高数 定积分的元素法
阐述定积分的元素法的思想和原理
阐述定积分的元素法的思想和原理
定积分的元素法是用定积分的等价形式，将一个积分分解为多个重
叠的小积分的和的形式，但是不要如中等分的形式一样分开，元素法
的本身是一种重叠分解，它实质上是求取某一复合积分的变形，针对
某些特殊函数，能够均匀分割并求取数值近似解，从而求出某一复杂
函数的积分值。
元素法遵循思想：
设某积分为I，用元素法求某积分I时，把它分成m个子区间，m越大，精度越高。
在每一个子区间上取一个求积分值的小积分，将子区间间
的连续重叠，而且分段重叠仅有一段，把积分I的连续重叠段的平均值记为I, 给出I的连续重叠长度。
如果函数f(x)在每个子区间上用抽样点
估算，则可将I写成抽样点的积分，从而将该积分整体化统一求取，有利于计算机程序的实施。
可以将I=f(x)dx变换为形如：
I=f1(x1)h1+f2(x2)h2+……+fn(xn)hn，
其中fi为子区间第i段上的抽样函数，x1、x2、…、xn为抽样点，h1、h2、…、hn为对应的抽样点的子区间宽度。
因此，用元素法求取积分I的过程就是：根据某个给定的误差限度取每一个子区间的宽度；根据适当的抽样函数，选取各个子区间的抽样点；求出子区间上的小积分；并将其求和即可得到积分I的近似值。
定积分的应用元素法教案
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x 因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A( x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V bπ[ f (x)]2 dx a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA (
x x2)dx
0
1 3
在第一象限所围
y
y2 x y x2
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
d
y
O
yx4 x
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
0
0
几个常见极坐曲线
a
ra
0 2
x2 y2 a2
r a sin 0
x2 (y a)2 a2 24
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
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微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
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二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
6-1定积分的元素法59653
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
高等数学上6.1定积分的元素法
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b
积分的四个步骤如下： 积分的四个步骤如下： （1）分割 上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间 积 元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲 面 边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（ ）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向： 元素法应用方向： 应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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第一节
第六章 六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的 是与区间[a 上的某分布 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
高等数学课件6-1定积分的元素法
定积分的元素法：将积分区间划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的积分值，最 后求和得到积分值
应用：计算不规则图形的体积
步骤：确定积分区间、划分小区间、计算每个小区间的积分值、求和得到积分值
注意事项：小区间的划分要均匀，积分值的计算要准确，求和时要注意精度
弧长公式：L=∫(a到b) f(x) dx 积分区间：a到b 积分函数：f(x) 计算方法：使用元素法进行积分计算
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缺点：当积分区间较宽时，计算误差较大
适用于求解定积分 适用于求解不定积分 适用于求解积分方程 适用于求解微分方程
确定积分区间和被积函数
将积分区间划分为若干个 小区间
计算每个小区间的积分值
求和得到积分结果
定积分的元素法：将曲线下的面积分割成若干个小矩形，然后求和 应用：计算不规则图形的面积 步骤：确定积分区间、分割区间、计算每个小矩形的面积、求和 注意事项：分割区间越小，计算结果越精确
积分区间必须是闭区间 积分函数必须是连续函数 积分函数必须是可积函数 积分区间内的函数值必须是有限的
定积分的几何意义是 函数在某一区间上的 面积，与函数在该区 间上的积分和相等
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元素法：一种计算定积分的方法
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原理：将积分区间划分为若干个小区间，在每个小区间内取一个代表点，然后计 算这些代表点的函数值，最后将这些函数值相加得到积分值
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优点：计算简单，易于理解
定积分的计算方法包括元素法、换元法、分部积分法等。
定积分是函数在 某一区间上的积 分和
定积分的值与积分 区间、被积函数和 积分变量有关
定积分的值与积 分区间的划分方 式无关
定积分的值与积 分变量的选取无 关
高等数学 定积分的元素法及其应用
A( y) = 2x ⋅ y tanα = 2 tanα ⋅ y R2 − y2
∫ V = 2 tanα ⋅ R y R2 − y2 dy 0
这就是课本中给出的解法！
y α
o
(x, y)
R x
2009年7月3日星期五
15
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例7
计算由曲面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
所围立体(椭球体)
弧长元素(弧微分) :
ds = (dx)2 + (dy)2
= ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) dt
因此所求弧长
s = ∫αβ ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) d t
2009年7月3日星期五
19
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r = r(θ ) (α ≤ θ ≤ β ) 令 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , 则得
2 利用对称性
∫ V = 2 R 1 (R2 − x2 ) tanα d x
02
= 2 tanα[ R2x − 1 x3 ] R = 2 R3 tanα
3 03
y α
ox α
R x
2009年7月3日星期五
14
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ?
