平面的基本事实与推论
人教版高中数学必修四 平面的基本事实与推论
在同一平面内.
B
α
证明：设直线AB, BC, AC
A
C
两两相交,交点分别为A, B, C.显然A, B, C三点不共线,
因此它们能确定一个平面α. 因为A∈α, B∈α,所以直线
AB⊂α .同理直线 AC⊂α ,直线 BC⊂α .即直线AB, BC,
AC都在同一平面内.
例题 过直线外一点与这条直线上的3点，分别画3
平面的基本事实与推论
高一年级 数学
主讲人 黎宁
北京师范大学附属实验中学
一、平面的基本事实
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且
只有一个平面.
A
α
C
B
A∈α, B∈α, C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面
内，那么这条直线在这个平面内. A
α
B
如果 A∈α, B∈α, 那么 直线 AB⊂α .
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个 平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面的基本事实与推论（一）
高一年级 数学
主讲人 黎宁
北京师范大学附属实验中学
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎
A
α
C
B
又因为这个平面含有不共线的三点A ，B ， C，
由基本事实1可知，这个平面是确定的.
例题 如图 ， 正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 分别指出
11.2 平面的基本事实与推论
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
1|点、线共面问题 如图,自行车有了脚撑就能在地面上“站稳”.
问题 自行车能在地面上“站稳”反映了什么基本事实? 提示:不共线的3点确定一个平面.
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
所谓点、线共面问题就是指结论是几个点或几条直线在同一平面内的问题. (1)证明点、线共面问题的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论. (2)证明点、线共面问题的常用方法:①先由其中的点或者线确定一个平面,再证明 其他点、线均在此平面内,这种方法通常称为“纳入法”;②过有关的点、线分别 作多个平面,再证明这些平面重合,这种方法称为“重合法”.
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
1 | 点、直线、平面的基本事实与推论
基本事实 与推论 点与直 线的基 本事实
平面的 基本事实1
平面的 基本事实2
内容
图形
(1)连接两点的线中,① 线段 最短. (2)过两点有一条直线,并且只有 一条直线
经过不在一条直线上的② 3个 点 ,有且只有一个平面(即不 共线的3点确定一个平面)
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 必修·第四册 人教B版
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的三个基本事实. 4.理解三个基本事实的地位与作用.
符号语言 l⊄α
图形语言
l,m相交于A
l∩m=A
l,α相交于A
l∩α=A
α,β相交于l
α∩β=l
11.2平面的基本事实与推论(用)
一、用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
a
点A在直线a上： 记为：点A∈a
A
点B不在直线a上： 记为：点B∈a
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：点A∈面α 点B不在平面α上：记为：点B∈面α α
B A
(3)直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
B
图形语言：
αA
C
符号语言：
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C
观察下列图形，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理2.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
l
α
A
B
文字语言：
公理2.如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a//α
a
a
a
A
α
α
α
二、平面的基本性质
B
αA
C
公理1.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
文字语言：
公理1.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且Байду номын сангаас有一个平面 。
思考与讨论:
1 2 3 两个平面平行
两个平面能将空间分成几部分? 3或4
平面的基本事实与推论高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
跟踪训练1 (1)如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之 间的关系．
①点P与直线AB； ②点C与直线AB； ③点M与平面AC； ④点A1与平面AC； ⑤直线AB与直线BC； ⑥直线AB与平面AC； ⑦平面A1B与平面AC.
解析：①点P∈直线AB；②点C∉直线AB； ③点M∈平面AC；④点A1∉平面AC； ⑤直线AB∩直线BC＝点B；⑥直线AB⊂平面AC； ⑦平面A1B∩平面AC＝直线AB.
