10、分式的运算(2)

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分式教案(2)

分式教案一、教学内容本节课的教学内容来自人教版初中数学八年级下册第22章《分式》。

本节课主要讲解分式的概念、分式的基本性质、分式的运算以及分式方程的解法。

二、教学目标1. 理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2. 学会分式的运算方法，提高运算能力。

3. 学会解分式方程，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：分式的概念、分式的基本性质、分式的运算方法、分式方程的解法。

难点：分式方程的解法。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师出示实际问题：“甲、乙两地相距100公里，甲地有一辆汽车以每小时40公里的速度向乙地行驶，同时乙地有一辆汽车以每小时60公里的速度向甲地行驶。

问两辆汽车相遇时，它们之间的距离是多少？”学生尝试解决实际问题，引出分式的概念。

2. 自主学习：学生自主阅读教材，理解分式的概念，并尝试解决教材中的例题。

3. 课堂讲解：教师讲解分式的概念，强调分式的分子、分母以及分式的值。

4. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的概念。

5. 分式的基本性质：教师讲解分式的基本性质，引导学生发现分式的基本性质。

6. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的基本性质。

7. 分式的运算：教师讲解分式的运算方法，引导学生发现分式的运算规律。

8. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的运算方法。

9. 分式方程的解法：教师讲解分式方程的解法，引导学生发现解分式方程的方法。

10. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固解分式方程的方法。

六、板书设计板书设计如下：分式的概念：分子分母分式的值分式的基本性质：分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变。

分式的运算：加减法：通分后相加（减）乘除法：分子相乘（除），分母相乘（除）分式方程的解法：去分母求解七、作业设计1. 请解释分式的概念，并给出一个例子。

分式的运算例题讲解

15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧分式混合运算的技巧分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。

苏科版数学八年级下册10.1《分式》教学设计

苏科版数学八年级下册10.1《分式》教学设计一. 教材分析《分式》是苏科版数学八年级下册第10章的内容，本节课的主要内容是分式的概念、分式的基本性质和分式的运算。

本节课的内容是学生学习更高级数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式的相关知识，具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力。

但部分学生对于抽象概念的理解和运用还不够熟练，需要通过实例和练习来进一步巩固。

三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2.学会分式的运算，并能灵活运用。

3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.分式的概念和基本性质。

2.分式的运算及其运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探索、发现和解决问题，提高学生的动手实践能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学课件和板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式的概念，如：“某商店进行打折活动，原价100元的商品打八折后，顾客实际支付80元。

请问，顾客实际支付的价格是原价的多少？”让学生思考并解答，从而引出分式的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现分式的定义、基本性质和运算规则，引导学生观察和理解。

同时，给出相应的例子，让学生跟随讲解，逐步掌握分式的基本知识。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些分式的基本运算题目，如分式的加减、乘除等。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题，并给予反馈。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生运用所学的分式知识解决问题。

如：“已知a、b、c为实数，且a+b+c=0，求证：a/b+b/c+c/a=0。

”教师引导学生思考和解答，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考分式在实际生活中的应用，如经济、物理、化学等领域。

让学生举例说明，进一步拓宽视野。

初二数学分式计算

初二数学分式计算初二数学(下): 分式的运算及分式方程一、基本运算1.计算 $17x^2y-9ab^3\div\frac{222x-6x+9x+2xy}{51xy}$，化简得 $\frac{17x^2y-9ab^3}{222x+2xy}$。

2.计算 $\frac{2}{x-4}-\frac{x}{x-3}\div(-x)$，化简得$\frac{2x-7}{(x-4)(x-3)}$。

3.计算 $\frac{-y}{xz}\div\frac{-x}{yz}$，化简得$\frac{y^2}{x^2}$。

4.计算 $\frac{24}{a-bab-a^2}\div\frac{22}{4a+abab-a}$，化简得 $\frac{12}{a+b}$。

5.计算 $\frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y}\div(4x^2-y^2)$，化简得 $\frac{1}{2x+y}$。

6.计算 $\frac{2x-y}{x+3y}\div\frac{2x-3y}{2-x}$，化简得$\frac{2-x}{3y}$。

7.计算 $\frac{2xy}{xy+a}+\frac{6}{a}-\frac{a}{a+3}-\frac{3}{a}$，化简得 $\frac{8xy+6a}{a(a+3)(xy+a)}$。

