2021-2022年高三上学期期中数学文科试卷及答案
2021-2022学年山西省运城市高三(上)期中数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年山西省运城市高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x −1)(x −2)<2}，B ={x|x +a +1>0}，且A ∩B =(2,3)，则实数a 的值为( )A. −1B. 1C. −3D. 32. 下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是( )A. f(x)=|lnx|B. f(x)=x −1xC. f(x)=2|x|D. f(x)=x 123. 函数f(x)=cosxln π−xπ+x 的图象大致为( )A.B.C.D.4. 若a =(√5)25，b =e 15，c =log 5e ，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c5. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y ≥−12x −y ≤4，则z =y+1x 的取值范围是( )A. [0,2]B. [1,2]C. [12,1]D. [12,2]6. △ABC 中三边上的高依次为113，15，111，则△ABC 为( )．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不存在这样的三角形7. 数列{a n }中，a 1=2，a m+n =a m a n .若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k =( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是( )A. π6B. π4C. π3D. π29. 已知x 1=π3，x 2=5π6是函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0 , 0<φ<π2)相邻的两个零点，若函数g(x)=|f(x)−12|在[−π4,m]上的最大值为1，则m 的取值范围是( )A. (−π4,π3]B. (−π4,π2]C. (−π4,5π12]D. (−π4,7π12]10. 数列{a n }前n 项和是S n ，且满足a 1=3，a 2k =8a 2k−1，a 2k+1=12a 2k (k ∈N ∗)，则S 50的值为( )A. 3(825−1)B. 9(825−1)C. 3(425−1)D. 9(425−1)11. 在△ABC 中，若2sin 2A +cosB =1，则ABBC +2BC AC的取值范围为( )A. (1,4)B. (2,4)C. [1,4)D. (2,4]12. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)−f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m −2021)>(m −2021)f(1)，则实数m 的取值( )A. (0,2021)B. (0,2022)C. (2021,+∞)D. (2021,2022)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，若AB =2，AC =√3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =7，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______． 14. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,1)，β∈(0,π2)，且cos(α+β)=45，则sinβ=______． 15. 若正数a ，b 满足a +b +2=ab ，则3a−1+7b−1的最小值是______ ．16. 如图，正四棱锥P −ABCD 的每个顶点都在球M 的球面上，侧面PAB 是等边三角形.若半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球M 的体积的比值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象经过点M(π3,12 )，当x=x1时，f(x)取最大值1，当x=x2时，f(x)取最小值，且|x1−x2|的最小值为π．(1)求f(x)的解析式；(2)设f(α)=2√55，f(β+π2)=−√1010，α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，求角α+β的大小．18.下列关于星星的图案构成一个数列{a n},a n(n∈N∗)对应图中星星的个数(1)写出a5，a6的值及数列{a n}的通项公式；(2)求出数列{1a n}的前n项和S n；(3)若b n=2n2−9n−112n，对于(2)中的S n，有c n=S n⋅b n，求数列{|c n|}的前n项和T n．19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知ccosA+(a+2b)cosC=0．(1)求∠C的大小；(2)△ABC的面积等于4√3，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，PD=PB=AB=2，PA=√6,∠BCD=60°．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)点M在棱CD上，若体积V M−PAD：V P−ABCD=1：4，求①M点的位置；②PM与平面PBD所成角的正切值．21.已知函数f(x)=(ax2+x)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．(1)当a<0时，解不等式f(x)>0；(2)当a=0时，求正整数k的值，使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解；(3)若f(x)在[−1,1]上是单调增函数，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosαy=√3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l与曲线C交于M，N两点，点P(2,1)，求|PM|+|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为m，若a≥0，b≥0，且a+b=m，证明：1a+2+1b+1≥23．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，B={x|x>−a−1}，A∩B=(2,3)，∴−a−1=2，解得a=−3．故选：C．可求出集合A，B，然后根据A∩B=(2,3)即可求出a的值．本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项A错误；对于B，函数f(x)为奇函数，故选项B错误；对于C，函数是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，故选项C正确；对于D，函数的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项D错误．故选：C．利用基本初等函数的性质，依次判断四个选项即可．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C>0，可得−π<x<π，故定义域为(−π,π)，【解析】解：由π−xπ+x)为奇函数，而y=cosx是偶函数，又∵y=ln(π−xπ+x∴函数f(x)=cosxlnπ−x是奇函数，π+x排除A，D选项；当x=π4时，cosπ4>0，而ln(π−π4π+π4)=ln35<0，则B选项不满足题意；故选：C．根据奇偶性和特殊点即可判断出图象；本题考查了图象的识别和运算能力，属于基础题；图象的识别可从以下几个方面入手：①由函数的定义域判断函数图象的左右位置，由函数的值域判断函数图象的上下位置；②由函数的单调性判断函数图象的变化趋势；③由函数的奇偶性判断函数图象的对称性，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；④由函数在特殊点处的值排除不符合要求的图象．4.【答案】A【解析】解：∵a=(√5)25=515，b=e15，且函数y=x15在(0,+∞)上是增函数，∴1<b<a，又∵c=log5e<1，∴c<b<a，故选：A．化简a=(√5)25=515，利用函数y=x15在(0,+∞)上是增函数判断得1<b<a，又由c= log5e<1得出结果．本题考查了幂函数的单调性的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由约束条件{x +y ≥2x −2y ≥−12x −y ≤4作出可行域如图，z =y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点(0,−1)连线的斜率，A(2,0)，C(1,1)，由图可知，最小值为−1−2=12，最大值为−1−10−1=2． ∴z =y+1x的取值范围是[12,2]．故选：D ．由约束条件作出可行域，再由z =y+1x的几何意义，即可行域内的动点与定点(0,−1)连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】利用已知条件结合三角形的面积推出三边关系，然后利用余弦定理判断求解即可．本题是完全原创；原创的理由：①对三角形形状的判断，利用到面积公式、余弦定理等知识进行解决；②考查考生分析问题的能力． 【解答】解：设△ABC 三边分别为a ，b ，c ，S △ABC =12a ⋅113=12b ⋅111=12c ⋅15， 所以a13=b11=c5，设a =13k ，b =11k ，c =5k(k >0)．因为11k +5k >13k ，故能构成三角形，取大角A ，cosA =b 2+c 2−a 22bc=112+52−1322×11×5<0，所以A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．故选C ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n 项和的求法． 在已知数列递推式中，取m =1，可得a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式列式求解． 【解答】解：由a 1=2，且a m+n =a m a n ， 取m =1，得a n+1=a 1a n =2a n ， ∴a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a k+1=2⋅2k =2k+1， ∴a k+1+a k+2+⋯+a k+10=2k+1(1−210)1−2=211+k −2k+1=215−25，∴k +1=5，即k =4． 故选：C ．8.【答案】C【解析】解：连接AC ，AD 1，∵P ，Q 分别为A 1D ，CD 1的中点，∴PQ//AC//A 1C 1， ∴∠A 1NM 或其补角为异面直线MN 与PQ 所成角， 设正方体的棱长为2，在△A 1MN 中，A 1M =12A 1B =√2，A 1N =12A 1C 1=√2，MN =12BC 1=√2， ∴△A 1MN 为等边三角形， ∴∠A 1NM =π3，∴异面直线MN 与PQ 所成角的大小为π3．故选：C．连接AC，AD1，易知PQ//AC//A1C1，故∠A1NM或其补角即为所求，再证得△A1MN为等边三角形，得解．本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可得T=(5π6−π3)×2=π，所以ω=2πT=2，则f(x)=sin(2x+φ)，由题意知2×π3+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ−2π3，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x+π3)，因为函数g(x)在[−π4,m]上的最大值为1，且当x∈[−π4,m]时，−π6≤2x+π3≤2m+π3，所以−π6<2m+π3≤7π6，∴−π4<m≤5π12．故选：C．利用三角函数的性质得到ω=2，再根据已知零点得到φ=π3，然后根据三角函数的性质得到关于m的不等式，即可得解．本题考查函数的零点，最值问题，解题中注意逻辑思维能力，运算求解能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：数列{a n}前n项和是S n，且满足a1=3，a2k=8a2k−1，a2k+1=12a2k(k∈N∗)，∴a2k+1=12×8a2k−1=4a2k−1，可得数列{a2k−1}成等比数列，首项为3，公比为4．同理可得：a2k+2=4a2k，又a2=8a1=24，可得数列{a2k}成等比数列，首项为24，公比为4．则S50=(a1+a3+⋯…+a49)+(a2+a4+⋯…+a50)=3(425−1)4−1+24(425−1)4−1=9(425−1)．故选：D．数列{a n}前n项和是S n，且满足a1=3，a2k=8a2k−1，a2k+1=12a2k(k∈N∗)，可得a2k+1=12×8a2k−1=4a2k−1，可得数列{a2k−1}成等比数列．同理可得：a2k+2=4a2k，数列{a2k}成等比数列，通过分组利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为2sin2A+cosB=1，所以cosB=1−2sin2A=cos2A，因为A、B∈(0,π)，所以B=2A，则由正弦定理可得ABBC +2BCAC=sinCsinA+2sinAsinB=sin(π−3A)sinA+2sinA2sinAcosA=sin3AsinA+1cosA=sinAcos2A+sin2AcosAsinA +1cosA=4cos2A+1cosA−1，因为C=π−3A∈(0,π)，所以A∈(0,π3)，所以cosA∈(12,1)，设cosA=t，则t∈(12,1)，所以ABBC +2BCAC=4t2+1t−1，设f(t)=4t2+1t −1，t∈(12,1)，则f′(t)=8t−1t2=8t3−1t2>0，所以f(t)在(12,1)上单调递增，所以f(12)<f(t)<f(1)，即2<f(t)<4，所以ABBC +2BCAC的取值范围为(2,4)．故选：B．由已知利用二倍角公式可得cosB=cos2A，结合A，B的范围可得B=2A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得ABBC +2BCAC=4cos2A+1cosA−1，设cosA=t，则t∈(1 2,1)，可得ABBC+2BCAC=4t2+1t−1，设f(t)=4t2+1t−1，t∈(12,1)，进而利用函数的单调性可求其取值范围．本题考查正弦定理的应用，考查三角函数取值范围，考查了利用函数的单调性求函数的值域，体现了数学探索、理性思维学科素养，通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：令ℎ(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵xf′(x)−f(x)<0，∴ℎ′(x)<0，∴函数ℎ(x)在(0,+∞)递减，∵f(m−2021)>(m−2021)f(1)，∴m−2021>0，m>2021，∴f(m−2021)m−2021>f(1)1，即ℎ(m−2021)>ℎ(1)，故m−2021<1，解得：m<2022，故2021<m<2022，故选：D．令ℎ(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．13.【答案】5π6【解析】解：因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=4−2√3cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=7， 解得cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=−√32， 因为0<cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ><π， 所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=5π6，故答案为：5π6．选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面向量的一组基底，由条件并利用向量的数量积可求得向量的夹角． 本题考查了向量的线性表示，向量的夹角，属于基础题．14.【答案】2√525【解析】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,1)， ∴sinα=√4+1=√55，cosα=√4+1=2√55，α∈(0,π6).∵β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,2π3)，由cos(α+β)=45，可得sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=35， 则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=35×2√55−45×√55=2√525， 故答案为：2√525． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的正弦、余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式、求得sin(α+β)，根据两角差正弦公式求得sinβ=sin[(α+β)−α]的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．15.【答案】2√7【解析】解：因为正数a ，b 满足a +b +2=ab ， 所以a =b+2b−1>0， 所以b >1，则3a−1+7b−1=3b+2b−1−1+7b−1=b −1+7b−1≥2√7，当且仅当b −1=7b−1，即b =1+√7时取等号， 故则3a−1+7b−1的最小值2√7． 故答案为：2√7．由已知得，a =b+2b−1>0，从而可得b >1，然后把a =b+2b−1代入所求式子，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，属于基础题．16.【答案】√318【解析】解：如图，连接PO ，BD ，取CD 的中点E ，连接PE ，OE ，过O 作OH ⊥PE 于H.易知PO ⊥底面ABCD ，设AB =4，则BD =√BA 2+BC 2=4√2，BO =12BD =2√2，PO =√BP 2−BO 2=2√2．设球M 的半径为R ，半球O 的半径为R 0.则R =2√2.易知R 0=OH.则R 0R =OH PO=OE PE =1√3，故V 半球O V 球M=12×4πR 0334πR 33=12(R 0R )3=√318．故答案为：√318．连接PO ，BD ，取CD 的中点E ，连接PE ，OE ，过O 作OH ⊥PE 于H.说明PO ⊥底面ABCD ，设AB =4，求出PO ，设球M 的半径为R ，半球O 的半径为R 0.则R =2√2.然后转化求解半球O 的体积与球M 的体积的比值．本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)依题意有A =1，最大值与最小值间的横坐标最小距离为π，则T2=π，T =2π，ω=1，则f(x)=sin(x +φ)，将点M(π3,12)代入得sin(π3+φ)=12，而0<φ<π， ∴π3+φ=56π，∴φ=π2， 故f(x)=sin(x +π2)=cosx ； (2)f(α)=cosα=2√55，f(β+π2)=−sinβ=−√1010⇒sinβ=√1010， α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，∴sinα=√55，cosβ=3√1010，∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=2√55×3√1010−√55×√1010=√22， α+β∈(0,π)，∴α+β=π4．【解析】(1)利用最高点求出A ，再根据最值间横坐标的差的绝对值求出周期，进而求出ω，再结合最值点求出φ得值；(2)根据已知求出α，β的三角函数值，然后利用两角和与差的三角函数公式求解即可． 本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．18.【答案】解：(1)从图中可观察星星的构成规律，n =1时，有1个； n =2时，有1+2=3个； n =3时，有1+2+3=6个； n =4时，有1+2+3+4=10个； ∴a 5=1+2+3+4+5=15， a 6=1+2+3+4+5+6=21． a n =1+2+3+4+⋯+n =n(n+1)2．(2)∵a n =n(n+1)2，∴1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴{1a n}的前n 项和S n =2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1． (3)∵b n =2n 2−9n−112n ，S n =2nn+1，∴c n =S n ⋅b n =2nn+1×2n 2−9n−112n=2n −11，∴数列{|c n |}的前n 项和：T n =|2−11|+|4−11|+|6−11|+|8−11|+|10−11|+|12−11|+|14−11|+⋯+|2n −11|=9+7+5+3+1+1+3+⋯+(2n −11) =−a 1−a 2−a 3−a 4−a 5+a 6+a 7+⋯+a n ={−S n ,0<n ≤5S n −2S 5,n ≥6={−[−9n +n(n−1)2×2],0<n ≤5−9n +n(n−1)2d +50,n ≥6 ={10n −n 2,0<n ≤5n 2−10n +50,n ≥6．【解析】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意观察法、裂项求和法、分类讨论法的灵活运用．(1)由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+⋯+n ；得出数列第n 项，即通项公式． (2)由a n =n(n+1)2，知1a n=2(1n −1n+1)，利用裂项求和法能求出{1a n}的前n 项和S n ．