题型2 点、线共面问题 例2 (1)已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在 同一平面内；
(2)空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A．1
B．2
C．3
D．1或3
答案：D
解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两 相交且交于同一点时，若三条直线共面，则能确定1个平面，若三条直线不共面， 则能确定3个平面．
符号 A，B，C三点不共 线⇒存在唯一的平面 α使A，B，C∈α __A_∈__l _ ， __B_∈__l_ ， 且__A_∈__α_，__B_∈__α_⇒ l ⊂α
_＝P_P_l∈∈，_βα_且_ ，P∈_l_____⇒ α
推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有 不在同一条直线上的三个点，故不正确．
3．根据图，填入相应的符号：A____∈____平面ABC，A____∉____平 面BCD，BD____⊄____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝___A_C____．
4．下列说法正确的是( ) A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．梯形一定是平面图形 C．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点 D．一条直线和一个点确定一个平面
平面的基本性质及推论
4个
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
D A
C B
D1 A1
C1 B1
小结
1、平面的基本性质：三公理三推论 2、公理化方法：从一些原始概念（基 本概念）和一些不加证明的原始命题 （公理）出发，运用逻辑推理，推导 出其他命题和定理的方法叫公理化方 法。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Байду номын сангаас符 符号号语表言：示：
Al, B l,且A , B l
α
A
B
公理1的作用：
一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；
符号语言：
P P
l且P
l
公理3的作用：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
α
（×）
（×） （×）
（×） （×）
2、（1）不共面的四点可以确定几个平面？
一.平面的概念及特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
二.平面的表示：
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
α A
符号表示：
B
α
平面ABCD 平面AC
三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
19-20 第11章 11.2 平面的基本事实与推论
【例 3】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别是棱 CD，AB，DD1，AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证： D，A，Q 三点共线．
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[解] 因为 MN∩EF＝Q， 所以 Q∈直线 MN，Q∈直线 EF， 又因为 M∈直线 CD，N∈直线 AB， CD 平面 ABCD，AB 平面 ABCD. 所以 M，N∈平面 ABCD， 所以 MN 平面 ABCD.所以 Q∈平面 ABCD. 同理，可得 EF 平面 ADD1A1.所以 Q∈平面 ADD1A1. 又因为平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD， 所以 Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线．
据；②判定点 P∈l
在直线上
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2．平面基本事实的推论 推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图 ①)． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
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1．如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面不能记为 ( )
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点击右图进入…
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证明线共点问题的方法 1．方法 1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面 的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上． 2．方法 2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该 交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
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1．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2， 求证：
平面的基本性质与推论
（2）A∈β，B ∈β，C ∈β，
D ∈ β，E β，F β；
（3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？
C A
B
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， F D ∴连结PB，PB 即为
平面BED1F 与平面 ABCD的交线.
P
A
B1 E C
B
D1 A1 FD A P
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面.
C1 B1 E
C B
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，
பைடு நூலகம் P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α. ∴ P是面ABC与面α的公共点，
平面的基本事实与推论
2.下列说法正确的是
(D)
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
3.(多选题)平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可
能有交线
()
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
3.(多选题)平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可
能有交线
A, B,C
作用：确定平面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内.
作用：证明线在面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线.
作用：证明平面相交或点共线
二、平面基本事实的推论 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
常考题型 例1 证明：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内
［2019·安徽全椒中学高一月考］三条直线两两相交，可确定的平面
个数是（ ）
A.1 B.1或3 C.1或2
D.3
［2019·安徽全椒中学高一月考］三条直线两两相交，可确定的平面
A.AD上 C.A1D1上
B.B1C1上 D.BC上
【解析】选B.由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1 上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.
小结
一、平面的基本事实
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线.
11.2平面的基本事实与推论课件-高一数学(人教B版必修第四册)
初中几何中，我们知道“两点之间线段最短”、“过两点有
且只有一条直线”这样关于点与直线的基本事实.
生活中的平面到处可见，这节课我们一起来总
结一下空间中的平面有什么基本事实.
1.掌握两个平面相交的画法.
2.会用集合语言推证简单命题；掌握确定平面的根据.（重点）
3.使学生能够掌握性质与推论的简单应用，正确运用平面的基
面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？
不是，因为平面是无限延伸的.
B
当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的.
思考2：裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？直线
思考3：两个平面相交时，公共点具有什么特点？
公共点在一条直线上（共线）.
基本事实3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条过这个点的公共直线.
(1)用来判定两平面是否相交.
(2)画两个相交平面的交线.
(3)确定三点共线或三线共点.
【练一练】
下列命题正确的是( C )
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D.四边形确定一个平面
探究点2 平面的基本性质的推论
推论1：
文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
的重要根据，也为证明直线共面问题提供了根据.
(3)深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，
“只有”是说平面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这
两方面.
【练一练】
无数
（1）经过同一直线上三点可以确定______个平面.
无数
（2）经过一点可以确定______个平面.