8.计算 $\frac{2}{2x+y}-\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x}$，化简得$\frac{2x^2-xy-2y^2}{(2x+y)(x-y)(x+y)}$。

9.计算 $\frac{2}{x+y}-\frac{2}{x-y}+\frac{a}{x+y}-\frac{3a}{a-3}$，化简得$\frac{-2x+2y+4a}{(x+y)(x-y)(a-3)}$。

10.计算$\frac{x^2a^2+3a+12b^2}{1+12a-b}-(x-1)\div(a-1)$，化简得$\frac{x^2a^2+15a+12b^2-12bx+12b}{(1+12a-b)(a-1)}$。

11.分式的运算

③相同字母的幂取指数最高的。
例
4，（1）
1 2ab2c3d
+
1 3a3b2c
+
1 4a2b2c2
（2）
1+1− x x
1− 1− xy xy
注意：整式与分式的运算，根据题目特点，将整式化为分母为“1”的分式；
例 5：（1）已知： 2m − 5n = 0 ，求下式的值： (1+ n − m ) ÷ (1+ n − m )
m m−n
m m+n
（2）
1+
n m
− −
m 2n
÷
m2
m2 − n2 − 4mn +
4n2
一题多解
例 6：已知：= x2 M− y2
2xy − y2 + x − y x2 − y2 x + y
，则 M
=
________
例 7：
[ (a
1 + b)2
−
(a
1 − b)2
]÷( a
1 +b
−
a
1) −b
11.分式的运算
基础知识 1、分式的定义与意义（变成习惯思维，见到分式想到分母不能为 0）
A
定义：（A、B为整式，B中含有字母,不是系数且B ≠ 0）
B
2x + 2
例 1：取什么值时试判断 (3x −1)(x +1) 有意义。
2x +1
例 2，当 x 取何值时，分式 1− 1 有意义？
x
2、分式的乘除法法则：注意约分，找公因式
）
D． x x -1
。
7.
（2011

人教版数学八年级上册第十五章分式全章复习(第二课时)教学设计

（2）运用问题驱动的教学方法，设计具有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
（3）采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过回顾分式的概念，引导学生思考分式在生活中的应用，为新课的学习做好铺垫。
（2）新知传授：以问题为导向，引导学生探究分式的性质和运算法则，总结解题方法。
4.能够利用分式解决一些生活中的优化问题，如折扣、百分比等，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.通过对分式的复习，培养学生自主探究、合作交流的学习习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，通过绘制图像、列式分析等方法，加深对分式性质和运算的理解。
3.通过设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中逐步掌握分式运算的技巧和方法，提高解题效率。
4.引导学生总结分式学习中的常见错误，分析原因，培养学生自我纠正和反思的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动参与课堂活动的积极性。
2.通过分式的学习，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的逻辑思维能力和判断力。
4.鼓励学生面对困难时，保持积极的心态，培养良好的学习习惯和自主学习能力。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，使学生在复习分式的过程中，既能巩固基础知识，又能提高解决问题的能力，从而达到教学目标。
二、学情分析
八年级学生在学习分式这一章节时，已经具备了一定的代数基础，掌握了整式的运算和方程求解，这为学习分式打下了基础。然而，分式的概念和运算对学生来说仍存在一定的难度，尤其是在分式的有理化、分式方程的求解等方面，学生容易产生混淆和错误。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将分式知识灵活运用，需要教师引导和指导。

分式及其运算

分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。

分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。

其中,分子是被除数,分母是除数。

二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。

- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。

2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。

3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。

4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。

三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。

分式的乘除运算讲解

分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。

分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。

分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。

而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。

在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。

为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。

分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。

在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。

分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。

在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。

而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。

通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。

分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。

掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。

综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。

通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。

2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。

冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》教学设计2

冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》教学设计2一. 教材分析冀教版数学八年级上册《分式的混合运算》是学生在掌握了分式的基本概念、性质、运算方法的基础上进行学习的内容。

