨⊗-<⎩的解集为x ＜﹣32；③方程2x 1＝0是一元一次方程；④方程1xx ＝21x +x 的解是x ＝﹣1．其中正确的是_____．(填上你认为所在正确结论的序号)【答案】①④【解析】【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】根据题意得：①2⊗5＝4﹣20+1＝﹣15，正确；②不等式组()310250x x ⎧-⊗-<⎨⊗-<⎩变形得9604440x x +<⎧⎨--<⎩，此不等式无解，错误；③方程2x ⊗1＝0，变形得：4x 2﹣4x+1＝0，不是一元一次方程，错误；④方程1x ⊗x ＝21x+x ，变形得：221121x x x -+=+，解得：x ＝﹣1，正确，则正确的是①④．故答案为①④【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12.代数式13x +与代数式3x的值相等，则x ＝__．【答案】92-【解析】【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可．【详解】解：根据题意得：133x x=+，去分母得：x =3（x +3），解得：x =92-，经检验x =92-是分式方程的根．故答案为：92-．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13.定义一种新运算：1an n n bn x dx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若2585mmx dx --=⎰，则m =______．【答案】25-【解析】【分析】根据新运算列等式为m −1−（5m ）−1＝−2，解出即可．【详解】解：由题意得：m −1−（5m ）−1＝−2，即：1125m m-=-，解得：m ＝25-，经检验：m ＝25-是方程1125m m-=-的解，故答案是：25-【点睛】本题考查了负整数指数幂和解分式方程，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题的关键．14.若关于x 的方程221933m x x x +=-+-有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【答案】x ＝3或－3是原方程的增根；m ＝6或12.【解析】【详解】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．15.解答下列各题：解方程：2111x x x+=-+．【答案】3x =-【解析】【分析】解方程首先去分母,把分式方程化为整式方程,再解整式方程,最后还要把整式方程的根带入最简公分母检验,即可得出答案．【详解】2111xx x+=-+方程两边同时乘以(1)(1)x x -+,约去分母得()()()()21111x x x x x ++-+=-解得3x =-检验:当3x =-时，(1)(1)1(3)1(3)80x x ⎡⎤⎡⎤-+=--+-=-≠⎣⎦⎣⎦,∴3x =-是原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法,解题的关键熟练掌握分式方程的解答步骤．16.解分式方程：（1）22311x x x +=--；（2）222273711x x x x x x --=++--．【答案】（1）无解；（2）无解【解析】【分析】（1）方程两边乘(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（2）方程两边乘(1)(1)x x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）方程两边乘(1)(1)x x +-，得223x x +=+，解得1x =，检验：当1x =时，(1)(1)0x x +-=，因此1x =不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解；（2）方程两边乘(1)(1)x x x +-，得3377337x x x x x x -++=-+-，解得1x =，检验：当1x =时，(1)(1)0x x x +-=，因此1x =不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x=1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．【答案】（1）m=-6;(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）m 的值为﹣1或﹣6或1.5【解析】【详解】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.试题解析：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x+2）+mx=x-1，整理得（m +1）x =﹣5，（1）∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.18.在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m 天，乙队共做了n 天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【解析】【分析】（1）根据题意列方程求解；（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率得到乙队的施工天数，令施工总费用为w 万元，求出w 与m 的函数解析式，根据m 的取值范围以及一次函数的性质求解即可．【详解】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x ，3x 天，由题意得：11130151233x x x ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得：30x =，经检验：30x =是原方程的根，∴260x =，390x =，答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）由题意得：1319060902m n m ⎛⎫=-÷=- ⎪⎝⎭，令施工总费用为w 万元，则31589037202w m m m ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴3720840m +…，390802m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，∴2040m 剟，∴当20m =时，完成此项工程总费用最少，此时390602n m =-=，780w =元，答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．19.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？【答案】（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元【解析】【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动服x 套，第二次购进2x 套，然后根据题意列分式解答即可；（2）设每套售价是y 元，然后根据“售价-两次总进价≥成本×利润率”列不等式并求解即可．【详解】解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得6800032000102x x-=解这个方程，得200x =经检验，200x =是所列方程的根22200200600x x +=⨯+=；答：商场两次共购进这种运动服600套；（2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得600320006800020%3200068000y --+…，解这个不等式，得200y ≥．答：每套运动服的售价至少是200元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，弄清题意、确定量之间的关系、列出分式方程和不等式是解答本题的关键．20.观察下列各式：111121212==-⨯，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯，1111305656==-⨯，…()1请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________()2请利用上述规律计算：()1111...1223341n n ++++=⨯⨯⨯+________（用含有n 的式子表示）()3请利用上述规律解方程：()()()()111121111x x x x x x x ++=---++．【答案】（1）1111426767==-⨯；（2）1n n +；（3）5x =【解析】【分析】根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.【详解】解：()11111(426767==-⨯答案不唯一)；故答案为1111426767==-⨯；()2原式11111111112233411n n n n -+-+-++-+--+ 111=1111n n n n +-=-+++1n n =+；故答案为1n n +()3分式方程整理得：111111121111x x x x x x x -+-+-=---++，即1221x x =-+，方程两边同时乘()()21x x --，得()122x x +=-，解得：5x =，经检验，5x =是原分式方程的解．