平面四个基本事实和三个推论
平面四个基本事实和三个推论1. 平面的四个基本事实平面几何，听起来是不是有点儿晦涩难懂？其实，咱们的世界就是一个大平面，身边的地面、桌面、墙面，都是平面的一部分。
简单来说，平面就是没有弯曲的表面。
那么，平面几何的四个基本事实是什么呢？来，咱们一个一个捋清楚。
1.1 直线与直线的交点首先，咱们得说说直线。
直线在平面上是最基本的东西了。
平面里任意两条直线，要么相交，要么平行。
假如它们是相交的，那它们的交点就是它们唯一共同的地方。
比如说，你家门口的两条人行道线，理论上是会在某个点交汇的。
这就好比是相遇的情感，不管多远的距离，总会有一个交点。
1.2 三点确定一条直线再来，三点确定一条直线。
这听上去有点拗口，但其实很简单。
平面上的任意三点，只要不在同一条直线上，就会形成一条直线。
就像三个人摆在一起，可以组成一个小队，他们中间的关系决定了他们的排队方式。
这就类似于三个人聚会，任意两个点组成了相互连接的关系线。
1.3 平行线的性质说到平行线，那可就有趣了。
平行线就是在同一个平面上永远不会相交的直线。
这就像两条平行的火车轨道，不管走多远，始终不会碰面。
这样的性质使得平行线之间的距离始终如一，不会因任何原因发生变化。
1.4 平面上角的和最后，咱们来聊聊角。
平面上任何三角形的内角和都是180度。
这就像你和朋友们在开派对，无论怎么排列，总有一个固定的度数在你们之间。
这个事实在平面几何中是绝对可靠的，不管三角形的形状如何，内角和始终不变。
2. 平面几何的三个推论了解了这四个基本事实，咱们接着看看它们的推论。
这些推论虽然听起来有点儿复杂，但其实就是基本事实的延伸。
2.1 两条平行线的角度关系首先，如果你在平面上有两条平行线，并且被另一条直线截断，这样产生的内外角之间有着非常有趣的关系。
比如，形成的同位角是相等的，内错角也是相等的。
这就好像是平行线的“情书”，表达了它们之间的独特关系，无论如何都不会改变。
2.2 三角形的外角再来看一下三角形的外角。
平面的基本事实与推论
平面的基本事实与推论一、平面的基本事实。
1. 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
- 这一基本事实也称为“确定平面的条件”。
例如，三脚架的三个脚不在同一条直线上，能稳定地支撑在一个平面上，这个平面就是由这三个点确定的唯一平面。
2. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
- 可以理解为直线是由无数个点组成的，如果其中两个点在平面内，那么这条直线就像是被这两个点“拉”进了这个平面。
在一个房间（可看作一个平面）里，墙上画的一条直线，如果直线上有两点在墙面上，那么整条直线都在这个墙面上。
3. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
- 就像两本打开的书（看作两个平面），如果它们相交，相交的部分是一条直线，而且这条直线是经过它们相交的那个公共点的唯一的公共直线。
二、平面基本事实的推论。
1. 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
- 设直线为l，点为A，因为点A在直线l外，所以在直线l上取两个不同的点B 和C，这样就有不在同一条直线上的三个点A、B、C，根据基本事实1，过这三个点有且只有一个平面，而直线l上的B、C两点在这个平面内，根据基本事实2，直线l也在这个平面内，所以经过直线l和点A有且只有一个平面。
2. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
- 设两条相交直线为a和b，交点为P。
在直线a上取除P点外的一点A，在直线b上取除P点外的一点B。
这样就有不在同一条直线上的三个点A、P、B。
根据基本事实1，过这三个点有且只有一个平面。
又因为直线a上有两点A、P在这个平面内，直线b上有两点P、B在这个平面内，根据基本事实2，直线a和直线b都在这个平面内，所以经过两条相交直线a和b有且只有一个平面。
3. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
- 设两条平行直线为m和n。
根据平行直线的定义，m和n在同一平面内是不会相交的。
第十一章 11.2 平面的基本事实与推论
②若a，b，c，d无三线共点，如图所示：
∵a∩b＝A， ∴经过a，b有且仅有一个平面α(推论2)， ∴B，C∈α，由基本事实2知c⊂α. 同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面. 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.
规律方法 证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和 线在所确定的平面内.也可以用同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一 些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如 图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误.
答案 A
3. 设 平 面 α 与 平 面 β 交 于 直 线 l ， A∈α ， B∈α ， 且 直 线 AB∩l ＝ C ， 则 直 线 AB∩β ＝ ________. 解析 ∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 答案 C
CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线. 解 在平面AA1D1D内，连接D1F并延长，
∵D1F与AD不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.