(3)由b n =2n 2−9n−112n，S n =2n n+1，知c n =S n ⋅b n =2n n+1×2n 2−9n−112n=2n −11，由此能求出数列{|c n |}的前n 项和．19.【答案】解：(1)由ccosA +(a +2b)cosC =0，得sinCcosA +(sinA +2sinB)cosC =0， 即sin(A +C)=−2sinBcosC ， 从而cosC =−12， 而C ∈(0°,180°)， 可得C =120°．(2)∵S =12absin120°=4√3， ∴ab =16，∵AD 2=b 2+(a2)2−2×b ×a2×cos120°=b 2+(a2)2+ab 2≥2b ⋅a 2+ab 2=32ab =24，当且仅当b =12a ，即a =4√2,b =2√2时，等号成立， 此时AB 2=32+8−2×4√2×2√2×(−12)=56， 故AB =2√14．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC =−12，结合C ∈(0°,180°)，可得C 的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求ab =16，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】(本小题满分12分)证明：(1)∵PD =PB ，且O 为BD 中点，∴PO ⊥BD ． 在菱形ABCD 中，∵∠BCD =60°，AB =2，∴OA =√3，OB =1，又PB =2，∴PO =√3．∵PA =√6，∴PA 2=PO 2+OA 2，∴PO ⊥OA ． ∵BD ∩AO =O ，∴PO ⊥平面ABCD.(5分) (2)①∵V P−ABCD =13S 菱形ABCD ×PO =2， ∴V M−PAD =12，即13S △MAD ×PO =12， ∴DM =1，M 为CD 的中点．(7分) ②作MN//OC ，交BD 与点N ，连结PN ． ∵AC ⊥BD ，AC ⊥PO ，∴AC ⊥平面PBD ，∴MN ⊥平面PBD ，∠MPN 是MP 与平面PBD 所成的角． ∵MN =12OC =√32，PN =√PO 2+ON 2=√132， ∴tan∠MPN =MN PN=√3913． 故PM 与平面PBD 所成角的正切值为√3913.(12分)【解析】(1)推导出PO ⊥BD ，PO ⊥OA.由此能证明PO ⊥平面ABCD ．(2)①由V P−ABCD =13S 菱形ABCD ×PO =2，得V M−PAD =13S △MAD ×PO =12，由此能求出M 为CD 的中点．②作MN//OC ，交BD 与点N ，连结PN.推导出MN ⊥平面PBD ，∠MPN 是MP 与平面PBD 所成的角．由此能求出PM 与平面PBD 所成角的正切值．本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2+x >0，又因为a <0，所以不等式可化为x(x +1a )<0， 所以不等式f(x)>0的解集为(0,−1a ).(2)当a =0时，方程即为xe x =x +2，由于e x >0，所以x =0不是方程的解 所以原方程等价于e x −2x −1=0，令ℎ(x)=e x −2x −1， 因为ℎ′(x)=e x +2x 2>0对于x ∈(0,+∞)恒成立， 所以ℎ(x)在(0,+∞)内是单调增函数， 又ℎ(1)=e −3，ℎ(2)=e 2−2>0，所以方程f(x)=x +2有且只有1个实数根，在区间[1,2]， 所以正整数k 的值为 1．(3)f′(x)=(2ax +1)e x +(ax 2+x)e x =[ax 2+(2a +1)x +1]e x ，①当a =0时，f′(x)=(x +1)e x ，f′(x)≥0在[−1,1]上恒成立，当且仅当x =−1时取等号，故a =0符合要求；②当a ≠0时，令g(x)=ax 2+(2a +1)x +1，因为Δ=(2a +1)2−4a =4a 2+1>0， 所以g(x)=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，不妨设x 1>x 2， 因此f(x)有极大值又有极小值．若a >0，因为g(−1)⋅g(0)=−a <0，所以f(x)在(−1,1)内有极值点， 故f(x)在[−1,1]上不单调． 若a <0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[−1,1]上单调，因为g(0)=1>0， 必须满足{g(1)≥0g(−1)≥0即{3a +2≥0−a ≥0，所以−23≤a <0．综上可知，a 的取值范围是[−23,0].【解析】(1)根据指数函数值大于0恒成立，将不等式f(x)>0化为ax 2+x >0，结合a <0，可得不等式f(x)>0的解集；(2)当a =0时，方程即为xe x =x +2，即e x −2x −1=0，令ℎ(x)=e x −2x −1，利用导数法可判断出ℎ(x)的单调性，结合零点判定定理，可得正整数k 的值(3)求出函数f(x)的导函数的解析式，进而由f(x)在[−1,1]上是单调增函数，f′(x)≥0恒成立，对a 进行分类讨论后，可得a 的取值范围．本题考查的知识是利用导数求闭区间上函数的最值，函数的单调性与导数的关系，熟练掌握导数法在求函数单调性，最值，极值的方法是解答的关键．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα(α为参数)，消去参数α，可得C ：x 24+y 23=1；直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．即√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，所以l ：x −y −1=0；(Ⅱ)l ：{x =2+√22t y =1+√22t(t 为参数)，将其代入椭圆方程得72t 2+10√2t +4=0，M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，有t 1+t 2=−20√27,t 1t 2=87，所以|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=20√27．【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)消去参数得到普通方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化求解即可．(Ⅱ)参数方程代入椭圆方程得72t 2+10√2t +4=0，利用韦达定理以及参数的几何意义求解即可．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|=|x −4|+|x −1|={−2x +5,x ≤13,1<x <42x −5,x ≥4，则f(x)≤5等价于{x ≤1−2x +5≤5或{1<x <43≤5或{x ≥42x −5≤5，解得0≤x ≤1或1<x <4或4≤x ≤5． 综上，不等式f(x)≤5的解集为{x|0≤x ≤5}； 证明：(2)由(1)知，f(x)的最小值为3，即m =3， 则a +b =3，证明：(2)由a ≥0，b ≥0，知a +2>0，b +1>0，∴1a +2+1b +1=16[(a +2)+(b +1)](1a +2+1b +1)=16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2√b+1a+2⋅a+2b+1)=23．当且仅当a=1且b=2时等号成立．∴1a+2+1b+1≥23．【解析】(1)写出分段函数解析式，把原不等式转化为三个不等式组求解；(2)由(1)求得函数的最小值m，再由1a+2+1b+1=16[(a+2)+(b+1)](1a+2+1b+1)，展开后利用基本不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了基本不等式的应用，是中档题．。
2021-2022年高三上学期期中考试文数学试题word版含答案
2021-2022年高三上学期期中考试文数学试题word 版含答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则等于（ ） A. B. C. D.2.若复数Z ，是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为（ ） A.2 B.3 C. D.3.下列说法正确的是（ ） A.命题“使得 ”的否定是：“”B.“”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在上为增函数”的充要条件C.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D.命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则p 是真命题4．已知数列的前项和为，且满足，，则＝( )A ．7B ．12C ．14D ．215.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）A B CD6.如果是二次函数, 且 的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线 上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．7.直线：与圆M ：相切，则的值为 ( )A.1或－6B.1或－7C.－1或7D.1或8. 已知函数(a >0且a ≠1)的图象过定点P,且点P 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，且n >0)上，则1m ＋4n 的最小值是 ( )A.12B.16C.25D.249. 在约束条件21010x x y m x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D.10. 已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） A. B. C. D 11.若均为单位向量，， ，则的最大值是（ ）A ． B. C ． D.12. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为 .14. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则 .15. 把一个半径为 cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为 .16. 函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为,则= ___ .三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知向量，＝，函数.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．18.(本小题满分12分)已知数列满足,其中.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；(2)设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.19.(本小题满分12分)设函数（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围． 20. (本小题满分12分) 如图所示，和是 边长为2的正三角形，且平面平面， 平面，. （1）证明：；（2）求三棱锥的体积.21.（本小题满分12分)己知函数（1）若是的极值点，求在上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.22. (本小题满分12分))()()(,x g x F x f D x ≤≤∈∀有，则称为与在上的一个“分界函数”.如[]210,1,1(1)1x x x x e x-∀∈-≤+≤+成立，则称[]21(1)10,11x y x e y x y x-=+=-=+是和在上的一个“分界函数”。
2021-2022年高三数学上学期期中试题 文(含解析)新人教A版
2021-2022年高三数学上学期期中试题文（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划、圆锥曲线，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)【题文】1.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【知识点】直线的倾斜角与斜率、直线的方程H1【答案解析】B 由直线的方程可知其斜率k＝－∈[－，]，设直线的倾斜角为θ，则tanθ∈[－，]，且θ∈[0，π)，所以θ∈[0，]∪[，π)．故选B【思路点拨】先求出斜率的取值范围，再求出倾斜角的范围。
【题文】2. 已知集合，，则 ( )A．{｜0＜＜} B.{｜＜＜1} C.{｜0＜＜1} D.{｜1＜＜2}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 对于集合：M：由x＞x2，解得0＜x＜1，∴M={x|0＜x＜1}．∵0＜x＜1，∴1＜4x＜4∴.＜＜2．∴N={y|＜y＜2}．∴M∩N={x|＜x＜1}．故选B．【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M，N．再利用交集的运算即可得出．【题文】 3. 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件.C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.D．命题“使得”的否定是：“均有”．【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案解析】C 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”．所以，选项A不正确；由x=-1，能够得到x2-5x-6=0．反之，由x2-5x-6=0，得到x=-1或x=6．所以，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件．所以，选项B 不正确；“若x=y”，则“sinx=siny”为真命题，所以其逆否命题也为真命题．所以，选项C 正确；命题“∃x0∈R ，x02+x0+1＜0”的否定是“对∀x ∈R ，x2+x+1≥0”．所以，选项D 不正确．故选C ．【思路点拨】题目给出的四个命题，A 是写出一个命题的否命题，既要否定条件，又要否定结论；B 是分析充要条件问题，由x=-1，一定能得到x2-5x-6=0，反之，由x2-5x-6=0，得到的x 的值还可能是6；C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假；D 是考查特称命题的否定，特称命题的否定式全称命题．【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）A. 27B.3C. 或3D.1或27【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3【答案解析】A ∵成等差数列∴3a1+2a2=a3，∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0∵q ＞0∴q=3∴=q3=27故选A【思路点拨】由已知可得，3a1+2a2=a3，结合等比数列的通项公式可求公比q ，而=q3，代入即可求解.【题文】5. 函数的定义域为，则函数的定义域为 ( )A ．B ．C ．D ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】D 函数的定义域（0,1）所以0<1，0<10则或故选D.【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。
2021-2022年高三上学期期中学业水平测试数学文试题 含答案
2021-2022年高三上学期期中学业水平测试数学文试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号等写在答题卡的指定区域，并用2B铅笔把准考证号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．所有试题考生必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．一、选择题：本题共12个小题。
每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x｜｜x｜≤1}，B＝{x｜＞0}，A∩B＝A． B．{x｜0≤x≤1} C．{x｜－1≤x≤1} D．{x｜0＜x≤1}2．若复数的实部与虚部分别为a，b，则ab等于A．2i B．2 C．－2 D．－2i 3．设abc＞0，二次函数f（x）＝a＋bx＋c的图象可能是4．已知等比数列{}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a3a5A．4 B．8 C．64 D．1285．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．4cm3 B．5cm3C．6cm3 D．7cm36．与直线x－y－4＝0和圆＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是A． B．C． D．7．把函数y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝8．如果执行右面的框图，输入N＝5，则输出的数等于A． B．C． D．9．已知函数y＝（a＞0，a≠1）图象恒过定点A，若点A在直线mx＋2ny－2＝0上（mn＞0），则的最小值为A．2 B．3C．4 D．510．棱长都相等的三棱锥（正四面体）ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M 是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则的值为A．1 B． C． D．11．已知点P是双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M为△PF1F2的内心，若＝＋成立，则双曲线的离心率为A．2 B． C．3 D．412．定义：若数列{}对任意的正整数n，都有｜｜＋｜｜＝d（d为常数），则称{}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列” {}中，a1＝2，“绝对公和”d＝2，则其前xx项和Sxx的最小值为A．－xx B．－xx C．－xx D．－xx第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题．每小题5分,共20分．13．已知函数f（x）＝, 则f（f（））__________．14．△ABC中，BC＝4，B＝且△ABC面积为2，则角C大小为__________．15．下列三种说法①命题“存在x∈R，使得＋1＞3x”的否定是“对任意x∈R，＋1≤3x”；②设p，q是简单命题，若“p或q”为假命题，则“且”为真命题；③已知任意非零实数x，有x＞f（x），则f（2）＜2f（1）成立，其中正确说法的序号是____________．（把你认为正确说法的序号都填上）16．已知点P（x，y）在由不等式组301010xxx⎧⎪⎨⎪⎩＋y－≤－y－≤－≥确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（－1，2），则｜｜·cos∠AOP的最大值是______________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知向量＝（cos2x，sin2x），＝（，1），函数f（x）＝·＋m．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．18．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C－BGF的体积．19．（本小题满分12分）某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如图表所示：（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率．20．（本小题满分12分）设A是抛物线y＝a（a＞0）准线上任意一点，过A点作抛物线的切线l1，l，切点为P，Q．2（1）证明：直线PQ过定点；（2）设PQ中点为M，求｜AM｜最小值．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R）．（Ⅰ）若y＝f（x）图象上（1，－）处的切线的斜率为－4，求y＝f（x）的极大值．（Ⅱ）y＝f（x）在区间[－1，2]上是单调递减函数，求a＋b的最小值．请考生在第22，23，24题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是xy⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ＋）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数f（x）＝｜x－a｜＋2x，其中a＞0．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若x∈（－2，＋∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．焦作市xx~xx(上) 期中高三年级学业水平测试数学答案（文）一、选择题CBDC ACAD CAAA二、填空题13、 14、 15、①② 16、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2021-2022年高三上学期期中检测数学(文)试卷 含答案
2021年高三上学期期中检测数学（文）试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则集合（A）（B）（C）（D）（2）是虚数单位，复数=（A）（B）（C）（D）（3）命题“对”的否定是（A）（B）（C）（D）（4）某程序框图如右图所示，则输出的结果S等于（A ） （B ） （C ） （D ）（5）设0.30.33log 2,log 2,2,a b c ===则这三个数的大小关系是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（6）已知，，，若，则（A ） （B ） （C ） （D ）（7）函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（A ） （B ） （C ） （D ）（8）如图，在三角形中，已知，，，点为的三等分点．则的取值范围为 （A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。
