贝努利试验
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贝努利(Bernoulli)-模型
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• (1)双方各出3人，n=3 P(系队胜)= P3 (2)+ P3 (3)= P3 (2 ≤X ≤ 3) = (0.4)2(0.6)+ (0.4)3=0.3520 • (2)双方各出5人， n=5 P(系队胜)= P5(3)+ P5(4)+P5(5)=P5 (3 ≤X ≤ 5)=0.3174 P( )= • (3)双方各出7人， n=7 P(系队胜)= P7(4)+ P7(5)+P7(6)+P7(7) =P7 (4 ≤X ≤ 7)=0. 2898 • 以上计算表明双方各出3人对系队有利。由于校队比系队 实力强又假定每队队员的水平平均， 即使校队个别队员出 现失误， 但场次越多其他队员越有机会扭转局面。
4 贝努利模型思考题
• 思考题1：用平台模型进行计算，当n较大而概率p较小时， 思考题1 计算机运行较慢，而且可能出现错误（溢出错误和舍入误 差）。这时我们应该怎么办？ • 解： 解：可以通过泊松分布 泊松分布来对二项分布进行检验 测试检验 检验。 发现很接近，n越大和P越小，近似程度越好。
4 贝努利模型思考题
5 思考题补充
• 假设每个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1-p,而且各引 擎是否出故障是相互独立的,如果有至少50%的引擎能正常 运行,飞机能成功地飞行,问p至少为多大时，4引擎飞机比2 引擎飞机模型中，贝努利模型的表达式不准确写成Pn(k)，准确应 该为Pn{X=k}。且模型实验中缺少具体的实验建模过程。 • 原模型思考题1中，给出的用泊松分布X~B(n,p)检验贝努 利模型的方法是对的，但是参考检验数据不准确，一般当 n ≥100，p ≤0.1时，可以使用这种方法，并且泊松分布的 λ=np并不要求一定等于1，只要满足n、p的取值条件，就 可使用下式来检验。 P{X=m}= • 原模型中，思考题3的解答有误，修改内容如前。
贝努力概型
3 2
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
07二项分布
2、当p值趋于0.5时，分布趋于对称，如图4—10所示；
3、对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。
此外，在n较大，np、nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例4.9】纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。
容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1、P(x=k)=Pn(k) (k=0,1,…，n)
2、二项分布的概率之和等于1，即
3、 (4-15)
4、 (4-16)
5、 （m1<m2）(4-17)
二项分布由n和p两个参数决定：
1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图4—9所示；
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、n头病畜治疗后的治愈数、n尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生Байду номын сангаас(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 种：
二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有
= k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomialdistribution),记为x～B(n,p)。
显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。
3、对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。
此外，在n较大，np、nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例4.9】纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。
容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1、P(x=k)=Pn(k) (k=0,1,…，n)
2、二项分布的概率之和等于1，即
3、 (4-15)
4、 (4-16)
5、 （m1<m2）(4-17)
二项分布由n和p两个参数决定：
1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图4—9所示；
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、n头病畜治疗后的治愈数、n尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生Байду номын сангаас(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 种：
二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有
= k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomialdistribution),记为x～B(n,p)。
显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。
第四章 常见概率分布之二项分布和波松分布
样本均数和方差S2计算结果如下：
x =Σfk/n
=(120×0+62×1
+15×2+2×3+1×4)/200
=0.51
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s2
fk 2 ( fk ) 2 / n
n 1 2 2 2 2 2 2 (120 0 62 1 15 2 2 3 1 4 102 ) / 200 200 1
即得各项按波松分布的理论窝数。 波松分布与
相应的频率分布列于表4—7中。
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表4—4 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊 松分布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的频 率分布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很好 的 。这进一步说明了畸形仔猪数是服从波松分 布的。
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【例4.14】 为监测饮用水的污染情况， 现 检验某社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400 个记录如下：
