离散数学 关系的运算_图文
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第2版教学课件-关系的运算
4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A为集合，
（1）R在A上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A上的限制R↾ A是R的子关系，而A在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}
4.3.2 限制与像
定理4.3
设R为二元关系，A和B为集合，则有 (1) R↾ (A B) = R↾ A R ↾ B (2) R[A B] = R[A] R[B] (3) R↾ (A B) = R↾ A R↾ B (4) R[A B] R[A] R[B]
证：(3) 对任意的<x, y>， <x, y>∈R↾ (A B) <x, y>∈R∧x∈A B <x, y>∈R∧(x∈A∧x∈B) (<x, y>∈R∧x∈A)∧(<x, y>∈R∧x∈B) <x, y>∈R↾ A∧<x, y>∈R↾ B <x, y>∈R↾ A R↾ B 所以有R↾ (A B) = R↾ A R↾ B。 其他证明略。
例 4.17
设A={a, b, c, d}, R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}, 求R的各次幂。
《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
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5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学 关系的运算_图文
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域 和 域
定义 设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合 称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。 使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=…
18
六、幂运算的性质
定理 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt. 证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只 有 2 n 个. 当列出 R 的各次幂 R0, R1, R2, …, , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.
5
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
6
定理
（ 1）
设R, S, T均为A上二元关系， 那么
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
16
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域 和 域
定义 设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合 称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。 使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=…
18
六、幂运算的性质
定理 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt. 证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只 有 2 n 个. 当列出 R 的各次幂 R0, R1, R2, …, , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.
5
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
6
定理
（ 1）
设R, S, T均为A上二元关系， 那么
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
16
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学关系的运算
例2.37 求集合A={1,2,3}上的关系R = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>}的自反闭包。
关系的对称闭包
定义2.18 设R和R是集合A上的关系，如果满足： （1）R是对称的； （2）R R； （3）对A上任何包含R的自反关系R都有RR。
则将R称为R的对称闭包，记作s(R)。
逆运算的性质
定理2.5 对于任意集合A和B，设R是集合A到B的关系，则有： (R-1)-1 = R。
逆运算的性质
定理2.6 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么 (R◦S)-1 = S-1◦R-1。
逆运算的性质
定理2.7 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么：
①计算R-1、S-1、(R-1)-1、(S-1)-1、(R◦S) -1和S-1◦R-1；
解 ① 根据逆运算和复合运算的定义，有 R-1 = {<a, 1>, <c, 2>, <b, 3>, <b, 4>, <d, 4>} S-1 = {<2, a>, <4, b>, <3, c>, <5, c>, <5, d>} (R-1)-1 = {<1, a>, <2, c>, <3, b>, <4, b>, <4, d>} (S-1)-1 = {<a, 2>, <b, 4>, <c, 3>, <c, 5>, <d, 5>} R◦S = {<1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <3, 4>, <4, 4>, <4, 5>} (R◦S) -1= {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>} S-1◦R-1 = {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>}
关系的对称闭包
定义2.18 设R和R是集合A上的关系，如果满足： （1）R是对称的； （2）R R； （3）对A上任何包含R的自反关系R都有RR。
则将R称为R的对称闭包，记作s(R)。
逆运算的性质
定理2.5 对于任意集合A和B，设R是集合A到B的关系，则有： (R-1)-1 = R。
逆运算的性质
定理2.6 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么 (R◦S)-1 = S-1◦R-1。
逆运算的性质
定理2.7 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么：
①计算R-1、S-1、(R-1)-1、(S-1)-1、(R◦S) -1和S-1◦R-1；
解 ① 根据逆运算和复合运算的定义，有 R-1 = {<a, 1>, <c, 2>, <b, 3>, <b, 4>, <d, 4>} S-1 = {<2, a>, <4, b>, <3, c>, <5, c>, <5, d>} (R-1)-1 = {<1, a>, <2, c>, <3, b>, <4, b>, <4, d>} (S-1)-1 = {<a, 2>, <b, 4>, <c, 3>, <c, 5>, <d, 5>} R◦S = {<1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <3, 4>, <4, 4>, <4, 5>} (R◦S) -1= {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>} S-1◦R-1 = {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>}
离散(关系的运算)
t ( R ) R i =R∪R2∪R3
i 1
={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c> }
定理3.8.5 设A是含有n个元素的集合, R是 A上的二元关系,
则存在一个正整数k≤n，使得
t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rk
n
wij ( rik skj )
k 1
式中∧代表逻辑乘,满足0∧0=0 , 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1. ∨代表逻辑加,满足0∨0=0 , 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1.
