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一元二次方程根与系数关系经典例题与练习

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一元二次方程根与系数关系专题练习

一元二次方程根与系数关系专题练习

一元二次方程根与系数的关系专题练习一、求特定代数式的值：例1：已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)12x x ＋； (2)12x x ； (3)2212x x ＋； (4)()()122133x x x x --； (5)2121232x x x x +-二、求方程的根例2：若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.三、求参数的值例3：(2018·十堰)已知关于x 的一元二次方程()011222=-++--k k x k x 有实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若此方程的两实数根1x ，2x 满足112221=+x x ，求k 的值.例4：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若12,x x 是原方程的两根，且12||x x =－,求m 的值，并求出此时方程的两根.例5：(2017•鄂州)关于的方程有两个不相等的实数根.(1)求实数的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数，使得12x x -=求出这样的值；若不存在，说明理由.例6：(2014·孝感)已知关于x 的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)试说明10x <，20x <；(3分)(3)若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值．x 032)12(22=+-+--k k x k x k 21,x x k k例7：已知关于x 的方程x 2－(2k －2)x ＋k 2－4k －3=0有两个实数根x 1,x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若x 1＋2x 2=－1,求k 的值.【折等边三角形】(2016·孝感)如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB =2．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ,MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：①∠ABN =60°； ②AM =1; ③33 QN ；④△BMG 是等边三角形； ⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PN ＋PH 的最小值是3．其中正确结论的序号是 ．。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）5．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）+=﹣1 8．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）9．（2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（）12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（）13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（），，14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（）16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）．D18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）20．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）D22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（）二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________ ．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________ ．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）解题时检验两根之和是否为2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）=．3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）使+使+=0则=04．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）5．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）﹣= 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）=．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）+=﹣1+得到，+===1=．8．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（），= 9．（2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）=来求方程的另一个根﹣=时10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）=，=11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（）12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（）﹣13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（），，，=，=14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（），αβ=，，=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（）16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）求出即可=417．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）．Dm+n=，﹣再变形+得到，m+n=，，+==﹣=．18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（），得，，2====3=．19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）20．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）D变形为与，，是方程=1=p+=1变形为22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（）二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．=，=进行求解24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．=25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．，﹣））+；m=有最小值＜，成立最小值为；：26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是﹣2或﹣．．﹣或﹣．或﹣三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．﹣﹣时﹣））的值为﹣=．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．使得之积的形式．k≤时使得≥0，k≤使得≥030．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．，k=k=k k=±．。

一元二次方程根与系数关系例题

一元二次方程根与系数关系例题

一元二次方程的根与系数的关系(C)一、 诊断练习（一）填空：1. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____.2.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用，因此等式 x 1+x 2 = -a b ，x 1x 2= ac 成立的条件是：a________,Δ________.3.根据乘法公式填空:(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2－______；(2)(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－_______；（3）221212222121222221)(4___)(___11x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨=a ∆. 4.设方程3x 2-6x-2=0的两个根是x 1和x 2,则下列各式的值是: (1)(x 1－3)(x 2－3) =_____；（2）x 12+x 22=____；(3) + =_____;（4）(x 1－x 2)2=____；(5)丨x 1－x 2丨=_____.5.已知方程x 2-13x+m=0的两根满足 x 1-4x 2+2=0,那么m=___.6.方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是0和-1,那么b ∶a=____.7.若方程4x 2-12x+n=0的两个根之比是2∶3，那么n=____.8.若方程x 2+3x+2m=0的两个根之差是5,则m=____.9.已知方程2x 2+(8k+1)x+8k 2=0的两个根互为倒数，则k=_______。

10.若方程(m-7)x 2-（m-1）x+1=0的两个根异号，则m 的取值范围是__________.11. 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________.12.以和为根的整系数一元二次方程是_________________. 13．若一元二次方程(二次项系数为1)的两根之比是3∶4，且根的判别式的值为4，则这个一元二次方程是_________________.14．如果方程ax 2+bx+c=0有两个实数根x 1和x 2,那么二次三项式ax 2+bx+c 分解因式的结果是:ax 2+bx+c=______________________.15.在实数范围内分解因式：(x 2+x)2-2x(x+1)-3= ______________________.（二）、判断正误： （1）在实数范围内,方程2x 2+3x+8=0的两根之和为 -23，两根之积为4.（ ） （2）一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的两个实数根之和是 -a b ,两个实数根之积为ac .（ ） （3）当a ≠0,且Δ≥0 时,方程 ax 2+bx+c=0 的两实根之和是 -a b ，之积为a c 。

(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）　A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）　A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ）　A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）　A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ）　A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）　A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）　A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ）　A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0　10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）　A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015　11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）　A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3　12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）　A ．19B ．18C ．15D ．13　13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ）　A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1　14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）　A．﹣1B ．9C ．23D ．27　15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3　17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．　18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）　A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13　20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）　A．﹣4B ．6C ．8D ．12　21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ）　A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k=　_________　．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=　_________　．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为　_________　．　26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是　_________　．　三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．　28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．　30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）　A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．　2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）　A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ）　A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）　A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ）　A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．　6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）　A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）　A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ）　A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）　A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）　A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．　12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）　A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ）　A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）　A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ）　A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）　A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．　17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）　A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）　A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）　A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．　20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）　A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ）　A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ）　A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　﹣1　．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　8　．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键．　25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　﹣2或﹣　．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案

一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案

装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0） （1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值． 解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ． （1）求p 的取值范围； （2）若p=0，求1221x x x x +的值； （3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3． 故选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可． 【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0， 所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0， 所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0， 方程的两个根为x 1，x 2， 根据根与系数的关系，得12c x x a•=， 即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15． 【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-； （2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1． 【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值． 【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0， 解得m ≤14． 把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0， 解得m 1＝0，m 2＝﹣2， 即m 的值为0或﹣2； （3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6， 即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0， 解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2， 由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1， 整理得：m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m ＝﹣3或1． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣． 【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】 解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-； （2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-； （3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立； 解②，得72a <-； 综上：72a <-． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4． 【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值． 【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0， 即m=0，或m=-4． 答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->， 解得m<1； （2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去， 即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可； （2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得． 【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验． 【详解】 （1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0， 即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2． 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2， 解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案． 【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可． 【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根， 此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452． 【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32； 当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32） ＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去， 则m ＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案).

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案).

一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）23．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成222222．+=﹣1222222212．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别﹣，22222217．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）．C D．18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，221．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）D．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=_________．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________．25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________．27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）解题时检验两根之和是否是否为2，= 3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成使++成立，则2222，．2，．也考查了一元二次方程的根的判别式．2．+=﹣1通分变形得到===1，= 22，．2来求方程的另一个根．、时，要注意等式中的22=2212．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是．13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别﹣，，=222，﹣．222求出即可．﹣17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）．C D．m+n=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．m+n=﹣+==．，=18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）2再变形得+2，===3﹣．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，221．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）D．，然后结合与得：是方程=p+变形为22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=﹣1．得出，进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=8．﹣25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．﹣））；时，有最小值；＜∴最小值为故答案为：26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是﹣2或﹣．﹣．或﹣．或﹣三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．﹣﹣时，））（×+6的值为﹣﹣．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．使得积的形式．时，原方程有两个实数根．使得≥≤使得≥30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．，kkk±．。

一元二次方程根与系数关系专题

一元二次方程根与系数关系专题

一元二次方程根与系数关系专项训练一．填空题1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

4、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

5、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

6、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

7、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

8、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

9、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=10、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。

二．解答题1、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： x 31x 2+x 1x 322、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221x 1x 1+ 3、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (x 21－x 22)24、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1－x25、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。

一元二次方程根与系数的关系专题训练

一元二次方程根与系数的关系专题训练

11
x12
x
2 2
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (x21－x22)2
2
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29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列式子的值： x1－x2
A.3x2－2x+3=0
B.3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0
D.3x2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是
()
A.x2+2x－3=0
B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为
，
3 1 3 1
以 2 ， 2 为根的一元二次方程为
(1)(2x1－3)(2x2－3)；
(2)x13x2+x1x23。
79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m=
，另一个根为
81、已知m2+m－4=0，
1 n2
1 n
4
0
m
，m，n为实数，且
1 n
m
，则
1 n
=
4
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《一元二次方程根与系数的关系》专题训练（二）
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c 的值。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)

