学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题
学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题
学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题数学系06级3班高能 060203037摘要通过介绍实变函数与泛函分析的重要地位及它的数学之美，表明了为什么学习实变函数；近一学期的学习，对集合论、测度论有了浅薄的认识，它很抽象却逻辑严密，到现在为止，我依然处于启蒙阶段，对学习方法、知识机构联系还是不清楚。
最后提出有待解决的问题及部分解决方法。
关键词：实变函数数学美集合学习方法“实变函数与泛函分析”是现代数学分析的基础，是数学专业的主干课程之一，被称为“新三高”之首，其重要性非常清楚，但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生公认的一门难学的课程。
国内著名的数学教育学专家、华东师范大学张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的向导，以便掌握其精神实质，只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。
”我们应该在学习过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识与能力。
我们学习的实变函数是以Lebesgue积分为中心，以集合论为基础。
Lebesgue（勒贝格）积分被誉为“20世纪数学的一大贡献”。
勒贝格积分的创立对于积分学来说，是一个巨大的突破，是一个革命。
如果说，微积分（数学分析）是经典分析数学的基础的话，那么实变函数则是现代分析数学的基础。
实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
我们学习研究数学，就应该追求数学美。
不可否认，美的感觉与人的主观因素有关，但是数学美却是完善的数学对象的一种客观表现。
对于数学美的追求，也常常启动数学家的心扉，促使他们通过类比、联想等方法，构造出新的数学理论，发现新的数学定理，寻找新的数学方法来，追求数学美，甚至可从纯粹美学的研究角度去解决数学的研究方向或对数学理论的意义做出判断。
泛函分析及应用读后感
泛函分析及应用读后感泛函分析是对数学分析中关于映射与函数的进一步抽象与深化。
在学习的过程中，感觉很多概念很理解，并且很难举例子。
但是发现其解决复杂问题的优势是相当明显的，具体就体现在在解决常微分方程中存在于唯一性，在常微分课本中，要解决这个问题我们是分了若干引理来解决的。
而用泛函方法就很容易解决。
泛函分析的特点和内容：泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。
古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。
他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
2024年实变函数学习心得
2024年实变函数学习心得随着时代的发展，数学已经成为了一门非常重要的学科，而实变函数作为数学中的一部分，也成为了我们学习的内容之一。
在2024年，我对实变函数进行了深入学习，并且在实践中取得了一些心得和体会。
首先，我认识到实变函数的重要性。
实变函数是数学中的一个重要分支，它研究数学中的实数和实数函数的性质。
实变函数有许多重要的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域中都起着关键作用。
因此，深入了解和掌握实变函数的概念和性质，对于我未来的学习和发展都将起到很大的帮助。
其次，我学会了对实变函数进行分析和研究。
实变函数的研究需要具备一定的分析能力，我通过学习分析学等相关课程，提升了自己的分析思维和分析能力。
在实践中，我发现通过分析实变函数的导数、极限和连续性等性质，可以揭示实变函数的一些重要特征和规律。
因此，在学习实变函数的过程中，我注重培养自己的分析能力，并且在实践中不断加以应用。
另外，我还注意到实变函数的多样性。
实变函数涉及到了很多不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数都有其独特的性质和应用。
因此，在学习实变函数时，我注重对不同类型函数的理解和掌握。
通过学习和掌握这些不同类型函数的性质，我可以更好地理解实变函数的整体特点和规律，为解决实际问题提供更多的可能性。
此外，我还通过实践应用来巩固和深化对实变函数的理解。
实变函数作为一个理论性的学科，理解和应用都至关重要。
在学习实变函数的过程中，我经常通过解决一些实际问题，将所学的理论知识应用于实际情境中。
这样不仅能够巩固自己对实变函数的理解和掌握，并且能够提高自己的解决实际问题的能力。
最后，我发现培养良好的数学思维对于学习实变函数非常重要。
数学思维是一种抽象、逻辑和创造性思维，对于学习实变函数的深入理解和应用至关重要。
在学习实变函数的过程中，我通过解决一些复杂的数学问题，培养和提升了自己的数学思维能力。
这样不仅能够更好地理解和掌握实变函数的概念和性质，并且能够在解决实际问题中发挥更大的作用。
