高三数学复习：立体几何的平行与垂直证明(教师)

高三数学复习——立体几何中的平行与垂直的证明一、平面的基本性质公理1：公理2：推论1：推论2：推论3：公理3：二、空间中直线与直线的位置关系平行：相交：异面：三、平行问题1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2.判定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系：四、垂直问题（一）、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．（二）、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2．平面与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

例2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．ABCA 1B 1C 1M NMDPB CFDC1B1A1C【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。

（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ；（3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。

二、线面平行与垂直的性质例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == （1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．例4、如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，.31CB CG =（I ）求证：PC BC ⊥；（II ）求三棱锥C —DEG 的体积；（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。

若存在，求AM 的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(Ⅱ) A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论.三、三视图与折叠问题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。

若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； （1） 证明：BD ∥面PEC ； （2） 求三棱锥E PBC -的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB DE BAD DC AB ⊥︒=∠==,45,1,3（如图1）。

现将ADE ∆沿DE 折起，使得EB AE ⊥（如图2），连结AB AC ,。

（I ）求证：平面⊥ADE 平面ACD ；（II ）试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比1:2:=MECB ADCME V V ；（III ）在点M 满足（II ）的情况下，判断直线AD 是否平行于平面EMC ，并说明理由。

ABEPDC正视图侧视图俯视图【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E 为PD 中点.（I ）求证：PB//平面AEC ；（II ）求四棱锥C PAB -的体积； （Ⅲ）若F 为侧棱PA 上一点，且λ=FAPF，则λ为何值时，⊥PA 平面BDF.【变式4】如图1所示，正ABC ∆的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点。

现将ABC ∆沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD （如图2） （1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求三棱锥C-DEF 的体积。

ECADBP图（2）图（1）F E F EA CAB D CD四、立体几何中的最值问题例7.图4，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A= AB=2.(1)求证: BC ⊥平面A 1AC ；(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.例8. 如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC于 点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A图4ABC A 1【变式5】如图3，已知在∆A B C 中，∠=︒C 90，P A ⊥平面ABC ，A E P B ⊥于E ，A F P C ⊥于F ，A P A B ==2，∠=A E F θ，当θ变化时，求三棱锥PA E F -体积的最大值。

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）【典例探究】例1解：（Ⅰ）∵M AB 为中点,D 为PB 中点, ∴MD ∥AP ，又∴MD APC ⊄平面 ∴DM ∥APC 平面（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形,且D 为PB 中点，∴MD PB ⊥ 又由（1）∴知,MD AP ⊥∴AP PB ⊥ 又已知AP PC ⊥∴AP PBC ⊥平面， ∴AP BC ⊥，又∵AC BC ⊥∴BC APC ⊥平面,∴平面ABC ⊥平面PAC , （Ⅲ）∵20AB =，∴10MB =,∴10PB = 又4BC =，1001684221PC =-== MDPBC∴1114221221244BDC PBC S S PC BC ∆∆==•=⨯⨯= 221120105322MD AP ==-=又∴112215310733D BCM M BCD BDC V V S DM --∆==•=⨯⨯=例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC又因为CN ⊂平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ……………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………………………………………… 2分 因为1AA AB A =， …………………………………………… 3分所以CN ⊥平面11ABB A ． …………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点， 所以1//NG BB ，112NG BB =. 又因为1//CM BB ，112CM BB =，所以//CM NG ，CM NG =.所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分所以11MN M N 1124423223B A AB V V --==⨯⨯⨯⨯=. ………………………… 13分 变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证1AF B F ⊥，在根据勾股定理的逆定理证明1B F EF ⊥；（3）由于点D 是线段1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。

【解析】（1）取AB 中点O ，连接DO CO ,∴=∴=,,//,21,//11CE DO CE DO AA DO AA DO 平行四边形DOCE ，⊄∴DE CO DE ,//平面ABC ，⊂CO 平面ABC ，//DE ∴平面ABC 。

ABCA 1B 1C 1M NGOPD C A （4分）（2）等腰直角三角形ABC ∆中F 为斜边的中点，BC AF ⊥∴ 又 直三棱柱111C B A ABC -，∴面⊥ABC 面C C BB 11，⊥∴AF 面B C 1，F B AF 1⊥∴设EF F B E B EF F B E B EF F B AA AB ⊥∴=+∴===∴==121221111,,23,23,26,1 又,F EF AF = ⊥∴F B 1面AEF 。

（8分）（3）由于点D 是线段1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12。

1B F ==，所以三棱锥D AEF -的高为4a ；在Rt AEF ∆中，,22EF AF a ==，所以三棱锥D AEF -的底面面积为28a ，故三棱锥D AEF -的体积为231138416a a a ⨯⨯=。

（12分）二、线面平行与垂直的性质例3.（1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，AB =∴222AD BD AB +=. …… 2分 ∴AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . …… 4分 （2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分 ∵PAD △是边长为2的等边三角形，∴PO =. 由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中，斜边AB边上的高为5AD BD h AB ⨯==. …… 8分∵AB DC ∥，∴11222ACD S CD h =⨯==△.……10分∴112333A PCD P ACD ACD V V S PO --==⨯=⨯=△. …… 14分例4、（I ）证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ， ∵PDICE=D ， ∴BC ⊥平面PCD又∵PC ⊂面PBC ，∴PC ⊥BC（II ）解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G —DEC 的高。