2．本卷共12题，共110分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （9）设全集，集合，，则 ． （10） ． （11）计算：2log 151log 25lg2100++= ． 第（8）题图CDBA第14题图（12）在中， ，，，则的面积等于____. （13）设函数，则的值是________．（14）如图，△为圆的内接三角形，为圆的弦， 且． 过点作圆的切线与的延长线交于点， 与交于点．若，，则线段的长为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知集合[]{}|(2)(31)0A x x x a =--+< ，． （Ⅰ）当时，求;（Ⅱ）求使的实数 的取值范围． （16）（本小题满分13分）在等差数列｛}中，已知，， （Ⅰ）求数列｛}的通项； （Ⅱ）求数列｛}的前9项和; （Ⅲ）若，求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭4cos ,0,52, （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求 的值．（18）（本小题满分13分）已知函数()sin 2cos 2f x x x ωω=+．（）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．（19）（本小题满分14分）已知函数，满足(0)2,(1)()21=+-=-f f x f x x（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.（Ⅲ）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知：已知函数，（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；（Ⅱ）若，求的极值；（Ⅲ）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．高三期中文科数学答案（xx 、11）一、选择题：本卷共8题，共40分。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
2021-2022年高三期中练习文科数学试题及答案
2021-2022年高三期中练习文科数学试题及答案一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合，，，则集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，使，则A ．，使B ．，使C ．，使D ．，使4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则 ＝（ ）A. B.C. D.5.已知 160sin ,3log ,222===c b aA ．B ．C ．D ．6．已知向量（1，0），（0，1），（R ），向量如图所示.则（ ）A ．存在，使得向量与向量垂直B ．存在，使得向量与向量夹角为C ．存在，使得向量与向量夹角为D ．存在，使得向量与向量共线7. 已知为一等差数列，为一等比数列，且这6 ）①与可能同时成立；②与可能同时成立；③若，则；④若，则A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③8．若存在负实数使得方程 成立，则实数的取值范围是（ ）A ． B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知角的终边经过点, 则的值是____________.10. 在锐角中，角的对边分别为，已知则__________.11．已知直线与函数的图象相切，则切点坐标为 .12．在矩形中， 且点分别是边的中点，则_________.13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ．14．设数列的通项公式为 数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最大值，则=____________，数列的通项公式=________．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（I ）求数列的通项公式；（II ）若数列满足，求的前项和.16. （本小题共13分） 已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（I ）若，求的值；(1)(2)(3)（II ）求函数的单调增区间.17．（本小题共14分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，.（I ）求的值；（II ）求函数的值域；（III ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合，若，求实数的取值范围.18．（本小题共13分）已知定义在区间上的二次函数满足，且最大值为9.过动点作轴的垂线，垂足为，连接（其中为坐标原点）.（I ）求的解析式；（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.19．（本小题共14分）在数列中，123...n n a a a a n a ++++=-（）．（I ）求的值；（II ）设，求证：数列是等比数列；（III ）设 （），如果对任意，都有，求正整数的最小值.20．（本小题共13分）对，定义1, 0sgn()0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（I ）求方程的根；（II ）求函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调区间；（III ）记点集()()(){}sgn 1sgn 1,10,0,0x y S x y x y x y --=⋅=>>， 点集()(){}lg ,lg ,T x y x y S =∈，求点集T 围成的区域的面积．数 学 (文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） ②③ （14）2， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m ,22,23 也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=)(2,1)(12,1**N k k m k N k k m k b m 三、解答题(本大题共6小题,共80分)（15）（本小题共13分）解：（I ）设等比数列的公比为是和的等差中项……………………………………….2分………………………………………4分)(2*111N n q a a n n n ∈==∴--………………………………………6分（II ）)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S . ……….8分)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n ………..9分……….11分....……13分16．（本小题共13分）解：（I ）22cos 16sin 2cos 6cos 2sin )(x x x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） ..........5分由，可得 ............7分所以 ............8分............9分（II ）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ， ...........11分 即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，单调递增.所以，函数的单调增区间是 ........... 13分17．（本小题共14分）解：（I ） 函数是定义在上的偶函数...........1分又 时，...........2分...........3分（II ）由函数是定义在上的偶函数，可得函数的值域即为时，的取值范围. ..........5分当时， ...........7分故函数的值域= ...........8分（III ）a x a x x g +-+-=)1()(2定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分方法一 ：由得，即 ...........11分且 ...........13分实数的取值范围是 ...........14分方法二：设当且仅当 ...........11分即 ...........13分实数的取值范围是 ...........14分18．（本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数的对称轴为，顶点为 ..........2分方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac ab f得 ...........5分得 ...........6分方法二：设 ...........4分由，得 ...........5分...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分 )4(23236)('2t t t t t S -=-= ...........9分 列表 ...........11分由上表可得时，三角形面积取得最大值. 即2max 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分 19．（本小题共14分）解：（I ）由已知可得，得 ...........1分，得 ...........2分，得 ...........3分（II ）由已知可得：时，时，111--+-=-=n n n n n a a S S a ……….4分得 ..........5分 时，)1(212121111-=-=---n n n a a a ……….6分 即时，， ...........7分数列是等比数列，且首项为，公比为 ............8分（III ）由（II ）可得， ...........9分n n n n n n n b c 2)(22-=-⋅= ...........10分 121212)3(22)1()1(+++-=--+-+=-n n n n n n n n n n n c c ...........11分 >>=<<54321c c c c c有最大值 ...........12分对任意，都有，当且仅当， ...........13分即，故正整数的最小值是4. ...........14分20． （本小题共13分）解：（I ）当时，，解方程，得（舍）或当时，，不是方程的解当时，，解方程，得（舍）或（舍）综上所述，是方程的根. ...........3分（每一种情况答对即得1分）（II ）函数的定义域是 ...........4分当时，，恒成立 ...........5分当时，，解得 ...........6分解得 ...........7分综上所述，函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调增区间是，单调减区间是. ...........8分 （III ）设点，则．于是有10)10()10()110sgn()110sgn(=⋅--y x y x ，得()()sgn 101sgn 1011x y x y ⋅-+⋅-=当时，x x x x x =-=->-)110sgn(,1)110sgn(,0110当时，x x xx x -=--=-<-)110sgn(,1)110sgn(,0110同理，...........11分点集T 围成的区域是一个边长为的正方形，面积为2． ...........13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.28089 6DB9 涹 37380 9204 鈄s? j24963 6183 憃-33724 83BC 莼40421 9DE5 鷥22646 5876 塶_39082 98AA 颪31491 7B03 笃。
2021-2022年高三上学期期中考试数学文试卷 含解析
2021-2022年高三上学期期中考试数学文试卷含解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．22．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．244．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣5．设Sn ，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．6．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为．10．设Sn 是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．11．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•= ．12．设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．13．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小．14．设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．16．（13分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）月资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本3020300工人工资510110每台利润6817．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．18．（13分）已知单调递增的等比数列{an }满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =an•log2an，其前n项和为Sn，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）20．（14分）设等差数列{an }的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn ，且Tn﹣2bn+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =，求数列{cn}的前n项和Pn．xx天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（xx•成都模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的化数形式的乘除运算法则的合理运用．2．（xx•天津校级模拟）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y 的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．3．（xx秋•许昌月考）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】该几何体是三棱锥，一个侧面垂直于底面，要求三棱锥的体积，求出三棱锥的高即可．【解答】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为6，斜边上的高为2，底面三角形面积为：S=，三棱锥的高是h==2，它的体积v==××6×=4，故选A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题．4．（xx秋•天津期中）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣【考点】空间向量的加减法．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．（xx秋•天津期中）设Sn ，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式进行解答．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=====．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题．6．（xx秋•天津期中）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．分别判断a，b，c的值，或范围，可得答案．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=logx．∴a=f（）=f（﹣）=﹣f（）∈（﹣1，0），b=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，c=f（）=f（）=1；∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．7．（xx•北京模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性问题转化为2mt2+4t+m＜0，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．【解答】解：由f（x）=x﹣sinx，可得f'（x）=1﹣cosx≥0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（﹣4t）＞f（2mt2+m），可得﹣4t＞2mt2+m，即2mt2+4t+m＜0，当m=0时，不等式不恒成立；当m≠0时，根据条件可得，解之得，综上，m∈（﹣∞，﹣），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．8．（xx秋•天津期中）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】三角函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；三角函数的图像与性质．【分析】使函数y=sinωx在区间[，]上不单调，只需对称轴在[，]即可．【解答】解：根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．解得：x=+，（k∈Z）．∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，∴＜+＜，（k∈Z），解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．由题意：ω∈N*且ω≤15，当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数图象及性质的灵活运用，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（xx秋•天津期中）函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】求出导数，可得极值点和单调区间，求得极值，再由切线的斜率，可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=x•e x的导数为f′（x）=e x+xe x，由f′（x）=0，可得x=﹣1，当x＞﹣1时，f′（x）＞0；当x＜﹣1时，f′（x）＜0．可得x=﹣1为极小值点，极值为﹣．在极值点处的切线斜率为0．可得在极值点处的切线方程为y+=0，即为y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值、单调区间，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．10．（xx秋•扬州期末）设Sn 是等比数列{an}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．11．（xx秋•天津期中）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•= 8 ．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由题，已知∠BAC=120°，AB=AC=4，可将问题转化为以向量与为基底的向量线性运算．或者由•=0分析得AD⊥BC，且D为线段BC的中点，又根据=可得E为BD的中点，故问题转化为以向量与为基底的向量线性运算．【解答】解：∵•=0∴AD⊥BC又∵AB=AC=4，∠BAC=120°∴D为BC的中点，且∠BAD=60°，AD=2∴（+）•=2•==2×4×cos60°+22=8故填空：8．【点评】考查平面向量基本定理，平面向量线性运算，属于基础题．12．（xx秋•郑州期末）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：9【点评】本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．13．（xx秋•梅州校级期末）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小90°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】将异面直线所成角转化成证明线面垂直，根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直．【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B⊂面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案为90°【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．14．