又FD1⊂平面BED1F，∴P∈平面BED1F， 又DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD. ∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
4.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面. (2) 空 间 5 点 ， 其 中 有 4 点 共 面 ， 它 们 没 有 任 何 3 点 共 线 ， 这 5 个 点 最 多 可 以 确 定 ________个平面. 解析 (1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面. (2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面. 答案 (1)4 (2)7
8.4.1平面基本事实及其推论
也可选择其中两点确定一条直线，然后证
明其他点也在其上．
[跟踪训练]
1．如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB，
BC，DC，AD(或延长线)分别与平面 α 相交于 E，F，G，
H.求证：E，F，G，H 必在同一直线上．
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面
形，矩形，梯形，圆等等.
①常用希腊字母 , , 等表示平面，如平面 、
平面 、平面 等等.
②用大写英文字母表示平面，如对角线字母表
示平面，比如平面AC，平面BD等等.
③用平行四边形的四个顶点字母来表示平面，
如平面ABCD
④用平面内不共线的三个点来表示平面,如平面PHQ
用希腊字母α, β, γ
)
2．基本事实的推论
文字语言
推论 1
图形语言
符号语言
经过一条直线和这条直线
A∉l⇒有且只有一个平
外一点，有且只有一个平面
面 α，使 A∈α，l⊂α
文字语言
图形语言
符号语言
推论 经过两条______直线，
相交
a∩b＝P⇒有且只有一个
有且只有一个平面
平面 α，使 a⊂α，b⊂α
2
平行
推论 经过两条______直线，
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，
∴a⊂γ，b⊂γ.
∵直线a和b不平行，
∴a，b必相交．
如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a⊂β，b⊂α，
∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．
平面四个基本事实和三个推论
平面四个基本事实和三个推论大家好，今天我们聊聊平面几何中的那些看似简单却又特别重要的基本事实和推论。
听起来是不是有点枯燥？别担心，我会用轻松幽默的方式带你了解这些平面几何的小秘密，让我们一起来揭开它们的神秘面纱吧！1. 基本事实一：直线的定义好吧，直线，这个大家听过无数次的词，实际上它有个特别简单的定义。
直线，简单来说，就是没有弯曲的线。
我们常常说直线无限长，没错，没头没尾的那种。
就像你在街上看到的那些笔直的大路，虽然你看不到尽头，但它们依然是直线。
这其实就是直线的“本质”，没有什么复杂的定义，只要记住它是无限延伸的就好了。
1.1 基本事实二：线段和射线讲完直线，我们得提提线段和射线。
这两个小伙伴可是直线的变种哦。
线段就像是直线的一个小片段，有起点和终点，特别好理解。
你可以把它想象成你画的那条小横线。
射线就有点特别，它从一个点出发，然后无限延伸，没尽头，就像是你手里拿着手电筒，光束一直往前照，直到看不到为止。
1.2 基本事实三：角的定义角这个概念也很有趣。
你知道吗？角就是两条直线相交时形成的那个空间。
就像你站在一个交叉路口，马路和人行道形成的那个夹角，就是一个角。
角的度数就是告诉你这两条线“夹”得有多紧。
角的大小可以从小到大，甚至大到180度，真是个“可大可小”的家伙。
1.3 基本事实四：平行线的定义最后，平行线就像是两个不相交的老朋友，它们永远不会在任何地方碰面。
即使你把它们延伸到天际，它们也会保持不变。
就像铁轨，不论你走多远，它们的距离始终保持一致，这就是平行线的特点。
2. 推论一：角的和好啦，聊完基本事实，我们来聊聊推论。
第一个推论就是角的和。
简单来说，如果你有一个三角形，那么它里面的三个角加起来总是180度。
这就像是你把三角形的三个角拼在一起，形成了一个直线角。
这个事实真的是几何中的一块基石，别看它简单，却是理解其他几何问题的关键。
2.1 推论二：相同角的平行线再来，假设你有两条平行线，被一条横线“剪”过，这时候被剪成的两个角如果相等，那么这些角是平行线的相邻角。
课件3：§11.2 平面的基本事实与推论
典例讲练 类型一 数学语言的转换 [例1] 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图 形语言予以表示． α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.
解：文字语言叙述为： 点A在平面α与平面β的交线l上，AB，AC分别在平面α，β内． 图形语言表示为如图．
通法提炼 符号语言简洁，层次感强.文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究
证明：∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF ： FC＝DH ：HA＝2：3，∴FH∥AC，从而FH∥GE. 故E、F、H、G四点共面． ∵AG ：GB＝1 ：1，AH ：HD＝3 ：2，∴AG ：GB≠AH ：HD. ∴GH不平行于BD.同理，EF不平行于BD. ∵FH≠GE，∴GH不平行于EF. ∴四边形EFHG是一个梯形，设GH和EF交于一点O.