. . .一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是（）2 2 ﹣ 3x+2=0 2 2A ．x +3x ﹣ 2=0B ． xC ． x ﹣ 2x+3=0D ．x +3x+2=02．（ 2014?昆明）已知x 1， x 2 是一元二次方程 x 2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2 等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ． 1D ．43．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使 + =0 成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B ． m=2 时成立C ． m=0 或 2 时成立D ．不存在4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 2 2 ）x ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ A ．10 B ． 9 C ． 7 D ．55．（ 2014?贵港）若关于2的两个实数根分别为 x1=﹣2， x2=4，则 b+c 的值是（）x 的一元二次方程 x +bx+c=0A ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣16．（ 2014?烟台）关于 x 的方程x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣17．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣18．（ 2014?威海）方程 x 2﹣（ m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x 2=x 1x2，则 m 的值是（ ）A ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 9．（ 2014?长沙模拟）若关于 2（ k+3） x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x 的一元二次方程 x + A ．2 B ． 1 C ．﹣1 D ．0 2 2）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣ 2015=0 的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．201511．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A ．﹣6B ． 6C ． 3D ．﹣312．（ 2014?峨眉山市二模）已知 x 1、 x 2 是方程 x 2﹣（ k ﹣ 2） x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D．1313．（ 2014?陵县模拟）已知：x1、 x2是一元二次方程2 的两根，且 x1+x 2=3， x1x2=1，则 a、 b 的值分别x +2ax+b=0是（）参考学习A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1a=﹣ ， b=﹣ 114．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程222）x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，则 α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23D ．2715．（ 2013?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 2﹣ 1=0 有两根为 x12 ﹣x1x2=0，则 a 的值是 （ ）x +2x+a 和 x2，且x1A ．a=1B ． a=1 或 a=﹣ 2C ． a=2D ．a=1 或a=2 16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0 两根为 x 1、x 2，则 x 1+x 2=（ ） A ．4 B ． 3 C ．﹣4 D ．﹣317．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x2﹣ 5x ﹣ 3=0 的两根，则 的值等于（）A ．B ．C ．D ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x+2A ．9B ． ±3C ．3 D ．519．（ 2012?天门）如果关于x 的一元二次方程 2x +4x+a=0 的两个不相等实数根 x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣5=0， 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣1320．（ 2011?锦江区模拟）若方程x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x 2，则（ x 1+2）（ x 2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ．8 D ．1221．（ 2011?鄂州模拟）已知 p 2﹣ p ﹣ 1=0 ， 1﹣q ﹣q 2=0，且 pq ≠1，则的值为（ ） A ．1B ． 2C ．D ．22．（ 2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为 4，另两边 b 、c 分别满足2 2，则 △ ABC 的周b ﹣ 5b+6=0，c ﹣5c+6=0 长为（ ）A ．9B ． 10C ．9 或 10D ．8或 9或 10二．填空题（共 4 小题）2 223．（ 2014?莱芜）若关于k= _________ ．x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则24．（ 2014?呼和浩特）已知2 2﹣mn+3m+n= _________ ．m ，n 是方程 x +2x ﹣ 5=0 的两个实数根，则m25．（ 2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2 +3m﹣2=0 有两个实数根x1、 x2，则 x1（ x2+x 1） +x22的最小值为_________ ．26．（2014?桂林）已知关于x 的一元二次方程x2+（ 2k+1 ）x+k2﹣ 2=0 的两根为 x1和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1﹣x2）=0，则 k 的值是_________ ．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 22 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（ 1）若（ x 1﹣ 1）（ x 2﹣1） =28 ，求 m 的值；（ 2）已知等腰 △ ABC 的一边长为 7，若 x 1， x 2 恰好是 △ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（ 2014?日照二模）已知 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 2 2的两个实数根，其满足（ 3x 1 x +（ 3a ﹣ 1） x+2a ﹣1=0 ﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x1，x2． x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 （ 1）求实数 k 的取值范围；2﹣ x 22≥0 成立？若存在，请求出 （ 2）是否存在实数 k 使得 x 1 ?x 2﹣ x 1 k 的值；若不存在，请说明理由．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程 ， （ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x 1 、x 2 是方程的两个根，且 x 12﹣ 2kx 1+2x 1x 2=5，求 k 的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为x =1， x =2，则这个方程是（）1 22 2 ﹣3x+2=02D ．x2A ．x +3x ﹣ 2=0 B． x C． x ﹣ 2x+3=0 +3x+2=0 考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2 ．解题时检验两根之和是否为 3 及两根之积是否为 2 即可．解答：解：两个根为 x1=1，x2=2 则两根的和是3，积是 2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于 3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选： B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（ 2014?昆明）已知 x1， x2 是一元二次方程x2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C． 1 D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1?x2=1．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．3．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使+ =0成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B． m=2 时成立C． m=0 或 2 时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x 2=m， x1x2=m ﹣2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵ x1，x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，∴x1+x 2=m ， x1x2=m﹣ 2．假设存在实数 m 使 +=0 成立，则=0，∴ =0，∴ m=0．当 m=0 时，方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 即为 x 2﹣ 2=0，此时 △ =8＞ 0，∴ m=0 符合题意．故选： A ．点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果22=﹣ p ， x1， x2 是方程 x +px+q=0 的两根时，那么 x1+x x1x2=q ．4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则2 2）x α+β 的值为（A ．10B ． 9C ． 7D ．5 考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据根与系数的关系求得 α+β=2，αβ=﹣ 3，则将所求的代数式变形为（ α+β）2﹣ 2αβ，将其整体代入即可求值．解答： 解：∵ α，β是方程 x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 的两个实数根，∴ α+β=2 ， αβ=﹣3，2 2 2 ﹣ 2αβ=2 2∴ α+β=（ α+β） ﹣ 2×（﹣ 3）=10． 故选： A ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2125．（ 2014?贵港）若关于 x 的一元二次方程 x +bx+c=0 的两个实数根分别为 =4，则 b+c 的值是（ ） x =﹣2， xA ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣1 考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据根与系数的关系得到﹣2+4= ﹣ b ，﹣ 2×4=c ，然后可分别计算出 b 、 c 的值，进一步求得答案即可． 解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=﹣ 2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣ 2+4= ﹣b ，﹣ 2×4=c ， 解得 b=﹣2， c=﹣ 8∴ b+c= ﹣ 10．故选： A ．点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系： x1+x 2=﹣ ，x1x2= ．6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣1 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 计算题．2 2分析： 设方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系得到 x1+x 2=a ，x1?x2=2a ，由于 x1 +x 2 =5 ，变形得到（ x1+x 2）2 2△≥0 的 a 的值为所求．﹣2x1?x2=5，则 a ﹣ 4a ﹣5=0 ，然后解方程，满足解答： 解：设方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=a ， x1?x2=2a ，2 2∵ x1 +x 2 =5，∴（ x 1+x 2）2﹣ 2x 1?x 2=5， ∴ a 2﹣ 4a ﹣ 5=0，∴ a1=5 ， a2=﹣ 1，∵△ =a 2﹣ 8a ≥0， ∴ a=﹣ 1．故选： D ．点评： 本题考查了一元二次方程 2 （ a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣ ，ax +bx+c=0x ?x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式． 1 27．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 先根据根与系数的关系得到2 2 2 ﹣2αβ，利用 α+β=﹣1，αβ=﹣ 1，再利用完全平方公式变形 α +β 得到（ α+β） 通分变形+ 得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答： 解：根据题意得α+β=﹣ 1， αβ=﹣1．