《核反应堆物理分析》公式整理

第1章—核反应堆物理分析中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0.1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0.1 MeV),热中子(E ﹤1eV).共振弹性散射A Z X + 01n → [A+1Z X]*→A Z X + 01n 势散射A Z X + 01n →A Z X + 01n辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为A Z X + 01n → [A+1Z X]*→A+1Z X + γ235U 裂变反应的反应式23592U + 01n → [23692U]*→A1Z1X + A2Z2X +ν01n微观截面ΔI=-σIN Δx /I I IIN x N xσ-∆-∆==∆∆ 宏观截面Σ= σN 单位体积内的原子核数0N N Aρ=中子穿过x 长的路程未发生核反应，而在x 和x+dx 之间发生首次核反应的概率P(x)dx= e -ΣxΣdx核反应率定义为R nv =∑单位是中子∕m 3⋅s 中子通量密度nv ϕ=总的中子通量密度Φ0()()()n E v E dE E dE ϕ∞∞Φ==⎰⎰平均宏观截面或平均截面为()()()EEE E dERE dEϕϕ∆∆∑∑==Φ⎰⎰辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示fγσασ=有效裂变中子数1f f a f γνσνσνησσσα===++ 有效增殖因数eff k =+系统内中子的产生率系统内中子的总消失（吸收泄漏）率四因子公式s deff n pf k k nεη∞ΛΛ==Λk pf εη∞=中子的不泄露概率Λ=+系统内中子的吸收率系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率热中子利用系数f =燃料吸收的热中子被吸收的热中子总数第2章-中子慢化和慢化能谱211A A α-⎛⎫= ⎪+⎝⎭在L 系中，散射中子能量分布函数[]'1(1)(1)cos 2c E E ααθ=++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应(')'()c cf E E dE f d θθ→=在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内的概率:2d 2(sin )sin d ()42c c r rd f d r θπθθθθθθπ===对应圆环面积球面积能量均布定律()(1)dE f E E dE Eα'''→=--平均对数能降2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+⎛⎫=+=- ⎪--⎝⎭当A>10时可采用以下近似223A ξ≈+L 系内的平均散射角余弦0μ001223c c d Aπμθθ==⎰慢化剂的慢化能力ξ∑s 慢化比ξ∑s /∑a由E 0慢化到E th 所需的慢化时间tS 0()thE s s E E dE t v E λλξ⎡⎤=-=⎰热中子平均寿命为00()11()()a d a a E t E vE v v λ===∑∑（吸收截面满足1/v 律的介质） 中子的平均寿命s d l t t =+ 慢化密度0(,)(,)()(,)s EEq r E dE r E f E E r E dE ϕ∞''''=∑→⎰⎰(,)(,)(,)(,)(,)(1)(1)EE Eas s EE E r E r E dE E E q r E dE r E r E dE E Eααϕαϕαα''''∑-''''==∑''--⎰⎰⎰ 稳态无限介质内的中子慢化方程为()()()()()()Et s E E E E f E E dE S E ϕϕ∞''''∑=∑→+⎰无吸收单核素无限介质情况()()()()(1)Es t EE E E E dE Eαϕϕα''∑'∑='-⎰无限介质弱吸收情况dE 内被吸收的中子数()()()a dq q E q E dE E dE ϕ=--=∑0()exp()E a Es dE q E S E ξ'∑=-'∑⎰逃脱共振俘获概率00()()()exp()E aE s E q E dE p E S Eξ'∑==-'∑⎰第j 个共振峰的有效共振积分,*() ()jj AE I E E dE