（xx秋•天津期中）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是[2﹣2ln2，1] ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，∴g（x）min=g（2）=2﹣2ln2，令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±，当0＜a≤1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min=f（1）=a≥2﹣2ln2，∴2﹣2ln2≤a≤1，故答案为[2﹣2ln2，1]．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，转化为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g（x）min．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（xx•平度市模拟）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．（13分）（xx春•汕头校级期末）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百月资金最多供应量元）（百元）空调冰箱进货成本3020300工人工资510110每台利润68问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【考点】简单线性规划．【分析】根据每月的资金供应量，我们先列出满足条件的约束条件，进而画出可行域，平移目标函数的变形直线，可得最优解．【解答】解：设每月调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为 z（百元）则由题意得目标函数是 z=6x+8y，即y=x+平移直线y=x，当直线过P点时，z取最大值由得P点坐标为P（4，9）=6×4+8×9=96（百元）将（4，）代入得zmax即空调和冰箱每月分别调进4台和9台是商场获得的总利润最大，总利润最大值为9600元【点评】本题是简单线性规划题，其步骤是设，列，画，移，求，代，答．17．（13分）（xx春•九江校级期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（13分）（xx•湖北校级模拟）已知单调递增的等比数列{an }满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =an•log2an，其前n项和为Sn，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列{an}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入bn =an•log2an，利用错位相减法求得Sn，代入（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{an }首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴an=2n；（Ⅱ）bn =an•log2an=n•2n，∴Sn =b1+b2+…+bn=1•21+2•22+…+n•2n，①2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴Sn=（n﹣1）•2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）•2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用数列的单调性求最值，是中档题．19．（14分）（xx秋•天津期中）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；导数的综合应用．【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a≤0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）＞0 （x ∈（0，1）；=f（a）=alna﹣a+1，让最大值小于等于零即可；当a＞0时，只需求f（x）max（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）=f（a）=alna﹣a+1max令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1 x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．【点评】考察了导函数求单调性和最值问题，利用结论证明不等式问题．难点是对式子的变形整理．20．（14分）（xx•中山二模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn }的前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =，求数列{cn}的前n项和Pn．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an ，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，bn=Tn﹣Tn﹣1，求出bn；（Ⅱ）写出cn，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意，得，解得，∴an=4n，∵Tn ﹣2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，两式相减，得bn =2bn﹣1，（n≥2）则数列{bn}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，Pn =（a1+a3+…+an﹣1）+（b2+b4+…+bn）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，Pn =Pn﹣1+cn=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）Pn =（a1+a3+…+an﹣2+an）+（b2+b4+…+bn﹣1）=．∴．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．K% 40495 9E2F 鸯 -27908 6D04 洄B31649 7BA1 管34775 87D7 蟗 22719 58BF 墿。
2021-2022年高三上学期期中模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2021年高三上学期期中模拟考试数学（文）试题 Word 版含答案一、填空题1已知集合{2,3},{1,},{2},A B a AB A B ====若则2.已知复数满足为虚数单位)，则的实部为 .3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .4.函数的定义域为 .5.6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(3，4，5，6个点的正方体玩具)点数之积不小于10的概率为 .7.底面边长为2，高为18.在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且 经过抛物线焦点的双曲线的方程是 . 9.在等式若的最小值为，则为10.已知圆M ：截直线所得线段的长度是，则圆M 与圆N ：的位置关系是 11．曲线（）的两焦点为，，点在双曲线上，且满足，则的面积为 12.在等差数列中，已知首项，公差．若，，则的最大值为 .13. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足 ==,===-2，动点P ，M 满足 =1，=，则的最大值是 .14. 已知函数 其中，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.二、解答题15（本题满分14分）.在∆中，角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．16. （本题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：平面PCB．PADCBNM17．（本题满分14分）如图，在，，米的直角三角形地块中划出一块矩形地块进行绿化．（1）若要使矩形地块的面积不小于平方米，求长的取值范围；（2）当矩形地块面积最大时，现欲修建一条道路，把矩形地块分成面积为1：3的两部分，且点在边上，点在边上，求的最小值．F（第17题图）18. （本题满分16分）已知椭圆E：过点，离心率，右顶点为A，右焦点为F．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若经过F的直线（不与轴重合）交椭圆E与B，C两点，延长BA，CA，分别交右准线19．(本小题满分16分)已知数列的首项，．（1）求证：数列为等比数列；(2) 记，若，求最大的正整数．（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20. （本题满分16分）已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.江苏省东海高级中学xx届高三上学期期中模拟考试试题数学试题（选修历史）答案一、填空题：（1）（2）（3）93 （4）（5）59 （6）（7）（8）（9）30 （10）相交（11）1 （12）200 （13）（14）二、解答题：15、(1)由正弦定理知：,即则,在三角形中，(2)若,则,即则的面积16、略 17、（1）设，则． 因为，所以，所以．由于矩形地块的面积不小于，所以有，解得长度的取值范围为； （2）由（1）可知（），当时取最大值．所以矩形地块的面积最大值为．由题意可知，当矩形的面积被分为两块的面积之比为1：3时， 则有=．设，则有，所以=， 当且仅当时取最小值． 18．（1）由题意得22222191,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解之得所以椭圆E 的标准方程为．（2）由（1）知，A （2，0），F （1，0），右准线方程为．当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为，可得B ，C 两点坐标分别为． 所以直线BA 方程为，当时，得，即； 直线CA 方程为，当时，得，即． 因此，即FN ⊥FM ．当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为． 由题意得解之得，代入直线l 方程得B C ．直线BA 方程为，当x =4时，得，所以． 同理可求得． ，所以FN ⊥FM ．综上，对于任意与x 轴不重合的直线l ，都有FN ⊥FM ． 19、（1）∵，∴，且∵，∴，∴数列为等比数列． （2）由（1）可求得，∴．2121111112()333n nn S n a a a =+++=++++，若，则，∴．（3）假设存在，则，∵，∴．化简得：，∵，当且仅当时等号成立．又互不相等，∴不存在．20.解：（1）由，所以又，所以所以切线方程为切线方程为：（2）令因为，所以在，递增，在递减要使对，不等式恒成立，即1.当时，即时，在递增，在递减所以2.当时，即时，在递增，在递减，在递增①当时所以②当时即对都成立综合1，2得：ASABE ACE。
2021-2022年高三上学期期初数学试卷(文科)含解析
2021-2022年高三上学期期初数学试卷（文科）含解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置1．命题“∃实数x，使x2+1＜0”的否定可以写成．2．已知集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，若A⊆B，则锐角θ=．3．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为．4．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．5．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是．9．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则= ．10．函数f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）= ．11．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．12．函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则y=f（x）的对称中心为．13．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），c=（log3）f（log3），则a，b，c间的大小关系是．14．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）．记f（α）=y1+y2．（1）求函数f（α）的值域；（2）若f（C）=，求∠C．16．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣）的图象如图所示，直线x=，x=是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（α）=，且，求的值．18．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的最小值；（3）若f（α）=，α∈（，），求sin（2α+）的值．19．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=3x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数h（x）=lg具有性质M，求a的取值范围．20．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置1．命题“∃实数x，使x2+1＜0”的否定可以写成∀x∈R，x2+1≥0．【考点】特称命题．【分析】由已知中原命题“∃实数x，使x2+1＜0”，根据特称命题的否定为一个全称命题，结合特称命题“∃x∈A，P（A）”的否定为“x∈A，非P（A）”，可得答案．【解答】解：命题“∃实数x，使x2+1＜0”为特称命题其否定是一个全称命题即命题“∃实数x，使x2+1＜0”的否定为“∀x∈R，x2+1≥0”故答案为：∀x∈R，x2+1≥02．已知集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，若A⊆B，则锐角θ=．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A⊆B，θ是锐角可得：cosθ=，再利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：∵集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，A⊆B，θ是锐角，∴cosθ=，∴θ=，故答案为：．3．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为﹣3．【考点】二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f（x）=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数的最小值【解答】解：∵f（x）=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1=﹣2+∵﹣1≤sinx≤1当sinx=﹣1时，函数有最小值﹣3故答案为：﹣34．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．【分析】根据角α的终边经过点P（1，﹣2），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．5．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为1．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α2﹣2α﹣3为偶数，且α2﹣2α﹣3＜0，结合α∈Z 进行求解即可【解答】解：根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数则α2﹣2α﹣3为偶数，且α2﹣2α﹣3＜0解不等式可得，﹣1＜α＜3∵α∈Z∴α=0，1，2当α=0时，α2﹣2α﹣3=﹣3不满足条件α=1时，α2﹣2α﹣3=﹣4满足条件α=2时，α2﹣2α﹣3=﹣3不满足条件故答案为：16．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．7．方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．8．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是（﹣2，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】分析：首先求导，令导数为零，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，只需函数的极大值大于零，且极小值小于零，解不等式组即可求得结果．【解答】解答：解：∵f′（x）=3x2﹣3=0解得x=1或x=﹣1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）取极小值﹣2+a，当x=﹣1时，f（x）取极大值2+a，∵f（x）=x3﹣3x+a有三个不同零点，∴，解得﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是：（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）9．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【分析】由已知先求sinα=﹣，然后知cosα=﹣，tanα=，原式即可化简求值．【解答】解：∵方程5x2﹣7x﹣6=0的根为x1=2，x2=﹣，由题知sinα=﹣，∴cosα=﹣，tanα=，∴原式==﹣tan2α=﹣．10．函数f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）=﹣3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（7）=f（7﹣8）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+2）=﹣3，故答案为：﹣3．11．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．12．函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则y=f（x）的对称中心为（，），k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期求得ω，再由相位的终边落在x轴上求得对称中心坐标．【解答】解：f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）===sin（2ωx）．∵函数f（x）的最小正周期为π，∴，得ω=1．∴f（x）=sin（2x）．由，得x=，k∈Z．∴y=f（x）的对称中心为（，），k∈Z．故答案为：（，），k∈Z．13．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），c=（log3）f（log3），则a，b，c间的大小关系是c＞a＞b．【考点】利用导数研究函数的单调性；对数的运算性质．【分析】由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较a=30.3，logπ3，log3，的大小即可．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0（x＜0），∴当x＜0时，g（x）=xf（x）为减函数．又g（x）为偶函数，∴当x＞0时，g（x）为增函数．∵1＜30.3＜2，0＜logπ3＜1，log3=﹣2，∴g（﹣2）＞g（30.3）＞g（logπ3），即c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．14．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）．记f（α）=y1+y2．（1）求函数f（α）的值域；（2）若f（C）=，求∠C．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）若f（C）=，则f（C）═sin（C+）=，即可得到结论．【解答】解：（1）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=．16．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m=对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求【解答】解：∵1＜2x＜8∴p：0＜x＜3∵￢p是￢q的必要条件∴p是q的充分条件即p⇒q∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m=对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵=4，当且仅当x=即x=2时等号成立∴m≤417．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣）的图象如图所示，直线x=，x=是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（α）=，且，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）根据函数的图象求出T、ω和φ的值，即得f（x），再求出f（x）的单调增区间；（2）解法1：由sin（2α﹣）求出cos（2α﹣）的值，利用两角和的公式计算f（+α）的值；解法2：由sin（2α﹣）得sin2α﹣cos2α的值，cos（α﹣）得cos（2α﹣）即sin2α+cos2α的值，计算出f（+α）的值；解法3：由sin（2α﹣）得sin2α﹣cos2α的值，再得sin4α的值，再求出sin2α的值，从而求出f（+α）的值．