(教师用书)高中数学 模块教案 北师大版选修2-2

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学模块教案北师大版选修2-2§1归纳与类比1．1 归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现归纳推理的特征、概括归纳推理的定义，知道归纳推理是科学发现的重要方法．(2)掌握归纳推理的一般性步骤：“观察——分析——归纳——猜想”，并能利用归纳推理解决简单问题．2．过程与方法通过具体实例的探究，使学生掌握观察问题的角度，培养学生分析问题的能力和抽象概括能力，体会从特殊到一般的认识规律．3．情感、态度与价值观(1)通过对具体实例的分析与探究，体会归纳推理是认识世界、改造世界的重要手段，培养学生探究精神和创新意识．(2)通过本节的学习和运用，体会发现问题、提出问题的方法，树立用数学思维方式创新探究的意识，不断提高自身的数学素养．●重点难点重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学时应引导学生学会观察，例如先整体，再局部；哪些是共同点，哪些是区别？哪些量变化，哪些量不变，变化部分有什么规律？等等．通过不断地观察、分析、归纳提出猜想，从而化解难点．这一过程要让学生多探究、多交流，以便提高学生抽象概括能力．通过对具体问题的简单求解，使学生理解归纳推理是根据一类事物中部分事物具有的特征，推断该事物中每个事物都具有这种属性的推理方式，明确归纳推理的特点，强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容属于数学思维方法——归纳法，结合生活实例和学生已学过的数学实例(如数列)，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并在今后的学习中有意识使用它提出猜想．因此，本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心准备的具体问题情境下，让学生主动探究，然后通过师生、生生交流归纳、揭示规律，形成概念，获取方法，并在具体问题的求解中，深化规律，形成技能，使知识与思想方法得以升华．●教学流程创设情境，提出问题.在教师结合生活实例、具体数学实例引出推理的前提下，呈现例1.⇒错误!⇒错误!⇒运用规律，解决问题.利用归纳推理解决例2，加深对归纳推理的认识，初步认识归纳推理的特点.⇒ 变练演编，升华提高.通过习题1和习题2，让学生掌握归纳推理的一般步骤，可作变式训练，让学生学会观察. ⇒错误!错误!课标解读1.理解归纳推理的定义．2.能够利用归纳推理进行简单的推理．(重点、难点)3.体会归纳推理在数学发现中的作用.归纳推理【问题导思】1．已知数列{a n }的前5项依次为1,3,6, 10,15.这五项的变化是递增还是递减？有什么规律？【提示】 递增；从第2项起，每一项与前一项的差成等差数列．2．猜想问题1中第6项的值． 【提示】 213．猜想出的结论一定正确吗？ 【提示】 不一定． 1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．数与式的归纳已知数列{a n }满足a 1＝1，n a n ＋1＝n ＋1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3，a 4，a 5，并猜想通项公式a n ；(2)根据(1)中的猜想，有下面的数阵： S 1＝a 1 S 2＝a 2＋a 3 S 3＝a 4＋a 5＋a 6S 4＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10S 5＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15试求S 1，S 1＋S 3，S 1＋S 3＋S 5，并猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值．【思路探究】→猜想通项公式a n →求解S 1，S 1＋S 3，S 1＋S 3＋S 5并分析结论的特征→猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值【自主解答】 (1)因为a 1＝1，由a n a n ＋1＝n n ＋1知a n ＋1＝n ＋1n²a n ， 故a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5.可归纳猜想出a n ＝n (n ↔N *)． (2)根据(1)中的猜想，数阵为：S 1＝1 S 2＝2＋3＝5 S 3＝4＋5＋6＝15 S 4＝7＋8＋9＋10＝34S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65 故S 1＝1＝14，S 1＋S 3＝1＋15＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81＝34，可猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.1．本题中通项a n 易于猜想，而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1时，应注意将每个式子及其结果同n 的取值对应，并尝试用含n 的代数式f (n )归纳．2．在对数与式进行归纳时，应坚持“先整体，后局部”的原则，先从整体上把握数与式的特征及变化规律，然后着眼局部变化规律的归纳．在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ↔N *)，猜想这个数列的通项公式．【解】 ∵在{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23；a 3＝2a 22＋a 2＝48＝24；a 4＝2a 32＋a 3＝25；…∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2(n ↔N *).1－1：图1－1－1由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．【思路探究】 可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．【自主解答】 法一 由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.法二分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n 个三角形数的石子数应为：n n ＋12.1．通过图形中石子的排列规律，分析出三角形数的形成规律是解答本题的关键，同时较法二来讲也易于操作；实质上数列1,3,6,10，…中从第2项起，每一项与前一项的差构成一个以2为首项，1为公差的等差数列，故这类数列求通项时，可借鉴三角形数的形成规律．