0 1 p( x 1) C15 0.2 0 0.815 C15 0.210.814 0.1671
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。 因此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
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【例4.11】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率 为20％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相 应的概率。 设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分
作中，当 λ≥20时就可以用正态分布来近 似地处理波松分布的问题。
二、波松分布的概率计算
波松分布的概率计算，依赖于参数 λ的确定， 只要参数λ确定了 ，把k=0，1，2，… 代入 (4-23)式即可求得各项的概率。 但是在大多数 服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知 的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样 本平均数作为 λ 的 估计值，将其代替(4-23) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项 概率。
伯努利试验特征
伯努利试验特征伯努利试验，又称二元抉择试验，是概率统计学上的一种实验方式，可以用来研究多种科学和社会问题。
这种试验方式在1700年代由英国科学家威廉伯努利（William Bernoulli）提出，因此得名。
伯努利试验具有以下几个特征：首先，伯努利试验具有明确的研究内容和研究目的，可以明确实验的结果。
其次，伯努利试验需要双方当事人，比如说实验者和受实验者，双方都知道试验是可重复的，实验结果也可以进行统计分析。
再者，伯努利试验需要严格控制所有的外部因素，确保实验结果的准确性。
此外，伯努利试验也要考虑结果的可靠性，并考虑到观察者带来的偏差影响。
最后，伯努利试验需要记录实验结果，使实验结果更加可靠有效。
伯努利试验的应用非常广泛，在心理学、社会学、经济学等众多领域，都有广泛应用。
在心理学研究中，伯努利试验可以用来研究人们在抉择当中的行为规律，从而帮助我们了解人类行为的本质特点。
此外，在社会科学研究中，伯努利试验可以帮助研究者探索不同文化背景下，人们对抉择和社会现象的反应。
由于这种实验方式可以模拟真实的社会场景和人们的抉择，因此，这种方式在社会学研究中的应用量非常大。
此外，在经济学研究中，伯努利试验也有着重要的应用，它可以帮助我们探索不同的经济环境下，投资者的抉择行为和投资结果的关系。
总之，伯努利试验是一种重要的统计实验方式，具有很多特点，并在心理学、社会学、经济学等众多领域，都有广泛应用。
尽管如此，伯努利试验也存在若干限制，比如实验量的大小可能会影响实验结果的准确性，必须慎重对待。
因此，伯努利试验作为一种重要的实验方式，在不同的研究领域，都有着广泛的应用，但同时也有一些关键性的局限性，需要谨慎鉴别。
3 事件的独立性与贝努力试验
(4) 每次试验中 P( A) p, P( A) 1 p
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
在n重贝努里试验中，我们主要研究事件A
恰好出现k次的概率Pn(k) 设事件Bk“在n重贝努里试验中事件A恰好发 生了k次”， 其中 0 k n 由于 n 次试验是相互独立的，所以事件A在 指定的 k 次试验中发生，而在其余(nk）次试
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 。
0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
例1.24 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性. 如图所示, 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统 ) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1, 2, 3, 4 ) . 试求系统的可靠性。
P ( A) P ( B )。 从而 A 与 B 相互独立 。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
两个结论
若事件 1. A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立。
2. 若 n 个事件 A1 , A2 , , An ( n 2)相互独 立, 则将 A1 , A2 , , An 中任意多个事件换成它们 的对立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
在n重贝努里试验中，我们主要研究事件A
恰好出现k次的概率Pn(k) 设事件Bk“在n重贝努里试验中事件A恰好发 生了k次”， 其中 0 k n 由于 n 次试验是相互独立的，所以事件A在 指定的 k 次试验中发生，而在其余(nk）次试
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 。
0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
例1.24 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性. 如图所示, 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统 ) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1, 2, 3, 4 ) . 试求系统的可靠性。
P ( A) P ( B )。 从而 A 与 B 相互独立 。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
两个结论
若事件 1. A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立。
2. 若 n 个事件 A1 , A2 , , An ( n 2)相互独 立, 则将 A1 , A2 , , An 中任意多个事件换成它们 的对立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立。
伯努利试验
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伯努利试验的求解 与应用
精选完整ppt课件
1
伯努利生平
