解三角形应用举例 (共33张PPT)

—[通· 一类]—
2． (2017· 湖北省七市(州)协作体联考)如图， 为了估测某塔的 高度，在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处测得塔 顶 C 在西偏北 20° 的方向上，仰角为 60° ；在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40° 的方向上，仰角为 30° .若 A，B 两点相距 130 m，则 塔的高度 CD＝________m.
二、必明 1●个易误点 易混淆方位角与方向角概念： 方位角是指北方向与目标方向 线按顺时针之间的夹角， 而方向角是正北或正南方向线与目标方 向线所成的锐角．
考向一 测量距离问题[自主练透型]
[例 1] 如图所示，A，B 两点在一条河的两岸，测量者在 A 的同侧，且 B 点不可到达，要测出 AB 的距离，其方法在 A 所在 的岸边选定一点 C，可以测出 AC 的距离 m，再借助仪器，测出 ∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可求出 AB.若测出 AC＝60 m，∠BAC＝75° ，∠BCA＝45° ，则 A，B 两 点间的距离为________m.
—[通· 一类]—
3．如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救． 信息中心立即把 消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船 朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos θ 的值．
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120° ，由 余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB· AC· cos 120° ＝2 800⇒BC＝ 20 7. AB BC AB 由正弦定理， 得 ＝ ⇒sin∠ACB＝BC· sin∠ sin∠ACB sin∠BAC 21 BAC＝ 7 . 2 7 由∠BAC＝120° ，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝ 7 . 由 θ＝∠ACB＋30° ，得 cos θ＝cos(∠ACB＋30° ) 21 ＝cos∠ACB cos 30° －sin∠ACBsin 30° ＝ 14 .
解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60° ＝280 000. ∴AB＝200 7(m)． 即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.
考向二 测量高度问题[互动讲练型] [例 2] (2015· 湖北卷)一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上， 行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰 角为 30° ，则此山的高度 CD＝__________m.
解析：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt△ABC 中，由 ∠ACB＝45° 得 BC＝x.在 Rt△ABD 中， ∠ADB＝30° ， 则 BD＝ 3 x. 在△BDC 中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC· CD· cos 120° ， 即( 3x)2＝x2＋402－2· x· 40· cos 120° ， 即得 x＝40，所以电视塔高为 40 m. 答案：40
[知识重温] 一、必记 4●个知识点 1．仰角和俯角
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线①______ 上方 时叫仰角，目标视线在水平视 线②______ 下方 时叫俯角．(如图所示)
2．方位角 一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角， 如方位角 北偏东 45° 45° ，是指③__________ ，即东北方向． 3．坡角 坡面与④水平面 ______的夹角．(如图所示) 4．坡比 h 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝ l ＝tanα(i 为坡比， α 为坡角)．
—[通· 一类]— 1.
如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法 先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 α，再分别测出 AC，BC 的 长 b ， a ， 则 可 求 出 A ， B 两 点 间 的 距 离 ． 即 AB ＝ a2＋b2－2abcos α.若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝ 60° ，试计算 AB 的长．
[解析] (1)依题意知，∠BAC＝120° ，AB＝12，AC＝10×2 ＝20，∠BCA＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· AC· cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120° ＝784， 解得 BC＝28. BC 所以渔船甲的速度为 2 ＝14 海里/时．
解析：由已知∠ACB＝180° －40° －60° ＝80° ， 又 AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50° ，60° －50° ＝10° . ∴灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10° . 答案：北偏西 10°
6．要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得 塔顶 A 的仰角是 45° ，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30° ，并测得 水平面上的∠ BCD ＝ 120° ， CD ＝ 40 m ，则电视塔的高度为 ________ m.
(2)在△ABC 中，因为 AB＝12，∠BAC＝120° ，BC＝28，∠ BCA＝α， AB BC 由正弦定理，得sin α＝sin 120° ， 3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α＝ ＝ 28 ＝ 14 . BC
—[悟· 技法]— 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意 图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、 余弦定理的“联袂”使用．
—[悟· 技法]— 求解高度问题的注意事项 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角 都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图，转 化为解三角形问题． (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解 问题的答案，注意方程思想的运用．
2．如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯 塔 A 在观察站南偏西 40° ，灯塔 B 在观察站南偏东 60° ，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A．北偏东 10° B．北偏西 10° C．南偏东 80° D．南偏西 80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40° ，又∠BCD＝60° ， 所以∠CBD＝30° ，所以∠DBA＝10° ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏 西 80° . 答案：D
[ 解析 ] 依题意，知∠ BAC ＝ 30° ，∠ ABC ＝ 105° . 在△ ABC 中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180° ，所以∠ACB＝45° .因为 AB BC AB＝600 m，由正弦定理可得 sin 45° ＝sin 30° ，即 BC＝300 2 m．在 Rt△BCD 中，因为∠CBD＝30° ，BC＝300 2 m，所以 tan CD 30° ＝ BC ，所以 CD＝100 6 m. [答案] 100 6
[解析] ∠ABC＝180° －75° －45° ＝60° ， AB AC 所以由正弦定理得，sin C＝sin B， AC· sin C 60×sin 45° ∴AB＝ sin B ＝ sin 60° ＝20 6(m)． 即 A，B 两点间的距离为 20 6 m. [答案] 20 6
—[悟· 技法]— 测量问题中距离问题的解法 (1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求 某个三角形的边长问题． (2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解．
解析：在△BCD 中，∠CBD＝180° －15° －30° ＝135° . 30 BC 由正弦定理得sin 30° ＝sin 135° ，解得 BC＝15 2(m)． 在 Rt△ABC 中， AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6(m)． 答案：D
5．如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与 海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° ，灯塔 B 在观察站 C 的南偏 东 60° ， 则灯塔 A 在灯塔 B 的________方向．
3．一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的 南偏西 60° ，另一灯塔在船的南偏西 75° ，则这艘船的速度是每 小时( ) A．5 海里 B．5 3海里 C．10 海里 D．10 3海里
解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60° ，∠BAD＝75° ，所 以∠CAD＝∠CDA＝15° ，从而 CD＝CA＝10(海里)， 在 Rt△ABC 中，得 AB＝5(海里)， 5 于是这艘船的速度是0.5＝10(海里/时) 答案：C
4．如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一 水平面内的两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15° ，∠BDC＝30° ， CD＝30 m， 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ， 则塔高 AB 等于 ( ) A．5 6 m B．15 3 m C．5 2 m D．15 6 m
h 解析：分析题意可知，设 CD＝h，则 AD＝ ，BD＝ 3h， 3 在△ADB 中， ∠ADB＝180° －20° －40° ＝120° ， ∴由余弦定理 AB2 2 h ＝ BD2 ＋ AD2 － 2BD· AD· cos 120° ，可得 1302 ＝ 3h2 ＋ 3 － 2· 3 1 h h· · (－2)，解得 h＝10 39，故塔的高度为 10 39 m. 3 答案：10 39
[小题热身] 1．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧， 选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝ 105° ，则 A，B 两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 m 25 2 C．25 2 m D. 2 m
解析：由正弦定理得 2 AC· sin∠ACB 50× 2 AB＝ ＝ 1 ＝50Biblioteka 2(m)． sin B 2 答案：A