如猜想5,7,10,14,19，…的通项时，可通过5＝5,7＝5＋2,10＝5＋2＋3,14＝5＋2＋3＋4,19＝5＋2＋3＋4＋5，…，得a n ＝5＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n ＋2 n －1 2＋5＝n 2＋n ＋82.2．对于图与形的归纳一般有两种方法，一是通过图形中呈现的规律求解；二是将每个图形对应的数字求出后，分析各数的变化规律(如是增还是减？如何增减？等)后进而猜想，实质上就将问题转化为对数与式的猜想了．(1)如图①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图②，如此继续下去，得图③…试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.图① 图② 图③图1－1－2【解析】 观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3³4n －1.【答案】 3³4n －1(2)下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有a n 根树枝，则a n ＋1与a n (n ≥1)之间的关系是________．① ② ③④ ⑤图1－1－3【解析】 由图可得，第一个图形有1根树枝，a 1＝1，第2个图形有3根树枝，即a 2＝3，同理可知：a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. 归纳可知：a 2＝3＝2³1＋1＝2a 1＋1， a 3＝7＝2³3＋1＝2a 2＋1， a 4＝15＝2³7＋1＝2a 3＋1， a 5＝31＝2³15＋1＝2a 4＋1， 由归纳推理可猜测： a n ＋1＝2a n ＋1.n n (1)试分别计算数列{a n }中落入区间(9,92)和(92,94)内的项的个数；(2)对任意m ↔N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的通项公式．【思路探究】 分别令9<a n <92,92<a n <94求解项数n 的范围，并求对应项数；利用(1)中的方法解答(2)．【自主解答】 (1)令9<a n <92，即9<9n －8<92，解得1＋89<n <9＋89，故2≤n ≤9，因此，数列{a n }中落入区间(9,92)内的项的个数为8；同理，令92<a n <94，解得9＋1≤n ≤93，故数列{a n }中落入区间(92,94)中的项的个数为93－9；(2)由题意，令9m <9n －8<92m，得9m －1＋89<n <92m －1＋89，∴9m －1＋1≤n ≤92m －1，故b m ＝92m －1－9m －1.1．解答本题第(2)问的关键是通过第(1)问中两种特殊情况的求解，归纳出一般性规律从而使问题获解．2．归纳推理是一种从特殊到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段，是通过归纳得到结论或发现解决问题的途径的有效方法．如图1－1－4所示，点M 是椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)上一动点，由点M 到圆x 2＋y 2＝b 2的两条切点MA ，MB ，切点分别为A ，B .下面是探究当∠AMB ＝π2时，椭圆离心率e 的取值范围的过程．图1－1－4连接OA ，OB ，∵MA ，MB 与圆相切， ∴OA ⊥MA ，OB ⊥MB ，连接OM ，∵∠AMB ＝π2，∴∠AMO ＝π4，|OM |＝2b ，又在椭圆中|OM |↔[b ，a ]， 故2b ≤a ，即2b 2≤a 2，∴2(a 2－c 2)≤a 2，即a 2≤2c 2，c a ≥22，∴离心率e 的取值范围是[22，1)． (1)若将“∠AMB ＝π2”改为“∠AMB ＝π3”，试探究离心率e 的取值范围．(2)试将本题加以推广，得到一个一般性结论．【解】 连接OA ，OB ，OM ，易知∠AMO ＝π6，在Rt △AOM 中，|OM |＝bsinπ6＝2b ，又|OM |≤a ， 即2b ≤a .故椭圆的离心率的范围是[32，1)．(2)同上述解法，设∠AMB ＝2α(0<α<π2)，则∠AMO ＝α，在Rt △AOM 中，|OM |＝bsin α，又|OM |↔[b ，a ]， ∴bsin α≤a ，即a 2－c 2≤a 2sin 2α，整理，得a 2cos 2α≤c 2，故c a≥cos α， 所以，离心率e 的取值范围是[cos α，1)．忽视“项数n ”与“命题”间的对应关系致误 已知2＋23＝223， 3＋38＝338，4＋415＝4415， 5＋524＝5524，……，则第n 个式子为( ) A.n ＋nn 2－1＝n n n 2－1(n ↔N *) B.n ＋nn 2－1＝n nn 2－1(n ≥2)C.n ＋1 ＋n ＋1n ＋1 2－1＝(n ＋1)n ＋1n ＋1 2－1(n ↔N *)D. n ＋1 2＋n ＋1 n ＋1 2－1＝(n ＋1)n ＋1 n ＋1 2－1(n ≥2) 【错解】 通过观察知3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1,24＝52－1，故第n 个式子为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1(n ≥2)，故选B.【答案】 B【错因分析】 本题解答忽视了“项数n ”与“第n 个命题”间的对应关系，即第1个式子中用1表示为1＋1 ＋1＋11＋1 2－1＝(1＋1) 1＋11＋1 2－1. 【正解】 n ＝1时，有1＋1 ＋1＋11＋1 2－1＝(1＋1)1＋11＋1 2－1， n ＝2时，有2＋1 ＋2＋12＋1 2－1 ＝(2＋1)2＋12＋1 2－1，n ＝3时，有3＋1 ＋3＋13＋1 2－1＝(3＋1)3＋13＋1 2－1， 同理n ＝4，n ＝5时，也有相同规律． 故猜想第n 个式子为 n ＋1 ＋n ＋1n ＋1 2－1＝(n ＋1)n ＋1n ＋1 2－1(n ↔N *)．应选C.【答案】 C1．归纳推理是由特殊到一般的推理，是发现一般性结论或解题方法的重要途径． 2．归纳推理属于不完全归纳，故所得结论不一定可靠，需给出证明． 3．归纳推理的思维过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳→提出猜想.1．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则a n 是( )A ．2n －2－12B ．2n－2C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－4【解析】 当n ＝1,2,3时，求得a 2＝2，a 3＝6，a 4＝14，观察知a n ＝2n－2. 