高数 定积分的元素法

f ( x ) dx

b
f ( x ) dx .
o a x x dx x b
a
当所求量 U 符合下列条件：
（ 1） U 是 与 一个 变量 x 的 变 化 区间 a , b 有 关 的量；
（ 2） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说 ， 如 果 把 区 间 a , b 分 成 许 多 部 分 区 间 ， 则 U 相 应 地 分 成 许 多 部 分 量 ， 而U 等 于 所 有 部 分 量 之 和；
应用方向：Biblioteka Baidu
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形 由连续曲 线
y
y f (x)
y f ( x )( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、 x b 所围成。
A
b
o a
b x
a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[ a , b ] 分成个 n 长度为 x i 的小区间，相 应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄 曲边梯形的面积为 Ai ，则
（ 3） 部 分 量 U i 的 近似 值 可表 示为 f ( i ) x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1） 根 据 问 题的 具体 情 况 ， 选取 一 个变量 例 如 x 为 积 分 变量 ，并 确定 它 的变 化区 间 [ a , b ] ；
2） 设 想 把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 取 其 中 任 一 小 区 间 并 记 为[ x , x dx ] ， 求 出 相 应 于 这 小 区 间 的 部 分 量 U 的 近 似 值 .如 果 U 能 近 似 地 表 示 为 [ a , b ]上 的 一 个 连 续 函 数 在x 处 的 值 f ( x ) 与dx 的 乘 积 ， 就 把 f ( x ) dx 称 为 量 U 的 元 素 且 记 作
A
A
i 1
n
i
（ 2） 计 算 A i 的 近 似 值
A i f ( i ) x i
i xi
（3） 求和，得A的近似值 A

i 1
n
f ( i ) x i .
（4） 求极限，得A的精确值
A lim
0
n
f ( i ) x i
i 1
dU ， 即 dU f ( x ) dx ；
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f ( x ) dx 为 被 积 表 达 式 ， 在 区 间 [ a , b ]上 作 定 积 分 ， 得 U 即 为 所 求 量U 的 积 分 表 达 式 .
a
b
f ( x ) dx ，
这个方法通常叫做元素法．
a
b
f ( x ) dx
提示 若 用 A 表 示 任 一 小 区 间
面 积 元 素
y [ x , x x ]上 的 窄 曲 边 梯 形 的 面 积 ，
dA
y f (x)
A ，并取 A 于 是 A f ( x ) dx
则A
f ( x ) dx ，
A lim