2 2 2 2；所以 α+β=（ α+β） ﹣ 2αβ=（﹣ 1） ﹣ 2×（﹣ 1）=3 + ===1．故选： D ．点评：本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=．2﹣（ m+6）x+m 21 2 1 x 2，则 m 的值是（ ） 8．（ 2014?威海）方程 x =0 有两个相等的实数根，且满足 x +x =xA ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 判别式法．2，再根据 x1+x 2=x 1 分析： 根据根与系数的关系有：x1+x 2 =m+6 ， x1x2=m x2 得到 m 的方程，解方程即可，进一步由2 +m 2 有两个相等的实数根得出 2方程 x ﹣（ m+6）=0 b ﹣ 4ac=0，求得 m 的值，由相同的解解决问题． 解答：解：∵ x1+x2=m+6 ， x1x2=m 2， x 1+x 2=x 1x 2，∴ m+6=m 2，解得 m=3 或 m=﹣2，2 ﹣（ m+6 ） x+m 2∵方程 x =0 有两个相等的实数根，∴△ =b 2﹣ 4ac=（ m+6） 2﹣ 4m 2=﹣3m 2 +12m+36=0解得 m=6 或 m=﹣ 2∴m=﹣ 2．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程2 2ax +bx+c=0 （ a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△ =b ﹣ 4ac．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1?x2= ．9．（ 2014?长沙模拟）若关于x 的一元二次方程2 ）x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x +（ k+3A ．2 B． 1 C．﹣1 D ．0考点 ： 根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?x 2= 来求方程的另一个根．2解答： 解：设 x 1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x +（ k+3 ）x+2=0 的两个根， 由韦达定理，得 x1?x2=2 ，即﹣ 2x2=2， 解得， x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣ 1．故选 C ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系 x1+x 2=﹣ 、 x1?x2= 时，要注意等式中的 a 、 b 、c 所表示的含义．2 的两个实数根，则 2 的值为（ ）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣2015=0 a +2a+b A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．2015 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解．专题 ： 计算题．2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a ﹣ 2015=0 ，即 a +a=2015，则 a +2a+b 变形为 a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b=﹣ 1，然后利用整体代入的方法计算．2 ﹣ 2015=0 的根， 解答： 解：∵ a 是方程 x+x2 2∴ a +a ﹣ 2015=0，即 a +a=2015，2∴ a +2a+b=a+b+2015 ，∵ a ， b 是方程 x 2+x ﹣2015=0 的两个实数根∴ a+b=﹣ 1，2∴ a +2a+b=a+b+2015= ﹣ 1+2015=2014 ．故选 C ．点评： 本题考查了根与系数的关系： 若 x1，x2 是一元二次方程ax 21 2 1 2 ．也 +bx+c=0（a ≠0）的两根时， x +x = ，x x = 考查了一元二次方程的解．11．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（）A ．﹣6B ． 6C ．3D ．﹣3考点 ： 根与系数的关系．分析： 由一元二次方程 x 2﹣2x ﹣ 3=0 和 3x 2﹣ 11x+6=0 先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答： 解：由一元二次方程 x 2﹣ 2x ﹣3=0 ，∵△ =4+16=20 ＞ 0，∴ x1x2=﹣ 3，由一元二次方程 3x 2﹣11x+6=0 ，∵△ =121﹣ 4×3×6=49＞ 0，∴ x1x2=2∴﹣ 3×2=﹣6故选 A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（ 2014?峨眉山市二模）已知x1、 x2是方程 x2﹣（ k﹣ 2）x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D ．13考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值． 2 2） =0 的两个实根，由 △ ≥0 即可求出 k 的取值范围，然后根据 分析： 根据 x 1、x 2 是方程 x ﹣（ k ﹣ 2） x+（ k +3k+5根与系数的关系求解即可．解答： 解：由方程有实根，得 2 2 △ ≥0，即（ k ﹣2） ﹣ 4（ k+3k+5 ）≥0所以3k 2+16k+16 ≤0，所以 （ 3k+4 ）（ k+4）≤0解得﹣ 4≤k ≤﹣ ．2又由 x1+x2 =k ﹣ 2， x1?x2=k +3k+5 ，得 2 2 2 2 2 2 2x1 +x 2 =（ x1+x2） ﹣ 2x 1x2=（ k ﹣ 2） ﹣ 2（ k +3k+5 ）=﹣ k ﹣10k ﹣ 6=19﹣（ k+5） ，2 2当 k= ﹣ 4 时， x1 +x 2 取最大值 18．故选： B ．点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△ ≥0 先求出 k 的取值范围再根据根与系数的关系进 行求解． 13．（ 2014?陵县模拟）已知： x 1、 x2 是一元二次方程x 2 1 2 =3 1 2 +2ax+b=0 的两根，且 x +x ， x x =1，则 a 、 b 的值分别是（ ）A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1 a=﹣ ， b=﹣ 1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x 2=﹣ 2a ， x1x2=b ，即﹣ 2a=3， b=1，然后解一次方程即可．解答： 解：根据题意得 x1+x2=﹣ 2a ， x1x2=b ，所以﹣ 2a=3， b=1 ，解得 a=﹣ ， b=1．故选 D ．点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax 21 2=1 2= ．+bx+c=0 （a ≠0）的两根时， x+x ，x x14．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程 2 ﹣ 2=0 的两个实数根，则 2 2 ）x ﹣ 5x α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23 D ．27考点 ： 根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系 α+β=﹣ ， αβ= ，求出 α+β和 αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．2解答： 解：∵ α，β是方程 x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，2 2 2 ﹣βα， 又∵ α+αβ+β=（ α+β）2 2 2∴α+αβ+β=5 +2=27 ；故选 D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1 x2= ．15．（ 2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程2﹣ 1=0 有两根为2﹣x1x2=0，则 a 的值是（）x +2x+ax1 和 x2，且x1A ．a=1 B． a=1 或 a=﹣2C． a=2 D ．a=1 或 a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据 x12﹣ x1 x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x 2，所以①把 x1=0 代入原方程可以求得a=1；② 利用根的判别式等于 0 来求 a 的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0 ，或 x1=x2，①把 x1=0 代入已知方程，得a﹣ 1=0 ，解得： a=1；②当 x1=x 2时，△ =4﹣ 4（ a﹣ 1） =0，即 8﹣4a=0，解得： a=2．综上所述， a=1 或 a=2．故选： D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值．16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，则 x1+x2=（）A ．4 B． 3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，直接利用 x1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，∴ x1+x 2=﹣=4．故选 A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x 2﹣ 5x﹣ 3=0 的两根，则的值等于（）A ．B．C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n= ， mn=﹣，再变形+ 得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得 m+n= ， mn= ﹣，所以+ = = =﹣．故选 D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x +2 A ．9B ． ±3C ． 3D ．5考点 ： 根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题 ： 整体思想．分析：根据一元二次方程 2 ，mn=1 ，再变形 得 ax +bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系得到 m+n= ﹣ 2，然后把 m+n= ﹣2，mn=1 整体代入计算即可．解答： 解：∵ m 、 n 是方程x 2+2 x+1=0 的两根，∴ m+n= ﹣ 2 ， mn=1 ，∴ = == =3．故选 C ．点评： 本题考查了一元二次方程ax 2x1，x2，则x1 2+bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两根分别为+x =﹣ ，x 1?x2= ．也考查了二次根式的化简求值．19．（ 2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 2 的两个不相等实数根 x 1， x 2 满足 x 1x 2﹣ 2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=0，x +4x+a=0 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣13考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 利用根与系数的关系求得x1x2=a ， x1+x 2=﹣ 4，然后将其代入 x 1x 2﹣2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（x 1+x 2）﹣ 5=0 列 出关于 a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值．解答： 解：∵ x1，x2 是关于 x 的一元二次方程2 的两个不相等实数根， x +4x+a=0 ∴ x1x2=a ， x1 +x2=﹣ 4， ∴ x 1x 2﹣ 2x 1﹣2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（ x 1+x 2）﹣ 5=a ﹣2×（﹣ 4）﹣ 5=0 ，即 a+3=0， 解得， a=﹣3；故选 B ．点评： 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ． 8D ．12考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据（ x1+2）（ x2+2） =x1 x2+2x 1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可． 解答： 解：∵ x 1、x 2 是方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两个实数根．∴ x1+x 2=3， x1?x2=﹣ 2．又∵（ x1+2）（ x2+2）=x 1x2+2x 1+2x2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4．将x1+x 2=3、x1?x2=﹣ 2 代入，得（x1+2）（ x2+2 ） =x 1x2 +2x1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x2） +4= （﹣ 2） +2×3+4=8．故选 C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（ 2011?鄂州模拟）已知p 2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，则的值为（）A ．1 B． 2 C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把 1﹣q﹣ q2=0 变形为，然后结合 p2﹣ p﹣ 1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：2 2，可知 p≠0，q≠0，解：由 p ﹣p﹣1=0和 1﹣ q﹣q=0又∵ pq≠1，∴，∴由方程 1﹣ q﹣ q2=0 的两边都除以q2得：，∴ p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+ =1，∴=p+ =1．