本节课的主要内容是分式的加减乘除运算，以及混合运算的顺序和法则。

通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握分式的混合运算方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念、性质和运算方法，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但是，对于分式的混合运算，部分学生可能会感到困惑，对于运算顺序和法则的理解可能不够深入。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过举例、讲解、练习等方式，帮助他们理解和掌握分式的混合运算方法。

三. 教学目标1.理解分式的混合运算的概念和法则。

2.掌握分式的混合运算方法，能够熟练进行分式的加减乘除运算。

3.提高解决实际问题的能力，培养逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：分式的混合运算方法。

2.难点：分式混合运算的顺序和法则的理解。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动思考和探索。

2.通过举例、讲解、练习等方式，帮助学生理解和掌握分式的混合运算方法。

3.利用多媒体教学手段，直观地展示分式的混合运算过程，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习分式的基本概念、性质和运算方法，引出本节课的内容——分式的混合运算。

向学生提出问题：“什么是分式的混合运算？混合运算的顺序和法则是什么？”激发学生的学习兴趣和思考。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示分式的混合运算的定义和法则，让学生直观地了解分式的混合运算的过程。

同时，给出一些例子，让学生跟随PPT的讲解，一起进行分式的混合运算。

3.操练（10分钟）让学生分成小组，互相进行分式的混合运算练习。

教师在这个过程中，要关注学生的练习情况，对于遇到问题的学生，要进行及时的指导和帮助。

分式的乘除(第2课时)课件

金融投资
研究分式乘除法在金融投资中的应用，了解投资回报计算、利息计算等。
实例演练
1
例题一
通过实例一，巩固对分式乘除法原理的理解，提高计算准确性。
2
例题二
通过实例二，拓展对分式乘除法的应用，提高解题能力和思维灵活性。
3
例题三
通过实例三，积极解答复杂问题，培养分析和解决问题的能力。
总结
通过本课时的学习，我们掌握了分式的乘法、分式的除法以及分式的乘除法混合运算的方法和应用场景。通过实例演练，我们提高了解题能力和分析问题的技巧。继续努力，我们一定能在分式的乘除法中游刃有余！
应用场景
发现分式乘法在实际生活中的应用，理解其重要性。
分式的除法
基本原理
学习如何进行分式的除法，通过掌握基本原理，进行准确计算。
解题技巧
掌握分式除法的解题技巧，提高解题效率，加强记忆。
常见错误
分析常见错误，避免在分式除法中出现常见错误，保证计算准确。
分式的乘除法混合运算
1
步骤总结
2
总结分式的乘除法混合运算的步骤，方
技巧指南
学习解题过程中的常用技巧和策略，提高解题速度和准确性。
分式的乘除法的应用场景
商业场景
探索分式乘除法在商业领域中的应用，如利润分配、成本计算等。
科学研究
发现分式乘除法在科学研究中的应用，如化学计量、实验数据分析等。
日常生活
了解分式乘除法在日常生活中的实际应用，如调配食材、调配药量等。
便记忆和应用。
3
问题分析
通过混合运算的实例，分析问题，了解如何解决带有分式的复杂运算。
应用拓展
发现分式的乘除法混合运算在不同领域的应用，加深对知识的理解和应用能力。

分式的运算(含答案)

分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知，求的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

华东师大版八年级下册17.2 分式的运算(第2课时)01

x 2x 1 x 1 (4) 2 . 2 x 1 x x
想一想
复习：计算
1 2 5 5
探索分式的乘除法的法则
【同分母的分数加减法的法则】同分母的分数相加减，分母不变,分子相加减。
问题1：猜一猜, 同分母的分式应该如何加减？
【同分母的分式加减法的法则】同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减。同分母分式加减法法则与同分母分数加减法的法则类似
4 xy (6) x y . x y
跟进练习
x 1 x2 1.( ) x 2 2 x x 1 x y xz 2. ( x y )(z y ) ( y x)( y z )
2
12 2 (1) 2 m 9 3 m
a b (3)a b 1 a b ba x2 x 1 4 x ( 2 2 ) 2 x 2x x 4x 4 x 2x
2a 1 (6) , ; (a 2)(a 2) 2 a
1 a 2 (7) , 2 , 2 . 9 3a a 9 a 6a 9
归纳总结
通分时，最简公分母由下面的方法确定： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积； ③分母是多项式时一般需先因式分解。
4 xy 2(x yy ) 1 4. . . xy (x y )( x y) x y xy
④每个小题中分式分式的分母有什么特点？
做一做
练习计算：
b c 1 3 （2）；（ 3 ） a a m m ； 3 2 3 12 15 （4 ）；（5 ）； x 1 x 1 a a a
2 2 2 2 ②每个分式的分子和 (x y)y ( xx ) ( x( xy )y ) 2 2 分母都是什么代数式？ 2 2 x 2 y xyxy x 2 y2 ③在分式的分子、分 2 2 2 2 2 x y xy 2 xy ( x x 2 yy ) ( x 2 xy y ) 母中的多项式是否可以分 2 2 xy 解因式，怎样分解？ x y 2 2 xy