【解答】解：（1）由题意，=﹣=，∴T=π；又∵ω＞0，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）；∵f（）=2sin（+φ）=2，∴解得φ=2kπ﹣（k∈Z）；又∵﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∵2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），∴kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）解法1：依题意得，2sin（2α﹣）=，即sin（2α﹣）=，∵＜α＜，∴0＜2α﹣＜；∴cos（2α﹣）==，f（+α）=2sin[（2α﹣）+]；∵sin[（2α﹣）+]=sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin=（+）=，∴f（+α）=．解法2：依题意得，sin（2α﹣）=，得sin2α﹣cos2α=，①∵＜α＜，∴0＜2α﹣＜，∴cos（α﹣）==，由cos（2α﹣）=得，sin2α+cos2α=；②①+②得，2sin2α=，∴f（+α）=．解法3：由sin（2α﹣）=得，sin2α﹣cos2α=，两边平方得，1﹣sin4α=，∴sin4α=，∵＜α＜，∴＜4α＜，∴cos4α=﹣=﹣，∴sin22α==；又∵＜2α＜，∴sin2α=，∴f（+α）=．18．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的最小值；（3）若f（α）=，α∈（，），求sin（2α+）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）在[0，π]上的最小值．（3）由条件求得sin（α+）的值，可得cos（α+）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin （2α+）=sin[（2α+）﹣]的值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）=sin（x+）+sinx=cosx+sinx=2sin（x+），∴f（x）的最小正周期为2π．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象，在[0，π]上，x+∈[，]，故当x+=时，函数g（x）取得最小值为2•（﹣）=﹣1．（3）若f（α）=2sin（α+）=，∴sin（α+）=，∵α∈（，），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=﹣，∴cos（2α+）=2﹣1=﹣，∴sin（2α+）=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=﹣﹣（﹣）•=．19．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=3x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数h（x）=lg具有性质M，求a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）由新定义，将f（x）=3x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），化简计算即可得证；（2）h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入化简整理得到二次方程，讨论a=2，a≠2，且判别式大于等于0，解出它们求并集即可得到所求的范围．【解答】（1）证明：f（x）=3x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：，即：，解得．所以函数f（x）=3x具有性质M．（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得：．化为，整理得：有实根．①若a=2，得．②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a，所以：a．综上可得a．20．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2，则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．xx10月15日C36441 8E59 蹙/39120 98D0 飐J21960 55C8 嗈37865 93E9 鏩33846 8436 萶35994 8C9A 貚U39204 9924 餤25001 61A9 憩28126 6DDE 淞。
2021-2022年高三上学期期终考试数学文试题 含答案
2021年高三上学期期终考试数学文试题含答案考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期为．2．已知集合，，则．3．若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为．4．若数列的通项公式为，则．5．若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________．6．已知，，则的值为Array．7．已知直线：和：，则∥的充要条件是= ．8．的展开式中的系数是（用数字作答）．9．执行右边的程序框图，若，则输出的S = ．10．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．（第9题图）D 1C 1A 111．已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ．12．已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x 的不等式的解集是 ．13．已知抛物线上一点(m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 14．已知命题“若，，则集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅” 是假命题，则实数的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在四边形ABCD 中，，且·＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形16．已知且C ，则（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．B ．C ．D ．17．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ） A ．24B ．48C ．144D ．28818．若是R 上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增； ④在上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的 中点．NPMDCBA（1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列． （1）若，且，求的值； （2）若，求的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B 在上，D 在上，对角线过C 点， 且矩形的面积小于150平方米． （1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆：，称圆心在原点O 、半径是的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F 的距离为． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与轴正半轴的交点P 作直线，使得与椭圆C 都只有一个交点，求的方程；（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”．设函数的定义域为，且．（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①与；②与．E ABCD A 1B 1C 1D 1F黄浦区xx 第一学期高三年级期终考试数学试卷（文科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．； 2．； 3．2； 4．； 5．4 6．； 7．3； 8．36； 9．81； 10．； 11． 12．； 13．； 14．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．C 18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）在正方体中， ∵是的中点，∴， ………………3分 又平面，即平面， 故11111333E CDFCDF V S CE -∆=⋅=⋅⋅=， 所以三棱锥的体积为．………………6分 （2）连，由、分别为线段、的中点，可得∥，故即为异面直线与所成的角． ………………… 8分 ∵平面，平面，∴， 在△中，，， ∴，∴ ．所以异面直线EF 与所成的角为． ………………………… 12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴又，∴， …………………………2分 由得，，∴ ① ………………………4分 又由余弦定理得NPMDCBA∴，∴ ② ………………………6分由①、②得， ……………………………………8分 （2）sin sin cos AM A A A-……………………………………11分由（1）得，∴， 由且，可得故， 所以，即的取值范围为． …………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得， ∴，即，……………………3分 故， ………………………5分 由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为． …………………………………8分 （2）令，则由，可得，故2266(4)166(8)4x t S t x t t+===++- …………………………10分， …………………………12分 当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为（平方米）…………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C 的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 （2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C 只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 ………………6分 ，即，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得， ………………8分 所以直线的方程为，的方程为，或直线的方程为，的方程为． ………………10分 （3）由题意，可设，则有，又A 点坐标为，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--， ………………12分故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分 又，故，所以的取值范围是． …………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知恒成立，令， 可得，∴数列是公差为1的等差数列， 故，又，故． ………………………………3分 （2）当时，，令，可得，由可得，即时，， …………………………………4分 可知在上的取值范围是． 又是的一个“P 数对”，故恒成立， 当时，，…， …………………………………6分 故当为奇数时，的取值范围是；当为偶数时，的取值范围是． ……………………………8分 由此可得在上的最大值为，最小值为．………………10分 （3）由是的一个“P 数对”，可知恒成立， 即恒成立， 令，可得， …………………12分 即，又，∴是一个等比数列，∴，所以． …………………………………15分 当时，由是增函数，故，又12222222n n x --+>⨯+=+，故有．…………………………………18分。
2021-2022年高三(上)期中数学试卷(文科)
2021-2022年高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x||x﹣3|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B={4} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，解|x﹣3|≤1可得2≤x≤4，即可得集合A，解x2﹣5x+4≥0可得集合B，由交集的定义，即可得答案．解答：解：根据题意，对于集合A，|x﹣3|≤1⇔2≤x≤4，则A={x|2≤x≤4}，对于集合B，由x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，则B={x|x≤1或x≥4}，则A∩B={4}，故答案为{4}．点评：本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A、B．2．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3．考点：四种命题．专题：综合题．分若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若析：a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，根据否命题的定义给出答案．解答：解：：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故答案为：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．3．（5分）已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．4．（5分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．解答：解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣= 令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．5．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1）的定义域和值域都是[0，1]，则实数a的值是2．考点：对数函数的值域与最值；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：先求出真数的取值范围，由于对数函数是一个单调函数，x=0时函数值为0，可得出x=1时函数值是1，由此建立方程求出底数即可．解答：解：定义域是[0，1]，故x+1∈[1，2]又值域是[0，1]，由于函数f（x）=log a（x+1）是一个单调函数，定义域左端点的函数值为0 故log a（1+1）=1，a=2故答案为2点评：本题考查对数函数的性质，求解本题的关键是根据函数的性质及函数在一端点处的函数值为0判断出别一端点处的函数值为1，正确的判断很重要．6．（5分）已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用两个向量的数量积的定义求出•的值，再由两个向量垂直的性质可得（λ+）•（+λ）=0，解方程求得实数λ的值．解答：解：∵已知||=，||=3，和的夹角为45°，∴•=•3cos45°=3．由向量（λ+）⊥（+λ），可得（λ+）•（+λ）=0，即λ+（λ2+1）+λ=0，即2λ+3（λ2+1）+9λ=0，解得λ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．7．（5分）P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是（，1）．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，必须∠F1PF2＞90°，此时＜0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．解答：解：由题意可知，分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．而当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，由条件：欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，必须∠F1PF2＞90°，故＜0，⇒，∴，又∵0＜e＜1，∴．故答案为：．点评：本题考查椭圆的性质及其应用、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8．（5分）已知命题p：在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围（﹣∞，]∪（1，+∞）．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数在x∈（﹣∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，3x∈（0，1]，∵函数在x∈（﹣∞，0]上有意义，∴1﹣a•3x≥0，∴a≤，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．（4分）①若p正确而q不正确，则，即a≤，（6分）②若q正确而p不正确，则，即a＞1，（8分）故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域的合理运用．9．（5分）设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f （x）单调递增区间[]．考点：正弦函数的图象；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．解答：解：依题意得f（x）=|AB|，（0≤|AB|≤π）．当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，∴[0，]为f（x）单调递减区间；当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，∴[，π]为f（x）单调递增区间．故答案为：[，π]．点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．10．（5分），设{a n}是正项数列，其前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）（a n+3），则数列{a n}的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，故答案为：2n+1．点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．11．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）析：上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（xx•辽宁）设，则函数的最小值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先根据二倍角公式对函数进行化简，然后取点A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）且在x2+y2=1的左半圆上，将问题转化为求斜率的变化的最小值问题，进而看解．解答：解：∵，取A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）∈x2+y2=1的左半圆，如图易知．故答案为：．点评：本小题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．考查知识的综合运用能力和灵活能力．13．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时，实数a的取值的集合为{3}．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得x＞0，y＞0，，作出其图象如图所示，进而得出及a＞1，c只有一个值．解出即可．解答：解：∵log a x+log a y=c，∴x＞0，y＞0，．（a＞1），作出其函数图象：由图象可以看出：函数在区间[a，3a]上单调递减，∴必有及a＞1，c只有一个值．解得c=3，a=3．适合题意．∴实数a的取值的集合为{3}．点评：由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．14．（5分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S n，则S10=45．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45．故答案为：45．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（xx•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．专题：综合题．分析：（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．解答：解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．16．