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得在我学习泛函分析的过程中，我认为泛函分析是数学中非常重要的一个分支，它不仅有着广泛的应用，还对于理解数学的基本概念和思想有着重要的贡献。
下面是我在学习泛函分析的心得体会。
首先，泛函分析是研究无穷维空间中的向量和函数的性质和行为的数学学科。
相比于有限维空间，无穷维空间更为复杂和抽象，因此泛函分析需要引入一些新的概念和工具来描述和研究无穷维空间中的对象。
其中最基本的概念就是线性空间和赋范空间。
线性空间是指满足一定线性运算规则的集合，赋范空间是指在线性空间的基础上引入了范数的空间。
了解这些基本概念是理解泛函分析的核心，可以帮助我们更好地把握和理解泛函分析的核心思想。
其次，泛函分析的主要研究对象是泛函。
泛函是将一个向量或者函数映射到一个实数的映射。
通过研究泛函，我们可以了解和描述向量或者函数的性质和行为。
在泛函分析中，我们主要关注线性泛函和连续线性泛函。
线性泛函是指满足一定线性性质的泛函，连续线性泛函是指在赋范空间上满足一定连续性质的线性泛函。
学习泛函分析的关键就是理解和研究泛函的性质和行为，利用泛函来描述和分析无穷维空间中对象的特点。
此外，在泛函分析中还有一些重要的概念和工具，例如：内积、正交、完备性、紧算子、谱理论等。
这些概念和工具在泛函分析中起着关键作用，可以帮助我们深入理解和分析无穷维空间中的对象。
例如，内积可以用来定义向量的长度和角度，正交关系可以用来描述向量的互相垂直的关系，完备性可以用来刻画向量空间的完整性等等。
学习和掌握这些概念和工具对于理解泛函分析的基本原理和思想非常重要。
最后，在学习泛函分析过程中，练习和实践也非常重要。
泛函分析是一个非常抽象和理论性很强的学科，对于我们来说可能有一定的难度。
但是通过练习和实践，我们可以更好地理解和运用所学的知识。
可以通过做一些练习题、阅读一些经典的参考书籍、参加研讨会等方式来提升自己的泛函分析水平。
在实践中我们还可以体会到泛函分析的应用，并且可以与其他学科进行交叉的思考，提高自己的综合能力。
给想学实变函数和泛函分析的一点建议
给想学实变函数和泛函分析的一点建议首先，本人学过到目前为止除了最优化理论其它还没用过，但是最大的收获是数学的一些研究方法，下面是正文不知在哪看过，希望对学弟学妹们有用。
有点长~实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。
首先，实变函数是研究L积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。
因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。
L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。
测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。
也使很多概率理论变得更加严格。
比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。
没有测度论就无法分析连续鞅等等。
另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。
所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。
如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。
没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。
再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。
为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。
所以一般都是先学实变，再学泛函。
当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。
从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。
关于实变函数学习的几点想法
关于实变函数学习的几点想法
实变函数是我到现在为止学的最难的一门课程，没有之一。
对于我来说，难点主要在以下几个方面：
1 定义与定理的用处以及它们之间的联系把握不够；
2 概念过于抽象，书本上的例子太少，理解的难度加大；
3 这是最关键的一点，也是最让我头疼的。
证明题基本上证不出。
分析原因如下：
1，2的产生是因为有些概念初次见到，根本不熟悉，所以也还比较好解决（相对于第3点）：多看书，多思考。
最主要的是要愿意去想。
人与人学习之间的差距不在资质上，而在花在思考的时间和思考的深度上。
这句话还是有一定道理的，尽管不适用于第3点。
3的产生原因无他：资质驽钝。
有没有人试过花了一下午在自习室结果却连一道题目也没有做出来的感受？欲哭无泪，真的是欲哭无泪。
我不是那种可以先把做不出来的题先放到一边，继续往下做的人。
其实有时候先放到一边等过一段时间再去想也许会“柳暗花明又一村”，可我就是做不到。
我已经学得是心力交瘁了。