故选 A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把2变形为是解题的关键，然后利用1﹣ q﹣q =0根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（ 2010?滨湖区一模）若△ ABC 的一边 a 为 4，另两边b、c 分别满足2﹣5b+6=02b， c ﹣ 5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A ．9 B． 10 C．9 或 10 D．8或 9或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0 ，那么 b、c 可以看作方程x2﹣ 5x+6=0 的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 ， bc=6，而△ABC 的一边 a 为 4，由此即可求出△ABC 的一边 a 为 4 周长．解答：解：∵两边 b、 c 分别满足 b2﹣5b+6=0 ，c2﹣ 5c+6=0，∴b、 c 可以看作方程 x2﹣ 5x+6=0 的两根，∴b+c=5 ， bc=6，而△ ABC 的一边 a 为 4，①若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2 ，但 2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2②若 b≠c，∴△ ABC 的周长为4+5=9 ．故选 C．点评： 此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来， 利用根与系数的关系来三角形的周长． 此 题要注意分类讨论． 二．填空题（共 4 小题） 2 2k= ﹣ 1 ． 23．（ 2014?莱芜）若关于 x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则 考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 判别式法．分析： 根据已知和根与系数的关系x 1x 2= 2得出 k =1，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值．2，两根互为倒数，解答： 解：∵ x 1x 2=k∴ k 2=1，解得 k=1 或﹣ 1；∵方程有两个实数根， △＞0， ∴当 k=1 时， △ ＜ 0，舍去，故 k 的值为﹣ 1．故答案为：﹣ 1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0， a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=﹣ ， x1x2= 进行求解．24．（ 2014?呼和浩特）已知 2 ﹣ 5=0 的两个实数根，则 2 ﹣mn+3m+n= 8 ．m ，n 是方程 x +2x m考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题 ： 常规题型．分析：根据 m+n= ﹣ =﹣ 2， m?n=﹣ 5，直接求出 m 、 n 即可解题．解答： 解：∵ m 、 n 是方程 x 2+2x ﹣ 5=0 的两个实数根，∴ mn=﹣ 5， m+n=﹣ 2，∵ m 2+2m ﹣ 5=0 ∴ m 2=5﹣ 2mm 2﹣mn+3m+n= （ 5﹣ 2m ）﹣（﹣ 5）+3m+n =10+m+n =10﹣2 =8故答案为： 8．点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和n 的值是解决问题的关键．2 2﹣2=0 有两个实数根x1、x ，则 x （ x）+x 2 的最小值为． 25．（ 2014?广州）若关于 x 的方程 x +2mx+m +3m 21 2+x 12考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值．专题 ： 判别式法．分析：由题意可得△ =b 2﹣ 4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程2 2x +2mx+m +3m﹣ 2=0 有两个实数根，则△ =b2﹣ 4ac=4m2﹣ 4（ m2+3m﹣ 2） =8﹣ 12m≥0，∴ m≤，∵ x1（ x2+x 1）+x 22=（ x2+x 1）2﹣ x1x2=（﹣ 2m ） 2﹣（ m 2+3m ﹣2） =3m 2﹣3m+2=3 （ m 2﹣ m+ ﹣ ） +2 2=3 （ m ﹣ ） + ； ∴当 m= 时，有最小值 ； ∵ ＜ ，∴ m= 成立；∴最小值为 ；故答案为： ．点评： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（ 1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2） △ =0? 方程有两个相等的实数根；（ 3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．26．（2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +（ 2k+1 ）x+k 2﹣ 2=0 的两根为 x1 和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1 ﹣x2）=0， 则 k 的值是 ﹣ 2 或﹣ ．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 先由（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0，得出 x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0，再分两种情况进行讨论：① 如果 x 1﹣2=0 ，将 x=2代入 x 22﹣ 2=0，得 4+2（2k+1 ）+k 2﹣ 2=0 ，解方程求出 k= ﹣ 2；② 如果 x1﹣ x21 2 = +（ 2k+1 ）x+k =0 ，那么将 x +x﹣（ 2k+1 ）， x 1x 2=k2﹣ 2 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验．解答： 解：∵（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0， ∴ x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0 ．① 如果 x1﹣2=0，那么 x1=2，2 2将 x=2 代入 x +（ 2k+1 ） x+k ﹣2=0，得 4+2 （ 2k+1） +k 2﹣2=0 ，2整理，得 k +4k+4=0 ， 解得 k= ﹣2； ② 如果 x1﹣x2=0，那么（ x1﹣x2）2=（ x1+x 2）2﹣ 4x1x2=[ ﹣（ 2k+1 ）] 2﹣ 4（k2﹣ 2）=4k+9=0 ，解得 k= ﹣．又∵△ =（2k+1 ）2﹣4（ k2﹣ 2）≥0．解得： k≥﹣．所以 k 的值为﹣ 2 或﹣．故答案为：﹣2 或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 2x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（1）若（ x1﹣ 1）（ x2﹣1） =28 ，求 m 的值；（2）已知等腰△ ABC 的一边长为 7，若 x1， x2恰好是△ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（ 1）利用（ x1﹣ 1）（x2﹣ 1） =x1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m 2+5﹣2（ m+1） +1=28，求得 m 的值即可；（ 2）分 7 为底边和7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．2 2解答：解：（ 1）∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根，2∴ x1+x 2=2（ m+1）， x1?x2=m+5，∴（ x1﹣ 1）（ x2﹣ 1）=x 1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m2+5﹣2（ m+1） +1=28，解得： m=﹣ 4 或 m=6；当 m=﹣ 4 时原方程无解，∴ m=6；（ 2）①当 7 为底边时，此时方程2 2x﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 有两个相等的实数根，∴△ =4（ m+1）2﹣2，4（ m +5）=0解得： m=2，2∴方程变为 x ﹣ 6x+9=0 ，∵ 3+3＜ 7，∴不能构成三角形；②当 7 为腰时，设x1=7，2代入方程得：49﹣ 14（ m+1） +m +5=0 ，解得： m=10 或 4，当m=10 时方程变为 x2﹣22x+105=0 ，解得： x=7 或 15∵ 7+7＜ 15，不能组成三角形；当m=4 时方程变为 x2﹣10x+21=0 ，解得： x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17 ．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（ 2014?日照二模）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 23x1 x +（ 3a﹣ 1）x+2a﹣1=0 的两个实数根，其满足（﹣ x2）（ x1﹣ 3x2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 计算题．x 2 2﹣ 1=0 的两个实数根得到 △ ≥0，即（ 3a ﹣ 1）2﹣4（2a 2﹣1）分析： 根据 △ 的意义由一元二次方程+（ 3a ﹣ 1）x+2a=a2﹣ 6a+5≥0，根据根与系数的关系得到 x1+x2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣1，由（ 3x 1﹣x 2）（ x 1﹣ 3x 2）=﹣ 8022 2 ，变形得到 3（ x 1+x 2） ﹣ 16x 1x 2=﹣ 80，于是有 3（3a ﹣ 1） ﹣ 16（2a ﹣ 1）=﹣ 80，解方程得到a=3 或 a=﹣然后代入 △验算即可得到实数 a 的值．解答： 解：∵ x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程2 2﹣ 1=0 的两个实数根， x +（ 3a ﹣ 1） x+2a222∴△ ≥0，即（ 3a ﹣ 1） ﹣ 4（ 2a ﹣1） =a ﹣ 6a+5≥0∴ x1+x 2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣ 1，∵（ 3x 1﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80，即 3（ x 12+x 22）﹣ 10x 1x 2=﹣ 80， ∴ 3（ x1+x2 ）2﹣ 16x1x2 =﹣ 80， ∴ 3（ 3a ﹣ 1） 2﹣ 16（2a 2﹣ 1） =﹣ 80，2整理得， 5a +18a ﹣ 99=0，∴（ 5a+33）（ a ﹣ 3） =0，解得 a=3 或 a=﹣ ，当 a=3 时， △ =9 ﹣ 6×3+5= ﹣ 4＜0，故舍去， 当 a=﹣ 时， △=（﹣ 2）+6=（2+6＞ 0，） ﹣ 6×（﹣ ） +6× ∴实数 a 的值为﹣点评： 本题考查了一元二次方程 2x1，x2，则 x1+x 2=﹣ ， ax +bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 如果方程的两根为x1?x2= ．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 x1，x2． （ 1）求实数 k 的取值范围； 2﹣x22 （ 2）是否存在实数 k 使得 x1 ?x2﹣ x1 ≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 压轴题．△ ≥0，据此列出关于 k 的不等式 [﹣（ 2k+1 ） ]2分析： （ 1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式2k 的取值范围； ﹣ 4（ k +2k ） ≥0，通过解该不等式即可求得（ 2）假设存在实数 k 使得≥0 成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得 k 的值．解答： 解：（ 1）∵原方程有两个实数根，2 2∴ [﹣（ 2k+1 ）] ﹣ 4（k +2k ） ≥0，2 2﹣8k ≥0 ∴ 4k +4k+1 ﹣ 4k∴ 1﹣ 4k ≥0，∴ k ≤ ．∴当 k≤时，原方程有两个实数根．（ 2）假设存在实数k 使得≥0 成立．∵ x1， x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．2 2 2∴ 3（ k +2k）﹣（ 2k+1）≥0，整理得：﹣（ k﹣ 1）≥0，∴只有当 k=1 时，上式才能成立．又∵由（ 1）知 k≤，∴不存在实数 k 使得≥0 成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程，（ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x1、x2是方程的两个根，且x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=5，求 k 的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ 1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0 恒成立；（ 2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（ 1）已知关于 x 的一元二次方程，∴△ =（﹣ 2k）2﹣ 4×（ k2﹣ 2）=2k2+8，2∵ 2k +8＞ 0 恒成立，∴不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵ x1、 x2是方程的两个根，∴ x1+x 2=2k， x1?x2= k2﹣2，∴ x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=x 12﹣（ x1+x 2） x1+2x1x2=x1x2=k2﹣ 2=5，解得 k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．欢迎您的光临，Wor文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)