分式的运算

分式的运算疑难分析1．类似分数，分式有：乘法法则——分式乘分式，用分子的积作为积的分母，分母的积作为积的分母．除法法则——分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示为：a c acb d bd =；ac ad adb d bc bc÷==． 2．类似分数的加减法，分式的加减法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母分式相加减，选通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±=. 3．整数指数幂有以下运算性质：（1）a m a n =a m+n （m ，n 是整数)；（2）(am)n =a mn（m ，n 是整数）（3）(ab)n =a n b n （n 是整数）；（4）a m ÷a n =a m-n（m ，n 是整数）（5）(a b )n =n n a b（n 是整数）；（6）a -n =1n a （a ≠0）；特别地，当a ≠0时，a 0=1.有了负整数指数幂后，小于1的正整数也可以用科学记数法表示．例题选讲例1 计算：22266(3)44124x x x x x x x-+-⨯÷+-+-. 解：()()()()()()222233226611(3)12443322442x x x x x x x x x x x x x x -+--+-⨯÷+=⨯⨯=--+--+- =142x-.评注：当计算中有乘除法运算，还有乘方运算时，一般先是乘方，后乘除，在运算过程中要注意正确地运用符号法则来确定结果的符号．例2 计算：（1）a b ca b c a b c c a b+++-+---；（2）22112224xx y x y x y ---+-.解:（1）a b ca b c a b c c a b +++-+--- a b ca b c a b c a b c=+-+-+-+-1a b ca b c+-==+-；（2）22112224xx y x y x y ---+- ()()()()()()222222222x y x y xx y x y x y x y x y x y +-=---+-+-+=()()()()2222(2)2222x y x y x x y x y x y x y x y +-+---=-+-+22x y=-+ 评注：在分式的加减法运算中，注意把分子看成一个整体用括号括起来，再相加减，异分母分式的加减，要注意确定最简公分母．例3 计算：（1）2312122(3)6.()a b a b a ab ------；（2）13212().(2).(2)ab a a b -----.解：（1）23122(1)(1)(2)32(2)122(3)2366.()a b a b a b a ab ----+------+-----⨯=；0a b b ==-（2）13212().(2).(2)ab a a b -----113322(2)1(2).(2).(2).a b a a b ---⨯--⨯-=--=3(2)(1)3(4)122(2)2a b a b +--++--+--=-22b a =-评注：（1）计算前，注意幂的底数、指数、特别是各项系数．（2）要根据性质正确计算，防止（-2）-2=4，-2-2=211(2)4=-等类错误．（3）注意运算顺序，结果中不同时含分式和负整数指数幂．基础训练一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内） 1．下列分式中是最简分式的是（）. （A ）221x x + （B ）42x （C ）211x x -- （D ）11xx -- 2．用科学记数法表示0.000078，正确的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3 （D ）0.78×10-43．下列计算：①0(1)1-=-；②1(1)1--=；③33133aa-=-；④532()()x x x ---÷-=-．其中正确的个数是（）．（A ）4 （B ）3 （C ）1 （D ）04．已知公式1212111()R R R R R =+≠，则表示R 1的公式是（）．（A ）212R R R RR -=（B ）212RR R R R =- （C ）212RR R R R =-（D ）212()R R R R R += 5．某商店有一架不准确的天平（其臂不等长）及1千克的砝码，某顾客要购两千克瓜子，售货员将1千克砝码放于左盘，置瓜子于右盘使之平衡后给顾客，然后又将1千克砝码放于右盘，另置瓜子于左盘，平衡后再给顾客，这样称给顾客两千克瓜子（）.（A ）是公平的（B ）顾客吃亏（C ）商店吃亏（D ）长臂大于短臂2倍时商店吃亏 6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则100!98!的值为（）. （A ）5049（B ）99！（C ）9900 （D ）2！ 7．下列分式的运算中，其中结果正确的是（）.（A ）112a b a b +=+ （B ）323()a a a = （C ）22a b a b a b +=++ （D ）231693a a a a -=-+-8．化简24().22a a a a a a---+的结果是（）.（A ）-4 （B ）4 （C ）2a (D)2a+4二、填一填9．若20(1)a -有意义，则a ≠ ．10．纳米是非常小的长度单位，1纳米=0.00000000１米，那么用科学记数法表示1纳米= 米．11．如果12x y y -=，则xy= ． 12．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则2a bm dc a b c++-=++ ．三、做一做 13．计算：（1）22411()4422a a a a a a -+-÷-+-+；（2）3211a a a a ----.14．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：212(1)1a a a a --++-.15．若关于x 的方程323a x bx --=的解是x=2，其中a b ≠0，求a bb a-的值． 16．已知222211111x x x x y x x x-+-=÷-+-+ ，试说明在等号右边代数式有意义的条件下，不论x 为何值，y 的值不变．四、试一试17．已知abc=1,化简 111a b cab a bc b ac c ++++++++，试探求简捷的方法．16． 2 分式的运算一、1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A 二、9.a ≠±1 10.91.010-⨯ 11.3212.3整数指数幂（1）教学目标：1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

