兔子繁衍奥数题及答案
Python小案例只兔子繁殖问题（斐波那契数列）
Python⼩案例只兔⼦繁殖问题（斐波那契数列）
兔⼦的繁殖问题：
⼀对兔⼦，从出⽣后第3个⽉起每个⽉都⽣⼀对兔⼦。
⼩兔⼦长到第3个⽉后每个⽉⼜⽣⼀对兔⼦。
假如兔⼦都不死，请问第1个⽉出⽣的⼀对兔⼦，第n个⽉有多少对兔⼦？
分析⼀下：
第⼀个⽉是1对
第⼆个⽉还是这1对
第三个⽉是2对（因为第三个⽉之前的⼀对兔⼦可以⽣⼀对兔⼦）
第四个⽉是3对（因为三个⽉以后的兔⼦每个⽉都可以⽣⼀对兔⼦）
第四个也是5对（因为⽼兔⼦⼜⽣了⼀对，前两个⽉⽣的⼀对幼兔3个⽉了，以后的每个⽉都可以⽣⼀对兔⼦了）
......
等等，以此类推，我们可以发现，这就构成了斐波那契数列！
1，1，2，3，5......
斐波那契的特点就是前⾯相邻两项之和，构成了后⼀项。
然后就好计算了：。
费波那西数列(兔子问题)Fibonacci
源起根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长阔刚好为1 和 2 的可行方法数目时，首先描述这个数列。
在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（又名费波那西），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。
第一个月有一对刚诞生的兔子第二个月之后它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去假设在n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。
在n+2 月必定总共有a+b 对：因为在n+2 月的时候，所有在n 月就已存在的 a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。
数学求解：为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。
高中的初等数学知识也能求出。
已知∙a1 = 1∙a2 = 1∙a n = a n− 1 + a n− 2首先构建等比数列设a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)化简得a n = (β−α)a n− 1 + αβa n− 2比较系数可得:不妨设β > 0,α > 0解得：所以有a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)，即为等比数列。
求出数列{a n + αa n− 1}由以上可得：变形得：。
令求数列{b n}进而得到{a n}设，解得。
故数列为等比数列即。
而，故有又有和可得得出a n表达式可以参考网站：/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5% A5%91%E6%95%B0%E5%88%97程序实现解法：#include <iostream>using namespace std;int fact(int n){if(n==0)return(0);else{if(n==1)return(1);elsereturn(fact(n-1)+fact(n-2));}}int main(){ int i;cout<<"请输入月份"<<endl;cin>>i;cout<<fact(i)<<endl;}。
奥数兔子数列规律题目
奥数兔子数列规律题目奥数兔子数列规律：在奥数中，有一种有趣的兔子数列，也被称为斐波那契数列。
这个数列从 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项的和。
即：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……说起这兔子数列，就像是一场神奇的数字魔法秀！想象一下，兔子们在一个神秘的数字花园里快乐生活。
最开始有一对小兔子，一个月后它们长大了但还没生宝宝。
又过了一个月，这对大兔子生下了一对小兔子，此时花园里就有两对兔子了，一对大的，一对小的。
再一个月过去，原来的大兔子又生了一对小兔子，而之前的小兔子也长大变成了大兔子但还没生宝宝。
就这样，兔子的数量按照一定的规律不断增加。
兔子数列里的数字就像一群调皮又聪明的小精灵，它们手拉手排着队，每个数字都知道自己的位置和使命。
前面的数字像是勇敢的先锋队，为后面的数字开辟道路；后面的数字则像是充满活力的追随者，紧紧跟随着前面数字的脚步。
在生活中，兔子数列的应用可不少呢！比如植物的生长，有些花朵的花瓣数量就遵循着兔子数列的规律。
像百合花一般有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，而雏菊可能就有 8 片、13 片花瓣。
再看看艺术领域，一些著名的画作和建筑设计中也藏着兔子数列的身影。
比如一些螺旋形状的图案，其线条的比例和兔子数列有着微妙的联系。
还有更神奇的，科学家们发现，兔子数列在自然界的一些现象中也起着作用。
比如蜜蜂家族的繁衍，就有着类似的规律。
总之，兔子数列就像是一把神奇的钥匙，能打开许多未知世界的大门。
它让我们看到了数字背后隐藏的美妙秩序和规律。
了解了兔子数列，我们就能更加敏锐地发现生活中那些看似平常却又充满奇妙规律的现象。
如果你对这些神奇的规律充满好奇，不妨去阅读《从一到无穷大》这本书，或者登录果壳网，那里有更多有趣的科学知识等待着你去探索。
说不定，下一个发现神奇规律的人就是你哟！。
有趣的兔子数列
有趣的兔子数列(裴波那契)