【答案】 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2²a n (n ≥2)，且a 1＝1通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝( )A.2 n ＋1 2B.2n n ＋1C.22n －1D.22n －1【解析】 可以通过S n ＝n 2a n 分别代入n ＝2,3,4求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n n ＋1.【答案】 B3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1－1－5所示，则第七个三角形数是________．图1－1－5【解析】 第一个三角形数是1， 第二个三角形数是1＋2＝3， 第三个三角形数是1＋2＋3＝6， 第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，由归纳推理得第n 个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ 1＋n n2.由此可以得出第七个三角形数是28. 【答案】 284．平面内有n 条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．【解】 n ＝2时，交点个数：f (2)＝1. n ＝3时，交点个数：f (3)＝3. n ＝4时，交点个数：f (4)＝6. n ＝5时，交点个数：f (5)＝10.猜想f (n )＝12n (n －1)(n ≥2)．一、选择题1．已知数列23，1,112，214，338，…，猜想该数列的第6项为( )A ．4516B ．4316C ．5316D ．5116【解析】 将各项均写成假分数的形式为23，11，32，94，278，…，即3－12－1，3020，3121，3222，3323，…，故猜想第6项为342＝8116＝5116.【答案】 D2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07 D ．49【解析】 ∵75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 011＝74³502＋3，故其末两位数字为43.【答案】 B3．(2013²厦门高二检测)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…， 根据上述规律第n 个等式为( )A ．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2B ．13＋23＋…＋n 3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2C ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝(1＋2＋3＋…＋n )2D ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2【解析】 将各等式中的变化规律同n 对应起来可知选D. 【答案】 D4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图1－1－6A ．26B ．31C ．32D ．36【解析】 设第n 个图案有a n 个菱形花纹的正六边形，则a 1＝6³1－0，a 2＝6³2－1，a 3＝6³3－2，故猜想a 6＝6³6－5＝31.【答案】 B5．把正偶数列{2n }的各项从小到大依次排成如下的三角形状数表，记M (r ，t )表示该表中第r 行的第t 个数，则表中的数2 014对应于( )2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……A ．M (45,14)B ．M (45,27)C ．M (46,14)D ．M (46,27)【解析】 由题意2 014是数列{2n }中的第1 007项，而数阵中的前r 行共有1＋2＋3＋…＋r ＝r ² r ＋1 2，令r ² r ＋12≤1 007知r 最大值为44.当r ＝44时，前44行共有990项，故2 014位于第45行，第1 007－990＝27个数，即M (45,27)．【答案】 B 二、填空题6．如图1－1－7所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ↔N ＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.图1－1－7【解析】 依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3³6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ↔N ＋)． 【答案】 15 3n －3(n ≥2，n ↔N ＋)7．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】 由题意f (21)＝32，f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，故一般的结论为f (2n)≥n ＋22.【答案】 f (2n)≥n ＋228．(2013²深圳高二检测)设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ↔N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n.所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x2n －1 x ＋2n .【答案】x2n－1 x ＋2n三、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为什么？【解】 不等式左边项数分别为3,4,5时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，其分子依次为32,42,52，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，故当不等式左边项数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2n －2 π(n ≥3，n ↔N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2 n －2 π(n ≥3，n ↔N *)．10．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．