椭圆的中点弦

5 x 9 y 14 0
小结
弦中点问题的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；
（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
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椭圆的中点弦问题
例1 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率 韦达定理Leabharlann ：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
例 1:已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
两式相减得：
b2 ( x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
由b2 ( x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
y12 y12 b2 即 2 2 2 x1 x2 a k AB y1 y1 b2 x1 x2 2 x1 x2 a y1 y1 b2 x0 2 a y0
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法．
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
x2 y2 F (2, 0) 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 9 5 得： 14 x 2 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 5 x 9 y 45 x1 x2 , x1 x2 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )， 则有： 2 x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2 y1 y2 又k AB x1 x2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上， 2 2 2 2 x y x1 y1 2 2 1 1 2 2 2 2 a b a b
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
A(1,1)在椭圆内。
设以A为中点的弦为MN且M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2 5x12 9 y12 45 2 2 2 2 两式相减得： （ 5 x x ） （ 9 y y 0 1 2 1 2 ） 2 2 5x2 9 y2 45 5 y y2 5 x x2 kMN 1 1 9 x1 x2 9 y1 y2 5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9