丹尼尔伯努利 ，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利 家族中最杰出的一位。受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他 在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到 圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中 的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。 1727年，20岁的欧拉(后人将他与阿基米德、艾萨克·牛顿、高斯 并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
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3
பைடு நூலகம்
伯努利试验应用条件：多为计算独立重复试验中， 事件恰好发生的概率
伯努利试验公式：①如果在1次试验中某事件发生的概 率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P） 的n-K次方
有关伯努利试验的求解 : 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： ( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率； ( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率；
精选完整ppt课件
11
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率为
Pn(k)
伯努利试验的求解 与应用
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1
伯努利生平
丹尼尔伯努利 ，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利 家族中最杰出的一位。受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他 在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到 圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中 的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。 1727年，20岁的欧拉(后人将他与阿基米德、艾萨克·牛顿、高斯 并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
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伯努利试验应用条件：多为计算独立重复试验中， 事件恰好发生的概率
伯努利试验公式：①如果在1次试验中某事件发生的概 率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P） 的n-K次方
有关伯努利试验的求解 : 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： ( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率； ( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率；
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11
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率为
Pn(k)
仿真条件下贝努利试验的匹配概率估计方法
时 图像是 异源 图像 ， 了解 决 异 源 图像 相 似 度 低 的 为 问题 ， 多前视 红 外景 象 匹配 算 法 是基 于 图像 特 征 很 的。这一 特点 决定 了 匹配概 率估计 时不 能仅 依靠 灰
度相 关程 度 ；
有 ｎ 次 正确 匹 配 ， Ｘ＝ ∑ ＝ ， 则 即为 单 帧 图
ｃｏｍ
收 稿 日期 ：０ １ ６ １ ２ １－ —３ ０
２Ｏ １
激 光 与 红 外
第４ ２卷
的分析 中可 以看 出 ， 用 的前 视 红 外 景 象 匹 配末 制 实 导 并不 是在 整个序 列上 运行 匹 配算 法 。前 视红 外景 象 匹配 的 以下三个 特点 决定 了必 须探 索新 的匹配概 率估 计 方法 ：
“ Ｉ＝ Ｉ ， ０
像正 确 匹配 的频率 ， 一方 面 ， ＝ ａ Ｐ， 用 另 喏 ｉ ＝ 采 ｐ 矩估 计法 对参 数 Ｐ进 行估计 ， 有 ： 则
＾
一
ｎ，
ｎ
Ｐ＝ Ｘ ＝
（ ） 视红 外景 象 匹配 实 时 图像 形 成 一组 距 目 ３前 标 由远及 近 的序列 ， 匹配 过 程 中可 以 利用 帧 间信 在 息， 而下 视可 见光 景 象 匹配 更 强 调 单 帧 实 时 图像 与
仿 真 条 件 下 贝努 利 试 验 的 匹配 概 率 估 计 方 法
王 鹏 孙继 银 王 薇。 ， ，
（ ． 二炮 兵工程 学院 ， １第 陕西 西安 ７ ０ ２ ； ． １０ ５ ２ 二炮驻七零 四所代 表室 ， 京 １０ ７ ） 北 ００ ６
摘
要： 前视 红 外景象 匹配算 法性 能评 价是 一个 亟待 解 决 的 问题 。主 要研 究 了匹配 概 率这 一
度相 关程 度 ；
有 ｎ 次 正确 匹 配 ， Ｘ＝ ∑ ＝ ， 则 即为 单 帧 图
ｃｏｍ
收 稿 日期 ：０ １ ６ １ ２ １－ —３ ０
２Ｏ １
激 光 与 红 外
第４ ２卷
的分析 中可 以看 出 ， 用 的前 视 红 外 景 象 匹 配末 制 实 导 并不 是在 整个序 列上 运行 匹 配算 法 。前 视红 外景 象 匹配 的 以下三个 特点 决定 了必 须探 索新 的匹配概 率估 计 方法 ：
“ Ｉ＝ Ｉ ， ０
像正 确 匹配 的频率 ， 一方 面 ， ＝ ａ Ｐ， 用 另 喏 ｉ ＝ 采 ｐ 矩估 计法 对参 数 Ｐ进 行估计 ， 有 ： 则
＾
一
ｎ，
ｎ
Ｐ＝ Ｘ ＝
（ ） 视红 外景 象 匹配 实 时 图像 形 成 一组 距 目 ３前 标 由远及 近 的序列 ， 匹配 过 程 中可 以 利用 帧 间信 在 息， 而下 视可 见光 景 象 匹配 更 强 调 单 帧 实 时 图像 与
仿 真 条 件 下 贝努 利 试 验 的 匹配 概 率 估 计 方 法
王 鹏 孙继 银 王 薇。 ， ，
（ ． 二炮 兵工程 学院 ， １第 陕西 西安 ７ ０ ２ ； ． １０ ５ ２ 二炮驻七零 四所代 表室 ， 京 １０ ７ ） 北 ００ ６
摘
要： 前视 红 外景象 匹配算 法性 能评 价是 一个 亟待 解 决 的 问题 。主 要研 究 了匹配 概 率这 一
伯努利试验
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 ( A1A2 )) P( An ( A1 A2 An1))
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
C42 p2q42 6 0.052 0.952 0.0135
伯努利定理
定理
设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ， 则Ａ在n次伯努里试验中恰好发生 k次的概率为
Pn
(k)
CLeabharlann k npkqnk