第3点的解决办法：1摆正心态：好，我承认我笨的可以，我接受我一道题目也做不出来的事实；2 题目不会做就抄，一遍一遍反复抄，抄到我明白，抄到我能自己独立证出来为止！！！。
实变函数课程教学的几点体会
实变函数课程教学的几点体会实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.1.实变函数思想下初等数学内容的认识为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.2.集合的测度之意义拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便插进包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.3.可测函数概念教学的一个策略对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集——区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y0时x取何值，观察余弦曲线，写出满足条件cosx0的区间，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。
实变函数反思与总结报告
实变函数反思与总结报告引言我们所学的数学基础知识中，实变函数是一个既简单又重要的概念。
了解实变函数的性质和特点可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。
在这个过程中，我充分认识到了实变函数的重要性，并对自己学习实变函数的方法和技巧进行了反思与总结。
学习方法的反思在学习实变函数的过程中，我意识到学习方法对于理解和掌握实变函数的概念和性质非常重要。
通过反思，我总结了以下学习方法的优点和缺点：1. 从理论入手优点：理论是学习实变函数的基础，通过系统地学习实变函数的定义、性质和定理，可以对实变函数有一个全面的了解。
缺点：过于注重理论，容易陷入纸上谈兵的陷阱，从而忽视了实际应用和问题解决的能力。
2. 多做练习题优点：通过大量的练习题，可以巩固对概念和定理的理解，提高解题能力和问题分析能力。
缺点：只注重题目的数量，容易走入机械式的运算，忽略了思考和推导的过程。
3. 探索与实践优点：通过自主学习和实践，能够加深对实变函数的理解。
通过在实际问题中应用实变函数的知识，可以培养解决实际问题的能力。
缺点：对于初学者来说，可能在实践中遇到问题而无法解决，需要指导和帮助。
学习方法的改进综合以上学习方法的优点和缺点，我计划以以下方式改进我的学习方法：1. 理论与实践结合在学习实变函数的理论知识的同时，我将注重与实际问题的结合。
通过找到实际问题中的数学模型，将实变函数的概念和性质应用到实际中，提高实际问题解决的能力。
2. 深入思考与总结在做练习题时，我不仅仅注重题目数量，更注重解题过程和思考的深度。
在解题过程中，我将思考清楚每一步的原理和推理，避免走进机械题中。
同时，我还将总结解题的经验和方法，形成自己的解题思路。
3. 寻求指导与分享在实践中遇到问题时，我将积极寻求指导和分享。
通过与同学、老师的讨论和交流，我相信能够解决遇到的问题，并从中得到更多的启发和思考。
结语通过对学习实变函数的方法和技巧进行反思与总结，我认识到了实变函数的重要性以及学习方法的关键。
实变函数论与泛函分析的学习心得
实变函数的学习心得应数1202班李琼花 12404206学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。
我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点：1、复习并巩固数学分析等基础课程。
学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。
2、课前预习。
实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。
如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。
3、上课认真听讲，认真做笔记。
龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。
因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。
4、课后复习,做作业，做练习。
我们作为大三的学生，我们要学会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。
复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。
做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。
所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。
1。
实变函数学习心得
实变函数学习心得学习实变函数的过程是一段充满挑战和探索的旅程。
通过学习实变函数，我深刻理解了实变函数的基本概念、性质以及具体的计算方法，也进一步提高了数学建模和应用的能力。
在这篇心得中，我将分享我学习实变函数的心得体会。
首先，我研究了实变函数的基本概念。
