高中数学选修2-1_全部课件最新ppt课件

? 对于一些条件与结论不明显的命题 , 一般采取先 添补一些命题中省略的词句 , 确定条件与结论。
? 如命题: “垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? 写成“若 p则q”的形式为：
若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平 面平行。
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 若整数a能被2整除，则a是偶数； 2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出
矛盾。 显而易见的矛盾 (如和已知条件矛盾 ).
3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确。
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手 .
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有相 同的真假性，要证原命题为真命题，可以 证明它的逆否命题为真命题。
3）若 f (x)不是正弦函数，则 f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则 f (x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间的关
系吗?
课堂小结
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p 则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
（6）若 x? R x，2 ?则4x ? 7 ? 0.
（7）x+3>0. (1)(3)(7) 不是命题，(2)(4)(5)(6) 是命题。
“若p则q”形式的命题
命题“若整数 a是素数，则 a是奇
数。”具有“若 p则q”的形p式。
q
?通常, 我们把这种形式的命题中的 p叫做命题的条 件,q 叫做命题的结论。
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错）
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2. 四种命题真假的个数可能为（
）个。
答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
的单调性q，3 ?得(2 ? p)3,
即 q3 ? 8 ? 12 p ?
q3
?
8?
12
p
?
6
p2
?
6 ???(
p
?
1)2
?
1 3
? ??
,
所以 p3 ? q3 ? 2. 因此 p3 ? q3 ? 2.
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
可能出现矛盾四种情况：
（假） （假） （假） （假）
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1, 则方程 x2 ? 2x ? q ? 0
有实根。
（2）若amb=?0,0则a=n0或? b0=0. m ? n ? 0
（3）若 则
x2
?
y2
?
0
或 。
，
（4）若
，则x,y 全为零。
即证明“若p ? q ? 2,则p2 ? q2 ? 2.”为真命题
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p ? q ? 2 ,
则 ( p ? q)2 ? 4 , ∴ p2 ? q2 ? 2 pq ? 4 ,
∵ p2 ? q2 ≥ 2 pq ,
假设原命题结 论的反面成立
看能否推出原命题 条件的反面成立
? 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是_逆__否__命__题__。_
原命题, 逆命题, 否命题, 逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若 p, ? 逆命题: 若 q, ? 否命题: 若┐ p, ?逆否命题: 若┐ q,
则q 则p 则┐ q 则┐ p
？ 观察与思考
1）若 f (x)是正弦函数，则 f (x)是周期函数。 2）若 f (x)是周期函数，则 f (x)是正弦函数。
假
U
U
Help
四种命题的真假, 有且只有下面四种情况 :
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
几条结论:
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但 其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。 但其原命题、逆否命题不一定为真。
(4) 若平面上两条直线不相交 ,
则这两条直线平行 . （是，真） (5) ( ? 2) 2 ? ? 2 （是，假）
(6)x>15. （不是命题）
练习 判断下列语句是否是命题 .
（1）求证 3 是无理数。
（2） x2 ? 2x ? 1 ? 0.
（3）你是高二学生吗？ （4）并非所有的人都喜欢苹果。 （5）一个正整数不是质数就是合数。
增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给 出，不能把大前提也放在命题的条件部分 内．
2、把下列命题改写成“若p, 则q”的形式， 并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。
(1) 若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式, 也可写成“如果p, 那么q” “只要 p,
就有q”等形式。
?其中p和q可以是命题也可以不是命题 .
?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易 辨别, 缺点是太格式化且不灵活 .
“若p则q”形式的命题的书写
? 了解命题表示的判断 , 明确与判断有关的条件与 结论。
反证法：
? 要证明某一结论 A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错误 的，从而断定A是正确的。
? 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。推理过程中一定要用到才行
3) 这里景色多美啊！ 不是（感叹句）
4) -2 不是整数。
是（否定陈述句）
5) 4>3。
是（肯定陈述句）
6) x>4。
不是（开语句）
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。
(1) 空集是任何集合的子集. （是，真） (2) 若整数a是素数, 则a是奇数（. 是，假） (3) 指数函数是增函数吗?（不是命题）
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题 为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种 很好 的尝试 ,它往往具有 正难则反 ,出奇制胜 的效果 .
──它其实是反证法的一种特殊表现 :从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 (如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
? 与题设矛盾； ? 与反设矛盾； ? 与公理、定理矛盾； ? 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a ? b .
证明: 假设 a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a< b? a a? b a a b ? b b ? a<b
（1） 12>5; 12的约数 ;
（2） 3 是
（3） 0.5 是整数;
（4）对顶角相
（?等5）用叫; 语做3 言命能、题被符。2号整或除式; 子表达的，可以判（断6）真假若的x2陈=1述, 则句
?x=判1.断为真的语句叫做真命题。
? 判断为假的语句叫做假命题。 ? 理解： 1 ）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准
则ab=0。 ( 真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。 ( 假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
( 假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
( 真)
3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ A∪ B。 假
逆命题： x∈
U
U
A∪ B ，x∈A∪B 。
假
U
U
否命题： x? A∪B，x ? A∪ B。
假
U
U
逆否命题： x ? A∪ B ，x? A∪B 。
1.1.1 命题
思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? ? （1） 12>5; ? （2） 3 是12的约数; 语句都是陈述句， ? （3） 0.5 是整数; ? （4）对顶角相等; 并且可以判断真假。 ? （5）3 能被2整除; ? （6）若x2=1, 则x=1.
命题的概念
(3) 垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1、将命题“ a>0时，函数 y=ax+b 的值随x值的增加 而增加”改写成“ p则q”的形式，并判断命题的真 假。 解答:a>0 时，若x增加，则函数 y=ax+b 的值也随之
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
( 两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没有关 系).
练一练
1. 判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对）
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符 合“是陈述句”和“可以判断真假 ” 这两个条件。