离散数学 关系的运算_图文
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2
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定理 设R A A, 若存在自然数s, t (s<t), 使得 Rs = Rt, 则下面等式成立： (1) Rs+q = Rt+q, qN; 证明 Rs+q = RsRq = RtRq = Rt+q。
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; 证明对q用归纳法证明。 当q=1, Rs+(t–s)q+r = Rs+(t–s)+r = Rt+r = Rs+r (1) 设q = k时, 命题成立, 即Rs+(t–s)k+r = Rs+r, 其中q, rN; 当q = k+1时, Rs+(t–s)(k+1)+r = Rs+(t–s)k+r +(t–s) = Rs+(t–s)k+r R (t–s) = Rs+r Rt–s (归纳假设) = Rs+r +t–s = Rt+r = Rs+r (1) 所以, (2)成立
Rο (S∪T)=(Rο S)∪(Rο T)
（ 2）
（ 3） （ 4） （ 5）
(S∪T)ο R=(Sο R)∪(Tο R)
Rο (S∩T)( Rο S)∩(Rο T) (S∩T)ο R( Sο R)∩(Tο R)
Rο (Sο T)=(Rο S)ο T
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三、A上关系的幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R
大连婚纱摄影 http://www.dlsysy.com/
▎
怛捒暾
23
14
在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布尔运算, 它只涉及数字0和1。
布尔加法（∨ ）：
0+0=0
0+1=1+0=1+1=1
布尔乘法（ ∧ ）：
1 ·1 = 1
0 ·1 = 1 ·0 = 0 ·0 = 0
15
五、幂的求法
例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
1 0 M IA 0 0 1 1 M A A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 M 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 ML A 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
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某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
13
思考： 写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、 空关 系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。 答案：分别为：
4
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
例3 设 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} ，则 R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF
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二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
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定理
（ 1）
设R, S, T均为A上二元关系， 那么
= R3{R0, R1, …, R4}
22
Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
(2) s = 7, t来自百度文库= 15, n = 2000,
n s 1993 = ts 8
= 249 8 + 1,
因此, q = 249, r = 1,
R2000
= R7+8249+1 = R7+1 = R8{R0, R1, …, R14}
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域 和 域
定义 设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合 称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。 使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
0 1 M 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 M2 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
8
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
3
合成运算的图示方法
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
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(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; (3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均 有RnS。(s<t) 证明 若n≤t – 1, 结论显然成立。 设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎
因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=…
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六、幂运算的性质
定理 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt. 证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只 有 2 n 个. 当列出 R 的各次幂 R0, R1, R2, …, , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
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某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
17
幂的求法（续）
同理，R0=IA, R3和R4的矩阵分别是：
1 0 M0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 M3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 , M 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
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Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
例 设R A A, 化简R2003的指数。 (1)已知 R3 = R5； (2) 已知 R7 = R15。 解 (1) s = 3, t = 5, n = 2003, n s = 2000 = 1000 2 ts = 1000 1 + 0, 因此, q = 1000, r = 0, R2003 = R3+21000+0 = R3+0
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
即ranR = { y | x (<x,y>R) }。称domR ranR为R的域，记
为fldR 。即fldR = domR ranR 。 例1 设A={1，2，3，4}， R1是A上的二元关系，当a,b∈ A， 且a<b 时， (a,b) ∈ R1 , 求R和它的前域，值域和域。
解：根据题意R1 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
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幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
3 2
9
四、幂运算的性质
定理 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则
(1) Rm∘Rn=Rm+n
(2) (Rm)n=Rmn
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关系运算的矩阵表示 关系矩阵（matrix of relation）。 设R A×B， A=｛a1, a2, …, am｝, B=｛b1, b2, …, bn｝， 那么R的关系矩阵 MR 为一 m×n 矩阵，它的第 i , j 分量 rij 只 取值0或1， 而
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定理 设R A A, 若存在自然数s, t (s<t), 使得 Rs = Rt, 则下面等式成立： (1) Rs+q = Rt+q, qN; 证明 Rs+q = RsRq = RtRq = Rt+q。
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; 证明对q用归纳法证明。 当q=1, Rs+(t–s)q+r = Rs+(t–s)+r = Rt+r = Rs+r (1) 设q = k时, 命题成立, 即Rs+(t–s)k+r = Rs+r, 其中q, rN; 当q = k+1时, Rs+(t–s)(k+1)+r = Rs+(t–s)k+r +(t–s) = Rs+(t–s)k+r R (t–s) = Rs+r Rt–s (归纳假设) = Rs+r +t–s = Rt+r = Rs+r (1) 所以, (2)成立
Rο (S∪T)=(Rο S)∪(Rο T)
（ 2）
（ 3） （ 4） （ 5）
(S∪T)ο R=(Sο R)∪(Tο R)
Rο (S∩T)( Rο S)∩(Rο T) (S∩T)ο R( Sο R)∩(Tο R)
Rο (Sο T)=(Rο S)ο T
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三、A上关系的幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R
大连婚纱摄影 http://www.dlsysy.com/
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怛捒暾
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在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布尔运算, 它只涉及数字0和1。
布尔加法（∨ ）：
0+0=0
0+1=1+0=1+1=1
布尔乘法（ ∧ ）：
1 ·1 = 1
0 ·1 = 1 ·0 = 0 ·0 = 0
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五、幂的求法
例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
1 0 M IA 0 0 1 1 M A A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 M 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 ML A 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
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某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
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思考： 写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、 空关 系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。 答案：分别为：
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3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
例3 设 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} ，则 R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF
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二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
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定理
（ 1）
设R, S, T均为A上二元关系， 那么
= R3{R0, R1, …, R4}
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Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
(2) s = 7, t来自百度文库= 15, n = 2000,
n s 1993 = ts 8
= 249 8 + 1,
因此, q = 249, r = 1,
R2000
= R7+8249+1 = R7+1 = R8{R0, R1, …, R14}
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域 和 域
定义 设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合 称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。 使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
0 1 M 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 M2 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
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例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
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R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
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合成运算的图示方法
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
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(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; (3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均 有RnS。(s<t) 证明 若n≤t – 1, 结论显然成立。 设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎
因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=…
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六、幂运算的性质
定理 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt. 证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只 有 2 n 个. 当列出 R 的各次幂 R0, R1, R2, …, , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
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某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
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幂的求法（续）
同理，R0=IA, R3和R4的矩阵分别是：
1 0 M0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 M3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 , M 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
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Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
例 设R A A, 化简R2003的指数。 (1)已知 R3 = R5； (2) 已知 R7 = R15。 解 (1) s = 3, t = 5, n = 2003, n s = 2000 = 1000 2 ts = 1000 1 + 0, 因此, q = 1000, r = 0, R2003 = R3+21000+0 = R3+0
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
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2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
即ranR = { y | x (<x,y>R) }。称domR ranR为R的域，记
为fldR 。即fldR = domR ranR 。 例1 设A={1，2，3，4}， R1是A上的二元关系，当a,b∈ A， 且a<b 时， (a,b) ∈ R1 , 求R和它的前域，值域和域。
解：根据题意R1 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
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幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
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四、幂运算的性质
定理 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则
(1) Rm∘Rn=Rm+n
(2) (Rm)n=Rmn
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关系运算的矩阵表示 关系矩阵（matrix of relation）。 设R A×B， A=｛a1, a2, …, am｝, B=｛b1, b2, …, bn｝， 那么R的关系矩阵 MR 为一 m×n 矩阵，它的第 i , j 分量 rij 只 取值0或1， 而