（14分）（xx•盐城一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD解答：解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PD∥EO…（4分）而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，所以PD∥面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面PBD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．17．（14分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．考点：直线与圆的位置关系；直线的截距式方程；圆的标准方程．分析：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．解答：解：（1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，令y=0，得x1=0，x2=2t∴，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵k MN=﹣2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=﹣2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点，当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．18．（16分）（xx•盐城三模）某广告公司为xx年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．点评：本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数模型写出解析式，再对解析式进行整理运算，得到函数性质，这是一个综合题，解题的关键是读懂题意．19．（16分）（xx•绵阳二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．解答：解：（1）f'（x）=x2﹣4x+3，则f′（x）=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1得：x∈（﹣∞，2﹣]∪（1，3）∪[2+，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，则切线方程是：y﹣（﹣2+3x1）=（﹣4x1+3）（x﹣x1），化简得：y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）而过B（x2，y2）的切线方程是y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，由于两切线是同一直线，则有：﹣4x1+3=﹣4x1+3，得x1+x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又由﹣+2=﹣+2，即﹣（x1﹣x2）（+x1x2+）+（x1﹣x2）（x1+x2）=0﹣（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+﹣12=0即（4﹣x2）×4+﹣12=0，﹣4x2+4=0得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n+6=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便可证明数列{c n}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=a1+b1+b2+…+b n﹣1（2分）=．（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为．（4分）（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n（5分）∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）c n+1﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{c n}为等差数列．（7分）（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）设，（其中n=6k+i （k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；（10分）由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．32875 806B 聫23306 5B0A 嬊225454 636E 据v34215 85A7 薧~23137 5A61 婡6S31982 7CEE 糮=f24030 5DDE 州38403 9603 阃。
2021-2022年高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案
2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题含答案一、填空题（每题4分，共56分）1、若集合2=->∈，，则 .A x x x x R{|20,}2、函数的反函数的定义域是3．满足等式的复数为4、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.5、的二项展开式中，含项的系数是___________.6、直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数．7、阅读右边的程序框图，如果输出的值在区间内，则输入的实数的取值范围是．8、已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为________．9、在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.10、数列中，若，（），则 .11、甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）12、已知等差数列满足：，且它的前项和有最大值，则当取到最小正值时，13.、已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .14、已知抛物线，过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交抛物线于、两点.则直线的斜率为 .二、选择题（每题5分，共20分）15.若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或同是偶函数”是“是偶函数”的（ ）A 、充分非必要条件.B 、必要非充分条件.C 、充要条件.D 、既非充分又非必要条件16、已知数列前项和满足)2(11≥+=---n S S S S n n n n ，，则（ ）A 、B 、C 、D 、17、若对任意，都有，那么在上………………（ ）A 、一定单调递增B 、一定没有单调减区间C 、可能没有单调增区间D 、一定没有单调增区间18、设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足: 对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A 、B 、{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C 、D 、三、解答题19．（本题满分12分；第1小题6分，第2小题6分）已知函数()()()21,65f x x g x x x x R =-=-+-∈（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值．20.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知向量)3cos ,(,),3sin 3(m x m b y x a -=-=，且. 设.（1）求的表达式，并求函数在上图像最低点的坐标.（2）若对任意，恒成立，求实数的范围.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分. ）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:）22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分. ）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分. ）已知数列{}满足：*111,||,n n n a a a p n N +=-=∈，为数列的前项和。
2021-2022年高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析(I)
2021-2022年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析(I)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．设全集I是实数集R，M={x|x≥3}与N={x|≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3} 3．已知直线方程为co s300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（）A．60°B．60°或300°C．30°D．30°或330°4．函数f（x）=x2+xsinx的图象关于（）A．坐标原点对称B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称5．点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，3）6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+7．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x﹣3的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2[x+]+4 B．y=2[x+]+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣]+59．若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，4） B．[1，2] C．[2，4] D．（2，+∞）10．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（）A．12 B．8 C．D．3611．当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1] D．（，+∞]12．已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．14．若函数y=（）x在R上是减函数，则实数 a取值集合是．15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．16．已知函数f（x）=如果对任意的n∈N*，定义fn （x）=，例如：f2（x）=f（f（x）），那么fxx（2）的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=2，a2为整数，且a3∈[3，5]．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+﹣1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．21．已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当x为常数，且t在区间[]变化时，求y的最小值φ（x）；（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且++=k，求证：a+2b+3c≥9．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】复数相等的充要条件．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B2．设全集I是实数集R，M={x|x≥3}与N={x|≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由图形可得阴影部分所表示的集合为N∩（CM）故先化简两个集合，I再根据交集的定义求出阴影部分所表示的集合【解答】解：由题意M={x|x≥3}与N={x|≤0}={x|﹣1＜x≤3}由图知阴影部分所表示的集合为N∩（CM）IM）={x|1＜x＜3}∴N∩（CI故选A3．已知直线方程为cos300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（）A．60°B．60°或300°C．30°D．30°或330°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．可得tanα=﹣，利用诱导公式即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=﹣=﹣==tan30°，∴α=30°．故选：C．4．函数f（x）=x2+xsinx的图象关于（）A．坐标原点对称B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称【考点】函数奇偶性的判断．【分析】判断函数的奇偶性，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x2+xsinx是偶函数，关于y轴对称，故选：C．5．点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，3）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称点的坐标是（ a，b ），则有，解得 a 和 b的值，即得结论．【解答】解：设（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称点的坐标是（ a，b ），则有，解得 a=3，b=2，故点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（3，3），故选：A．6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以底面为正方形的三棱锥，高为2，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：由题意：可知该几何体是一个以底面为正方形其边长AB=1的三棱锥，高AS为2，（如图）AS⊥平面ABCD，∴AC=，SD=SB=，∵AD⊥CD，∴SD⊥CD（三垂线定理）∴△SDC是直角三角形．同理：SB⊥CB，∴△SBC是直角三角形．平面SDC的表面积为： AD×SD=，平面ABS的表面积为： AS×AB=1，平面ABD的表面积为： AS×AD=1，平面SBC的表面积为： BS×CB=．平面ABCD表面积为：AB×BC=1所以该几何体的表面积为：3+．故选D．7．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x﹣3的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据函数零点的定义进行转化，由指数函数、对数函数的图象画出对应的函数图象，由图判断出a、b的范围，利用函数零点的定义和对数的运算求出c的值，可得三个零点的大小关系．【解答】解：①令f（x）=0，得3x+x=0，化为3x=﹣x，分别作出函数y=3x，y=﹣x的图象由图象可知函数f（x）的零点a＜0；②令g（x）=log3x+x=0，得log3x=﹣x，分别作出函数y=g（x）=log3x，y=﹣x的图象，由图象可知函数g（x）的零点：0＜b＜1；③令h（x）=log3x﹣3=0，则log3x=3，解得x=27，即其零点c=27，综上可知，a＜b＜c．故选B．8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2[x+]+4 B．y=2[x+]+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣]+5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞3时，所收费用y的表达式，化简可得答案．【解答】解：由已知中，超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞3时，所收费用y=10+[x﹣3+]×2+1=2[x+]+5，故选：B．9．若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，4） B．[1，2] C．[2，4] D．（2，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】平面区域经过所有四个象限可得λ﹣2＞0，由此求得实数λ的取值范围．【解答】解：由约束条件不等式组表示的平面区域经过所有四个象限可得λ﹣2＞0，即λ＞2．∴实数λ的取值范围是（2，+∞）．故选：D．10．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（）A．12 B．8 C．D．36【考点】点到直线的距离公式．【分析】设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知，整理求得y=8﹣x，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．【解答】解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，，即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=24﹣3y，y=8﹣x求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•（8﹣x）=﹣（x2﹣6x），当x=3时，xy有最大值12故选A．11．当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1] D．（，+∞]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线方程变形，判断出直线过定点；求出特殊位置k的值，即可求出满足题意的k的范围．【解答】解：曲线y=即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线kx﹣y﹣2k+4=0即y=k（x﹣2）+4，表示恒过点A（2，4）斜率为k的直线B（2﹣，0）时，k=1，AB∵=2解得k=∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是（，1]．故选C．12．已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）≥f（1），知x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（2）=0，从而得到b=1﹣4a，作差：lna﹣（﹣b﹣1）=lna+2﹣4a，所以构造函数g（x）=lnx+2﹣4x，通过导数可求得g（x）≤g（）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜﹣b﹣1．【解答】解：f′（x）=2ax+b﹣，由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；令g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）=；∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；∴g（a）＜0，即2﹣4a+lna=lna+b+1＜0；故lna＜﹣b﹣1，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．【考点】球内接多面体．【分析】根据长方体的对角线长公式，算出该长方体的对角线长，从而算出它的外接球半径，利用球的体积公式即可算出答案．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为2，1，2，∴长方体的对角线长为=3，设长方体外接球半径为R，则2R=3，解得R=，∴该长方体外接球的体积为=．故答案为．14．若函数y=（）x在R上是减函数，则实数 a取值集合是．【考点】复合函数的单调性．【分析】根据函数在R上是减函数，可得，即，由此可得结论．【解答】解：∵函数在R上是减函数，∴，∴，∴，∴实数a取值集合是．故答案为：．15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．16．已知函数f（x）=如果对任意的n∈N*，定义fn （x）=，例如：f2（x）=f（f（x）），那么fxx（2）的值为 2 ．【考点】函数的值．【分析】利用函数性质直接求解．【解答】解：∵函数f（x）=，对任意的n∈N*，定义fn（x）=，∴f（0）=2，f（1）=0，f（2）=2﹣1=1，f1（f（2））=f（2）=1，f2（2）=f（f（2））=f（1）=0，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．f4（2）=f（f（f（f（2）））=f（f（f（1））=f（f（0））=f（2）=1，∵xx÷3=672，∴fxx（2）=f（0）=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=2，a2为整数，且a3∈[3，5]．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【分析】（1）判断数列的第二项，然后求解通项公式即可．（2）利用裂项法化简求解即可．【解答】解：（1）由a1=2，a2为整数知，且a3∈[3，5]．a3=4，{an}的通项公式为an=n+1．（2），于是．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得，利用余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA的值，进而利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cosB，解得B的范围即可得解B的值．