所以原方程的解为： 5.x =【点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.21.某中学开学初在商场购进A 、B 两种品牌的足球，购买A 品牌足球花费了2500元，购买B 品牌足球花费了2000元，且购买A 品牌的足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元（1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A 、B 两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？【答案】（1）一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元；（2）该中学此次最多可购买30个B 品牌足球【解析】【分析】（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x +30）元，根据购买A 品牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a ）个，根据购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于a 的不等式，解不等式即可解决问题．【详解】解：（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x +30）元，由题意得：25002000230x x =⨯+，解得：x ＝50，经检验：x ＝50是原方程的解，x +30＝80．答：一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元．（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a ）个，由题意得：50×（1+8%）（50﹣a ）+80×0.9a ≤3240，解得a ≤30．∵a 是整数，∴a 最大等于30，答：该中学此次最多可购买30个B 品牌足球．【点睛】本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的方程和不等式是解答的关键．培优练22.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a ≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围；（2）若关于x 的分式方程32233x nx x x--+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围．【答案】（1）：m ＜12且m ≠﹣14；（2）n=1或n=53．【解析】【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m 的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可．【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x 的分式方程得，x=321m -，∵方程有解，且解为负数，∴2103221m m -⎧⎪⎨≠-⎪-⎩＜，解得：m ＜12且m ≠-14；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=53；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=53．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23.【建构模型】对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =．因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以，关于x 的方程ab x a b x+=+的两个解分别为：1x a =，2x b =．【应用模型】利用上面建构的模型，解决下列问题：（1）若方程p x q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =___，q =___；（直接写结论）（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为1x ，()212x x x <．求12223x x -的值．【答案】（1）4-，3；（2）1【解析】【分析】（1）根据材料可得：p=-1×4=-4，q=-1+4=3，计算出结果；（2）将原方程变形后变为：22212121n n x n x +-++=++，未知数变为整体2x+1，根据材料中的结论可得：122n x -=，212n x +=，代入所求式子可得结论；【详解】解：（1）∵方程p x q x+=的两个解分别为：121=4x x =-，，∴p=-1×4=-4，q=-1+4=3，故答案为：-4，3．（2）由222221n n x n x +-+=+，可得22212121n n x n x +-++=++．∴()()()()21212121n n x n n x +-++=++-+．故212x n +=+，解得12n x +=．或211x n +=-，解得22n x -=．∵12x x <，∴122n x -=，212n x +=．∴122222221123132232n x n n n x n n -⋅--====+-+--⋅-．【点睛】本题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解题的关键；。
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
九江市初中数学方程与不等式之分式方程解析含答案
九江市初中数学方程与不等式之分式方程解析含答案一、选择题1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．10x -102x =20 B ．102x -10x=20 C ．10x -102x =13D ．102x -10x =13【答案】C 【解析】 【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】 由题意可得，10x -102x =13， 故选：C ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．2．下列说法中正确的是（ ）A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形B ．9的平方根为3C ．抛物线21(1)32y x =-++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；B 、9的平方根是±3，该选项错误；C 、抛物线21(1)32y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误；D 、由方程121m x -=-去分母得：12m x +=，∵关于x 的分式方程的解为非负数，∴102m +≥且112m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．3．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2 B ．2或4C ．4D ．无解【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C ． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）A ．1101002x x =+ B ．1101002x x =+ C ．1101002x x=- D ．1101002x x =- 【答案】A 【解析】设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：1102x +=100x， 故选A ．5．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a =【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系． 【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0， 故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.6．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2C ．0D ．4【答案】D 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4．关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240120420x x-=- B ．240120420x x-=+ C ．120240420x x -=- D ．120240420x x -=+ 【答案】D 【解析】 【分析】设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了4列出方程即可解答． 【详解】解：设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，根据题意可得：120240420x x -=+ 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．8．