= 2a sin t dt 2
∴
s
=
∫ 2π 0
2a sin
t 2
d
定积分元素法
定积分元素法量积分，即定积分，是高等数学中非常重要的一部分，定积分的定义是对一个函数在某个区间上的面积或体积的精确计算。
然而，当我们面对复杂的函数求解时，使用定积分的定义进行计算是非常困难的。
因此，我们需要寻找一些方法来简化计算。
其中一个常用的方法就是定积分元素法。
本文将会介绍该方法的原理和实际应用。
一、原理定积分元素法是使用微小区间来逼近整个区间的方法。
我们将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后选择每个小区间上的一个点，记为xi。
那么，将定积分转化为求和公式可以表示为：∫a^b f(x)dx = lim(Δx -> 0) Σf(xi) Δx其中，Δx = (b - a)/n。
这个公式就是定积分元素法的基本公式。
二、分点方法分点方法是定积分元素法中的一种特殊方法。
在该方法中，我们将整个区间内的点分为两类：第一类为端点，第二类为非端点。
然后，将除了端点以外的点均匀地划分为n-1个点，并且从小到大排列。
最后，根据定积分元素法的基本公式进行求和即可。
下面以求解f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为例，解释如何使用分点方法计算。
（1）将整个区间内的点分为端点和非端点，因为本题是[0,1]，所以0和1为端点，非端点为所有不等于0和1的点。
（2）将非端点均匀地划分为n-1个点，这里我们假设n=3，那么非端点为0.25和0.75，它们被均匀地划分为2个点，即0.5和0.5。
（3）将所有点按照从小到大排序，那么排序后的点为0，0.5，0.5，1。
（4）根据定积分元素法的基本公式进行求和：∫0^1 x^2 dx = lim(Δx -> 0) Σ f(xi) Δx = lim(Δx -> 0) [f(0)Δx + f(0.5)Δx + f(0.5)Δx +f(1)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0^2)Δx + (0.5^2)Δx + (0.5^2)Δx + (1^2)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx +0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx)] = lim(Δx -> 0)[1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx] = lim(Δx -> 0) Δx/4 = 1/3因此，f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为1/3。
高等数学讲义第六章定积分的元素法及其应用
高等数学讲义Higher Mathematics Materials(第六章定积分的元素法及其应用 )第六章定积分的元素法及其应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积公式1 由连续曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的面积为：⎰⎰⎰-+-=ca d c bd dx x f dx x f dx x f A )()()( （1） 例1 求椭圆 22221,(0,0)x y a b a b +=>>的面积 解 由对称性，知 14A A =上半椭圆方程为22b y a x a=- dx x a a b dx x a a b A a a ⎰⎰-=-=⇒0222201 ＝.44,4)2arcsin 2(10222ab A A ab x a x a x a a b a ππ==⇒=-+ 例2 求由0,4,1,232===-+=y x x x x y 所围成的面积.解 4)1(2+--=x y 为开口向下，顶点为)4,1(的抛物线，故⎰⎰⎰+==433141dx y A ＝⎰⎰-+--+432312)23()23(dx x x dx x x ＝323 2 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，且 []b a x x f x g ,),()(∈≤，则由b x a x x g y x f y ====,),(),(，所围成的面积为：=A []()()ba f x g x dx -⎰ （2） 注：公式（2）对于)()(x g x f <有正有负的情形也成立.例3 求由1,,===-x e y e y x x 所围成的面积.解 由公式（2），得.21)(10-+=-=⎰-e e dx e e A x x 3 求由曲线)(),(y x y x ψϕ==及直线d y c y ==,所围成的面积为[]dy y y A dc ⎰-=)()(ψϕ （3） 例4 求由2,,1===y x y xy 所围的面积.