. . .一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是（）2 2 ﹣ 3x+2=0 2 2A ．x +3x ﹣ 2=0B ． xC ． x ﹣ 2x+3=0D．x +3x+2=02．（ 2014?昆明）已知x 1， x 2 是一元二次方程 x 2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2 等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ． 1D ．43．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使 + =0 成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B ． m=2 时成立C ． m=0 或 2 时成立D ．不存在4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 2 2 ）x ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ A ．10 B ． 9 C ． 7 D ．55．（ 2014?贵港）若关于2的两个实数根分别为 x1=﹣2， x2=4，则 b+c 的值是（）x 的一元二次方程 x +bx+c=0A ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣16．（ 2014?烟台）关于 x 的方程x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣17．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣18．（ 2014?威海）方程 x 2﹣（ m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x 2=x 1x2，则 m 的值是（ ）A ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 9．（ 2014?长沙模拟）若关于 2（ k+3） x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x 的一元二次方程 x + A ．2 B ． 1 C ．﹣1 D ．0 2 2）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣ 2015=0 的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．201511．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A ．﹣6B ． 6C ． 3D ．﹣312．（ 2014?峨眉山市二模）已知 x 1、 x 2 是方程 x 2﹣（ k ﹣ 2） x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D．1313．（ 2014?陵县模拟）已知：x1、 x2是一元二次方程2 的两根，且 x1+x 2=3， x1x2=1，则 a、 b 的值分别x +2ax+b=0是（）参考学习A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1a=﹣ ， b=﹣ 114．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程222）x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，则 α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23D ．2715．（ 2013?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 2﹣ 1=0 有两根为 x12 ﹣x1x2=0，则 a 的值是 （ ）x +2x+a 和 x2，且x1A ．a=1B ． a=1 或 a=﹣ 2C ． a=2D ．a=1 或a=2 16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0 两根为 x 1、x 2，则 x 1+x 2=（ ） A ．4 B ． 3 C ．﹣4 D ．﹣317．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x2﹣ 5x ﹣ 3=0 的两根，则 的值等于（）A ．B ．C ．D ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x+2A ．9B ． ±3C ．3 D ．519．（ 2012?天门）如果关于x 的一元二次方程 2x +4x+a=0 的两个不相等实数根 x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣5=0， 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣1320．（ 2011?锦江区模拟）若方程x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x 2，则（ x 1+2）（ x 2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ．8 D ．1221．（ 2011?鄂州模拟）已知 p 2﹣ p ﹣ 1=0 ， 1﹣q ﹣q 2=0，且 pq ≠1，则的值为（ ） A ．1B ． 2C ．D ．22．（ 2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为 4，另两边 b 、c 分别满足2 2，则 △ ABC 的周b ﹣ 5b+6=0，c ﹣5c+6=0 长为（ ）A ．9B ． 10C ．9 或 10D ．8或 9或 10二．填空题（共 4 小题）2 223．（ 2014?莱芜）若关于k= _________ ．x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则24．（ 2014?呼和浩特）已知2 2﹣mn+3m+n= _________ ．m ，n 是方程 x +2x ﹣ 5=0 的两个实数根，则m25．（ 2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2 +3m﹣2=0 有两个实数根x1、 x2，则 x1（ x2+x 1） +x22的最小值为_________ ．26．（2014?桂林）已知关于x 的一元二次方程x2+（ 2k+1 ）x+k2﹣ 2=0 的两根为 x1和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1﹣x2）=0，则 k 的值是_________ ．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 22 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（ 1）若（ x 1﹣ 1）（ x 2﹣1） =28 ，求 m 的值；（ 2）已知等腰 △ ABC 的一边长为 7，若 x 1， x 2 恰好是 △ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（ 2014?日照二模）已知 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 2 2 的两个实数根，其满足（ 3x 1 x +（ 3a ﹣ 1） x+2a ﹣1=0 ﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x1，x2． x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 （ 1）求实数 k 的取值范围；2﹣ x 22≥0 成立？若存在，请求出 （ 2）是否存在实数 k 使得 x 1 ?x 2﹣ x 1 k 的值；若不存在，请说明理由．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程 ， （ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x 1 、x 2 是方程的两个根，且 x 12﹣ 2kx 1+2x 1x 2=5，求 k 的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为x =1， x =2，则这个方程是（）1 22 2 ﹣3x+2=02D ．x2A ．x +3x ﹣ 2=0 B． x C． x ﹣ 2x+3=0 +3x+2=0 考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2 ．解题时检验两根之和是否为 3 及两根之积是否为 2 即可．解答：解：两个根为 x1=1，x2=2 则两根的和是3，积是 2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于 3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选： B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（ 2014?昆明）已知 x1， x2 是一元二次方程x2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C． 1 D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1?x2=1．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．3．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使+ =0成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B． m=2 时成立C． m=0 或 2 时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x 2=m， x1x2=m ﹣2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵ x1，x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，∴x1+x 2=m ， x1x2=m﹣ 2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0 时，方程 x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 即为 x2﹣ 2=0，此时△ =8＞ 0，∴ m=0 符合题意．故选： A．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果22=﹣p，x1， x2 是方程 x +px+q=0 的两根时，那么x1+xx1x2=q ．4．（ 2014?南昌）若α，β是方程2 ﹣2x﹣ 3=0 的两个实数根，则2 2）x α+β的值为（A ．10 B． 9 C． 7 D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣ 3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣ 2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程 x2﹣ 2x﹣ 3=0 的两个实数根，∴ α+β=2 ，αβ=﹣3，2 2 2﹣2αβ=22∴ α+β=（α+β）﹣ 2×（﹣ 3）=10．故选： A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21 25．（ 2014?贵港）若关于x 的一元二次方程 x +bx+c=0 的两个实数根分别为=4，则 b+c 的值是（）x =﹣2， xA．﹣10 B． 10 C．﹣6 D．﹣1 考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4= ﹣ b，﹣ 2×4=c，然后可分别计算出b、 c 的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于 x 的一元二次方程x2+bx+c=0 的两个实数根分别为x1=﹣ 2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4= ﹣b，﹣ 2×4=c，解得 b=﹣2， c=﹣ 8∴ b+c= ﹣ 10．故选： A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x 2=﹣，x1x2= ．6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是5，则 a 的值是（）A．﹣1或 5 B． 1 C． 5 D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题． 2 2分析： 设方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系得到 x1+x 2=a ，x1?x2=2a ，由于 x1 +x 2 =5 ，变形得到（ x1+x 2）2 2△≥0 的 a 的值为所求． ﹣2x1?x2=5，则 a ﹣ 4a ﹣5=0 ，然后解方程，满足 解答： 解：设方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=a ， x1?x2=2a ，2 2∵ x1 +x 2 =5，∴（ x 1+x 2）2﹣ 2x 1?x 2=5， ∴ a 2﹣ 4a ﹣ 5=0，∴ a1=5 ， a2=﹣ 1，∵△ =a 2﹣ 8a ≥0， ∴ a=﹣ 1．故选： D ．点评： 本题考查了一元二次方程 2 （ a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣ ，ax +bx+c=0x ?x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式． 1 27．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 先根据根与系数的关系得到2 2 2 ﹣2αβ，利用 α+β=﹣1，αβ=﹣ 1，再利用完全平方公式变形 α +β 得到（ α+β） 通分变形+ 得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答： 解：根据题意得α+β=﹣ 1， αβ=﹣1．2 2 2 2；所以 α+β=（ α+β） ﹣ 2αβ=（﹣ 1） ﹣ 2×（﹣ 1）=3 + ===1．故选： D ．点评：本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=．2﹣（ m+6）x+m 21 2 1 x 2，则 m 的值是（ ） 8．（ 2014?威海）方程 x =0 有两个相等的实数根，且满足 x +x =xA ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 判别式法．2，再根据 x1+x 2=x 1 分析： 根据根与系数的关系有：x1+x 2 =m+6 ， x1x2=m x2 得到 m 的方程，解方程即可，进一步由2 +m 2 有两个相等的实数根得出 2方程 x ﹣（ m+6）=0 b ﹣ 4ac=0，求得 m 的值，由相同的解解决问题． 解答： 解：∵ x1+x2=m+6 ， x1x2=m 2， x 1+x 2=x 1x 2，∴ m+6=m 2，解得 m=3 或 m=﹣2，2 ﹣（ m+6 ） x+m 2∵方程 x =0 有两个相等的实数根，∴△ =b 2﹣ 4ac=（ m+6） 2﹣ 4m 2=﹣3m 2 +12m+36=0解得 m=6 或 m=﹣ 2∴m=﹣ 2．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程2 2ax +bx+c=0 （ a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△ =b ﹣ 4ac．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1?x2= ．9．（ 2014?长沙模拟）若关于x 的一元二次方程2 ）x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x +（ k+3A ．2 B． 1 C．﹣1 D ．0考点 ： 根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?x 2= 来求方程的另一个根．2解答： 解：设 x 1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x +（ k+3 ）x+2=0 的两个根， 由韦达定理，得 x1?x2=2 ，即﹣ 2x2=2， 解得， x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣ 1．故选 C ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系 x1+x 2=﹣ 、 x1?x2= 时，要注意等式中的 a 、 b 、c 所表示的含义．2 的两个实数根，则 2 的值为（ ）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣2015=0 a +2a+b A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．2015 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解．专题 ： 计算题．2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a ﹣ 2015=0 ，即 a +a=2015，则 a +2a+b 变形为 a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b=﹣ 1，然后利用整体代入的方法计算．2 ﹣ 2015=0 的根， 解答： 解：∵ a 是方程 x+x2 2∴ a +a ﹣ 2015=0，即 a +a=2015，2∴ a +2a+b=a+b+2015 ，∵ a ， b 是方程 x 2+x ﹣2015=0 的两个实数根∴ a+b=﹣ 1，2∴ a +2a+b=a+b+2015= ﹣ 1+2015=2014 ．故选 C ．点评： 本题考查了根与系数的关系： 若 x1，x2 是一元二次方程ax 21 2 1 2 ．也 +bx+c=0（a ≠0）的两根时， x +x = ，x x = 考查了一元二次方程的解．11．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（）A ．﹣6B ． 6C ．3D ．﹣3考点 ： 根与系数的关系．分析： 由一元二次方程 x 2﹣2x ﹣ 3=0 和 3x 2﹣ 11x+6=0 先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答： 解：由一元二次方程 x 2﹣ 2x ﹣3=0 ，∵△ =4+16=20 ＞ 0，∴ x1x2=﹣ 3，由一元二次方程 3x 2﹣11x+6=0 ，∵△ =121﹣ 4×3×6=49＞ 0， ∴ x1x2=2∴﹣ 3×2=﹣6故选 A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（ 2014?峨眉山市二模）已知x1、 x2是方程 x2﹣（ k﹣ 2）x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D ．13考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值． 2 2） =0 的两个实根，由 △ ≥0 即可求出 k 的取值范围，然后根据 分析： 根据 x 1、x 2 是方程 x ﹣（ k ﹣ 2） x+（ k +3k+5根与系数的关系求解即可．解答： 解：由方程有实根，得 2 2 △ ≥0，即（ k ﹣2） ﹣ 4（ k+3k+5 ）≥0所以3k 2+16k+16 ≤0，所以 （ 3k+4 ）（ k+4）≤0解得﹣ 4≤k ≤﹣ ．2又由 x1+x2 =k ﹣ 2， x1?x2=k +3k+5 ，得 2 2 2 2 2 2 2x1 +x 2 =（ x1+x2） ﹣ 2x 1x2=（ k ﹣ 2） ﹣ 2（ k +3k+5 ）=﹣ k ﹣10k ﹣ 6=19﹣（ k+5） ，2 2当 k= ﹣ 4 时， x1 +x 2 取最大值 18．故选： B ．点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据 △ ≥0 先求出 k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（ 2014?陵县模拟）已知： x 1、 x2 是一元二次方程x 2 1 2 =3 1 2 +2ax+b=0 的两根，且 x +x ， x x =1，则 a 、 b 的值分别是（ ）A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1 a=﹣ ， b=﹣ 1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x 2=﹣ 2a ， x1x2=b ，即﹣ 2a=3， b=1，然后解一次方程即可．解答： 解：根据题意得 x1+x2=﹣ 2a ， x1x2=b ，所以﹣ 2a=3， b=1 ，解得 a=﹣ ， b=1．故选 D ．点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax 21 2=1 2= ．+bx+c=0 （a ≠0）的两根时， x+x ，x x14．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程 2 ﹣ 2=0 的两个实数根，则 2 2 ）x ﹣ 5x α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23 D ．