专题10 分式方程(解析版)

专题10分式方程【考查题型】【知识要点】解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。

2）解整式方程。

3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。

分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。

分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5）写答案考查题型一解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（）A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-【答案】C【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程101x -=-的解是（）A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式2x +与代数式1x -的值相等，则x ＝______．()()3122x x -=+，去括号号3324x x -=+，解得7x =，检验：当7x =时，()()210x x +-≠，∴分式方程的解为7x =．故答案为：7．【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x的值为_____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程01x x -=去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．故答案为：x (x +1)．【名师点拨】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()21522xx x x+=-的解为________．【答案】4x =【提示】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．【答案】12-##0.5-题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：21244x x x -=．方程两边乘2(2)x -得：2(2)(2)4x x x ---=，解得：x =4，检验：当x =4时，220x ≠（﹣）．所以原方程的解为x =4．【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．考查题型二根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（）A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：222x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠∴2k ＜，∵分母不能为0，∴2x ≠，∴22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B ．【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【答案】A【提示】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程1(1)x ax x x x +=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．考查题型三分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【答案】D【提示】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=，题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x 的分式方程233x x++=--无解，则a 的值为（）A ．3B ．0C ．1-D ．0或3题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x x -=--有增根，则m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】C【提示】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程1x-﹣1＝1x-无解，则m＝___．考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．3030 1.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．3030 1.220x x-=-【答案】A1.2题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=D．2000020000(115%)10x x⨯-=题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝30【答案】A，根据基地距学校题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x 亩，则可以得到的方程为（）A ．363024x x=⨯B ．363024x x=⨯C ．363024x x =⨯D ．363024x x =⨯题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（）A ．4271100%14.0%4271x -⨯=-B ．4271100%14.0%4271x-⨯=-C ．4271100%14.0%x x-⨯=-D ．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（）A ．144963030v v =+-B ．1449630v v=-C ．144963030v v=D ．1449630v v=题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+【答案】D(2.4+2题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h．．．．，则依题意可列方程为（）A．6110334x x+=B．6102034x x+=C．6101343x x-=D．6102034x x-=题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A．960010x-＝1600xB．960010x+＝1600xC．9600x＝160010x-D．9600x＝1600x+10【答案】B【提示】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=-题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（）A．900900213x x=⨯+-B．900900213x x⨯=+-C．900900213x x=⨯-+D．900900213x x⨯=-+题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，故笔记本的单价为：10+2＝12（元），答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：12y+10（50﹣y）≤540，解得：y≤20，故最多购买笔记本20本．【名师点拨】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键．题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？题型5-3．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．题型5-4．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A 块种植杂交水稻，B 块种植普通水稻，A 块试验田比B 块试验田少4亩．(1)A 块试验田收获水稻9600千克、B 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700题型5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？题型5-6．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？题型5-7．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．题型5-8．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？题型5-9．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．题型5-10．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．元，则燃油车平均每公里的充电费为题型5-11．（2022·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．。