例4. 设集合A={ 1, 2, 3, 4 }, B={ 2, 3, 4}, C={ 1, 2, 3 }
离散数学(Discrete Mathematics)
3-7 关系的运算
一、 复合关系 (Compound Relations)
定义3.7.1 设 R 是由X 到Y 的关系, S 是由Y 到Z 的关系, 则 RS 称为R 和 S 复合关系, 表示为 RS ={ <x,z> | xX∧zZ∧(y)(yY∧xRy∧ySz) } 两个关系的合成运算可以推广到多个. 例如: RSP、 R S P Q 等. 且合成运算满足结合律.即: ( P R )Q= P( RQ ) 关系R自身合成n次可以记为: RR ‥‥R=R(n)
1 0 0
RS={< 1, 1 >, < 2,1 >, < 2, 3 > ,< 3, 2 >,<4,1> }
离散数学 关系的运算
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
8
例：
X { a ,b ,c }R { a , b , b , c , c , a }
R { a , c , b , a , c , b }
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
19
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; (3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均 有RnS。(s<t) 证明 若n≤t – 1, 结论显然成立。 设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎
8
例：
X { a ,b ,c }R { a , b , b , c , c , a }
R { a , c , b , a , c , b }
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
19
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; (3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均 有RnS。(s<t) 证明 若n≤t – 1, 结论显然成立。 设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎
离散数学 第二章 关系 (Relation)
1） R o = o S = 2）( R o S ) ( R )， ( R o S ) (S ) 3）若 R1 R2 且 S1 S2，则 R1 o S1 R2 o S2 。 4） (R o S) o T = R o (S o T) 5） R o (S1∪S2) = (R o S1) ∪ (R o S2)
(S1∪S2) o T = (S1 o T) ∪ (S2 o T) 6） R o (S1∩S2) (R o S1)∩(R o S2)
(S1∩S2) o T (S1 o T)∩(S2 o T) 7） (R o S)–1 = S–1 o R–1
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第四节 二元关系的基本性质
定义1 设R是非空集合X上的二元关系。若对X中的每个元素x， 都有(x,x) R，则称R是X上的自反关系。
称R是N上的模m同余关系。
由等价关系的定义知R是N上等价关系。
例6 非空集合X上的幺关系、全关系都是等价关系。
21
• 等价关系的实质是将集合X中的元素分类。
定义2 设R是非空集合X上的等价关系。xX，称{y | (y,x)R} 为x关于R的等价类，记为 xR.。同时称x为等价类 xR 的代表 元素。
称R–1是R的逆关系。
定理1 设A,B是两个非空集合，RAB，SAB，则 1） (R–1)–1 = R 2） 若 R S ，则 R–1 S–1 。 3） (R∪S)–1 = R–1∪S–1 4） (R∩S)–1 = R–1∩S–1
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3.2 复合关系
定义2 设A,B,C是三个非空集合， R A×B ，S B×C R o S={(a,c) | aA cC (bB)((a,b)R (b,c)S)}
例2 设R是实数集合，S={(x,y) | xR ∧ yR ∧ x=y} 由实数的性质知，当x=y时，有y=x，由对称关系的定义知S 是R上的对称关系。推而广之，凡是相等关系都是对称关系。
(S1∪S2) o T = (S1 o T) ∪ (S2 o T) 6） R o (S1∩S2) (R o S1)∩(R o S2)
(S1∩S2) o T (S1 o T)∩(S2 o T) 7） (R o S)–1 = S–1 o R–1
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第四节 二元关系的基本性质
定义1 设R是非空集合X上的二元关系。若对X中的每个元素x， 都有(x,x) R，则称R是X上的自反关系。
称R是N上的模m同余关系。
由等价关系的定义知R是N上等价关系。
例6 非空集合X上的幺关系、全关系都是等价关系。
21
• 等价关系的实质是将集合X中的元素分类。
定义2 设R是非空集合X上的等价关系。xX，称{y | (y,x)R} 为x关于R的等价类，记为 xR.。同时称x为等价类 xR 的代表 元素。
称R–1是R的逆关系。
定理1 设A,B是两个非空集合，RAB，SAB，则 1） (R–1)–1 = R 2） 若 R S ，则 R–1 S–1 。 3） (R∪S)–1 = R–1∪S–1 4） (R∩S)–1 = R–1∩S–1
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3.2 复合关系
定义2 设A,B,C是三个非空集合， R A×B ，S B×C R o S={(a,c) | aA cC (bB)((a,b)R (b,c)S)}
例2 设R是实数集合，S={(x,y) | xR ∧ yR ∧ x=y} 由实数的性质知，当x=y时，有y=x，由对称关系的定义知S 是R上的对称关系。推而广之，凡是相等关系都是对称关系。
离散数学课件7.3关系的运算
F◦G≠G◦F.
关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F,G,H是任意的关系,则有
• (3)(F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) • (4)
• 怎样证明?
定理7.2 设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F G◦F H◦F
(1)R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y}； (2)R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1}； (3)R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x}； (4)R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧ x＝ y=3}。 解 (1) domR1＝ranR1＝Z.
(2) R2＝{<0,1 >,<0,－1>,<1,－1}. (3) domR3＝Z ranR3＝{2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4＝ranR4＝{-3,3}.
fldR＝domR∪ranR。
domR就是R的所有有序对的第一个元素构 成的集合,ranR就是R的所有有序对的第 二个元素构成的集合.