γσφ≡⎰逃脱共振俘获概率i p 等于1exp A iA i i s s N I N p I ξξ⎡⎤=-=-⎢⎥∑∑⎣⎦整个共振区的有效共振积分()()ia EiI I E E dE σϕ∆==∑⎰热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式/1/23/22()()n E kT n N E e E kT ππ-=中子温度()(1)a M n M SkT T T Cξ∑=+∑核反应率守恒原则，热中子平均截面为0()()()(()(ccc c E E E E E N E vdEE N E N E vdEN E σσσ==⎰⎰⎰⎰若吸收截面 a 服从“1/v”律(a a E σσ= 若吸收截面不服从“1/v ”变化，须引入一个修正因子ng a n σ=第3章-中子扩散理论菲克定律J D φ=-∇ 3s D λ=01str λλμ=-023A μ=01()46z s J z ϕϕ-∂=+∑∂001()46z s J z ϕϕ∂=∑∂＋－01()3z z z s J J J zφ+-∂=-=-∑∂ 33s s x y z J J i J j J k grad λλφφ=++=-=-∇中子数守恒（中子数平衡）(,)(S)(L)(A)Vdn r t dV dt =--⎰产生率泄漏率吸收率中子连续方程(,)(,)(,)(,)a n r t S r t r t divJ r t tϕ∂=-∑-∂ 如果斐克定律成立，得单能中子扩散方程21(,)(,)(,)(,)a r t S r t D r t r t v tϕϕϕ∂=+∇-∑∂ 设中子通量密度不随时间变化，得稳态单能中子扩散方程2()()()0a D r r S r ϕϕ∇-∑+= 直线外推距离tr d 0.7104l = 扩散长度220011363(1)3(1)a tr a s a a s D L r λλλλμμ=====∑-∑∑-慢化长度L12221111112110100ln 3th a tr E D D L L E ϕϕϕϕξ∇-∑=∇-=→==∑∑∑ L 21 称为中子年龄，用τth 表示，即为慢化长度。

中子的年龄0()()()()()E Es s D E dE D E dEE d E E E Eττξξ=→=∑∑⎰当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于,0a a a ∑=∑ M2称为徙动面积，而M 称为徙动长度2222211()66th s d M M L r r r τ=+=+=第4章-均匀反应堆临界理论无外源无限平板反应堆单群扩散方程21(,)(,)(,)(,)a a x t D x t x t k x t tϕϕϕϕυ∞∂=∇-∑+∑∂ (21)()cos cos n n n n n x A B x A x a πφ-==2222222/(1)(1)1a n n n nD l L l D L B D L B L B υυ∞∑===+++ 221n nk k L B ∞=+(21)1,2,3,n n B n a π-== (1)/'1(21)(,)cos n n k t l n n n x t A x e a πϕ∞-=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ 裸堆单群近似的临界条件为122111k k L B ∞==+稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程22()()0g r B r ϕϕ∇+=不泄漏概率22211a Vga g VVdV L B dV DB dV ϕϕϕ∑Λ===++∑+⎰⎰⎰中子吸收率中子吸收率中子泄漏率 裸堆单群近似的临界条件可写为11k k ∞=Λ=球形反应堆222()2()()0g d r d r B r dr r drϕϕϕ++= 有限高圆柱体反应堆22222(,)1(,)(,)(,)0g r z r z r z B r z r r r zϕϕϕϕ∂∂∂+++=∂∂∂ 反应堆功率可表示为()ff VP E r dV ϕ=∑⎰材料曲率221m k B L ∞-=临界条件可写为B m 2= B g 2221eff gk k L B ∞=+ 单群理论的修正12211gk k M B ∞==+221m k B M ∞-= 芯部稳态单群扩散方程 (角标 c)2()()()0c c ac c ac c D r r k r ϕϕϕ∞∇-∑+∑=引入一个特征参数k 