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即证明“若p ? q ? 2,则p2 ? q2 ? 2.”为真命题
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p ? q ? 2 ,
则 ( p ? q)2 ? 4 , ∴ p2 ? q2 ? 2 pq ? 4 ,
∵ p2 ? q2 ≥ 2 pq ,
假设原命题结 论的反面成立
看能否推出原命题 条件的反面成立
必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。 2 ）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句
的真假。
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？
1) 7是23的约数吗 ?
疑问句
2) X>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
开语句 祈使句
增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给 出，不能把大前提也放在命题的条件部分 内．
2、把下列命题改写成“若p, 则q”的形式， 并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。
(1) 若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
? 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是_逆__否__命__题__。_
原命题, 逆命题, 否命题, 逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若 p, ? 逆命题: 若 q, ? 否命题: 若┐ p, ?逆否命题: 若┐ q,
则q 则p 则┐ q 则┐ p
？ 观察与思考
1）若 f (x)是正弦函数，则 f (x)是周期函数。 2）若 f (x)是周期函数，则 f (x)是正弦函数。
1.1.1 命题
思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? ? （1） 12>5; ? （2） 3 是12的约数; 语句都是陈述句， ? （3） 0.5 是整数; ? （4）对顶角相等; 并且可以判断真假。 ? （5）3 能被2整除; ? （6）若x2=1, 则x=1.
命题的概念
? 对于一些条件与结论不明显的命题 , 一般采取先 添补一些命题中省略的词句 , 确定条件与结论。
? 如命题: “垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? 写成“若 p则q”的形式为：
若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平 面平行。
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 若整数a能被2整除，则a是偶数； 2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
则ab=0。 ( 真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。 ( 假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
( 假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
( 真)
3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ A∪ B。 假
逆命题： x∈
U
U
A∪ B ，x∈A∪B 。
假
U
U
否命题： x? A∪B，x ? A∪ B。
假
U
U
逆否命题： x ? A∪ B ，x? A∪B 。
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出
矛盾。 显而易见的矛盾 (如和已知条件矛盾 ).
3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确。
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手 .
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有相 同的真假性，要证原命题为真命题，可以 证明它的逆否命题为真命题。
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。
2)
写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，
则它的对角线互相垂直且平分。
条件p：四边形是菱形，
结论q：四边形的对角线互相垂直且平分
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形 式, 并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
假
U
U
Help
四种命题的真假, 有且只有下面四种情况 :
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
几条结论:
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但 其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。 但其原命题、逆否命题不一定为真。
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题 为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种 很好 的尝试 ,它往往具有 正难则反 ,出奇制胜 的效果 .
──它其实是反证法的一种特殊表现 :从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 (如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
( 两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没有关 系).
练一练
1. 判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对）
(2) 若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真 命题。 (3) 若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。 这是假命题。
命题及其关系
1.1.2 四种命题
回顾
? 交换原命题的条件和结论，所得的命题是 _逆__命__题__。_
? 同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是__否__命__题__。
（1） 12>5; 12的约数 ;
（2） 3 是
（3） 0.5 是整数;
（4）对顶角相
（?等5）用叫; 语做3 言命能、题被符。2号整或除式; 子表达的，可以判（断6）真假若的x2陈=1述, 则句
?x=判1.断为真的语句叫做真命题。
? 判断为假的语句叫做假命题。 ? 理解： 1 ）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准
1.1.1-1.1.2 命 题与四种命题
高二数学 选修2-1
常用逻辑用语
第一章
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天， 他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性 古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明， 一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子 让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可 掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我 可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没 趣。
? 与题设矛盾； ? 与反设矛盾； ? 与公理、定理矛盾； ? 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a ? b .
证明: 假设 a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a< b? a a? b a a b ? b b ? a<b
你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
常用逻辑用语
“数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学 . 逻辑用语是我们必不可少的工具 . 通过学习和使用常用逻辑用语 , 掌握常用逻
辑用语的用法 ,, 纠正出现的逻辑错误 , 体会运用 常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性 .
