高三数学复习：立体几何的平行与垂直证明(教师)

高三数学复习

——立体几何中的平行与垂直的证明

一、平面的基本性质

公理1：

公理2：

推论1：

推论2：

推论3：

公理3：

二、空间中直线与直线的位置关系

平行：

相交：

异面：

三、平行问题

1．直线与平面平行的判定与性质

定义判定定理性质性质定理图形

条件a∥α

结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b

2.

判定

性质

定义定理

图形

条件α∥β，a⊂β

结论α∥βα∥βa∥b a∥α

平行问题的转化关系：

四、垂直问题

（一）、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平

面垂直

推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

4.直线和平面垂直的常用性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

（二）、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平

面垂直

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

性质定理

两个平面垂直，则一个

平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平

面

类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；

（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

例2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，

22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.

（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；

（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．

A

B

C

A 1

B 1

C 1

M N

M

D

P

B C

F

D

C1

B1

A1

C

【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1

AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰

直角三角形，

90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ；

（3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。

二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == （1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．

例4、如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为

PC 的中点，.3

1

CB CG =

（I ）求证：PC BC ⊥；

（II ）求三棱锥C —DEG 的体积；

（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。若存在，求AM 的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.

(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；

(Ⅱ) A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论.

三、三视图与折叠问题

例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； （1） 证明：BD ∥面PEC ； （2） 求三棱锥E PBC -的体积。

例6.已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB DE BAD DC AB ⊥︒=∠==,45,1,3（如图1）。现将ADE ∆沿DE 折起，使得EB AE ⊥（如图2），连结AB AC ,。

（I ）求证：平面⊥ADE 平面ACD ；

（II ）试在棱AB 上确定一点M ，使截面EMC 把几何体分成两部分的体积比

1:2:=MECB ADCME V V ；

（III ）在点M 满足（II ）的情况下，判断直线AD 是否平行于平面EMC ，并说明理由。

A

B

E

P

D

C

正视图

侧视图

俯视图