来进行调整使其达到临界2()()()0c c ac c ac c k D r r r kϕϕϕ∞∇-∑+∑= 反射层稳态单群扩散方程（角标为 r ）22()()0r r r r k r ϕϕ∇-= 热中子通量密度分布不均匀系数/功率峰因子max1()H VK r dVVϕϕ=⎰第5章分群理论与能量相关的中子扩散方程(,,)n r E t t∂=--∂产生率泄漏率损失率 '''''''0''''()()()(,,)(,)()(,,)(,)(,,)(,,)()()(,)(,,)s f s s s f f S Q Q Q r E t r E f E E r E t dE r E E r E t dE Q r E t E E r E r E t dE ϕϕχνϕ∞∞∞=++=∑→=∑→=∑⎰⎰⎰产生率外源散射源裂变源(,,)(,)(,,)(,,)divJ r E t divD r E grad r E t D r E t ϕϕ==-=-∇∙∇泄漏率a s (,)(,,)(,)(,,)(,)(,,)t r E r E t r E r E t r E r E t ϕϕϕ=+=∑+∑=∑损失率吸收损失率散射损失率与能量相关的中子扩散方程'''0''''01(,,)(,,)(,)(,,)(,)(,,)()()(,)(,,)(,,)t s f r E t D r E t r E r E t r E E r E t dE t E E r E r E t dE S r E t ϕϕϕϕυχνϕ∞∞∂=∇∙∇-∑+∑→∂+∑+⎰⎰稳态无外源中子扩散方程'''''''(,)(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)t s f D r E r E r E r E E r E dE E E r E r E dE ϕϕϕχνϕ∞∞-∇∙∇-∑=∑→+∑⎰⎰任意系统稳态中子扩散方程'''''''()(,)(,)(,)(,)(,)()(,)(,)t s f effE D r E r E r E r E E r E dE E r E r E dE k χϕϕϕνϕ∞∞-∇∙∇+∑=∑→+∑⎰⎰在每一个能量区间对稳态中子扩散方程进行积分，可得G 个不含能量变量E 的扩散方程，其中第g 群扩散方程为'''''''0(,)(,)(,)(,)(,)(,)1()()(,)(,),1,,ggggt s E E E f E effD rE r E dE r E r E dE dE r E E r E dE E dE E r E r E dE g Gk ϕϕϕχνϕ∞∆∆∆∞∆-∇∙∇+∑=∑→+∑=⎰⎰⎰⎰⎰⎰引入关于能群g 的相关物理量的定义 g 群中子通量密度1()(,)g gE g E r r E dE ϕϕ-=⎰g 群总截面1,1(,)(,)g gE t g t E gr E r E dE ϕϕ-∑=∑⎰g 群扩散系数11(,)(,)(,)g gg gE E g E E D r E r E dED rE dEϕϕ--∇=∇⎰⎰或者11(,)(,)g gE g E gD D rE r E dE ϕϕ-=⎰群转移截面∑g’ →g ''''''1(,)(,)ggs g g E E gdE r E E r E dE ϕϕ→∆∆∑=∑→⎰⎰散射源项'''''''''''11(,)(,)(,)(,)()gggGGs s g g g E E E g g dE r E E r E dE dE r E E r E dE r ϕϕϕ∞→∆∆∆==∑→=∑→=∑∑∑⎰⎰⎰⎰g 群中子产生截面1()()(,)(,)gf g f E gE r E r E dE ννϕϕ∆∑=∑⎰g 群中子裂变谱()gg E E dE χχ∆=⎰根据以上定义的物理量，得多群扩散方程'''''',11()()()()()1,2,,GGgg g t g g fg g g g g g g effD r r r r g Gk χϕϕϕνϕ→==-∇∙∇+∑=∑+∑=∑∑,,,,,x gnn gx gn n gx a f ϕϕ∈∈∑∑==∑∑ ''''''''n nn n g n g g gn n g ϕϕ→∈∈→→∑∑=∑∑∑一侧有反射层的双区均匀反应堆 芯部双群方程()()21,1,,1,1,2,1,2,22,2,2,2,12,1,1()()()()()()()c c r c c f c f c c ceffc c a c c c c D r r r r k D r r r