实变函数是数学中的一种特殊函数，它的自变量和因变量都是实数。
通过学习实变函数的基本概念，我明白了实变函数的定义域、值域以及函数图像的特点。
对于一个实变函数来说，定义域是它能取值的实数集合，而值域则是函数取得的所有可能的实数值。
其次，我学习了实变函数的性质。
一方面，我了解了实变函数的奇偶性、周期性以及单调性等性质。
实变函数的奇偶性是指函数的对称性，如果对于任意的实数x，有f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果对于任意的实数x，有f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
实变函数的周期性是指函数图像按照一定的规律重复出现，即存在一个正数T，对于任意的实数x，有f(x+T)=f(x)。
实变函数的单调性是指函数图像在整个定义域上的增减性，可以是递增、递减或者不变。
另一方面，我还学习了实变函数的极限和连续性。
实变函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数对应的因变量也会无限接近于某一特定值。
通过学习实变函数的极限，我掌握了求极限的方法和技巧。
在计算实变函数的极限时，可以利用一些常用的极限性质，如极限的四则运算、夹逼定理等。
实变函数的连续性是指函数在定义域上的无间断性，也就是说函数图像没有任何跳跃或断裂的地方。
学习实变函数的连续性，我了解了连续函数和不连续函数的定义以及判断方法。
然后，我学习了实变函数的导数和微分。
实变函数的导数是指函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数图像在该点的切线斜率。
通过学习实变函数的导数，我了解了导数的定义和计算方法，如极限定义、求导法则、高阶导数等。
在实际应用中，导数可以用来求函数的极值、判断函数的增减性以及绘制函数的图像。
大学数学实变函数与泛函分析
大学数学实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是大学数学中的重要内容。
实变函数研究的是定义在实数域上的函数，而泛函分析则是研究函数的泛函（即对函数的函数）。
这两个领域相辅相成，共同构成了大学数学中的重要组成部分。
本文将从以下几个方面进行探讨：实变函数的基本概念、实变函数的性质、泛函分析的基本概念以及实变函数与泛函分析的应用。
一、实变函数的基本概念在进一步深入实变函数之前，我们首先需要了解实变函数的基本概念。
实变函数是定义在实数域上的函数，通常用f(x)来表示。
在实变函数中，我们常常会遇到连续性、可导性、积分等概念。
例如，连续性是实变函数的重要性质之一，它描述了函数在给定区间上的光滑程度。
另外，我们还需要了解实变函数的极限、导数、微分等概念，并掌握它们的计算方法与性质。
二、实变函数的性质实变函数有许多重要的性质，这些性质在数学推导和证明中起着重要的作用。
其中，实变函数的一致收敛性是一项十分重要的性质。
一致收敛性涉及到了数列与函数之间的关系，在实际应用中具有广泛的应用。
此外，我们还需要探讨实变函数的极值、凸函数、泰勒展开等性质，并了解它们的应用与意义。
三、泛函分析的基本概念泛函分析是实变函数的推广，它研究的是定义在函数空间中的函数。
在泛函分析中，我们需要学习函数空间的结构、度量、拓扑等概念。
函数空间是泛函分析中的核心概念，它描述了不同函数之间的关系与性质。
此外，我们还需要了解泛函的概念与性质，学习泛函的极值、约束条件等问题，并掌握泛函分析的基本定理与方法。
四、实变函数与泛函分析的应用实变函数与泛函分析在科学研究与工程技术中有着广泛的应用。
在数学领域，实变函数与泛函分析的理论为其他分支学科提供了重要的工具与方法。
在物理学中，实变函数的泰勒展开与级数求和等技术被广泛应用于物理问题的建模与求解。
在工程技术中，泛函分析的优化理论与方法为工程问题的优化与设计提供了理论支持。
因此，实变函数与泛函分析的应用在现代科学与技术中具有重要的地位与作用。
实变函数学习心得（通用3篇）
实变函数学习心得（通用3篇）实变函数学习心得篇1泛函分析是继实变函数论后的一门课程，是实变函数论的后继，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
可以说数字到数字的映射产生函数，而函数到函数的映射产生泛函，因此泛函分析是一门十分抽象的课程，学起来比较吃力。
在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。
在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。
定义:设X是一集合，是x × x到Rn的映射，满足：(1) (非负性) (x,y)≥0 且 (x,y)=0,当且仅当x=y(2) (对称性) (x,y)= (y,x)(3) (三角不等式) (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)则称X为距离空间，记为(X, )，有时简记为X。
由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了;度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。
赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。
度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。
赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。
巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。
巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。
满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。
度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离(x,y)的定义是重点。
赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。
在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得10数本6 *** 2010224216泛函分析是数学系基础数学专业的一门重要必修基础课程。
是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
也由于它研究的对象导致它是一门比较抽象的课程，不像我们以前所学习的知识那样容易理解而有实体，所以，如果我们要学好这门课,那就必须讲究学习方法。
除此之外，泛函分析也是数分与高代综合的抽象，所以想学好泛函分析就要有良好的基础，而作为上册的实变也是其中起着关键作用的基础。
泛函分析的特点是它的抽象化，把概念和方法几何化。
比如，课本中第一章讲的距离空间，如章前引导的，解微分方程所引发的各种疑问促使人们将函数集合作为一个整体看待，在其上引入线性运算、距离等概念，从而得到抽象的距离空间，也就是把不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
由于这门课程比较抽象，所以要学好这门课程，对于我们来说，还是有点难度的。
但是，只要我们掌握了好的学习方法，我们还是一样可以吧这门课程学好的。
那怎样的学习方法才能让我们学好这门抽象的课程呢？下面，我就说说我的看法。
首先，我们一定要适应大学的教学模式，尽快进入角色，毕竟大学跟我们中小学的课堂教学模式是完全不一样的。
大学是以学生自学为主，老师指导为辅。
要想学好泛函分析这门课，更多的是需要我们学习的自主性。
其次，就是我们的课前预习。
我们要对课本的相关教材熟悉，初步把握好教材内容的重难点。
在上课的时候，带着问题就听老师讲课，这样对于我们的课堂效率就能有很大的提升。
我们也能很轻松的跟着老师节奏走，对于泛函分析的抽象问题，我们也就比较容易想象它的模型，消化起来自然也就相对轻松很多。
再次，在课堂上，我应该根据老师课程的讲解，参与老师的互动。
虽然大学的课堂有点“满堂灌”的形式，但是，在老师给我们讲解的时候，我们是可以跟着老师讲课的节奏，主动思考，适当的提出自己的疑问，以及自己对这节课知识内容的理解的想法。
我对泛函分析的认识
我对分析的认识从大一到大三，我们依次学习了数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析。
感觉这几门课层层深入，学到最后发现好多还是离不开数学分析。
通过大二大三的学习，我发现实变函数和复变函数都是研究函数的数学性质的，虽然只是定义域不同，但两门课的内容大相径庭，实变函数可以看做是数学分析的后继课程，主要是分析（勒贝格积分理论）的内容，而复变函数的研究手段和课程内容对数学三大分支：分析（柯西积分理论），几何（黎曼面理论），代数（魏尔斯特拉斯级数理论）都有涉及，且都占有很重要的位置。
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它的基础是点集论。
所谓点集论,就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
泛函就是定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
通过学习知道了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不是黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数，连续函数必定可积。
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。
从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。
也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数。
逼近理论,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。
如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。
逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念：1.距离空间（或度量空间）的定义：设X 为一集合，ρ是X X ⨯到n R 的映射，使得使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：（1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性）（2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性）（3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式），则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离.学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连续函数空间],[b a C ，有界数列空间∞l ，p 次幂可和的数列空间p l ，p 次幂可积函数空间],[b a L p )1(≥p ，均满足距离空间的性质.2.距离空间的完备性设)(ρ,X 是距离空间（或赋范空间），如果X 中的点列{}n x 满足()0,→m n x x ρ ()∞→m n ,则称{}n x 是X 中的基本列（或Cauchy 列），若X 中任意基本列都在X 中收敛，则称)(ρ,X 是完备的距离空间（或赋范空间）.在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过P L ()∞<≤ρ1空间的完备性，除此之外，我们可知道[]()b a C ,按距离()()()t y t x y x bt a -=≤≤max ,ρ是完备的、p l ()∞≤≤ρ1是完备的.第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n 维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量v u ,的夹角指的是()v u v u ⋅=,arccosθ，其中()v u ,是u 与v 的内积，u 是u 的模或长度，它等于()v u ,.如果抛开n R 中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空间上的内积概念： 设X 是复数域上的线性空间，)(⋅⋅,是X X ⨯到复数域C 的二元函数，使得对任意C X z y x ∈∈α及,,满足：(1)()()00,,0,==≥x x x x x 当且仅当且(2)()()()z y z x z y x ,,,+=+(3)()()y x y x ,,αα=(4)()()x y y x ,,=则称)(⋅⋅,为X 上的内积，称X 为具有内积)(⋅⋅,的内积空间，也记为()()⋅⋅,,X .在学习了内积空间的定义后，我们知道若在()E L 2上定义()()()dx x g x f g f E ⎰=, ()()E L g f 2,∈则()E L 2是内积空间.还有其他的内积空间需要我们去探究和研究.以上是我对本学期学习的《泛函分析》的一小部分内容的理解，学习了《泛函分析》后发现这是一门很值得学习和研究的课程，同时是一门相对比较深奥的课程，需要我们更用心去学习.这门课程与其他数学学科有密切的联系，但又有本质的区别，我会在日后更加努力认真学习，去研究和探究其与其他学科的联系与区别，希望能运用《泛函分析》的知识和观点去解决其他学科的问题.。
实变函数论与泛函分析的学习心得
实变函数论与泛函分析的学习心得数计学院 10数本x班 xxx 20102244xx（xx）学习泛函分析这们课已经快一年了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与泛函分析这门课了。
我们用的教材是曹广福编的《实变函数论与泛函分析》第三版，这本书的难度中上等，刚开始接触这门课程，一般不太适合于我们自学和入门的新手，所以学习这门课程要按步骤、讲方法。
根据我自己学习这门课的心得与方法，有一下几点：1、复习并巩固数学分析等基础课程。
学习泛函分析这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。
为此，在学习这门课程前，我专门花了些时间复习数学分析这门课程的概念定义以及与之相关的定理和推论，并且能够知晓定理和推论的证明。
2、课前预习。
泛函分析是一门比较难的课程，邓老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。
如果时间不多，你可以浏览一下教师将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。
如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。
3、上课认真听讲，认真做笔记。
邓老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。
因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，泛函分析这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。
邓老师在有限的课堂教学时间中，只能讲证明思路，讲重点，讲难点。