例:实数集R上的关系 S={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=1},
domS=ranS=fldS=[－1,1］.
例 下列关系都是整数集Z上的关系, 分别求出它们的定义域和值域,
从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图)
1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域(或 集合B).
2.从x到y画一个箭头,如果<x,y>∈R
逆、合成、限制和象
定义7.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1)F的逆记作F-1 F-1＝{<x,y>|yFx}. (2)F与G的合成记作F◦G, F◦G,＝{<x,y>｜z(xGz∧zFy)} (3)F在A上的限制记作 F A
关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F,G,H是任意的关系,则有
• (3)(F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) • (4)
• 怎样证明?
定理7.2 设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F G◦F H◦F
(1)R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y}； (2)R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1}； (3)R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x}； (4)R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧ x＝ y=3}。 解 (1) domR1＝ranR1＝Z.
(2) R2＝{<0,1 >,<0,－1>,<1,－1}. (3) domR3＝Z ranR3＝{2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4＝ranR4＝{-3,3}.
fldR＝domR∪ranR。
domR就是R的所有有序对的第一个元素构 成的集合,ranR就是R的所有有序对的第 二个元素构成的集合.
例:实数集R上的关系 S={<x,y>|x,y∈R∧x2+y2=1},
domS=ranS=fldS=[－1,1］.
例 下列关系都是整数集Z上的关系, 分别求出它们的定义域和值域,
从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图)
1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域(或 集合B).
2.从x到y画一个箭头,如果<x,y>∈R
逆、合成、限制和象
定义7.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1)F的逆记作F-1 F-1＝{<x,y>|yFx}. (2)F与G的合成记作F◦G, F◦G,＝{<x,y>｜z(xGz∧zFy)} (3)F在A上的限制记作 F A
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因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…, R3=R5=R7=…
18
六、幂运算的性质
定理 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt. 证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只 有 2 n 个. 当列出 R 的各次幂 R0, R1, R2, …, , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域 和 域
定义 设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合 称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。 使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
16
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
8
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
Rο (S∪T)=(Rο S)∪(Rο T)
（ 2）
（ 3） （ 4） （ 5）
(S∪T)ο R=(Sο R)∪(Tο R)
Rο (S∩T)( Rο S)∩(Rο T) (S∩T)ο R( Sο R)∩(Tο R)
Rο (Sο T)=(Rο S)ο T
7
三、A上关系的幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
4
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
例3 设 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} ，则 R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF
5
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
6
定理
（ 1）
设R, S, T均为A上二元关系， 那么
1 0 M IA 0 0 1 1 M A A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 M 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 ML A 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
12
某关系R的关系图为：
1 2 3 Biblioteka 4 6 a b c d则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
13
思考： 写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、 空关 系、 全域关系和小于关系的关系矩阵。 答案：分别为：
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
11
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
21
Rs+(t–s)q+r = Rs+r,
例 设R A A, 化简R2003的指数。 (1)已知 R3 = R5； (2) 已知 R7 = R15。 解 (1) s = 3, t = 5, n = 2003, n s = 2000 = 1000 2 ts = 1000 1 + 0, 因此, q = 1000, r = 0, R2003 = R3+21000+0 = R3+0
3 2
9
四、幂运算的性质
定理 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则
(1) Rm∘Rn=Rm+n
(2) (Rm)n=Rmn
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关系运算的矩阵表示 关系矩阵（matrix of relation）。 设R A×B， A=｛a1, a2, …, am｝, B=｛b1, b2, …, bn｝， 那么R的关系矩阵 MR 为一 m×n 矩阵，它的第 i , j 分量 rij 只 取值0或1， 而
0 1 M 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 M2 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
即ranR = { y | x (<x,y>R) }。称domR ranR为R的域，记
为fldR 。即fldR = domR ranR 。 例1 设A={1，2，3，4}， R1是A上的二元关系，当a,b∈ A， 且a<b 时， (a,b) ∈ R1 , 求R和它的前域，值域和域。
解：根据题意R1 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
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幂的求法（续）
同理，R0=IA, R3和R4的矩阵分别是：
1 0 M0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 M3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 , M 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
3
合成运算的图示方法
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 求R1， R∘S ， S∘R 。 利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
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在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布尔运算, 它只涉及数字0和1。
布尔加法（∨ ）：
0+0=0
0+1=1+0=1+1=1
布尔乘法（ ∧ ）：
1 ·1 = 1
0 ·1 = 1 ·0 = 0 ·0 = 0
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五、幂的求法
例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
20
(2) Rs+(t–s)q+r = Rs+r, 其中q, rN; (3) 令S = {R0, R1, …, Rt–1}, 则对于任意nN, 均 有RnS。(s<t) 证明 若n≤t – 1, 结论显然成立。 设n≥t, 则n>s, 因而存在q, rN, 使得 n – s = (t – s)q + r (0≤r≤t – s –1) 即 n = s + (t – s)q + r Rn = Rs+(t–s)q+r = Rs+r (2) 而s + r≤s + t – s – 1= t –1, 所以 Rn = Rs+r S。▎