平面的基本事实与推论
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a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面） A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D
]
2．下列推断中，错误的是[ C
]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
α
练习: (1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面 外", 正确的是( ) A. A l , l B. A l , l C. A l , l D.A l ,l (2)若A , B , A l , B l , 那么直线l与平面 有 ___ 个公共点. (3)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.
三种语言转换
图形语言
Q A
D A
D A B
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上
C
P
A1 M
A1 A
B
B
C B
点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线l和平面α交于A 平面α和平面β交于直线l
M 平面 AC A 1 平面 AC AB 平面AC AA1 平面AC
当 在长方体ABCD－A B C D 中，画出下列 1 1 1 1 堂 两平面的交线： 检 （1）平面A1C1D与平面B1D1D； 测 （2）平面A1C1B与平面AB1D1。
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
C1
B1 D
C
C
A
A
B
当堂检测
判断下列命题是否正确 ：
（1）三点确定一个平 面。 （×）
P AB Q AB
符号语言
A B C
AB BC=B
l
A
l
l A
l
基本事实1
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面基本性质
基本性质1：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。 A , B , C 2.符号语言: 唯一
例题讲解 例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B A C
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
B
证明：
A
C
因为A，B，C三点不共线， 因此它们能确定一个平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
平面基本事实3
1.文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。
2.符号语言: P , P
l且P l
P l
3.图形语言：
两个相交平面的画法：
二、平面的基本事实的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A C 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
11.2平面的基本事实与推论
点、线、面的表示
1.字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D…… 直线（点的集合）：小写英文字母 l , m, n 平面（点的集合）：用希腊字母 , , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
2.点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号 元素与集合关系：, 集合与集合关系： , ;
思考与讨论
正方体中，试画出过其中三条棱的 中点P，Q，R的平面截得正方体的 截面形状．
（2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。（×）
（3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α.（×） 则α与β重合。
（ √）
（4）平面α与平面β 有三个不在一直线上的 公共点，
（5）两两相交的三条 直线不共面。 （×）
小结：
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、 三点共线、三线共点问题的一般方法． 1．证明若干点或直线共面通常有两种思路 （1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面 重合； （2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素 在这平面内． 2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某 两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共 点，即该点分别在这两个平面内． 3．证明三线共点，通常先证其中的两条直线相交于 一点，然后再证第三条直线经过这一点．
A, B, C不共线
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
3.图形语言：
A
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
C
平面基本事实2
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。 2.符号语言:A l , B l , A , B l 3.图形语言： ．A ．B
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面） A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D
]
2．下列推断中，错误的是[ C
]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
α
练习: (1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面 外", 正确的是( ) A. A l , l B. A l , l C. A l , l D.A l ,l (2)若A , B , A l , B l , 那么直线l与平面 有 ___ 个公共点. (3)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.
三种语言转换
图形语言
Q A
D A
D A B
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上
C
P
A1 M
A1 A
B
B
C B
点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线l和平面α交于A 平面α和平面β交于直线l
M 平面 AC A 1 平面 AC AB 平面AC AA1 平面AC
当 在长方体ABCD－A B C D 中，画出下列 1 1 1 1 堂 两平面的交线： 检 （1）平面A1C1D与平面B1D1D； 测 （2）平面A1C1B与平面AB1D1。
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
C1
B1 D
C
C
A
A
B
当堂检测
判断下列命题是否正确 ：
（1）三点确定一个平 面。 （×）
P AB Q AB
符号语言
A B C
AB BC=B
l
A
l
l A
l
基本事实1
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面基本性质
基本性质1：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。 A , B , C 2.符号语言: 唯一
例题讲解 例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B A C
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
B
证明：
A
C
因为A，B，C三点不共线， 因此它们能确定一个平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
平面基本事实3
1.文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。
2.符号语言: P , P
l且P l
P l
3.图形语言：
两个相交平面的画法：
二、平面的基本事实的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A C 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
11.2平面的基本事实与推论
点、线、面的表示
1.字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D…… 直线（点的集合）：小写英文字母 l , m, n 平面（点的集合）：用希腊字母 , , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
2.点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号 元素与集合关系：, 集合与集合关系： , ;
思考与讨论
正方体中，试画出过其中三条棱的 中点P，Q，R的平面截得正方体的 截面形状．
（2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。（×）
（3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α.（×） 则α与β重合。
（ √）
（4）平面α与平面β 有三个不在一直线上的 公共点，
（5）两两相交的三条 直线不共面。 （×）
小结：
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、 三点共线、三线共点问题的一般方法． 1．证明若干点或直线共面通常有两种思路 （1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面 重合； （2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素 在这平面内． 2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某 两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共 点，即该点分别在这两个平面内． 3．证明三线共点，通常先证其中的两条直线相交于 一点，然后再证第三条直线经过这一点．
A, B, C不共线
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
3.图形语言：
A
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
C
平面基本事实2
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。 2.符号语言:A l , B l , A , B l 3.图形语言： ．A ．B