我个人觉得对于教师在课堂上讲的知识，最重要的是获得整体的认识，而不拘泥于每个细节是否清楚。
学生在课堂上听课时，也应当把主要精力集中在教师的例题证明思路和对于做题难点的分析上。
实变函数泛函分析
实变函数泛函分析实变函数是数学分析中的一个重要概念，在泛函分析中也有其特殊的地位。
本文将从实变函数的定义、性质以及其在泛函分析中的应用等方面进行探讨。
一、实变函数的定义与性质实变函数是指定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都属于实数。
具体地说，在实变函数中，自变量可以取任意实数值，函数值也是实数。
实变函数常见的性质有：可加性、可乘性、单调性、连续性等。
其中，可加性表示了对于实数集合中的两个元素，函数在这两个元素上的取值和与对应函数分别在每个元素上的取值和之和相等。
可乘性则表明函数在实数集合中的两个元素上的取值和与对应函数分别在每个元素上的取值和之积相等。
单调性是指函数在实数集合上的取值随着自变量的增大或减小而单调增加或递减。
连续性则表明函数在实数集合上没有间断点，即函数图象是连续的。
二、实变函数在泛函分析中的应用在泛函分析中，实变函数具有广泛的应用。
其主要应用领域包括下述几个方面：1. 极限理论：实变函数的极限理论在泛函分析中扮演着重要的角色。
通过研究实变函数的极限情况，可以得到函数序列的收敛性及其性质。
极限理论在泛函分析中是非常基础和核心的概念，对于研究函数的性质以及推导相关定理都具有重要的作用。
2. 函数空间：实变函数的集合形成了一种函数空间，也是泛函分析中研究的重要对象。
函数空间内定义了一系列的内积、范数等数学结构，可以进一步推导出空间上的各种性质和定理。
3. 泛函的表示：泛函是定义在函数空间上的函数，将实变函数作为基础对象，可以将泛函表示为实变函数的积分形式。
这种表示方式为泛函的计算和分析提供了便利。
4. 对偶性理论：实变函数在数学分析中的对偶性理论被广泛应用于泛函分析中。
通过实变函数之间的对偶性关系，可以推导出泛函空间之间的对偶性关系，从而进一步深入研究函数空间的性质和结构。
总结起来，实变函数在泛函分析中具有举足轻重的地位和重要作用。
通过对实变函数的研究和运用，可以揭示泛函空间的内在结构及其性质，推导出各种重要的定理和结果，为泛函分析的发展和应用提供了理论基础。
实变和泛函的一些个人理解
1.勒贝格积分与黎曼积分的关系的问题？我觉得从这个例子来分析最好理解，狄利克雷函数QI x D 中的有理数集中的无理数集]1,0[,1]1,0[,0{)(=。
对于这个函数在积分区间]1,0[上你试用黎曼积分的定义来积分，步骤如下：将积分区间分割为小区间，然后分别取小区间上函数的上下确界进行求和，然后让小区间无限小，这就存在的问题还是0011)()(10=∆⋅=∆⋅=∆=∑∑⎰∑ii i i i i iX X X D dx x D ξ?故不能黎曼积分。
而勒贝格积分则将积分区间]1,0[分为无理数集和有理数集两部分，)1,0(011010)()()()()(==⋅+⋅=⋅+⋅=+=+=∑∑⎰⎰⎰mQ mI mQ mI mQ D mI D dx x D dx x D dx x D i ii i i i Q E I ξξ这里就存在为什么0,1==mQ mI 的问题，而实变函数中的集合论和测度论就解决这个问题,其实黎曼积分中的mX X =∆，因此黎曼积分⊂勒贝格积分，两者的相同点与不同点就体现在子区间划分和子区间的长度定义，由上面例子可以看出黎曼积分的子区间是一个连着一个构成积分区间整体，而勒贝格积分的子区间不一定一个连着一个，只要可测就行。
2.勒贝格积分能不能计算的问题？由黎曼积分⊂勒贝格积分，你其实一直再求勒贝格积分，对于黎曼可积的函数它的黎曼积分值与勒贝格积分值相同。
你之所以觉得没见过求勒贝格积分是因为对于不能够黎曼积分的函数的勒贝格积分没有像数学分析中的牛顿-莱布尼兹公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(来直接求该函数的勒贝格积分，而这个不可黎曼积分函数的勒贝格积分值很多情况下是用一系列可积函数的积分值的极限来求.)(lim )(),(lim )(dx x f dx x f x f x f En E n n n ⎰⎰==或者用定义来算。
3.实变的用途问题？我个人觉得对于工程问题来说，一般只涉及到黎曼积分，不太可能会涉及勒贝格积分，但对搞理论数学的人来说，它是一个新的概念，新的思想。
学习泛函分析心得
学习泛函分析心得学院：数计院班别：10数本1班学号：2010224315（25）姓名：侯月容转眼间，就进入到大四的生活了，时间为什么就过得这么快呢。
四年的大学生活即将要结束了。
进入到大四，总感觉自己的心不是很定，想的事情也特别多了，即将要面临找工作的事，现在就开始有些担心了。
但这学期还有课要上的，其中重要的一门课是泛函分析，下面说说我学习泛函分析的一些感受。
邓老师，上个学期就开始听你上课了，之前就听师兄说实变函数挺难的。
刚开始的时候我觉得还好，还能大概听懂。
可是慢慢地，发现越来越难，很多都听不懂，有的时候自己不小心走神一下，等我清醒过来再继续听，就完全听不懂了。
总感觉自己真差劲，脑子也没有其它同学好，不够别的同学勤奋。
有的同学平时不怎么听课，考试却考的很好。
有的时候我努力了，却学习效果不好。