解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N； 连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线． 如图①所示． (2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q； 连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE， 则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
知识点二：平面的基本事实
文字语言 基 本 如果一条直线上的两个点 事 在一个平面内,那么这条 实 直线在这个平面内 2
图形语言
符号语言
如 果 A ∈ α,B ∈ α, 那 么 直 线AB⊂α
知识点二：平面的基本事实
文字语言
如果两个不重合的平 基
面有一个公共点,那么 本
它们有且只有一条过 事
该点的公共直线,这条 实
通法提炼 1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面.再证明其余线都在此平面内， 也可以证明两个平面重合. 2.基本事实1是确定平面的依据，基本事实2是确定线在已确定的平面上的依据.
17版：§8.3 平面的基本性质与推论（步步高）
1.平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：既不平行又不相交的直线(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( × ) (3)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A .( × ) (4)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( × )(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(√)(6)没有公共点的两条直线是异面直线.(×)1.下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3答案 C解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确.2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案 C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾.3.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据基本性质3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.4.(教材改编)两两平行的三条直线可确定________个平面.答案1或3解析三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个.5.已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC ＋BD )；②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <12(AC ＋BD ).其中正确的是________. 答案 ④解析 如图，取BC 的中点O ， 连接MO 、NO ，则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN <OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确.题型一 平面基本性质的应用例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点.证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1. 又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面. (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交， 设交点为P ，如图所示.则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点.思维升华 基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据；基本性质2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点.(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形.(2)解 ∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面. 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面. 题型二 判断空间两直线的位置关系例2 (1)(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( ) A.MN 与CC 1垂直 B.MN 与AC 垂直 C.MN 与BD 平行 D.MN 与A 1B 1平行(3)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案(1)D(2)D(3)②④解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.(2)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(3)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本性质4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN共面；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.答案②③④，解析把正四面体的平面展开还原如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN相交，DE⊥MN.15.构造模型判断空间线面位置关系典例：已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A.①④B.②④C.①D.④思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系.解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确.答案 A温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.[方法与技巧]1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3可知这些点在交线上，因此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.[失误与防范]1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.A组专项基础训练(时间：30分钟)1.在下列命题中，不是基本性质的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析选项A是面面平行的性质定理，是由基本性质推证出来的，而基本性质是不需要证明的.2.(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D解析在如图所示的长方体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.3.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面答案 D解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A.(0，2)B.(0，3)C.(1，2)D.(1，3)答案 A解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于2.故选A.5.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.6.(教材改编)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b 与c的位置关系是________.答案a∥b∥c解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.答案 4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF 相交的侧面有4个. 8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则_______.①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上. 答案 ④解析 依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E 、F 、G 、H 共面.因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EHGF 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上.同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上.9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条. 答案 无数解析 方法一 在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.方法二 在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交.10.如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点. (1)解 ∵AE EB ＝CFFB ＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH .∴AH HD ＝CGGD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形.令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， 又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则点A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 ①中显然是正确的；②中若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b 、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确. 12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( ) A.|BM |是定值B.点M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 答案 C解析 取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得A 、B 正确.由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得D 正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确.13.已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确命题的个数是________.答案 2解析命题①③正确，命题②④错误.其中命题②中a与b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面α，β有可能不垂直.14.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________.(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误.15.正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体过P、Q、R的截面图形的形状是________边形.答案六解析如图，延长QP，PQ分别交CB的延长线于E，交CD的延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD—A1B1C1D1过P、Q、R三点的截面图形.。
原创1：§11.2 平面的基本事实与推论
11.2 平面的基本事实与推论
新知探索
平面的基本事实
观察左侧两图，可得什么结论？ 基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 有且只有一个平面
αA B C A，B，C三点不共线 ⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
新知探索
平面的基本事实
温度计中的玻璃管被两个卡 子固定在刻度盘上， 玻璃管就落在了刻度盘上．
典例精析 题型三：证明点共线、线共点问题
例4 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA 上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
求证：B，D，O三点共线.
证明 因为E∈AB，H∈AD， 所以E∈平面ABD，H∈平面ABD.所以EH⊂平面ABD. 因为EH∩FG=O，所以O∈平面ABD. 同理O∈平面BCD，即O为面ABD与面BCD的公共点， 所以O∈BD，即B，D，O三点共线.
b
β
c
b
α
a
c
γ a
典例精析
题型四：基本事实与推论的应用 例7 三个平面将空间分成几部分?请画出图形.