（2）利用正弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）由已知可得，∴．∵A，C∈（0，π），∴，，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣（﹣）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵=10，∴c=10=6，∴．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出OM⊥CD，从而OM⊥平面BCD，进而OM∥AB，由此能证明OM ∥平面ABD．（2）由VA﹣BDM =VM﹣ABD=VO﹣ABD=VA﹣BDO，能求出三棱锥A﹣BDM的体积．【解答】证明：（1）∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面BCD，∴OM⊥平面BCD，∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB，∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，∴OM∥平面ABD．解：（2）由（1）知OM∥平面ABD，∵点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离．∵AB=BC=4，△BCD是等边三角形，∴BD=4，OD=2，连接OB，则OB⊥CD，，，∴三棱锥A﹣BDM的体积为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+﹣1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点到直线的距离公式d==1，求得b=1，由e===，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．【解答】解：（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，则M（1，0）到直线x﹣y+﹣1=0的距离d==1，∴b=d=1，离心率e===，解得：a=，∴椭圆C的标准方程；（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x=1，，不妨设，，∵k1+k3=2，∴，∴m，n的关系式为3n=2m．②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1），联立椭圆整理得：（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴，=，=．∴，∴m，n的关系式为3n=2m．21．已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当x为常数，且t在区间[]变化时，求y的最小值φ（x）；（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当x为常数时，设f（t）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+（3x2+1）t+4x3﹣1，是关于y的二次函数．利用二次函数图象与性质求解（2）设g（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，按照零点存在性定理去判断．可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明．【解答】解：（1）当x为常数时，f（t）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+（3x2+1）t+4x3﹣1，f'（t）=﹣12xt+（3x2+1），f'（t）=﹣12xt+3x2﹣1=3（x﹣2t）2﹣12t2+1，当，f'（t）≥0，f（t）在上递增，其最小值φ（x）=f（0）=4x3﹣1．（2）令g（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，g'（x）=12x2+6tx﹣6t2=6（2x﹣t）（x+t），由t∈（0，+∞），当x在区间（0，+∞）内变化时，g（x）与g'（x）变化情况如下表：xg'（x）﹣0+g（x）单调递减极小值单调递增①当，即t≥2时，g（x）在区间（0，1）内单调递减，g（0）=t﹣1＞0，g（1）=﹣6t2+4t+3=﹣2t（3t﹣2）+3≤﹣4（6﹣2）+3＜0，所以对任意t∈[2，+∞），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0；②当，即0＜t＜2时，g（x）在内单调递减，在内单调递增，所以时，函数g（x）取最小值，又g（0）=t﹣1，若t∈（0，1]，则，，所以g（x）在内存在零点；若t∈（1，2），则g（0）=t﹣1＞0，，所以g（x）在内存在零点，所以，对任意t∈（0，2），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0．结合①②，对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，即可将代入并化简，求曲线C的极坐标方程；（2）直角坐标方程为y﹣x=1，求圆心C到直线的距离，即可求出直线被曲线C 截得的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐标方程为y﹣x=1，∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且++=k，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1））|x﹣2|﹣|x﹣3|≤|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=1，由此能求出m最小值．（2）由（1）知，由此利用均值不等式能证明a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）∵|x﹣2|﹣|x﹣3|≤|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=1，不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立，∴m≥1，∴m最小值为1．（2）由（1）知k=1，即，=．当且仅当a=2b=3c时等号成立，∴a+2b+3c≥9．xx12月16日30536 7748 睈37958 9446 鑆ybA,028135 6DE7 淧@w39297 9981 馁 }40275 9D53 鵓8。
2021-2022年高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案(V)
2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题含答案(V)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本题共12个小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复数z满足（z－i）（1－i）＝1＋i，则z＝A．0 B．i C．－i D．2i2．设集合A＝{x｜－3x＋2＞0，x∈R}，集合B为函数y＝lg（3－x）的定义域，则A∩B＝A．（0，1）∪（2，3） B．（－∞，1）∪（2，3）C．（－∞，1）∪（2，＋∞） D．（3，＋∞）3．下列说法错误的是A．若命题p：∈R，＋x＋1＜0，则：∈R，＋x＋1≥0B．命题“若－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则－3x＋2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“－3x＋2＞0”的充分不必要条件4．要得到函数y＝cos（2x＋）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位5．若曲线y＝的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－3＝0 B．x－4y－3＝0C．x＋4y－3＝0 D．4x＋y－3＝06．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A．π B．πC．π D．π7．设变量x，y满足约束条件1,0,0.xx yy⎧⎪⎨⎪⎩＋y－≥0＋2－2≤≥则目标函数z＝x－y＋1的最大值为A．－1 B．0 C．2 D．3 8．已知sinα－cosα＝，α∈（0，），则sin2α＝A．－ B． C．－ D．9．右图为一个算法的程序框图，则其输出结果是A．0B．1C．xxD．xx10．设等差数列{}的前n项和为，已知S2＋S6＝0，a4＝1，则a5＝A．－2 B．－1C．0 D．211．抛物线＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，｜AF｜＝3，则｜BF｜＝A． B． C． D．212．定义方程f（x）＝的实数根) 叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝2x，h（x）＝lnx，（x）＝（x≠0）的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞a＞c第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题。
2021-2022年高三上学期期中练习数学文试题含答案
2021-2022年高三上学期期中练习数学文试题含答案数学（文） xx.11作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）若等比数列满足，则（）（A）（B）（C）或（D）或（3）设，，，则（）（A）（B）（C）（D）（4）已知点，向量，那么（）（A）（B）∥（C）（D）（5）已知函数（为常数），则函数的图象恒过点（）（A）（B）（C）（D）（6）设，则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数在区间内的零点个数为（）（A）（B）（C）（D）（8）设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）（A）当时，取得最大值（B）当时，取得最大值（C）当时，取得最小值（D）当时，取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知角的终边过点，则______．（10）已知（为虚数单位），则实数的值为_____．（11）已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值是________.（12）已知函数21,10,()1(), 01,2xx x xf xx⎧++-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤则_______；的最小值为.（13）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品浓度达到最大.（14）已知全集，集合是集合的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若，则；②若，则；③若，则.则集合___________.（用列举法表示）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）设数列是首项为，公差为的等差数列，且是等比数列的前三项. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）如图所示，在四边形中，，且1,3,cos 3AD CD B ===. （Ⅰ）求△的面积； （Ⅱ）若，求的长.（18）（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象关于点对称，直接写出的值； （Ⅱ）求函数的单调递减区间； （Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最大值.（19）（本小题满分13分）已知数列满足，为其前项和，且(1)(1,2,3,)2n n a n S n +==. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断数列是否为等差数列，并说明理由. （20）（本小题满分14分）已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有： ①当时，； ②当时，； ③当时，，则称为函数的一个“ʃ -点”.（Ⅰ）判断是否是下列函数的“ʃ -点”：DCBA①； ②.（只需写出结论） （Ⅱ）设函数.（ⅰ） 若，证明：是函数的一个“ʃ -点”； （ⅱ） 若函数存在“ʃ -点”，直接写出的取值范围.海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文）答案及评分参考 xx.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）B （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年陕西省咸阳市泾阳县高三(上)期中数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年陕西省咸阳市泾阳县高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 函数f(x)=1x−1+lnx 的定义域是( )A. (1,+∞)B. (0,1)C. (0,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)2. cos80°cos50°+sin80°sin50°=( )A. −√32B. √32C. −12D. 123. 函数f(x)=sin(2x −π3)的一个对称中心的坐标是( )A. (0,0)B. (0,−√32) C. (π2,0)D. (π6,0)4. 已知函数f(x)=cosx +sinx ，则f(x)的最大值为( )A. √22B. 1C. √2D. 25. 已知函数f(x)=2x −2−x ，则函数f(x)( )A. 是奇函数，且在R 上单增B. 是奇函数，且在R 上单减C. 是偶函数，且在R 上单增D. 是偶函数，且在R 上单减6. 函数y =xcosx +sinx 在区间[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.7. 如图所示，已知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗ ，则下列等式中成立的是( )A. c⃗ =32b ⃗ −12a ⃗ B. c ⃗ =2b ⃗ −a ⃗ C. c ⃗ =2a ⃗ −b ⃗D. c ⃗ =32a ⃗ −12b ⃗8. 已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，若f(x)在区间[3,+∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. [0,6]C. [6,+∞)D. (−∞,0]∪[6,+∞)9. 把函数f(x)的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y =2sin(x −π3)的图像．则函数f(x)的一个解析式为f(x)=( )A. 2cos(2x +π6)B. 2sin(2x +π6)C. 2cos(2x +π3)D. 2sin(2x +π3)10. 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系可以表示为( )A. y =(12)1−5730xB. y =(12)5730xC. y =(12)x5730 D. y =2x573011. 设a =log 32，b =log 53，c =23，则( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b12. 设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f′′(x)，若在(a,b)上f′′(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“严格凸函数”.在下列函数中，在(0,π)上为“严格凸函数”的是( )A. y =e xB. y =x 3C. y =cosxD. y =2sinx二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(6,2)，b ⃗ =(−1,λ)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则λ=______．15.若函数f(x)=12+cosx ，则f′(π3)=______．16.魏晋南北朝(公元220−581)时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表间DF=85.则塔高AB=______米．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3sin(2x+π6)．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知csinA−acosC=0．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．x3−2x2+3x+1．19.已知函数f(x)=13(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的极值．20.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)=log a(x+1)，(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若−1<f(1)<1，求实数a的取值范围．21.某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为500万元，每生产x(x∈N∗)台，需另x2+40x；若年产量不小于80台，投入成本y1万元．若年产量不足80台，则y1=12−2180.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产则y1=101x+8100x的电子设备能全部售完．(Ⅰ)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式；22.已知函数f(x)=e x−a(x+2)(a>0)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：要使原函数有意义，则{x −1≠0x >0，即x >0且x ≠1．∴函数f(x)=1x−1+lnx 的定义域是(0,1)∪(1,+∞)． 故选：D ．由对数式的真数大于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：cos80°cos50°+sin80°sin50°=cos(80°−50°)=cos30°=√32．故选：B ．根据已知条件，结合余弦函数的两角差公式，即可求解． 本题主要考查余弦函数的两角差公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π3)， 令2x −π3=kπ(k ∈Z)， 则x =kπ2+π6(k ∈Z)，令k =0，得x =π6，于是f(π6)=sin0=0，即函数f(x)=sin(2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0)， 故选：D ．依题意，令2x −π3=kπ(k ∈Z)，可求得x =kπ2+π6(k ∈Z)，再对k 赋值，可得答案．本题考查正弦函数的对称性，掌握正弦函数的图象与性质是解决问题的关键，考查运算【解析】解：∵f(x)=cosx+sinx=√2sin(x+π4)，∴当x+π4=π2+2kπ，k∈Z，f(x)取得最大值√2．故选：C．f(x)=cosx+sinx=√2sin(x+π4)，再结合正弦函数的性质，即可求解．本题主要考查三角函数最值的求解，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：函数f(x)的定义域为R，f(−x)=2−x−2x=−f(x)，可得f(x)为奇函数，由y=2x在R上递增和y=2−x在R上递减，可得f(x)在R上递增，故选：A．由函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性可得结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．先判断函数的奇偶性，再利用f(π)的符号确定选项．【解答】解：y=f(x)=xcosx+sinx，则f(−x)=−xcosx−sinx=−f(x)，∴f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x=π时，y=f(π)=πcosπ+sinπ=−π<0，故排除B，故选：A．【解析】解：如图所示：已知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即：c ⃗ =32b ⃗ −12a ⃗ ， 故选：A ．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，属于中档题．由f(3+x)=f(3−x)可得二次函数的对称轴为x =3，进一步由f(x)在区间[3,+∞)上单调递减，得到答案． 【解答】解：由f(3+x)=f(3−x)可得二次函数的对称轴为x =3， 又∵f(x)在区间[3,+∞)上单调递减， ∴f(x)在区间(−∞,3)上单调递增， 且f (0)=f (6)由f(m)≥f(0)，可得0≤m ≤6， 则实数m 的取值范围是[0,6]， 故选：B ．9.【答案】B【解析】解：为得到函数y =2sin(x −π3)的图像，将函数的图像上的所有点的横标缩小f(x)=2sin(2x +π6)的图像．故选：B ．直接利用正弦型函数的图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的图像的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由题意可设y =(12)ax ，当x =5730时，y =12，即12=(12)5730a ，解得a =15730， 故y 与x 的关系可以表示为y =(12)x5730．