解 由公式（3），得.2ln 23)1(21-=-=⎰dy y y A 二 定积分的微元法2.极坐标下的面积公式1 先介绍定积分的元素法（微元法）讲定积分概念时，为了求某个不均匀分部的整体量A ，是分四步解决的，即分割（将整体化为局部，即化整为零）——近似代替(局部范围“以直代曲”，“以匀代不匀”，近似求出各部)——求和（积零为整）——取极限（由近似到精确），最后得到整体量.实际问题中，往往将其简化为两步，即第一步：无限细分区间[]b a ,，考虑任意份[]x x x ∆+,，或[]dx x x +,，“以不变代变”，“以匀代不匀”，写出量A 的局部量的近似值：dA dx x f x x f A ==∆≈∆)()(——称为A 的元素或微元.第二步：无限求和，即将dA 沿[]b a ,相加，得到定积分⎰⎰=ba ba dx x f dA )(，这就是整体量. 由以上两步完成的求和方法，称为微元法.例如 求由连续曲线[]b a x x f y ,,0)(∈≥=及直线x b x a x ,,==轴所围成曲边梯形的面积.解 由微元法，在[]b a ,上任取一点x 使这点具有小区间的意义，其长为dx ，做一高为)(x f ，“底边长”为dx 的小矩形，其面积为dA ，则dA dx x f dA ,)(=叫该图形在点x 的面积微元.将[]b a ,上的每一点的面积微元无限累加，及连续作和，便得到曲边梯形的面积⎰⎰==ba ba dx x f dA A .)( 用微元法同样可求变速直线运动所走路程为：ds dt t v ds S ba ba (,)(⎰⎰==叫路程微、元） 2极坐标系下的面积公式设有一条连续曲线，其坐标方程为：)(θr r =，求曲线)(θr r =及两个向径βθαθ==,所围成的面积A （曲边扇形）.解 用微元法.分割区间[]βα,，任取一份[]θθθd +,，在这一份上，以小圆弧代替小曲线弧，得到面积微元 θθθd r rd r dA )(21212=⋅= （扇形面积＝21半径⨯弧长），再将dA 在[]βα,上无限求和，得到θθθθβαβαd r d r A )(21)(2122⎰⎰== （4） 例5 求)0(,cos 2>=a a r θ围成圆的面积.解 0,cos 0,()22r ππθθ≥∴≥-≤≤，代公式（4），得 θθθθππππd a d r A 2222222cos 421)(21⎰⎰--== ＝.221422a a ππ=⋅⋅ 0<a 时，曲线所围面积相同.例6 求阿基米德螺线θa r =上相应于θ从0到π2一段弧于极轴所围成的图形的面积.解 πθ20≤≤，代公式（4），得3220322202202343221)(21πθθθθθπππa a d a d r A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰ 三、体积1.旋转体的体积旋转体——连续曲线)(),(b x a x f y ≤≤=绕x 轴旋转一周所生成的体积.过[]b a ,上任一点x ，在小区间[]dx x x +,，的小曲边梯形绕x 轴旋转而成薄扁体积近 似于，以)(x f 为底半径，dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元[]dx x f dv 2)(π=，将dv 在[]b a ,上累加，即得旋转体体积. []dx x f dv V b a b a 2)(⎰⎰==π （5）注：由连续曲线)(),(d y c y x ≤≤=ϕ绕y 轴旋转一周所产生得旋转体体积为=V []dy y d c 2)(⎰ϕπ （6） 例7 求由椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转所成旋转体的体积（椭球）. 解 上半椭圆的方程为：a x a x a ab y ≤≤--=,22，代入公式（5），得.343)(232222222ab x x a a b dx x a a b V a a a a πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰ 绕y 轴旋转椭球体积为：b a V 234π= 特例：当b a =时，球体体积为：334a V π=2.已知平行截面面积，求立体体积设空间某立体是由一曲面和垂直于x 轴的平面b x a x ==.所围成.假设过点x 垂直于x 轴的截面面积)(x A 在[]dx x x +,上薄片体积微元dx x A dv )(=，（如油炸土豆片），将dv 沿[]b a ,求和（薄片相加），得⎰=ba dx x A V )( （7）例8 求“圆柱楔形段”的体积.