10分式的混合运算

做人，最重要的就是要了解昨天的“我”，
要认识今天的“我”，要追求明天的“我”。
我们学习过分式的哪些运算？
1、分式的乘除
b d bd b d b c ① ② a c a c a c a d 2、分式的乘方 b n bn ( ) n a a 3、分式的加减 b c bc ① a a a b d bc ad bc ad ② a c ac ac ac
学习目标： 1、熟练运用运算律进行分式的混合运算。 2、提高运算能力。
课堂要求：积极、规范的参加课堂活动！
1 1 1 例1 计算： (1 )( 2 ) x 1 x x x 1
1 x x 解：原式= x( x 1) x 1
-1
1 = x 1
2a 2 1 a b 例2 计算： ( ) b a b b 4 2 1 4a a b 解：原式= 2 a b b 4 b 4a 4a 2 2 = 2 b ( a b) b
4a ( a b) 4a 2 = 2 b (a b) b ( a b) 4 a 2 4a ( a b) = 4a = b( a b) 4a = ab b 2
=
4a 4a 4ab = b 2 (a b)
是否存在疑问？提出来，共同讨论！！！
2
2
规则：同学们先在草稿本上完成题目（过程要完整），并写上自己的姓名。10分钟后，随机抽取同学进行投影展示!每题2 分，每失误一处扣1分！
11 3 1 2x x 2 x1 1 x x2 12 第二轮：第三轮： ① (1 ( x ) ) ) 第一轮： xxx 1 2 x 1 x x x2 xx 6 2 2 1 1 1 1 1y x 2 x ②(2 ) )2 ( x 2 y) ( ) y x x4 2 yx x3 xx 2 4 x2 x 2 y x

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10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则a c acb d _bd ；a c a d adb d bc bc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：① 取各分母系数的最小公倍数；② 凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幕的因式都要取； ③ 相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则a b a _b——± —= -----c c c（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则na n a（） n （ n 为正整数） b b n4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“ 1”的分式;（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算【分类解析】(x-2)(x 1)「(X 3)(x-2) (x -3)(x 2) (x 2)(x _1)例1 :计算2X 2 _x _2 x 2-x _6x 亠 x - 6笃x 6的结果是X -1x 1A.B.x -3x -9C.x 2D.x 21 x 23分析：原式(x -2)(x 1) (x 2)(x -1) (x -3)(x2) (x 3)(x 一2)(x 1)(x _ 1) (x 3)(x - 3) x 2一1 x 2-9故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

ab a 1 =1例3：已知：2m-5n = 0，求下式的值：(1 - —)■ (1 - —)m m —n m m + -分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

” /八- m 、. 一 1 n m 、解：(1)"(1)m m —nm m + nm(m _ n) n(m _ n) _ m m(m n) n(m n) _ m m(m 「n) m(m n)_n亠 m(m + n)m(m - n) _n m n m 一 nn n故原式=电 ---------5 n 一 nb + ---------ab a 1 bc b 1 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用化成同分母，运算就简单了。

a例2：已知abc = 1，求一c的值。

ac c 1abc 替换待求式中的“ 1”，将三个分式解：原式abab a 1+ -------- abc ab aabc+ --------------abc abc ab abcab a 1a ab 1ab1 ab a a 1 ab的值是多少?分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