解 ①三个平面互相平行
②两个平面平行，都和第三个平面相交
γ
α
4部分
β 6部分
解 ③三个平面有相同交线 γ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱβ α
6部分
④三个平面交线两两平 行
β
α γ 7部分
解 ⑤三个平面的交线交于一点
α
β
γ
8部分
课堂小结
基本事实1 确定平面的条件
基本事实3 点共线、线共点
平面
基本事实2 线在面内
三个推论 确定平面的条件
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教学设计1：§11.2 平面的基本事实与推论
11.2平面的基本事实与推论教学目标1.理解平面的基本事实与推论.2.能运用平面的基本事实及推论去解决有关问题．教学知识梳理知识点平面的基本事实及作用1.基本事实内容图形符号作用基本事实1经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l既是判定两平面相交的依据；也可用于判定点在直线上2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．教学案例案例一共面问题例1如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面，记为β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.反思感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)轴助平面法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．跟踪训练1已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面，记为α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面，记为α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面，记为β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．案例二共点、共线问题例2如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点．反思感悟(1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其他两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．(2)确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点，基本事实3是解决此类问题的主要依据．跟踪训练2已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．课堂小结1．知识清单：(1)共面问题．(2)共点、共线问题．2．方法归纳：先部分再整体的思想．3．常见误区：使用符号语言不规范．随堂演练1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()【答案】D【解析】画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示，并画出两平面的交线．2．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．三个点B．四个点C．三角形D．都不对【答案】C【解析】由平面的基本事实及推论得：在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，共线的四个点不能确定一个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；D 错误．故选C.3．(多选)空间不共线的四点可以确定平面的个数为()A．1 B．3 C．4 D．5【答案】AC【解析】若四点共面，则可确定1个平面；若四点不共面，则可确定4个平面．4．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A．C∈αB．C∉αC．AB⊄αD．AB∩α＝C【答案】A【解析】因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【答案】P∈直线DE【解析】因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩α＝DE，所以P∈直线DE.。
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A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
3.图形语言：
A
B
C
平面基本事实2
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。 2.符号语言:A l , B l , A , B l 3.图形语言： ．A ．B
思考与讨论
正方体中，试画出过其中三条棱的 中点P，Q，R的平面截得正方体的 截面形状．
P AB Q AB
符号语言
A B C
AB BC=B
l
A
l
l A
l
基本事实1
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面基本性质
基本性质1：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。 A , B , C 2.符号语言: 唯一
平面基本事实3
1.文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。
2.符号语言: P , P
l且P l
P l
3.图形语言：
两个相交平面的画法：
二、平面的基本事实的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A C 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
（2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。（×）
（3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α.（×） 则α与β重合。
（ √）
（4）平面α与平面β 有三个不在一直线上的 公共点，
（5）两两相交的三条 直线不共面。 （×）
小结：
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、 三点共线、三线共点问题的一般方法． 1．证明若干点或直线共面通常有两种思路 （1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面 重合； （2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素 在这平面内． 2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某 两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共 点，即该点分别在这两个平面内． 3．证明三线共点，通常先证其中的两条直线相交于 一点，然后再证第三条直线经过这一点．
11.2平面的基本事实与推论
点、线、面的表示
1.字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D…… 直线（点的集合）：小写英文字母 l , m, n 平面（点的集合）：用希腊字母 , , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
2.点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号 元素与集合关系：, 集合与集合关系： , ;
当 在长方体ABCD－A B C D 中，画出下列 1 1 1 1 堂 两平面的交线： 检 （1）平面A1C1D与平面B1D1D； 测 （2）平面A1C1B与平面AB1D1。
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
C1
B1 D
C
C
AAΒιβλιοθήκη B当堂检测判断下列命题是否正确 ：
（1）三点确定一个平 面。 （×）
三种语言转换
图形语言
Q A
D A
D A B
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上
C
P
A1 M
A1 A
B
B
C B
点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线l和平面α交于A 平面α和平面β交于直线l
M 平面 AC A 1 平面 AC AB 平面AC AA1 平面AC
a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面） A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D
]
2．下列推断中，错误的是[ C
]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
例题讲解 例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B A C
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
B
证明：
A
C
因为A，B，C三点不共线， 因此它们能确定一个平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
α
练习: (1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面 外", 正确的是( ) A. A l , l B. A l , l C. A l , l D.A l ,l (2)若A , B , A l , B l , 那么直线l与平面 有 ___ 个公共点. (3)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.