线性代数(第二版)第三节向量间的线性关系

三
线 线 性 性 方 方 程 程 组 组 的 的 三 三 种 种 形 形 式 式
有
n
个未
种形式：
知
量
s 个方程的线性方程组，有
形 形 式 式 一 一
一般形式
a 11 x 1 a 21 x 1
a s1 x1
a 12 x 2
a 22 x 2
a s2 x2
a1n x n a 2n xn
a sn x n
则方程组
a11 x1 a12 x 2 a1s x s b1
a
21
x1
a 22 x 2 a 2 s x s
b2
a n1 x1 a n 2 x 2 a ns x s b n
(2 .7 )
可表示为
x11 + x22 + … + xss =
这就是线性方程组的向量形式.
11 3
0
11 3
0
8
将 B 化成行最简形，
4 B 3
2 1
1 2
2 10
行初等变换
1 0
0 1
3 / 10 11 / 10
0 0
11
3
0
8
0 0
0
1
由 于 r (A ) = 2 r (B ) = 3 , 所 以 不 能 由 1 , 2 , 3 线性表示.
(2) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
2. 线性组合的定义
定义 2.8 设 1 , 2 , … , s , Rn ( s 为正整
数)，如果存在一组数 k1 , k2 , … , ks R，使得
= k1 1 + k2 2 + … + ks s
则称向量 可以表为向量组 1 , 2 , … , s 的线性 组合，或称 可由向量组 1 , 2 , … , s 线性表出.
b1 b2
, ,
bs
.
以
下
从向量的角度，式子x11 + x22 + … + xss = 从形式上即为把 表示为向量组1 , 2 , … , s 的线 性组合. 由此可得，向量 能由向量组1 , 2 ,…, s
线性表示的充分必要条件是线性方程组 (2.7) 有解，
并且若方程组有唯一解，则表示式唯一；若方程组
k1 , k2 , … , ks , 使得
k11 + k22 + … + kss = 0
例如，向量组 1 ( 2 , 1,3 ,1) T , 2 ( 4 , 2 ,5 , 4 ) T , 3 ( 2 , 1, 4 , 1) T 是 线 性 相 关 的 ， 因 为 3 = 31 - 2 .
第三节 向量间的线性关系
向量的线性组合 线性相关性的定义及判别 用定义判别线性相关性 线性相关的充要条件
一、向量的线性组合
1. 引 入
在 平 面 解 析 几 何 中 我 们 知 道 ： R2 中 的 两 个 向 量 = ( a 1 , a2 )T 与 = ( b 1 , b 2 )T 的 关 系 无 非 有 两 种 ： (1 ) 共 线 (或 成 比 例 )； (2 ) 不 共 线 (或 不 成 比 例 ) . 在
与 共线的情况下，不妨设存在常数 k ，使 =
k.
例如
( 2 , 1) T ,
1,
1
T
ຫໍສະໝຸດ Baidu
,
则
1 .
2
2
在 与 共 线 的 情 况 下 ， 对 于 任 意 一 个 R2 中 的 向
量 = ( c1 , c2 )T , 由 平 行 四 边 形 法 则 可 知 ， 必 可 找 到
(3) 1 (1,1, 2, 2)T,2 (1, 2,1,3)T,3 (1, 1, 4,0)T, (1,0,3,1).
(1) 解 构 造 矩 阵 A 和 B :
4
2 1
4
2 1 2
A ( 1 , 2 , 3 ) 3 1 2 , B ( 1 , 2 , 3 , ) 3 1 2 10
有无穷多个解，则表示式不唯一.
由此可知，判断向量 能否由向量组1 , 2 , … , s 线性表示的方法是：构造矩阵
A = (1 , 2 , … , s ) 和 B = (1 , 2 , … , s , )
对矩阵 B 进得行初等变换使之成为行最简形，求出
矩阵 A 和 B 有秩； 若 r (A) r (B)，则向量 不能 由向量组1 , 2 , … , s 线性表示；若 r (A) = r (B) = s 则向量 能由向量组1 , 2 , … , s 线性表示且表示 法唯一； 若 r (A) = r (B) < s , 则向量 能由向量组 1 , 2 , … , s 线性表示且表示法不唯一.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是: a = 0.
2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是: a1 , a2 的分量对应成比例. 如
定义 2.10 Rn 中的向量组1 , 2 ,…, s ( s 1 ) 如果不是线性相关，则称为线性无关. 换句话说，
向量组 1 , 2 , … , s ( s 1 ) 称为线性无关，如果
k11 + k22 + … + kss = 0
只有当 k1 = k2 = … = ks = 0 时才成立.
例 3 判别下列各题中的向量 能否由其余向
量线性表出，若能，求出其表示式.
(1) 1 (4,3,11)T,2 (2, 1,3)T,3 (1, 2,0)T, (2,10,8)T ;
(2) 1 (2,1,0,1)T,2 (1, 3, 2, 4)T,3 (5,0, 1, 7)T, 4 (1, 6, 2,6)T , (8,9, 5,0);
2 1 3
1
1
4 0
,
1 1 1 1
B
( 1 , 2 , 3 ,
)
1
2 2
2 1 3
1 4 0
0
3 1
将 B 化成行最简形，
二、线性相关性的定义及判别
1. 定义
定义 2.9 Rn 中的向量组1 , 2 , … , s ( s 1 ) 称为线性相关，如果存在 R 中 s 个不全为零的数
2 1 5
A
( 1 ,
2 , 3,
4)
1
0 1
3 2 4
0 1 7
1
6
2 6
,
2 1 5 1
8
B
( 1 , 2 , 3 , 4 , )
1
0 1
3 2 4
0 1 7
6 2 6
9
5 0
将 B 化成行最简形，
(3) 解
构造矩阵 A 和 B :
1 1
A
( 1 ,
2 , 3 )
1
2 2