1 11 1 解：由已知条件得：3，4，a bb c1 1 1 所以2( )=12abc1 1 1 即 6a b cab bc ca111^ 又因为6abc c b aabc1所以一ab +bc + ca 6例5:化简：3彳2彳2.x 1 x -1 x -4 ( )x -2 x 2 x 1解一： 32原式(x1)(x 2) (x -1)(^2) (x-2)(x-2) 八式一(x -2)(x 2) x 1 x 43x 3-2x 24x +1(x 4-x 2)3(x 3 T) -(X 2-1) x +12 2x (x 1)(x -1)3(x 1)(x - x 1) -(x 1)(x -1)X + 13 2 2(x 1)(x -x 3x -3x 3-x 1)x +1=x 32x 2- 4x 4 解二：原式 (X 1)(X 2-X 1) (x 2)(x-2) (x 1)(x-1) (x 2)(x-2) 八式一x-2 x 1 x 2x 12=(x -x 1)(x 2) (x -1)(x -2) =x 3_ x 2x 2x 2_ 2x 2 x 2- 3x 232=x 2x -4x 4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。

例4：已知a 、b 、c 为实数，且bc 1 b c 4旦J ，那么c a 5 abc ab be ca2 2m —n~22m _4mn 4nm —2 n -1 -m n m n -m 2nm n3n m n说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

例2、M~22x -y2 2 22xy _ y x - 2xy y_ 2 2x -yx 2M-~2— -22x -y x 「y .M “说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同,中考点拨:-4ab(a +b)(a _b)(a b)2(a-b)2-2b2a (a b)(a 「b) 2a a -b例1、计算:解: 原式二1m - n m -2n(m - 2n)2(m n)(m _ n)n —m 1m - 2已知:解:2xy - y 2x - y即可求出M 。

例1：计算:1 [(a b)2解一: 原式= 2 2(a -b) -(a b)(a b)2(a -b)2a -p 『a(a b)(a - b)(_! L)“ (丄 a b a —ba b a —b a b1 1--- + ----a b a-b a -b a b 2a (a b)(a -b) a 2-b 2法的繁简程度一目了然。

1c , 2A.B. 0C. 1D.-23a 3_b 3+2b 3. a _b +2b解：原式33a 3 —b 3a —b_ a 3b 3a _b a 3-b 3a b2 2_ (a b)(a -ab b ) a _b (a -b)(a 2ab b 2) a b2 2_ a -ab b _ 3ab -ab a 2abb 23ab ab2ab 1 4ab 2故选A【实战模拟】1. 已知：a • b = 2，ab = —5，则旦• b的值等于(b a21419 A.B.C.555231 2. 已知x - 16x -1=0，求x 3的值。

x1111- + ----------- + ------------- + -------------x 2 3x 2 x 2 5x 6 x 2 7x 12 x 29x 20解二: 原式说明：在分式的运算过程中,乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。

此题两种方例2：b 2= 3ab ，则 (12b 3小气1—辽)的值等于(a -bD.243.计算:4.99991111 199992222 199992222 1999933331，试比较A与B的大小。

5.已知：a b = 0，abc 二8，求证: 丄」1a b c::0。

书是人类进步的阶梯 > 终生的伴侣，最诚挚的朋友■ 一一高尔基【试题答案】a b = 2, ab = -5. .a 2b 2= (a b)2-2ab = 14 a b 14 14・一 + 一 = ----- =—b a-55故选B22•解： x -16x -仁 016(x 2—1)16"6x= 16[3]=16[3 ] xx=16 259 = 4144此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。

+ - + + (x 2)( x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5)11111111— --- — ----- + ----- — ---- + ------ — ----- + ---- — ----- x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 1 _ 1 x 1 x 54 x 26x 5说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。

2.43.42.a 1 a a a1-a -2a T a 31 (a 21)(a 31)4•解:设 a 二 99991111，a 1 a 21a 21 a 311•解:a b—+—b aab1 x 3二 16x 1, x 2-仁 16x ，x 2 -16x = 1-13- x 2 4 2 _ (x _1)(x X 1)x 34 2 2_16x(x x x -16x)x 316(x 42x 2-16x)=16(x 2= 16(16x 12162——)x 1616x 2-16)=16(3)说明: 3.解:原式=(x 1)(x2)a 21A B 5.证明：；a b 02 2 2a b c 2ab 2bc 2ac = 01 2 2 2ab bc ac (a b c )2bc ac ab 1 . 2 .2 2、 (a b c ) 16 b 、c 均不为零 b 2c 2a(a _1)22(a2 1)( a3~1) 01 1 1 又abcabc =8abc。