ϕϕνϕνϕϕϕϕ→⎡⎤-∇+∑=∑+∑⎣⎦-∇+∑=∑反射层的双群方程21,1,,1,22,2,2,2,12,1,()()0()()()r r r r r r r a r r r r D r r D r r r ϕϕϕϕϕ→-∇+∑=-∇+∑=∑第七章反应性随时间的变化核燃料中重同位素的燃耗方程11,,1(,)(,)((,))(,)Gi i i i a g i g i i g dN r t N r t r t N r t F dt βλσφ--==-++∑11,,11(,)i G i g i g g r t γλβσφ---=⎧⎪=⎨⎪⎩∑ ,,,(,),(,)Gi i i f g i g i g i i F r t N r t γσφ''''''==∑∑对于给定的燃耗区，给定的燃耗步长内，燃耗方程为11()()i i i i i i dN t N t N F dtσβ--=-++ ,i a i i I σλ=+,,,1Ga ia g i g g I σφ==∑11,1i i i I γλβ---⎧=⎨⎩裂变产物中毒：由于裂变产物的存在，吸收中子而引起的反应性变化P Pa a F Ma a a k kk ρ'-∑∑-∆=≈=-'∑+∑∑ 135Xe 的产生与衰变过程：----6135135135135ββββ13519.2s6.58h92h2.310aTe I Xe Cs Ba ⨯−−−→−−−→−−→−−−−→忽略其中半衰期短的过程，简化为：Xe I135135135I Xe Cs λλ−−→−−→135I 和135Xe 的浓度随时间变化的方程式I I f I I ()()dN t N t dt γφλ=∑-Xe Xe Xe f I I Xe a Xe ()()()()dN t N t N t dtγφλλσφ=∑+-+ 135I 和135Xe 的平衡浓度I f I I ()N γφλ∑∞=I Xe f Xe Xe Xe a ()()N γγφλσφ+∑∞=+ 平衡氙中毒()f Xe Xe Xe a a Xea γφρλφσ∑∑∆∞≈-=-∑∑+ 最大氙浓度发生时间I max I Xe Xe 1ln 11.3h t λλλλ⎡⎤=≈⎢⎥-⎣⎦149Sm 的裂变产物链--Nd 149149149ββ=0.01132h54hNd Pm Sm γ−−−−→−−→−−→ (,)40800b a n γσ=150Sm平衡浓度Pm f Pm Pm ()N γφλ∑∞=Pm fSm Sma()N t γσ∑= 平衡钐中毒Sm Sm a Pm f Sm a a()()N σγρ∞∑∆∞=-∑∑燃耗深度表示方法u()/MW d/t TBU P t dt dW =⋅⎰100%B F F W W α=⨯ kg/t B U UWW α= 核燃料的转换与增殖 铀-钚循环--239239239(n,)ββ23823min2.3dU U Np Pu γ−−−→−−−→−−−→ 钍-钚循环--233233233(n,)ββ23222min27dTh Th Pa U γ−−−→−−−→−−→第九章—核反应堆动力学考虑缓发中子后的扩散方程为6211(,)(,)(,)(1)(,)(,)a a i i i r t D r t r t k r t C r t v t φφφβφλ∞=∂=∇-∑+-∑+∂∑(,)(,)(,)i i a i i C r t k r t C r t tβφλ∞∂=∑-∂反应堆点堆动力学方程6(1)1()()()eff i i ik dn t n t C t dt l βλ--=+∑ ()()()i i i i dC t kn t C t dt lβλ=-61()()()()i i i dn t t n t C t dt ρβλ=-=+Λ∑ ()()()1,2,....6i ii i dC t n t C t i dt βλ=-=Λ反应性方程61i i i ωβρωωλ==Λ++∑61111i i il l l βωωρωωωλ==++++∑ 中子代时间Λeffl k Λ=7127012701()(...)j ttttj j n t n Ae A e A e n A e ωωωω==++=∑ρ∆为正，6个负根一个正根0.01820.01360.05980.183 1.0050 2.87555.6()[1.4460.03590.1400.06370.02050.007670.179]t t t t t ttn t n e e e e e ee------=------反应堆周期11T ω=、中子密度的相对变化率来定义反应堆周期()n t T dn dt=。