关于x 的分式方程2x a1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1<C ．a 1<且a 2≠-D ．a 1>且a 2≠【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围． 【详解】分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-， 因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-， 解得：a 1>且a 2≠， 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可.【详解】∵工程期限为x 天， ∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．11．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）A ．480x ＋480+20x ＝4 B ．480x －480+4x ＝20 C ．480x －480+20x ＝4 D ．4804x -－480x ＝20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程即可． 【详解】 由题意得480x －480+20x ＝4 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．12．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（ ） A ．111103020+=--+x x x B ．111103020+=++-x x x C ．111103020-=++-x x x D ．111102030+=-+-x x x 【答案】B 【解析】 【分析】设规定的时间为x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x . 【详解】设规定时间为x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的110+x ， 乙队单独一天完成这项工程的130x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的120x -. 则111103020+=++-x x x . 故选B. 【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.13．解分式方程14322x x-=--时，去分母得（ ） A ．13(2)4x --= B ．13(2)4x --=- C ．13(2)4x ---=- D ．13(2)4x --=【答案】B【解析】 【分析】根据等式性质计算即可. 【详解】在方程的两边同时乘以x-2，得13(2)4x --=-， 故选：B. 【点睛】此题考查解分式方程，等式的性质，正确计算是解题的关键，此题中容易出现错误的地方是原方程中的分母是互为相反数，注意符号不要弄错.14．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3 B ．3C ．4D ．－4【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：3-x-x+4=1， 解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解． 故选：B ． 【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．如果解关于x 的分式方程2122m xx x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4【答案】D 【解析】 【详解】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4， 故选D ．16．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ） A ．10000x ﹣90005x -=100 B ．90005x -﹣10000x =100 C ．100005x -﹣9000x =100 D ．9000x ﹣100005x -=100 【答案】B 【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为：9000x 5-﹣10000x =100， 故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.17．解分式方程21211x x =--时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +1＝2（x ﹣1） B ．x ﹣1＝2（x +1） C ．x ﹣1＝2 D ．x +1＝2 【答案】D 【解析】 【分析】先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案； 【详解】解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1） 去分母得：x +1＝2， 故答案为D ． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.18．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A ．24x 2+ -20x =1 B ．20x -24 x 2+ =1 C ．24x - 20x 2+ =1 D ．20x 2+ -24x=1【答案】B 【解析】试题解析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：2020412x x +-=+， 即：202412x x -=+． 故选B ．考点：分式方程的应用.19．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A ．1806x +=1206x - B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x D ．180x =1206x - 【答案】A 【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -． 故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．20．已知关于x 的分式方程22124x mxx x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8C ．-8或-4D ．0或-8或-4【答案】D 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝−4时整式方程无解；当x＝−2时原方程分母为0，此时m＝−8；当x＝2时原方程分母为0，此时m＝0，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．。
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方程与不等式之分式方程解析一、选择题1．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =C ．3x =-D ．1x =【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.2．方程10020x +＝6020x-的解为（ ） A ．x ＝10 B ．x ＝﹣10C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ），解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ）， 得100（20﹣x ）＝60（20+x ）， 整理，得8x ＝40， 解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5； 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．3．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．300072004030x x -=+ B ．720030004030x x -=+ C ．720030004030x x -=+ D ．300072004030x x-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：720030004030x x -=+ 故选：C 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．4．方程22111x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝12 B ．x ＝15C ．x ＝14D ．x ＝14【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1， 解得：x ＝15， 经检验x ＝15是分式方程的解， 故选B ． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．5．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a =【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系． 