还记得上个学期的期中考试，我也很认真努力地复习，看书，也许是重点没抓住，期中却考了个刚好及格，60分而已。
当时传阅成绩的时候，一看到自己这个分数，突然就心里特别伤心，不想说话。
然后就暗下决心，期末我一定要努力复习考好，不能补考。
而这学期还要上和实变函数差不多的泛函分析，一开始拿到课本，心里就很担心，这门课我真的觉得好难，比数学分析还要难，以前学习数学分析还挺好的，大部分都能听懂。
但是数学分析学了好久了，感觉学厌了。
对于泛函分析，还是挺新奇的，课本不算厚。
刚开始上课的时候，也还能听懂很多，比如老师说的一些概念，定理，自己都能理解的。
感觉并没有想象中难。
可是上了两节课之后，自己感觉越来越吃力了，听不懂，看不明白。
特别是一些例子，根本不知道为什么是这样解，为什么要这样做，心中有很多很多的疑问。
上课时，很认真地听老师上课，看着黑板。
可是看着看着就走神了，不知道听到哪里去了。
有的时候，有些地方是听懂了，可是到自己要做题的时候，完全不知道怎么下手，不知道怎么去想，好像和老师上课讲的，和课本的又联系不上。
所以每次课后老师都会布置作业，让我们巩固知识。
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学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题
数学系06级3班高能 060203037
摘要
通过介绍实变函数与泛函分析的重要地位及它的数学之美，表明了为什么学习实变函数；近一学期的学习，对集合论、测度论有了浅薄的认识，它很抽象却逻辑严密，到现在为止，我依然处于启蒙阶段，对学习方法、知识机构联系还是不清楚。
最后提出有待解决的问题及部分解决方法。
关键词：实变函数数学美集合学习方法
“实变函数与泛函分析”是现代数学分析的基础，是数学专业的主干课程之一，被称为“新三高”之首，其重要性非常清楚，但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生公认的一门难学的课程。
国内著名的数学教育学专家、华东师范大学张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的向导，以便掌握其精神实质，只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。
”我们应该在学习过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识与能力。
我们学习的实变函数是以Lebesgue积分为中心，以集合论为基础。
Lebesgue（勒贝格）积分被誉为“20世纪数学的一大贡献”。
勒贝格积分的创立对于积分学来说，是一个巨大的突破，是一个革命。
如果说，微积分（数学分析）是经典分析数学的基础的话，那么实变函数则是现代分析数学的基础。
实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
我们学习研究数学，就应该追求数学美。
不可否认，美的感觉与人的主观因素有关，但是数学美却是完善的数学对象的一种客观表现。
对于数学美的追求，也常常启动数学家的心扉，促使他们通过类比、联想等方法，构造出新的数学理论，发现新的数学定理，寻找新的数学方法来，追求数学美，甚至可从纯粹美学的研究角度去解决数学的研究方向或对数学理论的意义做出判断。
大学初步学习实变函数就应该了解它的统一性、奇异性、抽象性和单调性。
我已经自学了比较长的一段时间的实变函数论。
有了一定的感觉在里面。
作为数学中比较难学的一门，实变函数论所散发出来的魅力是难以阻挡的。
可以说实变函数是逻辑学，概念抽象，而且十分的基础，富有逻辑。
实变函数的许多的概念对我们初学者来说都是很陌生的。
比如基数和测度。
而测度更是作为四大现代数学结构之一，理解起来颇有难度。
数学，与所有的理论一样，那就是有良好的理论体系的基本框架。
关于集合所谓无穷并和交、极限点、集合和函数列的上下极限和极限函数都是极限的知识运用范畴。
几乎处处、“基本上”这样的概念其实也是极限的扩充。
我们有的时候都几乎被这诸多的无穷搞混了头。
我学习实变函数总结一句就是概念抽象难懂！正是这样我也在不知不觉中对抽象思维有了更进一步的加深，比如说对无限概念的理解。
无限旅馆住宿问题就把这个概念抽象化为具体，更接近实际更容易理解。
我认为无论多抽象的数学问题都在实际生活中有它具体的体现，这就要我们善于发现琢磨。
要说学习实变函数的遇到的问题，那是比牛毛还多！到现在我依然没有入门，听课
我总是开始能跟上，到老师讲到证明时就晕了，或是跨度较大时提到的问题、知识点都记不得，就好象一位导师领着走进原始森林，开始好好地跟着走，到一个转角，导师一转身就不见了，我迷路了！对一门课程要是听都听不懂那还怎么学！我相信学习实变函数是非常有必要的，所以我觉得应该投入更多的时间，复习前面的知识，不懂的及时问同学、老师，认真听讲、积极思考、不断复习和总结，特别是对课后作业应该先思考，就算不会做也不能随便抄答案。
这样对实变函数的学习一定有很大的帮助，对它的理解一定会更进一步。
参考文献
1 吴炯欣，周戈，实变与泛函基本原理与思想方法（M），厦门：厦门大学出版社，2004
2 徐森林，实变函数论，合肥：中国科技大学出版社，2002
3 方欣华，度量空间与勒贝格积分，郑州：河南大学出版社，1993
4 徐利治，数学方法论选讲，武汉：华中工学院出版社，1983。