【解】 一般性的命题为sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝32.证明如下：sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝1－cos 2θ2＋1－cos 120°＋2θ 2＋1－cos 240°＋2θ 2＝32－12[cos 2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)] ＝32－12[2cos 60°cos(60°＋2θ)＋cos(180°＋60°＋2θ)] ＝32－12[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)] ＝32. 11．设{a n }是集合{2t ＋2s|0≤s <t ，且s ，t ↔Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，……将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如右的三角形数表：3 5 6 9 10 12 … … … … … … … … …(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行； (2)求a 100.【解】 (1)由题意，a 1，对应的有序数对(s ，t )为(0,1)． a 2，a 3对应的有序数对(s ，t )分别为(0,2)，(1,2)；a 4，a 5，a 6对应的有序数对(s ，t )分别为(0,3)，(1,3)，(2,3)， 故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为 (0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)． 故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s ，t )依次为 (0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5) 故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表．(0,1) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) (2,3) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)可以归纳出行数与t 相等，且各行中的项数与t 相等，故前t 行共有t t ＋12项，令t t ＋12≤100，得t ≤13， 当t ＝13时，t t ＋12＝91. 故a 100位于第14行中第9个数．故a 100对应的有序数对(s ，t )为(8,14)．所以a 100＝28＋214.(教师用书独具)正整数按下表的规律排列则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为( )A ．2 0052B ．2 0062C ．2 005＋2 006D ．2 005³2 006【思路探究】 根据本题求结论的要求，只需归纳出第n 行，第n ＋1个数的规律即可． 【自主解答】 第1行第2个数为2＝1³2； 第2行第3个数为6＝2³3； 第3行第4个数为12＝3³4； 第4行第5个数为20＝4³5；故归纳出第2 005行第2 006个数为2 005³2 006. 【答案】 D1．解答本题的关键是根据结论的要求准确把握归纳的对象是第n 行第n ＋1个数的规律．2．对数归纳时也可借助一些常见数列，如本题中2＝22－2,6＝32－3,12＝42－4,20＝52－5，……第n 行第n ＋1个数为(n ＋1)2－(n ＋1)＝n ²(n ＋1)．就借助了自然数的平方构成的数列和自然数列．观察下列各式：1＝1,2＋3＋4＝9,3＋4＋5＋6＋7＝25,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…，则由此可归纳出n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝________.【解析】 1＝1＝12＝(2³1－1)2，2＋3＋4＝9＝32＝(2³2－1)2，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52＝(2³3－1)2，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72＝(2³4－1)2，…故n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2³n －1)2.【答案】(2n－1)21．2 类比推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现类比推理的特征，概括类比推理的定义，知道类比推理是科学发现的重要方法；(2)掌握类比推理的一般性步骤“分析、比较→提出猜想→验证”，并能简单运用类比推理解决问题．2．过程与方法学生通过分析具体例子所反映出的思维过程，从中提炼类比推理的过程，然后再概括出类比推理的含义．培养学生以旧知识作基础，推测新结果的类比发现能力．3．情感、态度与价值观(1)通过空间与平面，向量与数、无限与有限，不等与相等的类比，使学生感受可以从熟悉的知识中得到启发，发现可以研究的问题及其研究方法；(2)通过本节的学习和运用实践，体会类比推理的价值，学习用类比的方法提出问题、解决问题的探究精神，培养创新思维．●重点难点重点：能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理做出猜想．教学时可从生活实例出发引导学生发现有类似特征的两类对象，然后根据学生对平面几何、立体几何中的诸多已知的公理、定理的比较、分析，及进一步拓展，引导学生概括类比推理的定义．通过例、习题的教学探究，让学生感悟类比推理的特点和步骤，从而强化重点，实破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是安排在学习了立体几何，平面几何等可类比知识之后，从中挖掘、提炼出类比推理的含义和方法，在人类发明、创造活动中，类比推理扮演了重要角色，因此，本节课的重点应放在学生主动探究新的结论上面，宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心设计的问题情境的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“类比－猜想”为基本内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，在探究中创新．