命题及其关系
3) 这里景色多美啊！ 不是（感叹句）
4) -2 Biblioteka Baidu是整数。
是（否定陈述句）
5) 4>3。
是（肯定陈述句）
6) x>4。
不是（开语句）
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。
(1) 空集是任何集合的子集. （是，真） (2) 若整数a是素数, 则a是奇数（. 是，假） (3) 指数函数是增函数吗?（不是命题）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错）
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2. 四种命题真假的个数可能为（
）个。
答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
∴ 2( p2 ? q2 ) ? 4 , ∴ p2 ? q2 ? 2 , 尝试成功
∴ p2 ? q2 ? 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题 ,从而原命
题也为真命题.
变式练习
1、已知 p3 ? q3 ? 2
p。?求q证? ：2.
解：假设 p+q>2, 那么q>2-p,
根据幂函数 y ? x3
看下面2.的四种例命题子的：真假
1）原命题：若x=2或x=3,
则x2-5x+6=0 。 ( 真)
逆命题：若x2-5x+6=0,
则x=2或x=3。 ( 真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则 x2- 5x+6≠0 。 ( 真)
逆否命题：若x2- 5x+6≠0，则x≠2且x≠3。
( 真)
2）原命题：若a=0,
(4) 若平面上两条直线不相交 ,
则这两条直线平行 . （是，真） (5) ( ? 2) 2 ? ? 2 （是，假）
(6)x>15. （不是命题）
练习 判断下列语句是否是命题 .
（1）求证 3 是无理数。
（2） x2 ? 2x ? 1 ? 0.
（3）你是高二学生吗？ （4）并非所有的人都喜欢苹果。 （5）一个正整数不是质数就是合数。
（6）若 x? R x，2 ?则4x ? 7 ? 0.
（7）x+3>0. (1)(3)(7) 不是命题，(2)(4)(5)(6) 是命题。
“若p则q”形式的命题
命题“若整数 a是素数，则 a是奇
数。”具有“若 p则q”的形p式。
q
?通常, 我们把这种形式的命题中的 p叫做命题的条 件,q 叫做命题的结论。
(3) 垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1、将命题“ a>0时，函数 y=ax+b 的值随x值的增加 而增加”改写成“ p则q”的形式，并判断命题的真 假。 解答:a>0 时，若x增加，则函数 y=ax+b 的值也随之
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符 合“是陈述句”和“可以判断真假 ” 这两个条件。
有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法 确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研 究。
看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？
不是（疑问句）
2) 你是不是作业没交？ 不是（疑问句）
3）若 f (x)不是正弦函数，则 f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则 f (x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间的关
系吗?
课堂小结
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p 则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
a= b ? a=b
这些条件都与已知a ? b ? 0 矛盾
所以原命题 a ? b 成立
练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不 是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
证明：假设弦AB 、CD被P平分，
∵P点一定不是圆心 O，连接OP， 根据垂径定理的推论，有
?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式, 也可写成“如果p, 那么q” “只要 p,
就有q”等形式。
?其中p和q可以是命题也可以不是命题 .
?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易 辨别, 缺点是太格式化且不灵活 .
“若p则q”形式的命题的书写
? 了解命题表示的判断 , 明确与判断有关的条件与 结论。
反证法：
? 要证明某一结论 A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错误 的，从而断定A是正确的。
? 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。推理过程中一定要用到才行
（假） （假） （假） （假）
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1, 则方程 x2 ? 2x ? q ? 0
有实根。
（2）若amb=?0,0则a=n0或? b0=0. m ? n ? 0
（3）若 则
x2
?
y2
?
0
或 。
，
（4）若
，则x,y 全为零。
的单调性q，3 ?得(2 ? p)3,
即 q3 ? 8 ? 12 p ? 6 p2 ? p3,
p3
?
q3
?
8?
12
p
?
6
p2
?
6 ???(
p
?
1)2
?
1 3
? ??
,
所以 p3 ? q3 ? 2. 因此 p3 ? q3 ? 2.
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
可能出现矛盾四种情况：