其中 q 1 p
( k＝ 0，1，2，...，n )
例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,
(1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率．
解 (1) 该试验为4 重伯努利试验
n 4, p 0.67, q 1 p 0.33
P4(k) C4k pk q4k (0 k 4)
(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P(B) P4 (2) P4 (3) P4 (4) 0.8918
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好 命中3次的概率。
解 该试验为5重伯努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3
所求概率为
P( A) C53 0.73 0.32 0.3087
例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概 率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使 用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 曲线与横坐标轴所夹的图形面积为1； ➢ 累积分布函数曲线从－∞到0平稳上升，围绕点(0,0.5)对称；
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
贝努利概型和二项分布
贝努利概型和二项分布
贝努利概型是概率论中的基本概型之一，用于描述一个随机试验
只有两种可能结果的情况。
它以瑞士数学家雅各布·贝努利的名字命名。
在贝努利概型中，试验的结果只有两种情况，可以简称为成功（S）和失败（F）。
我们用P(S)表示成功的概率，用P(F)表示失败的
概率。
由于这两种结果是互斥的，且两者的概率之和等于1，因此有
P(S) + P(F) = 1。
贝努利概型可以应用于多种实际情况，比如抛硬币的结果只有正
面和反面、一次考试的及格与不及格等。
而二项分布是一种重要的离散概率分布，用于描述在一系列独立
的贝努利试验中成功次数的分布情况。
它也以素数学家雅各布·贝努
利的名字命名。
在二项分布中，假设进行n次独立的贝努利试验，每次试验成功
的概率为p。
我们关注的是这n次试验中成功的次数X的分布情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n是试验次数，k是成功的次数，C(n, k)是组合数。
二项分布可以用于多种实际问题的建模，比如掷硬币n次中正面
朝上的次数、多次投掷骰子中某个点数出现的次数等。
通过使用贝努利概型和二项分布，我们可以对这些试验的结果和
成功次数的分布进行概率统计和推断分析，从而帮助我们理解和解决实际问题。
三几种常见概率分布律
根据题意， n 2000 , 0.70。
平均数 n 2000 0.70 1400 标准差 n(1) 20000.70.3 20.49
二项分布
（实例）
【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率
4
P(y 7) P(7) C170 0.75 7 (1 0.75)107 10! 0.757 0.253 7!3! 0.2503
所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6 粒种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率 是多少？
0.9987 另外一种方法：
P(至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P(y 0)
1
C
0 6
0.67
0
0.336
1
0.0013
0.9987
这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。
4 二项分布的概率分布表和概率分布图
除以P(y)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。
例如，抛硬币4次，获得的正面数记为Y，则Y服从二项 分布。Y的概率分布表为
0.5时，正偏
4
0.5时，负偏
5 二项分布变量的平均数和标准差
❖ 平均数 E(Y) n
❖ 方差和标准差
2 Var( X ) n(1)
n(1)
例三，某树种幼苗成材率为70％，现种植2000 株，问成材幼苗数的平均值和标准差是多少？
解：设2000 株幼苗的成材数为 Y,则Y服从二项分布。
在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
平均数 n 2000 0.70 1400 标准差 n(1) 20000.70.3 20.49
二项分布
（实例）
【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率
4
P(y 7) P(7) C170 0.75 7 (1 0.75)107 10! 0.757 0.253 7!3! 0.2503
所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6 粒种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率 是多少？
0.9987 另外一种方法：
P(至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P(y 0)
1
C
0 6
0.67
0
0.336
1
0.0013
0.9987
这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。
4 二项分布的概率分布表和概率分布图
除以P(y)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。
例如，抛硬币4次，获得的正面数记为Y，则Y服从二项 分布。Y的概率分布表为
0.5时，正偏
4
0.5时，负偏
5 二项分布变量的平均数和标准差
❖ 平均数 E(Y) n
❖ 方差和标准差
2 Var( X ) n(1)
n(1)
例三，某树种幼苗成材率为70％，现种植2000 株，问成材幼苗数的平均值和标准差是多少？
解：设2000 株幼苗的成材数为 Y,则Y服从二项分布。
在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
伯努利试验
设“发出信号.”为事件A，“接收信号.”为B 则
P ( A ) 0 . 6 ; P ( A ) 0 . 4 ; P ( B A ) 0 . 8 ; P ( B A ) 0 . 2 ; P ( B A ) 0 . 9 ; P ( B A ) 0 . 1
2， 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。 在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原 盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第 二次取出的三个球均为新球的概率。