解 截面为三角形，其面积为：ααtan 21tan 21)(2y y y x A =⋅⋅= 底圆的方程是222R y x =+)(tan 21)(22x R x A -=∴α，代入公式（7），得所求体积.tan 32)(tan 21)(322ααR dx x R dx x A V R R R R =-==⎰⎰--三、平面曲线的弧长设弧的两端B A ,，取分点B M M M M M M M A n n i i ==--,,,,,,,11210依次连折线，如分点无限增加，且每小段弧1i i M M -，缩为一点时，折线长∑=-11i i i M M n 的极限为曲线弧AB 的弧长. 定理 光滑曲线是可求长的.1 直角坐标情形设曲线弧的直角坐标方程为)(),(b x a x f y ≤≤=其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，取曲线弧上任一小区间[]dx x x +,对应的弧，可用曲线在点 [,()]x f x 处切线上相应一段长近似代替，即222()()1ds dx dy y dx '≈+=+，在闭区间[]b a ,上作定积分，得所求弧长dx y S ba ⎰'+=21例9 计算曲线2332x y =上x 从a 到b 的一段弧长. 解 21x y ='，)1(112x d x dx y S b a ba ++='+=⎰⎰＝.)1()1(32)1(32232323⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+a b x ba 例10 求悬链线cx chc y ⋅=在[]b b ,-上的弧长. 解 由对称性，先计算[]b ,0的一段长，c x sh y =' dx c x sh S b⎰+=0212dx cx ch b ⎰=02 ＝02()2.b x x b cch d c sh c c c =⋅⎰ 2参数方程情形设曲线弧的参数方程是 βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()( 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有连续导数，在相应[]βα,上任一区间[]dt t t +,的小弧段长度的近似值（弧微分）为dt t t dt t dt t dy dx ds )()())(())(()()(22222222ψϕψϕ'+'='+'=+=于是所求弧长 dt t t S ⎰'+'=βαψϕ)()(22例11 计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 的一拱πθ20(≤≤)的长度.解 弧长元素θθθθθθθd a d a d a a ds 2sin2)cos 1(2sin )cos 1(2222=-=+-=所求弧长为 a a d a S 8)2cos 2(22sin22020=-==⎰ππθθθ 3极坐标情形设曲线弧由极坐标方程 βθαθ≤≤=),(r r 给出.由直角坐标与极坐标的关系，可 得βθαθθ≤≤⎩⎨⎧==,sin cos r y r x 22222222()()(cos sin )()(sin cos )()()().ds dx dy r r d r r d r r d θθθθθθθθθ'''=+=-++=+⋅这是以极角θ为参数的曲线弧的参数方程，从而所求弧长为:.)()(22θθθβαd r r S ⎰'+=复 习 题 A1 . （1）(3) 3.（2）（4）5.。
高等数学PPT课件：定积分的微元法(元素法)
2.极坐标下平面图形的面积
平面曲线 r r( ) (极坐标方程)
+ d
射线 , ( )
所围曲边扇形面积A.
曲 边
面积元素 dA 1[r( )]2d
2
扇 形
r r( )
d
A
1[r 2
(
)]2
d
.
O
x
16
定积分在几何学上的应用
例 8 求心形线r a(1 + cos )
A
1[r 2
A( x)
Oa
x•
b
x
x x + dx
采用元素法 体积元素 dV A( x)dx
立体体积 V b A( x)dx. a
25
定积分在几何学上的应用
V abA( x)dx
例5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
解 底圆方程 x2 + y2 R2
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分在几何学上的应用
(1) 连续曲线 y f ( x),
直线 x a, x b 及 x 轴所围曲边梯形
绕x 轴旋转一周，旋转体体积？
采用元素法
y
y f (x)
积分变量 x, x [a,b],
[x, x + dx][a,b],
O
a x x + dx b
x
以dx 为底，小曲边梯形绕 x 轴旋转成薄片
t
y
b
O
ax
作变量代换, x a cos t, dx a sintdt
当x 0时,t ;当x a时, t 0.