27考点 ： 根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系 α+β=﹣ ， αβ= ，求出 α+β和 αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．2解答： 解：∵ α，β是方程 x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，2 2 2 ﹣βα， 又∵ α+αβ+β=（ α+β）2 2 2∴α+αβ+β=5 +2=27 ；故选 D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1 x2= ．15．（ 2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程2﹣ 1=0 有两根为2﹣x1x2=0，则 a 的值是（）x +2x+ax1 和 x2，且x1A ．a=1 B． a=1 或 a=﹣2C． a=2 D ．a=1 或 a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据 x12﹣ x1 x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x 2，所以①把 x1=0 代入原方程可以求得a=1；② 利用根的判别式等于 0 来求 a 的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0 ，或 x1=x2，①把 x1=0 代入已知方程，得a﹣ 1=0 ，解得： a=1；②当 x1=x 2时，△ =4﹣ 4（ a﹣ 1） =0，即 8﹣4a=0，解得： a=2．综上所述， a=1 或 a=2．故选： D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值．16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，则 x1+x2=（）A ．4 B． 3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，直接利用 x1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，∴ x1+x 2=﹣=4．故选 A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x 2﹣ 5x﹣ 3=0 的两根，则的值等于（）A ．B．C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n= ， mn=﹣，再变形+ 得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得 m+n= ， mn= ﹣，所以+ = = =﹣．故选 D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x +2 A ．9B ． ±3C ． 3D ．5考点 ： 根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题 ： 整体思想．分析：根据一元二次方程 2 ，mn=1 ，再变形 得 ax +bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系得到 m+n= ﹣ 2，然后把 m+n= ﹣2，mn=1 整体代入计算即可．解答： 解：∵ m 、 n 是方程x 2+2 x+1=0 的两根，∴ m+n= ﹣ 2 ， mn=1 ，∴ = == =3．故选 C ．点评： 本题考查了一元二次方程ax 2x1，x2，则x1 2+bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两根分别为+x =﹣ ，x 1?x2= ．也考查了二次根式的化简求值．19．（ 2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 2 的两个不相等实数根 x 1， x 2 满足 x 1x 2﹣ 2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=0，x +4x+a=0 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣13考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 利用根与系数的关系求得x1x2=a ， x1+x 2=﹣ 4，然后将其代入 x 1x 2﹣2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（x 1+x 2）﹣ 5=0 列 出关于 a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值．解答： 解：∵ x1，x2 是关于 x 的一元二次方程2 的两个不相等实数根， x +4x+a=0 ∴ x1x2=a ， x1 +x2=﹣ 4， ∴ x 1x 2﹣ 2x 1﹣2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（ x 1+x 2）﹣ 5=a ﹣2×（﹣ 4）﹣ 5=0 ，即 a+3=0， 解得， a=﹣3；故选 B ．点评： 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ． 8D ．12考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据（ x1+2）（ x2+2） =x1 x2+2x 1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可． 解答： 解：∵ x 1、x 2 是方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两个实数根．∴ x1+x 2=3， x1?x2=﹣ 2．又∵（ x1+2）（ x2+2）=x 1x2+2x 1+2x2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4．将x1+x 2=3、x1?x2=﹣ 2 代入，得（x1+2）（ x2+2 ） =x 1x2 +2x1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x2） +4= （﹣ 2） +2×3+4=8．故选 C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（ 2011?鄂州模拟）已知p 2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，则的值为（）A ．1 B． 2 C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把 1﹣q﹣ q2=0 变形为，然后结合 p2﹣ p﹣ 1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：2 2，可知 p≠0，q≠0，解：由 p ﹣p﹣1=0和 1﹣ q﹣q=0又∵ pq≠1，∴，∴由方程 1﹣ q﹣ q2=0 的两边都除以q2得：，∴ p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+ =1，∴=p+ =1．故选 A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把2变形为是解题的关键，然后利用1﹣ q﹣q =0根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（ 2010?滨湖区一模）若△ ABC 的一边 a 为 4，另两边b、c 分别满足2﹣5b+6=02b， c ﹣ 5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A ．9 B． 10 C．9 或 10 D．8或 9或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0 ，那么 b、c 可以看作方程x2﹣ 5x+6=0 的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 ， bc=6，而△ABC 的一边 a 为 4，由此即可求出△ABC 的一边 a 为 4 周长．解答：解：∵两边 b、 c 分别满足 b2﹣5b+6=0 ，c2﹣ 5c+6=0，∴b、 c 可以看作方程 x2﹣ 5x+6=0 的两根，∴b+c=5 ， bc=6，而△ ABC 的一边 a 为 4，①若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2 ，但 2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2②若 b≠c，∴△ ABC 的周长为4+5=9 ．故选 C．点评： 此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来， 利用根与系数的关系来三角形的周长． 此 题要注意分类讨论． 二．填空题（共 4 小题） 2 2k= ﹣ 1 ． 23．（ 2014?莱芜）若关于 x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则 考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 判别式法．分析： 根据已知和根与系数的关系x 1x 2= 2得出 k =1，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值．2，两根互为倒数，解答： 解：∵ x 1x 2=k∴ k 2=1，解得 k=1 或﹣ 1；∵方程有两个实数根， △＞0， ∴当 k=1 时， △ ＜ 0，舍去，故 k 的值为﹣ 1．故答案为：﹣ 1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0， a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=﹣ ， x1x2= 进行求解．24．（ 2014?呼和浩特）已知 2 ﹣ 5=0 的两个实数根，则 2 ﹣mn+3m+n= 8 ．m ，n 是方程 x +2x m考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题 ： 常规题型．分析：根据 m+n= ﹣ =﹣ 2， m?n=﹣ 5，直接求出 m 、 n 即可解题．解答： 解：∵ m 、 n 是方程 x 2+2x ﹣ 5=0 的两个实数根，∴ mn=﹣ 5， m+n=﹣ 2，∵ m 2+2m ﹣ 5=0 ∴ m 2=5﹣ 2mm 2﹣mn+3m+n= （ 5﹣ 2m ）﹣（﹣ 5）+3m+n =10+m+n =10﹣2 =8故答案为： 8．点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和n 的值是解决问题的关键．2 2﹣2=0 有两个实数根x1、x ，则 x （ x）+x 2 的最小值为． 25．（ 2014?广州）若关于 x 的方程 x +2mx+m +3m 21 2+x 12考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值．专题 ： 判别式法．分析：由题意可得△ =b 2﹣ 4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程2 2x +2mx+m +3m﹣ 2=0 有两个实数根，则△ =b2﹣ 4ac=4m2﹣ 4（ m2+3m﹣ 2） =8﹣ 12m≥0，∴ m≤，∵ x1（ x2+x 1）+x 22=（ x2+x 1）2﹣ x1x2=（﹣ 2m ） 2﹣（ m 2+3m ﹣2） =3m 2﹣3m+2=3 （ m 2﹣ m+ ﹣ ） +2 2=3 （ m ﹣ ） + ； ∴当 m= 时，有最小值 ； ∵ ＜ ，∴ m= 成立；∴最小值为 ；故答案为： ．点评： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（ 1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2） △ =0? 方程有两个相等的实数根；（ 3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．26．（2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +（ 2k+1 ）x+k 2﹣ 2=0 的两根为 x1 和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1 ﹣x2）=0， 则 k 的值是 ﹣ 2 或﹣ ．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 先由（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0，得出 x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0，再分两种情况进行讨论：① 如果 x 1﹣2=0 ，将 x=2代入 x 22﹣ 2=0，得 4+2（2k+1 ）+k 2﹣ 2=0 ，解方程求出 k= ﹣ 2；② 如果 x1﹣ x21 2 = +（ 2k+1 ）x+k =0 ，那么将 x +x ﹣（ 2k+1 ）， x 1x 2=k2﹣ 2 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验．解答： 解：∵（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0， ∴ x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0 ．① 如果 x1﹣2=0，那么 x1=2，2 2将 x=2 代入 x +（ 2k+1 ） x+k ﹣2=0，得 4+2 （ 2k+1） +k 2﹣2=0 ，2整理，得 k +4k+4=0 ， 解得 k= ﹣2； ② 如果 x1﹣x2=0，那么（ x1﹣x2）2=（ x1+x 2）2﹣ 4x1x2=[ ﹣（ 2k+1 ）] 2﹣ 4（k2﹣ 2）=4k+9=0 ，解得 k= ﹣．又∵△ =（2k+1 ）2﹣4（ k2﹣ 2）≥0．解得： k≥﹣．所以 k 的值为﹣ 2 或﹣．故答案为：﹣2 或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 2x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（1）若（ x1﹣ 1）（ x2﹣1） =28 ，求 m 的值；（2）已知等腰△ ABC 的一边长为 7，若 x1， x2恰好是△ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（ 1）利用（ x1﹣ 1）（x2﹣ 1） =x1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m 2+5﹣2（ m+1） +1=28，求得 m 的值即可；（ 2）分 7 为底边和7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．2 2解答：解：（ 1）∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根，2∴ x1+x 2=2（ m+1）， x1?x2=m+5，∴（ x1﹣ 1）（ x2﹣ 1）=x 1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m2+5﹣2（ m+1） +1=28，解得： m=﹣ 4 或 m=6；当 m=﹣ 4 时原方程无解，∴ m=6；（ 2）①当 7 为底边时，此时方程2 2x﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 有两个相等的实数根，∴△ =4（ m+1）2﹣2，4（ m +5）=0解得： m=2，2∴方程变为 x ﹣ 6x+9=0 ，∵ 3+3＜ 7，∴不能构成三角形；②当 7 为腰时，设x1=7，2代入方程得：49﹣ 14（ m+1） +m +5=0 ，解得： m=10 或 4，当m=10 时方程变为 x2﹣22x+105=0 ，解得： x=7 或 15∵ 7+7＜ 15，不能组成三角形；当m=4 时方程变为 x2﹣10x+21=0 ，解得： x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17 ．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（ 2014?日照二模）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 23x1 x +（ 3a﹣ 1）x+2a﹣1=0 的两个实数根，其满足（﹣ x2）（ x1﹣ 3x2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．x22﹣ 1=0 的两个实数根得到△ ≥0，即（ 3a﹣ 1）2﹣4（2a2﹣1）分析：根据△ 的意义由一元二次方程+（ 3a﹣ 1）x+2a=a 2﹣ 6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（ 3a﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣1，由（ 3x 1﹣x2）（ x1﹣ 3x2）=﹣ 802 2 2，变形得到 3（ x1+x 2）﹣ 16x1x2=﹣ 80，于是有 3（3a﹣ 1）﹣ 16（2a ﹣ 1）=﹣ 80，解方程得到a=3 或 a=﹣然后代入 △验算即可得到实数 a 的值．解答： 解：∵ x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程2 2﹣ 1=0 的两个实数根， x +（ 3a ﹣ 1） x+2a222∴△ ≥0，即（ 3a ﹣ 1） ﹣ 4（ 2a ﹣1） =a ﹣ 6a+5≥0∴ x1+x 2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣ 1，∵（ 3x 1﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80，即 3（ x 12+x 22）﹣ 10x 1x 2=﹣ 80， ∴ 3（ x1+x2 ）2﹣ 16x1x2 =﹣ 80， ∴ 3（ 3a ﹣ 1） 2﹣ 16（2a 2﹣ 1） =﹣ 80，2整理得， 5a +18a ﹣ 99=0，∴（ 5a+33）（ a ﹣ 3） =0，解得 a=3 或 a=﹣ ，当 a=3 时， △ =9 ﹣ 6×3+5= ﹣ 4＜0，故舍去， 当 a=﹣ 时， △=（﹣ 2）+6=（2+6＞ 0，） ﹣ 6×（﹣ ） +6× ∴实数 a 的值为﹣点评： 本题考查了一元二次方程 2x1，x2，则 x1+x 2=﹣ ， ax +bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 如果方程的两根为x1?x2= ．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 x1，x2． （ 1）求实数 k 的取值范围； 2﹣x22 （ 2）是否存在实数 k 使得 x1 ?x2﹣ x1 ≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 压轴题．△ ≥0，据此列出关于 k 的不等式 [﹣（ 2k+1 ） ]2分析： （ 1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式2k 的取值范围； ﹣ 4（ k +2k ） ≥0，通过解该不等式即可求得（ 2）假设存在实数 k 使得≥0 成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得 k 的值．解答： 解：（ 1）∵原方程有两个实数根，2 2∴ [﹣（ 2k+1 ）] ﹣ 4（k +2k ） ≥0，2 2﹣8k ≥0 ∴ 4k +4k+1 ﹣ 4k∴ 1﹣ 4k ≥0，∴ k ≤ ．∴当 k≤时，原方程有两个实数根．（ 2）假设存在实数k 使得≥0 成立．∵ x1， x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．2 2 2∴ 3（ k +2k）﹣（ 2k+1）≥0，整理得：﹣（ k﹣ 1）≥0，∴只有当 k=1 时，上式才能成立．又∵由（ 1）知 k≤，∴不存在实数 k 使得≥0 成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程，（ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x1、x2是方程的两个根，且x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=5，求 k 的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ 1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0 恒成立；（ 2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（ 1）已知关于 x 的一元二次方程，∴△ =（﹣ 2k）2﹣ 4×（ k2﹣ 2）=2k2+8，2∵ 2k +8＞ 0 恒成立，∴不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵ x1、 x2是方程的两个根，∴ x1+x 2=2k， x1?x2= k2﹣2，∴ x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=x 12﹣（ x1+x 2） x1+2x1x2=x1x2=k2﹣ 2=5，解得 k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．欢迎您的光临，Wor文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。