A A A A , A A A A , A A A A 1234 1234 1234
因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互独立，所以
C 6
2 4
P ( A A A A ) P ( A ) P () A P () A P () A 1 2 3 4 1 2 3 4
0 . 05 0 . 95 p q
3 9 3 1 5
3 6 3 1 5
21 96 3 1 5
3 7 3 1 5
12 96 3 1 5
3 8 3 1 5
3 6 3 1 5
3 9 3 1 5
某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3号 机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之 间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没 有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照 看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。
P 4 ( k ) C p q
(2)
k k 4 k 4
(0k 4 )
设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P ( B ) P ( 2 ) P ( 3 ) P ( 4 ) 4 4 4 0 . 8 9 1 8
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好
生物统计学：几种常见的概率分布律
头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75)
的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率
为：
10! P ( x 7) C 0.75 0.25 0.75 7 0.253 0.2503 7!3!
7 10 7 3
【例3.2】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，现有两 种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的可能， 问：应该如何评价这两种疫苗? 假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍为20 ％，则15 头家畜中染病头数x=0的概率为
1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，
简称贝努利试验(Bernoulli trials)。
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离 散型随机变量，如孵n枚种蛋的出雏数、n头病 畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用 贝努利试验来概括。 在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1， 2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
四、二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变 量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
μ=np
(3-5)
(3-6)
npq
【例3.4】求【例3.3】平均死亡猪数及死 亡数的标准差。
以p=0.2,n=5代入 (3-5)和(3-6) 式得： 平均死亡猪数 μ=5×0.20=1.0(头) 标准差
一、波松分布的意义
若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1， 2，…，且其概率分布为
k ， k=0，1，…… (3-10) P( x k ) e k!
浅谈贝努利试验、二项分布和两点分布的关系和应用
定义 1 （ 贝努利试验） 在 n 重独立重复试验中，如果每
次试验的结果只有两种，则称该 n 重试验为贝努利试验．
定理 1 （ 贝努利定理） 设事件 A 发生的概率为 p，则在
n
重贝努利试验中事件
A
发生
k
次的概率为
C
k n
pk
（
1
－
p）
n－k ，
k = 0，1，2，…，n．
定义 2 （ 二项分布） 如果随机变量 X 服从二项分布 B（ n，p） ，则随机变量 X 的分布律为 P（ X = k） = Ckn pk （ 1 － p） n－k ，k = 0，1，2，…，n．
高教视野
GAOJIAO SHIYE
5
浅谈贝努利试验、二项分布和两点分布的关系和应用
◎刘小艳1 严 钧2 （ 1． 江苏省邗江中学，江苏 扬州 225000； 2． 扬州大学数学科学学院，江苏 扬州 225000）
【摘要】本文给出了贝努利试验、二项分布和两点分布 之间的关系，并将 这 些 关 系 应 用 到 中 心 极 限 定 理 和 大 数 定 律的收敛速度的讨论中．
【参考文献】 ［1］茆诗松，程依明，濮晓龙． 概率论与数理统计教程 ［M］． 北京： 高等教育出版社，2011． ［2］杜海霞． 贯穿概率论的 n 重贝努利概型［J］． 价值工 程，2014（ 29） ： 289 － 290． ［3］王君． 概率论贝努利概型课堂教学中的思维训练设 计［J］． 新 疆 师 范 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） ，2011 （ 3 ） ： 98 － 101． ［4］孔运，王渊． 贝努利试验的推广及应用［J］． 科技传 播，2013（ 24） ： 120 － 122． ［5］Amir Dembo，Ofer Zeitouni． Large Deviations Techniques and Applications［M］． Berlin，Heidelberg： Springer，1998．
5.贝努利
k 1
p
例2 一个人开门, 他共有n把钥匙, 其中仅有一把能
打开这个门, 他随机地选取一把钥匙开门,即每次以 1 的概率被选中, 求该人在第k次打开门的概率. n
1 k 1 1 P ( Bk ) (1 ) n n k ห้องสมุดไป่ตู้ 1,2,
解 令Bk 表示第k次打开门 ,则
小结
1.n重贝努里概型
A A A A A A ,
k次
n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次
k C 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有 n 种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
2) 各次试验的结果相互独立，
则称这n次重复试验为n重贝努利试验，简称为 贝努利概型.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次, 就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现偶数点 ”, 就是 n重伯努利试验.