故选：C ．由题意可设y =(12)ax ，将点(5730,12)代入上式，即可求解． 本题主要考查函数的实际应用，考查转化思想，属于基础题．11.【答案】A【解析】 【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【解答】解：∵a =log 32=log 3√83<log 3√93=23， b =log 53=log 5√273>log 5√253=23， c =23， ∴a <c <b ． 故选：A ．12.【答案】D【解析】解：对于A ，函数y =e x ，则y′=e x ，y′′=e x >0恒成立，故选项A 错误； 对于B ，函数y =x 3，则y′=3x 2，y′′=6x ， 所以当x >0时，y′′>0恒成立，故选项B 错误； 对于C ，函数y =cosx ，则y′=−sinx ，y′′=−cosx ，所以当0<x <π2时，y′′<0，当π2<x <π时，y′′>0，故选项C 错误； 对于D ，函数y =2sinx ，则y′=2cosx ，y′′=−2sinx ， 所以当0<x <π时，y′′<0恒成立，故选项D 正确． 故选：D ．根据基本初等函数的导数公式求出函数的导数，一一判断即可． 本题考查了新定义问题，常见函数求导公式的理解与应用，属于基础题．13.【答案】3【解析】解：∵向量a ⃗ =(6,2)，b ⃗ =(−1,λ)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴6×(−1)+2λ=0，即λ=3． 故答案为：3．由已知直接得关于a 的方程，求解得答案． 本题考查两向量垂直坐标运算，是基础题．14.【答案】43【解析】解：∵tanα=12，∴tan 2α=2tanα1−tan 2α=2×121−(12)2=43． 故答案为43．利用倍角公式即可得出． 熟练掌握倍角公式是解题的关键．15.【答案】2√325【解析】解：∵f(x)=12+cosx，∴f′(x)=sinx(2+cosx)2，∴f′(π3)=√32(2+12)2=2√325．故答案为：2√325．根据题意，结合导数的运算法则，即可求解．本题主要考查导数的运算法则，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】87【解析】解：根据题意，ABBG =CDDG=21=2=ABBD+1，AB BH =EFFH=23=ABBD+85+3，∴2(BD+1)=23(BD+88)，解得BD=852(米)，∴AB=2×(852+1)=87(米)，故答案为：87．由题意，利用相似三角形，建立关于BD的方程，并求出BD，再求出AB的长即可．本题考查解三角形的知识，考查学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=√3sin(2x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)函数y=sinx在一个周期[−π,π]内的单调递增区间为[−π2,π2 ]，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．【解析】(I)根据已知条件，结合正弦函数的周期公式，即可求解．(II)函数y=sinx在一个周期[−π,π]内的单调递增区间为[−π2,π2]，令−π2+2kπ≤2x+第11页，共14页π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解出x的取值范围，即可求解．本题主要考查三角函数的周期性，以及单调性，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及csinA−acosC=0得，sinCsinA−sinAcosC=0，∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，∴sinC−cosC=0，即tanC=1，又C∈(0,π)，∴C=π4．(Ⅱ)∵S△ABC=12absinC=6,b=4,C=π4，∴a=3√2，由余弦定理知，c2=a2+b2−2abcosC=(3√2)2+42−2×3√2×4×√22=10，解得c=√10．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化边为角，并由同角三角函数的商数关系可得tanC=1，从而得解；(Ⅱ)由S=12absinC，可得a的值，再利用余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=x2−4x+3，∴f′(0)=3，又f(0)=1，∴所求切线方程为y−1=3(x−0)，即3x−y+1=0；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f′(x)=(x−1)(x−3)，∴令f′(x)>0，得x<1或x>3；令f′(x)<0，得1<x<3．∴f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(1)=73，极小值为f(3)=1．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求解切线方程即可；第12页，共14页第13页，共14页 (Ⅱ)利用极值的定义求解即可．本题考查了导数几何意义的理解与应用，曲线切线方程的求解，利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数极值的应用，属于基础题．20.【答案】解：(1)设任意的x <0，则−x >0，…(1分)由题，f(−x)=log a (−x +1)又∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(−x)=f(x)…(3分)∴当x <0，f(x)=log a (−x +1)…(5分)∴函数f(x)的解析式为f(x)={log a (x +1),x ≥0log a (−x +1),x <0…(6分) (2)∵−1<f(1)<1，∴−1<log a 2<1，∴log a 1a <log a 2<log a a …(7分)①当a >1时，原不等式等价于{1a <2a >2解得a >2…(9分)②当0<a <1时，原不等式等价于{1a >2a <2解得 0<a <12…(11分)综上，实数a 的取值范围为{a|0<a <12或a >2}…(12分)【解析】(1)设任意的x <0，则−x >0，利用奇偶性求出x <0时的函数解析式，最后用分段函数表示即可；(2)由−1<f(1)<1，可得−1<log a 2<1，分类讨论，求实数a 的取值范围． 本题主要考查了利用奇偶性求函数的解析式，以及对数的运算性质，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)当0<x <80且x ∈N ∗时，y =100x −(12x 2+40x)−500=−12x 2+60x −500；当x ≥80且x ∈N ∗时，y =100x −(101x +8100x −2180)−500=1680−(x +8100x )， ∴y ={−12x 2+60x −500,0<x <80且x ∈N ∗1680−(x +8100x ),x ≥80且x ∈N∗． (Ⅱ)①当0<x <80且x ∈N ∗时，y =−12x 2+60x −500=−12(x −60)2+1300，∴当x=60时，y取得最大值，最大值为1300，②当x≥80且x∈N∗时，y=1680−(x+8100x )≤1680−2√x⋅8100x=1500，当且仅当x=8100x，即x=90时，y取得最大值，最大值为1500，∴当年产量为90台时，年利润最大为1500万元．【解析】(I)根据已知条件，结合利润=收入−固定成本−另投入成本公式，分0<x<80且x∈N∗，x≥80且x∈N∗两种情况讨论，即可求解．(II)根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=e x−1，令f′(x)=0，解得x=0；∴当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)的最小值为f(0)=−1.(6分)(Ⅱ)f′(x)=e x−a，令f′(x)=0，解得x=lna，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)的最小值为f(lna)=a−a(lna+2)=−a(1+lna)；又当x→−∞时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→+∞；∴要使f(x)有两个零点，只需f(lna)<0即可；又a>0，∴1+lna>0，解得a>1e．∴若f(x)有两个零点，则a的取值范围是(1e,+∞).(12分)【解析】(Ⅰ)当a=1时，求出导函数，得到极值点，判断函数的单调性，转化求解最小值即可．(Ⅱ)利用函数的导数，求解函数的最小值，结合f(x)有两个零点，转化求解a的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．第14页，共14页。
2021-2022学年陕西省安康市高三(上)期中数学试卷(文科)(附详解)
本题主要考查函数的实际应用哦，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解： 向量 ， 满足 ， ， ，
，
，
，
设向量 与 的夹角为 ，
则 ，
，
．
故选： ．
运用向量的平方即为模的平方，求出 的模长，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题．
若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；
求证：
22.已知函数 ．
若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
若 恒成立，求实数 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解： 集合 ，
，
．
故选： ．
求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
将 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 纵坐标不变 ，再将所得图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像．求 在区间 上的值域．
19. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
求 ；
若 ，且 ， ，求 的面积．
20.已知数列 的前 项和为 ，且 ．
求 的通项公式；
求数列 的前 项和 ．
21.已知函数 ．
当 时， ，故 在 单调递减，故D正确；
综上所述，错误的选项为 ，
故选： ．
利用余弦函数的周期性、单调性、对称性对 四个选项逐一判断即可得答案．
本题考查余弦函数的周期性、单调性、对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，记这位公公的第 个儿子的年龄为 ，则数列 为等差数列，
2021-2022年高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案(VII)
2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题含答案(VII)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A． B． C． D．2.已知集合，{}==+∈∈，则的子集个数为（）B z z x y x A y A,,A．8 B．3 C．4 D．73.已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（）A． B． C． D．4.将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A． B． C． D．5.已知等比数列中，，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．166.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．7.如图，偶函数的图象如字母，奇函数的图象如字母，若方程，的实根个数分别为、，则（）A．12 B．18 C．16 D．148.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．9.三棱锥中，平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．3024 B．1007C．xx D．xx11.已知函数的极大值为m，极小值为n，则m+n=( )A.0B.2C.-4D.-212.某实验室至少需要某种化学药品10，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3，价格为12元；另一种是每袋2，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（）元A．56 B．42 C．44 D．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.与直线垂直的直线的倾斜角为14.若函数(21)1()1a xf x xx++=++为奇函数，则________．15．已知22:12,:210,(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．16．如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2021年高三上学期期中数学文科试卷及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确答案的序号填涂在答卷上.
1．已知{}{}{}5,4,2,5,4,35432==N M U ，，，，
＝，则（ ） A ． B ． C ． D ．
2．已知等差数列中，124971,16a a a a ，则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
3．函数),2[,32)(2
+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A ．[－8，+∞）
B ．[8，+∞）
C ．（－∞，－ 8]
D ．（－∞，8] 4．下列结论正确的是（ ）
A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时
B ．
C ．的最小值为2
D ．当无最大值
5．设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若，∥，则∥ B ．若 C ．若∥，，则 D ．若
6．如图，在中，已知，则（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知正数x 、y 满足，则的最大值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
8．下列四种说法中,错误．．
的个数是（ ） ①．命题“2
,320x
R x x ∀
∈--
≥均有”的否定是：“
2
,320x R x x ∃∈--≤使得” ②．“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
③．“若”的逆命题为真； ④．的子集有3个
A ．个
B ．1个
C ．2 个
D ．3个 9. 将函数图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到图象，再将图象沿轴向左平移个单位，得到图象，则图象的解析式可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数的零点的个数是（ ）
A ．个
B ．1个
C ．2 个
D ．3个
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
D
C
B
A
A
B
C
D D 1 C 1
B 1
A 1
11．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。
12. 已知某实心几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积为 。
13．已知两个非零向量，定义，其中为与的夹角。
若)1,1(),3,1(--=--=+b a b a ，则＝ 。
14．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第80个数对是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分12分)
如图所示，直棱柱中，底面是直角梯形，，． （1）求证：平面；
（2）在A 1B 1上是否存一点，使得与平面平行？证
明你
的结论．
16．（本小题满分12分）
已知直角坐标平面上四点(0,0),(1,0),(0,1),(2cos ,sin )O A B C θθ,满足.
（1）求的值； （2）求2
2cos()
312sin 2
π
θθ
--的值
17．（本小题满分14分）
设集合，{}
012322<--+-=m m mx x x B . （1）若，求m 的取值范围； （2）若，求m 的取值范围. 18．（本小题满分14分）
某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域. （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
19．（本小题满分14分）
设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在及时取得极值． （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c 的取值范围． 20．（本小题满分14分）
已知数列中，，且)2()1(11≥-+=-+n ta a t a n n n ． （1）若，求证：数列是等比数列． （2）求数列的通项公式． （3）若*)(12,221
2N n a a b t n
n n ∈+=<<，试比较与的大小．
A B
C
D1C1
B1
A1
佛山一中xx－xx上学期高三期中考试
文科数学答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确答案的序号填涂在答卷上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D C B D B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分。
11、12、13、 2 14、(2,12)
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分12分)
直棱柱中，底面是直角梯形，，．
（1）求证：平面；
（2）在A1B1上是否存一点，使得与平面平行？证明你的结论．
15．（1）证明：直棱柱中，平面，…2分
∴45,
AC CAB BC BC AC
=∠=︒∴=∴⊥…………………5分又平面．………………6分
（2）存在点，为的中点可满足要求．…………………7分
证明：由为的中点，有，且…………………8分
又∵
1
1
//,,//
2
CD AB CD AB CD PB
=∴，且，
∴为平行四边形，…………………10分
又面，面，面…………………12分
16．（本小题满分12分）
已知直角坐标平面上四点(0,0),(1,0),(0,1),(2cos,sin)
O A B Cθθ,满足.
（1）求的值；（2）求
2
2cos()
3
12sin
2
π
θ
θ
-
-
的值
16．解（1），2分
由已知有6分
（2）
θ
θ
θ
θ
θ
π
cos
sin
3
cos
2
cos
2
1
)
3
cos(
2
2
+
=
-
-
10分
= = 12分
P
17．（本小题满分14分）
设集合，{}
012322<--+-=m m mx x x B . （1）若，求m 的取值范围； （2）若，求m 的取值范围.
18．（本小题满分14分）
某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于
地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用． （1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域.
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
19．（本小题满分14分）
设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在及时取得极值． （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c 的取值范围。
19．解：（1）， 1分 依题意，得，即 4分
经检验，，符合题意． 5分
（2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
7分
所以，当时，的最大值为． 11分 因为对于任意的，有恒成立，所以 ， 13分 因此的取值范围为． 14分 20．（本小题满分14分）
已知数列中，，且)2()1(11≥-+=-+n ta a t a n n n ． （1）若，求证：数列是等比数列． （2）求数列的通项公式． （3）若
*)(12,221
2N n a a b t n
n n ∈+=<<，试比较与的大小． 20．解：⑴由已知得，当时，11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥ 2分
∴，又0)1(2
12≠-=-=-t t t t a a
∴是首项为，公比为的等比数列 4分 ⑵由⑴得，当时，2
1
1()(1)n n n a a t t t t -+-=-≠，即 5分
∴，，…，，
将上列各等式相加得，∴ 6分
当时，…，∴
综上可知 8分 ⑶由，得 9分
∵11(2)1
(2)()(2)2(2)n
n
n n n n n n
t t t t t -+-+=-，又，∴，，
∴，∴，∴ 11分
∴………
11[1()]
12(21)22[]122112
n n
--=+
-
-112(12)22222n n n n --=-+<-⋅=- 14分。