一元二次方程根与系数的关系 经典练习

一元二次方程根与系数的关系 经典练习

一元二次方程根与系数的关系经典练习1．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. m＜﹣1 B. m＜1 C. m＞﹣1 D. m＞13．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定4．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）A. 当k=0时，方程无解B. 当k=1时，方程有一个实数解C. 当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解D. 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解5．在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+3x+1=0 B．C．x2+2x+3=0 D．6．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定7．若方程组有一个实数解，则m的值是（）A．B．C．2 D．﹣28．一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．110．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣311．点P（a，b）是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点．则以a、b两数为根的一元二次方程是（）A．x2﹣5x+6=0 B．x2+5x+6=0C．x2﹣5x﹣6=0 D．x2+5x﹣6=012．一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根的倒数和等于（）A．B．﹣C．D．﹣13．若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_________．14．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是_________．15．关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0有实数根，则k满足的条件是_________．16．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是_________．17．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是_________．（填上你认为正确结论的所有序号）18．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是_________．19．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为_________．20．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=_________．21．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=_________．22．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．24．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．25．当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？26．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．27．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．28．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．29．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．30．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．答案1．解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．故选B．2．解：根据题意得△=22﹣4m＞0，解得m＜1．故选B．3．解：根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选：C．4．解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D、由C得此选项错误．故选：C．5．解：A、△=9﹣4=5＞0，方程有实数根；B、算术平方根不能为负数，故错误；C、△=4﹣12=﹣8＜0，方程无实数根；D、化简分式方程后，求得x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解．故选A．6．解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．7．解：由题意可得方程（2x+m）2=4x整理得4x2+（4m﹣4）x+m2=0即△=（4m﹣4）2﹣16m2=0，解得m=．故选A8．解：根据题意得x1•x2==﹣2．故选D．9. 解：由一元二次方程x2﹣3x+2=0，∴x1+x2=3，故选C．10. 解：∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=﹣2，∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．故选B．11．解：∵点P（a，b）是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点．∴﹣a+5=b，b=整理得a+b=5，ab=6．设所求一元二次方程x2+mx+c=0．又∵a、b两数为所求一元二次方程的两根．∴a+b=﹣m，ab=c∴m=﹣5，c=6．因此所求方程为x2﹣5x+6=0．故选A12．解：设α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根．则有α+β=﹣2，αβ=﹣5．∴+==．故选A13．解：∵，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．14．解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k﹣1）=12k+4≥0，解得：k≥﹣，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．15．解：①当关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0是一元一次方程时，k﹣2=0，解得，k=2；②当（k﹣2）x2﹣4x+1=0是一元二次方程时，△=16﹣4×（k﹣2）≥0，且k﹣2≠0，解得，k≤6且k≠2；综合①②知，k满足的条件是k≤6．故答案是：k≤6．16．解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣2•x1=﹣6，所以x1=3．故答案为3．17．解：①∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②∵x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2．故③错误；综上所述，正确的结论序号是：①②．18．解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．故答案是：6．19．解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=﹣，则原式= = = = =﹣．故答案为：﹣20．解：∵x2﹣x﹣2013=0，∴x2=x+2013，x=x2﹣2013，又∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，∴x1+x2=1，∴=x1•+2013x2+x2﹣2013，=x1•（x1+2013）+2013x2+x2﹣2013，=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x2﹣2013，=x1+x2+2013（x1+x2）+2013﹣2013，=1+2013，=2014，故答案是：201421．解：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，∴m+n=﹣=﹣=，m•n==﹣，∴+===﹣故答案为﹣．22．解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，△=64﹣4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4﹣；②∵x2﹣8x+9=0，∴x2﹣8x=﹣9，所以原式=2x2﹣，=2x2﹣16x+，=2（x2﹣8x）+，=2×（﹣9）+，=﹣．23.（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．24．1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．25．解：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根．26. 解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即b2﹣4a=0，b2=4a，∵===∵a≠0，∴===4．27．解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．28．解：（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n，当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0时，m=﹣，∴c=﹣b2．∵是偶系二次方程，当b=3时，c=﹣×32．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时，△=b2﹣4ac，=4b2．x=，∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”29．（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0，∴无论k为何实数，方程总有实数根．（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=，x1x2=，∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，解得：=±2，即k=1或k=﹣．30．（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0∴原方程总有两个不相等的实数根（2）∵x1，x2是原方程的两根∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1∵|x1﹣x2|=2∴（x1﹣x2）2=（2）2∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0 解得：m1=﹣3，m2=1…10分当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0解得：x1=，x2=﹣当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣。