●教学流程创设问题情境，引出问题：以仿生学等具体实例为背景.⇒引导学生发现立体几何与平面几何的类似特征，可让学生举例，得出类比推理的定义.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握等差、等比数列之间的相似特征，及类比规律.⇒通过例2及其互动探究，使学生通过概念的类比，掌握分析问题的角度及类比对象.⇒通过探究完成例3及其变式训练，使学生掌握由平面到空间，由“低维”到“高维”的类比规律，发现新结论.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识类比推理.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积，等于底面积与高乘积的13.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】 根据三角形的特征，推出四面体的特征． 3．以上两个推理是归纳推理吗？为什么？【提示】 不是，归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理(1)类比推理的定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．(2)类比推理的特征：类比推理是两类事物特征之间的推理． 利用类比推理得出的结论不一定是正确的． 2．合情推理与演绎推理合情推理是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.定义 a n －a n －1＝d (n ≥2)a na n －1＝q (n ≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1性质若m ＋n ＝p ＋q ＝2t ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q＝2a t若m ＋n ＝p ＋q ＝2t ，则a m ²a n ＝a p ²a q＝a 2t和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，(1)对于等差数列{a n }，已知n ，n 1，n 2，n 3↔N *，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有an 1＋an 2＋an 3＝3a n .类比这一性质写出等比数列{b n }类似的性质；(2)你能将(1)的结论分别在等差数列{a n }和等比数列{b n }中加以推广吗？ 【思路探究】 根据两数列运算规律加以类比，然后用归纳推理加以推广．【自主解答】 (1)由题设知“和―→类比积，乘―→类比乘方”，故在等比数列{b n }中，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有bn 1²bn 2²bn 3＝b 3n .等差数列{a n } 等比数列{b n } m ＋n ＝2t a m ＋a n ＝2a t b m ²b n ＝b 2t n 1＋n 2＋n 3＝3n an 1＋an 2＋an 3＝3a n bn 1²bn 2²bn 3＝b 3n123m n 123＋…＋an m ＝m ²a n .对比数列{b n }有bn 1²bn 2²bn 3…bn m ＝b mn .1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类比特征，是解决本题的关键． 2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_____________________________________，__________，T 16T 12成等比数列． 【解析】 等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 【答案】T 8T 4 T 12T 8新、旧概念的类比n 是等和数列，且a 1＝2，公和为5，请写出该等和数列的通项公式与前n 项和公式．【思路探究】【自主解答】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.1．本题的关键是类比等差数列的定义写出等和数列的定义．2．这类题目一定要找准新、旧概念之间可以确切表达的相似性，进而由原有的概念去推测新的概念．把上例中的“等差数列”改为“等比数列”，“等和数列”改为“等积数列”，“公和为5”改为“公积为6”，结果如何？【解】 等积数列：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积．由定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，5n2，n 为偶数.11111交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .图1－1－8(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ²EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【思路探究】 (1)用“线面垂直”证“线线垂直”； (2)考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面，可选取三棱柱的直截面三角形作类比对象．【自主解答】 (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN . 又∵CC 1∥BB 1， ∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2▱ABB 1A 1＝S 2▱BCC 1B 1＋S 2▱ACC 1A 1－2S ▱BCC 1B 1²S ▱ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角． ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ²MN cos ∠MNP ，∴PM 2²CC 21＝PN 2²CC 21＋MN 2²CC 21－2(PN ²CC 1)²(MN ²CC 1)cos ∠MNP . 由于S ▱BCC 1B 1＝PN ²CC 1，S ▱ACC 1A 1＝MN ²CC 1， S ▱ABB 1A 1＝PM ²BB 1＝PM ²CC 1，∴有S 2▱ABB 1A 1＝S 2▱BCC 1B 1＋S 2▱ACC 1A 1－2S ▱BCC 1B 1²S ▱ACC 1A 1²cos α.1．由“二维”平面扩展到“三维”空间，需要有“升维”的变化．因此，平面中的“点、线、面”一般类比成空间中的“线、面、体”．2．很多情形中，不仅仅是结论之间可以类比；解决问题的思路和方法也可以类比，如本题中结论的证明．