A
高数二(定积分应用)
1
e
1
0
1
x0
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
y
f (x)
0
a
dx
x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴 内表面积
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
2π xf ( x )
定积分的应用
§1 . 定积分的元素法
回顾求曲边梯形面积的步骤：
y = f (x) ≥0 ，在[ a , b ]上连续。 (1) 分割：得小曲边梯形得面积 Ai (2) 近似：Ai f ( i )xi (i =1 , 2 ,…, n) ( Ai 与 f ( i )xi 仅差高阶无穷小）
2
2
2
2
0
0
2
2
x
y
5
5
V x 圆 柱 体 V1 )dx 22 5 y 2 dx 20 ( x 1 8
1
5
1
2 y x , y 0, x 2所围图形绕直线 y 1 例 求 旋转一周的体积
解： V V1 圆 柱 体
dV1 ( y 1) 2 dx ( x 2 1) 2 dx
[ x ( x x )]dx
–3
2、参数方程情形 若曲边由参数方程：
x ( t ) ( t ) 给出， y ( t ) ( t ), ( t ) 连续。
则 A
b a
y dx
高等数学方明亮55定积分的元素法及其应用2
2019/9/16
9
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例4 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算
该棒对质点的引力. （课本 例14） 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y
a M d Fx
[x,xd]x对质点的引力大小为
d F ay
d F k mdx
（3）引力
课外练习
习题5－5 8~10
2019/9/16
14
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为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥
后提出井口, 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 缆绳每
米重50N , 抓斗抓起的污泥重2000N ,
提升速度为3m /s , 在提升过程中污泥
30
以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,
W 0.14.9102xdx 0
4.9
102
x2 2
0.1 0
2.45 (J)
2019/9/16
4
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例2 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x,xdx] 上的一薄层水的重力为
2
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例 1 已知一弹簧拉长 0.02 m 要用 9.8 N 的力，求把该弹 簧拉长 0.1m 所作功. （课本 例 11）
解： 由物理学中的胡克定理可知，在
弹性限度内拉伸弹簧所需要的力与弹 簧的伸长量 x 成正比，即
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A
A
i 1
n
i
（ 2） 计 算 A i 的 近 似 值
A i f ( i ) x i
i xi
（3） 求和，得A的近似值 A
i 1
n
f ( i ) x i .
（4） 求极限，得A的精确值
A lim
0
n
f ( i ) x i
i 1
dU ， 即 dU f ( x ) dx ；
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f ( x ) dx 为 被 积 表 达 式 ， 在 区 间 [ a , b ]上 作 定 积 分 ， 得 U 即 为 所 求 量U 的 积 分 表 达 式 .
a
b
f ( x ) dx ，
这个方法通常叫做元素法．
a
b
f ( x ) dx
提示 若 用 A 表 示 任 一 小 区 间
面 积 元 素
y [ x , x x ]上 的 窄 曲 边 梯 形 的 面 积 ，
dA
y f (x)
A ，并取 A 于 是 A f ( x ) dx
则A
f ( x ) dx ，
A lim
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形 由连续曲 线
y
y f (x)
y f ( x )( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、 x b 所围成。
A
b
o a
b x
a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[ a , b ] 分成个 n 长度为 x i 的小区间，相 应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄 曲边梯形的面积为 Ai ，则
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
（ 3） 部 分 量 U i 的 近似 值 可表 示为 f ( i ) x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1） 根 据 问 题的 具体 情 况 ， 选取 一 个变量 例 如 x 为 积 分பைடு நூலகம்变量 ，并 确定 它 的变 化区 间 [ a , b ] ；
2） 设 想 把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 取 其 中 任 一 小 区 间 并 记 为[ x , x dx ] ， 求 出 相 应 于 这 小 区 间 的 部 分 量 U 的 近 似 值 .如 果 U 能 近 似 地 表 示 为 [ a , b ]上 的 一 个 连 续 函 数 在x 处 的 值 f ( x ) 与dx 的 乘 积 ， 就 把 f ( x ) dx 称 为 量 U 的 元 素 且 记 作
f ( x ) dx
b
f ( x ) dx .
o a x x dx x b
a
当所求量 U 符合下列条件：
（ 1） U 是 与 一个 变量 x 的 变 化 区间 a , b 有 关 的量；
（ 2） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说 ， 如 果 把 区 间 a , b 分 成 许 多 部 分 区 间 ， 则 U 相 应 地 分 成 许 多 部 分 量 ， 而U 等 于 所 有 部 分 量 之 和；