2. 二项概率公式
定理 如果在贝努利试验中，事件A出现的 概率为p (0<p<1), 则在n次试验中，A
2.二项概率公式 P( k ) n p k q nk , p q 1,0 k n 3.几何分布
k
( p ) k (1 p ) e e k!
( p ) k p P(B) e , ( k 0,1, 2, ) k!
( 2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率.
由贝叶斯公式，得
P ( An B) P ( An ) P ( B An ) P ( B)
( p ) n p k k n k e C n p (1 p) n k [ ( 1 p )] ( 1 p ) n! e k ( p ) p ( n k )! e k! ( n k , k 1,)
p
例2 一个人开门, 他共有n把钥匙, 其中仅有一把能
打开这个门, 他随机地选取一把钥匙开门,即每次以 1 的概率被选中, 求该人在第k次打开门的概率. n
1 k 1 1 P ( Bk ) (1 ) n n k ห้องสมุดไป่ตู้ 1,2,
解 令Bk 表示第k次打开门 ,则
小结
1.n重贝努里概型
A A A A A A ,
k次
n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次
k C 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有 n 种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
2) 各次试验的结果相互独立，
则称这n次重复试验为n重贝努利试验，简称为 贝努利概型.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次, 就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现偶数点 ”, 就是 n重伯努利试验.
2. 二项概率公式
定理 如果在贝努利试验中，事件A出现的 概率为p (0<p<1), 则在n次试验中，A
2.二项概率公式 P( k ) n p k q nk , p q 1,0 k n 3.几何分布
k
( p ) k (1 p ) e e k!
( p ) k p P(B) e , ( k 0,1, 2, ) k!
( 2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率.
由贝叶斯公式，得
P ( An B) P ( An ) P ( B An ) P ( B)
( p ) n p k k n k e C n p (1 p) n k [ ( 1 p )] ( 1 p ) n! e k ( p ) p ( n k )! e k! ( n k , k 1,)
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贝努利试验
如果一个试验中只关心某个事件Ａ是否发生，那么称这个试验为贝努利试验，相应的数学模型称为贝努利模型．
对随机实验中某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两个可能结果的实验称为贝努利试验。
重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努利概型。
有时为了突出实验次数n，也称为ｎ重贝努利试验。
在n重贝努利试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，它可以取0、1、2……n 共n+1个可能值。
关于贝努利试验，有如下的重要定理。
对于贝努利概型，事件A在n次试验中发生ｋ次的概率为Pn（k）＝Cnkpkqn-k（0≤k≤n）(公式1)
事件A至多出现m次的概率是m P｛0≤ξ≤ｍ｝＝∑Cnkpkqn-k (公式2)
K=0事件A出现次数不小于ｌ不大于m的概率是m P｛l≤ξ≤ｍ｝＝∑ Cnkpkqn-k(公式3)
K=l贝努利分布的期望E(ξ)＝np (公式4)
给定出现A的几率为p，用上面的公式就可以计算出试验次数为n时的几率。
当n为偶数时，计算公式为n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝∑ Cnkpkqn-k (公式5)
K=n/2当n为奇数时，计算公式为n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝∑ Cnkpkqn-k(公式6)
K=n/2+1其中K=n/2+1取整数。