平面中的三角形和空间中的四面体有很多类似的性质．例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12³底³高；(3)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；(4)三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆的半径，a ，b ，c 为三角形三边长)；……请类比以上性质，写出空间四面体的相关结论．【解】 根据三角形的性质，可类比得到空间四面体的相关性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13³底面积³高；(3)四面体的中位面平行于第四个面，且等于第四个面面积的14；(4)四面体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体四个面的面积).类比不当而致误若数列{a n }(n ↔N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ↔N ＋)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ↔N ＋)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ↔N ＋)也是等比数列．【错解】 注意到b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn中的分子是等差数列{a n }的前n 项和，故可类比成等比数列{c n }的前n 项的积．因此，得到d n ＝c 1²c 2²c 3²…²c n n 也是等比数列，应填c 1²c 2²c 3²…²c nn.【错因分析】 本题的解答忽视了对等差数列中“除法”运算的类比． 【防范措施】 运用类比推理解决问题时，首先明确类比关系，然后分析类比的角度．如本题中应抓住“运算”这一角度恰当类比．【正解】 由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和―→类比积，商―→类比开方”．容易得出d n ＝n c 1²c 2²c 3²…²c n 也是等比数列，应填nc 1²c 2²c 3²…²c n .1．归纳推理与类比推理是常见的合情推理，其推测结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础．2．类比推理的一般步骤是：第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比．1．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1²b 2²b 3²b 4²b 5²b 6²b 7²b 8²b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2³9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2³9【解析】 根据等差、等比数列的特征知，a 1＋a 2＋…＋a 9＝2³9. 【答案】 D2．已知“平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”，类比这一结论可得出以下结论：①空间内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条； ②空间内，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条； ③空间内，过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一条； ④空间内，过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个． 其中，正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系．可借助长方体这一模型排除①③④，仅有②正确．【答案】 B3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的性质，你认为下列结论中正确的是________．①各棱长相等，同一顶点上任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．【答案】 ①②③4．如图1－1－9(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′²PB ′PA ²PB，类比这一结论，请写出图1－1－9(2)中相应结论，并证明．图(1) 图(2)图1－1－9【解】 V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝PA ′²PB ′²PC ′PA ²PB ²PC，证明如下：分别过B ′，B 作平面PAC 的垂线B ′D ′，BD ，垂足分别为D ′，D .易知△PB ′D ′∽△PBD ，故PB ′PB ＝B ′D ′BD，所以V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝13S △PA ′C ′²B ′D ′13S △PAC ²BD＝PA ′²PC ′²PB ′PA ²PC ²PB.一、选择题1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形【解析】 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C. 【答案】 C2．关于合情推理的说法不正确的是( )①合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；②合情推理是由一般到特殊的推理；③合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；④归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理A ．①④B ．②④C ．③④D ．①②③④【解析】 根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此①②③④均不正确．【答案】 D3．下列几种推理过程是类比推理的是( ) A ．两直线平行，内错角相等B ．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C ．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D ．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人。