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及练习一.依据判别式,评论辩论一元二次方程的根.例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根,且关于的方程（2）没有实数根,问取什么整数时,方程（1）有整数解？剖析：在同时知足方程（1）,（2）前提的的取值规模中筛选相符前提的的整数值.解：∵方程（1）有两个不相等的实数根,∴解得;∵方程（2）没有实数根,∴解得;于是,同时知足方程（1）,（2）前提的的取值规模是个中,的整数值有或当时,方程（1）为,无整数根;当时,方程（1）为,有整数根.解得：所以,使方程（1）有整数根的的整数值是.总结：熟习一元二次方程实数根消失前提是解答此题的基本,准确肯定的取值规模,并依附闇练的解不等式的根本技能和必定的逻辑推理,从而筛选出,这也恰是解答本题的根本技能.二.判别一元二次方程两根的符号.例1：不解方程,判别方程两根的符号.剖析：对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于剖断根的消失与否,若剖断根的正负,则须要肯定或的正负情形.是以解答此题的症结是：既请求出判别式的值,又要肯定或的正负情形.解：∵,∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个根为,∵＜0∴原方程有两个异号的实数根.总结：判别根的符号,须要把“根的判别式”和“根与系数的关系”联合起来进行肯定,别的因为本题中＜0,所以可剖断方程的根为一正一负;倘使＞0,仍需斟酌的正负,方可判别方程是两个正根照样两个负根.三.已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值.例2：已知方程的一个根为2,求另一个根及的值.剖析：此题平日有两种解法：一是依据方程根的界说,把代入原方程,先求出的值,再经由过程解方程办法求出另一个根;二是应用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值.解法一：把代入原方程,得：即解得当时,原方程均可化为：,解得：∴方程的另一个根为4,的值为3或—1.解法二：设方程的另一个根为,依据题意,应用韦达定理得：,∵,∴把代入,可得：∴把代入,可得：,即解得∴方程的另一个根为4,的值为3或—1.总结：比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简略.例3：已知方程有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大21,求的值.剖析：本题若应用转化的思惟,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程,即可求得的值.解：∵方程有两个实数根,∴△解这个不等式,得≤0设方程两根为则,∵∴∴整顿得：解得：又∵,∴总结：当求出后,还需留意隐含前提,应舍去不合题意的.四.应用判别式及根与系数的关系解题.例5：已知.是关于的一元二次方程的两个非零实数根,问和可否同号？若能同号,请求出响应的的取值规模;若不克不及同号,请总结来由,解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根,∴则有∴又∵.是方程的两个实数根,所以由一元二次方程根与系数的关系,可得：假设.同号,则有两种可能：（1）（2）若, 则有：;即有：解这个不等式组,得∵时方程才有实树根,∴此种情形不成立.若 , 则有：即有：解这个不等式组,得;又∵,∴当时,两根能同号总结：一元二次方程根与系数的关系深入揭示了一元二次方程中根与系数的内涵接洽,是剖析研讨有关一元二次方程根的问题的主要对象,也是盘算有关一元二次方程根的盘算问题的主要对象.常识的应用办法灵巧多样,是设计考核创新才能试题的优越载体,在中考中与此有接洽的试题消失频率很高,应是同窗们重点演习的内容.六.应用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题.例：已知.是方程的两个实数根,求的值.剖析：本题可充分应用根的意义和根与系数的关系解题,应摒弃通例的求根后,再带入的办法,力图简解.解法一：因为是方程的实数根,所以设,与相加,得：）（变形目标是结构和）依据根与系数的关系,有：,于是,得：∴=0解法二：因为.是方程的实数根,∴∴总结：既要熟习问题的通例解法,也要随时想到特别的简捷解法,是解题才能进步的主要标记,是尽力的偏向.有关一元二次方程根的盘算问题,当根是无理数时,运算将十分繁琐,这时,假如方程的系数是有理数,应用根与系数的关系解题可起到化难为易.化繁为简的感化.这类问题在解法上灵巧多变,式子的变形具有创造性,重在考核才能,多年来一向受到命题先生的青睐.七.应用一元二次方程根的意义及判别式解题.例8：已知两方程和至少有一个雷同的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积.剖析：当设两方程的雷同根为时,依据根的意义,可以构成关于和的二元方程组,得解后再由根与系数的关系求值.解：设两方程的雷同根为, 依据根的意义,有两式相减,得当时, ,方程的判别式方程无实数解当时, 有实数解代入原方程,得,所以于是,两方程至少有一个雷同的实数根,4个实数根的相乘积为总结：（1）本题的易错点为疏忽对的评论辩论和判别式的感化,经常除了犯有默认的错误,甚至还会得出其实不消失的解：当时,,两方程雷同,方程的另一根也雷同,所以4个根的相乘积为：;（2）既然本题是评论辩论一元二次方程的实根问题,就应起首肯定方程有实根的前提：且别的还应留意：求得的的值必须知足这两个不等式才有意义.【趁热打铁】一.填空题：1.假如关于的方程的两根之差为2,那么.2.已知关于的一元二次方程两根互为倒数,则.3.已知关于的方程的两根为,且,则.4.已知是方程的两个根,那么：;;.5.已知关于的一元二次方程的两根为和,且,则;.6.假如关于的一元二次方程的一个根是,那么另一个根是,的值为.7.已知是的一根,则另一根为,的值为.8.一个一元二次方程的两个根是和,那么这个一元二次方程为：.二.求值题：1.已知是方程的两个根,应用根与系数的关系,求的值.2.已知是方程的两个根,应用根与系数的关系,求的值.3.已知是方程的两个根,应用根与系数的关系,求的值.4.已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数.5.已知关于x的方程的两根知足关系式,求的值及方程的两个根.6.已知方程和有一个雷同的根,求的值及这个雷同的根.三.才能晋升题：1.实数在什么规模取值时,方程有正的实数根？2.已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根.（2）若这个方程的两个实数根.知足,求的值.3.若,关于的方程有两个相等的正的实数根,求的值.4.是否消失实数,使关于的方程的两个实根,知足,假如消失,试求出所有知足前提的的值,假如不消失,请总结来由.5.已知关于的一元二次方程（）的两实数根为,若,求的值.6.实数.分离知足方程和,求代数式的值.答案与提醒：一.填空题：1.提醒：,,,∴,∴,解得：2.提醒：,由韦达定理得：,,∴,解得：,代入磨练,有意义,∴.3.提醒：因为韦达定理得：,,∵,∴,∴,解得：.4.提醒：由韦达定理得：,,;;由,可剖断方程的两根异号.有两种情形：①设＞0,＜0,则;②设＜0,＞0,则.5.提醒：由韦达定理得：,,∵,∴,,∴,∴.6.提醒：设,由韦达定理得：,,∴,解得：,,即.7.提醒：设,由韦达定理得：,,∴,∴,∴8.提醒：设所求的一元二次方程为,那么,,∴,即;;∴设所求的一元二次方程为：二.求值题：1.提醒：由韦达定理得：,,∴2.提醒：由韦达定理得：,,∴3.提醒：由韦达定理得：,,∴4.提醒：设这两个数为,于是有,,是以可看作方程的两根,即,,所以可得方程：,解得：,,所以所求的两个数分离是,.5.提醒：由韦达定理得,,∵,∴,∴,∴,化简得：;解得：,;以下分两种情形：①当时,,,构成方程组：;解这个方程组得：;②当时,,,构成方程组：;解这个方程组得：6.提醒：设和雷同的根为,于是可得方程组：;①②得：,解这个方程得：;以下分两种情形：（1）当时,代入①得;（2）当时,代入①得.所以和雷同的根为,的值分离为,.三.才能晋升题：1.提醒：方程有正的实数根的前提必须同时具备：①判别式△≥0;②＞0,＞0;于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12.提醒：（1）的判别式△＞0,所以无论取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根.（2）应用韦达定理,并依据已知前提可得：解这个关于的方程组,可得到：,,因为,所以可得,解这个方程,可得：,;3.提醒：可应用韦达定理得出①＞0,②＞0;于是得到不等式组：求得不等式组的解,且统筹;即可得到＞,再由可得：,接下去即可依据,＞,得到,即：＝44.答案：消失.提醒：因为,所以可设（）;由韦达定理得：,;于是可得方程组：解这个方程组得：①当时,;②当时,;所以的值有两个：;;5.提醒：由韦达定理得：,,则,即,解得：6.提醒：应用求根公式可分离暗示出方程和的根：,,∴,∴,∴,又∵,变形得：,∴,∴。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=_________．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=_________．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，那么a2+2a+b变形为a+b+2021，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，∴a2+2a+b=a+b+2021，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021=﹣1+2021=2021．应选C．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考查了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)

）
A ．2012
B． 2013
C． 2014
D ．2015
11．（2014 ?江西模拟）一元二次方程
A ．﹣ 6
B．6
x 2﹣ 2x﹣ 3=0 与 3x2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（
）
C．3
D ．﹣ 3
12．（ 2014?峨眉山市二模）已知
x1、 x2 是方程
x2﹣（
k
﹣
2）
x+k
2
+3k+5=0
故选： C． 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为 x1，x 2，则 x 1+x 2=﹣ ，x 1?x2= ．
3．（ 2014?玉林） x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成
x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣ 5=0， D ．﹣ 13
20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x2﹣ 3x﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（
）
A ．﹣ 4
B．6
C．8
D ．12
21．（ 2011?鄂州模拟）已知 p2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣ q2=0，且 pq≠1，则
解得 b=﹣2， c=﹣ 8
∴ b+c= ﹣ 10．
故选： A ．
点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：
x1+x 2=﹣ ， x 1x 2= ．
6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（

一元二次方程根与系数关系经典例题与练习

一元二次方程根与系数关系经典例题与练习

一、填空题与选择题：1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A B 、3 C 、6 D 、97、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.19二、解答题：8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x （4）||21x x -（5）)31)(31(1221x x x x ++（6）3231x x +9、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值；10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

11、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.12、解方程0242=+-x x ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。

《一元二次方程根与系数的关系》练习题

《一元二次方程根与系数的关系》练习题

《一元二次方程根与系数的关系》练习题1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=，x 1·x 2=。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2=；2111x x ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)=；｜x 1－x 2｜=。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p=。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m=，(x 1+x 2)21x x = 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。

15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。

16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121，则m=。

一元二次方程根与系数的关系复习

一元二次方程根与系数的关系复习

一元二次方程根与系数的关系复习知识点:根与系数的关系 ● x1+x2=－b/a ● x1×x2=c/a经典例题例1：关于x 的方程012)13(22=-++mx x m 的一个根是1，则m 的值是 A 0 B 32- C32 D 0或32-例2方程06)32(2=++-x x 的根是( )A. x 1＝1，62=xB. x 1＝－1，62-=xC. 21=x ，32=x D. 21-=x ，32-=x练习1、一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0与x 2﹣x+3=0的所有实数根的和等于（ ） A 、2 B 、﹣4 C 、4 D 、32、以321,321-+为根的一元二次方程是3、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x ²－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( )A. 24B. 24或16C. 16D. 224、如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为 ---( ) A ． -3 B ． 5 C ． 5 或-3 D ． -5或3例3：已知2+是方程x 2﹣4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c 的值练习1、 已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，求m的值及另一个根。

2、已知关于x 的一元二次方程032422=-+++k k x x 的一个根为0，求k 的值和方程的另外一个根。

3、 试确定m 的值，使关于x 的方程8x 2-（2m 2+m-6）x+2m-1=0的两根互为相反数4、已知关于x 的方程0)2(4122=+--m x m x 是否存在正数m ,使方程的两个实数根的平方和等于224 ？若存在,求出满足条件的m 的值； 若不存在，请说明理由。

例4：已知06522=+-y xy x ，则x y :等于 A. 161或 B. 16或 C. 2131或D. 32或练习1、 已知)0(04322≠=-+y y xy x ，求yx y x +-的值。

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一、填空题与选择题：
1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.
2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.
3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。

(其中二次项系数为1)
4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．
5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A B 、3 C 、6 D 、9
7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为
( ) A.11 B.17
C.17或19
D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程
01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）)3)(3(21--x x ；
（2）2221)1()1(+++x x
（3）
1121
12+++x x x x （4）||21x x -
（5）
)31)(31(1221x x x x ++
（6）3231x x +
9、已知1x ，2x 是关于x 的方程
012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值；
10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根
是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

11、已知关于x 的方程
04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.
12、解方程0242=+-x x ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它
的根分别是原方程各根的倒数。

13、m 为何值时，关于x 的一元二次方程
0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；
14、在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与3-；小王
看错了q, 解得方程的根为4与2-。

这个方程的根应该是什么？
15、已知一元二次方程021102=++-a x x 。

（1）当a 为何值时，方程有一正、
一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？。

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