【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0， 故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.6．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m ，在修了1000m 后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 m x ，则可列方程为( ) A ．50004000100051.2x x x=+- B ．5000100040005 1.2x x x+=+C ．5000400010005 1.2x x x -=+ D ．5000100040005 1.2x x x-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】设原来每天修路xm ，引入新技术后每天修路1.2xm ，实际工作天数为（100040001.2x x+），原计划工作天数为5000x天，根据题意得， 5000100040005 1.2x x x -=+， 故选D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．7．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240120420x x-=- B ．240120420x x -=+ C ．120240420x x -=- D ．120240420x x -=+ 【答案】D 【解析】 【分析】设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了4列出方程即可解答． 【详解】解：设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料， 根据题意可得：120240420x x -=+ 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．8．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列方程正确的是( ) A ．3000200015001x x +=+ B ．2000300015001x x +=+ C ．3000200015001x x +=- D ．2000300015001x x +=- 【答案】C 【解析】 【分析】设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可. 【详解】设A 种月饼单价为x 元，则B 种月饼单价为(x -1)元， 根据题意可列出方程3000200015001x x +=-， 故选C. 【点睛】本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.10．关于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5 【答案】A 【解析】解：去分母得：3x ﹣2=2x +2+m ①．由分式方程无解，得到x +1=0，即x =﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m ，解得：m =﹣5．故选A ．11．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+D ．302510180(%)x x-=+【答案】A 【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．12．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）. A ．900900213x x ⨯=+- B ．900900213x x =⨯+-C ．900900213x x ⨯=-+D ．900900213x x =⨯++ 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为x 天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】设规定时间为x 天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍，∴900900213x x ⨯=+-， 故选：A. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.13．解分式方程14322x x-=--时，去分母得（ ） A ．13(2)4x --= B ．13(2)4x --=- C ．13(2)4x ---=- D ．13(2)4x --=【答案】B 【解析】 【分析】根据等式性质计算即可. 【详解】在方程的两边同时乘以x-2，得13(2)4x --=-， 故选：B. 【点睛】此题考查解分式方程，等式的性质，正确计算是解题的关键，此题中容易出现错误的地方是原方程中的分母是互为相反数，注意符号不要弄错.14．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x -+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案． 【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根， 所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-， 所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解， 当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=± 所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉， 所以a 的值为：1,2,3,-． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．15．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=- C ．4241x x x +-=- D ．221x x x +-=-【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案． 【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1， 去括号得：4x+2x-4=x-1， 故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．16．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．405012x x=-B．405012x x=-C．405012x x=+D．405012x x=+【答案】B【解析】试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，由题意得，405012x x=-．故选B．17．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )A．30x＝456x+B．30x＝456x-C．306x-＝45xD．306x+＝45x【答案】A【解析】【分析】设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程.【详解】设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等可得30x=456x+.故选A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．18．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()A ．5x ＋16＝52x B ．5x ＝52x ＋16C ．5x＋10＝52x D ．5x－10＝52x【答案】B 【解析】 【分析】设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程． 【详解】设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，由题意得,5x ＝52x ＋16所以答案为B. 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.19．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A ．24x 2+ -20x=1 B ．20x -24 x 2+ =1 C ．24x - 20x 2+ =1 D ．20x 2+ -24x=1 【答案】B 【解析】试题解析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：2020412x x +-=+， 即：202412x x -=+． 故选B ．考点：分式方程的应用.20．已知关于x 的分式方程13222mx x x-+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.【详解】13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2， ∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠故选：A.【点睛】此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。