裴波那契（Fibonacci leonardo，约1170-1250）是意大利著名数学家．在他的著作《算盘书》中许多有趣的问题，最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”：如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？可以这样思考：第一个月后即第二个月时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本身，另一对是它生下的幼兔．第三个月时两对兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成的大兔子．第四个月时，三对兔子变成了五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，按此方法推算，第六个月是13对兔子，第七个月是21对兔子……，裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面加上一项1,成为“裴波那契数列”，即：1,1,2,3,5,8,13…．出人意料的是，这个数列在许多场合都会出现，在数学的许多不同分支中都能碰到它．世界上有关裴波那契数列的研究文献多得惊人，裴波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．。
意大利斐波那契兔子题规律
意大利斐波那契兔子题规律意大利斐波那契兔子题规律：在意大利数学家斐波那契提出的兔子繁殖问题中，兔子繁殖的数量呈现出一个神奇的规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
想象一下，兔子们组成了一个超级繁殖俱乐部。
在这个俱乐部里，一开始只有一对刚出生的小兔子。
这对小兔子还处于幼年期，得经过一个月才能长大并开始繁殖。
一个月后，这对小兔子长大了，变成了成年兔子。
到了第二个月，这对成年兔子生下了一对小兔子。
现在，俱乐部里有两对兔子，一对成年的和一对幼年的。
第三个月，第一对成年兔子又生了一对小兔子，而之前的幼年兔子也长大了。
这时候，俱乐部里就有三对兔子，两对成年的和一对幼年的。
再往后，成年兔子的数量越来越多，它们不断地繁殖新的兔子，而新生兔子的数量就等于前两个月成年兔子的数量之和。
就好像兔子们在进行一场接力赛，每个月新加入的兔子选手数量取决于前两个月已经在赛道上的选手数量。
比如说，我们来具体看看前几个月兔子的数量变化。
第一个月是 1 对，第二个月是 1 对，第三个月是 2 对，第四个月是 3 对，第五个月是 5 对，第六个月是 8 对……是不是很神奇？斐波那契兔子题规律在生活中也有不少体现呢！比如我们常见的植物花瓣数量，不少花朵的花瓣数就符合斐波那契数列。
像百合花通常有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，而雏菊可能会有 13、21 或者 34 片花瓣。
再比如，一些贝壳的螺旋形状，以及松果鳞片的排列，也都隐藏着斐波那契数列的影子。
而且，斐波那契数列还有着许多有趣的数学特性。
比如，随着数列项数的增加，相邻两项的比值会逐渐趋近于一个特定的数值，约为1.618，这个数值被称为黄金分割比。
在艺术和设计领域，黄金分割比被广泛应用，因为它能够给人带来一种视觉上的和谐与美感。
总之，斐波那契兔子题规律不仅是一个有趣的数学谜题，还在自然界和人类生活中有着广泛而奇妙的应用。
了解这个规律，能让我们更深入地感受数学与生活的紧密联系，发现那些隐藏在平凡事物背后的神秘之美。
兔子与斐波那契
兔子与斐波那契作者：来源：《小天使·六年级数学人教版》2011年第06期百晓生：斐波那契从兔子的繁殖中得出的斐波那契数列，是奥数中的一个重要问题，经常在各种考试中出现，就让我们一起来学习这一类问题吧！（你可以对我说不认识兔子，但千万别对我说不知道斐波那契，那样我会受不了的）例题一：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？（注意和教材的区别）中世纪最有才华的数学家斐波那契出生在意大利比萨市的一个商人家庭。
因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。
他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此他在经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。
回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》。
思路分析：现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有两对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，两对成年，一对未成年……月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。
若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
我们把1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
例题二：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是多少？思路分析：我们把每一行的实心圆点列出来，就得到了这样一组数列0，1，1，2，3，5……对于每一个空心圆点它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点它到下一行可生出一空一实两个点。
斐波那契兔子问题数字规律
斐波那契兔子问题数字规律斐波那契兔子问题是一个经典的数学问题，在数列中兔子的繁殖规律呈现出一种有趣的数字规律。
斐波那契数列以0和1开始，后面的每一项都是前两项的和。
而斐波那契兔子问题则是将兔子的繁殖规律应用在现实生活中，探讨兔子的繁衍情况。
斐波那契兔子问题的数字规律可以通过以下方式来进行推导和解释。
1. 第一个月，兔子对数为1。
这是因为兔子开始繁殖，没有新生兔子加入，所以兔子的数量就是1。
2. 第二个月，兔子对数仍为1。
这是因为兔子繁殖一次需要一个月的时间，所以在第二个月的时候，还没有新生兔子加入，兔子的数量仍然是1。
3. 第三个月，兔子对数变为2。
这是因为第二个月的时候，已经有一对兔子繁殖出了一对新的兔子，所以兔子的数量变为2。
4. 第四个月，兔子对数变为3。
这是因为第三个月的时候，已经有两对兔子分别繁殖出了一对新的兔子，所以兔子的数量变为3。
5. 第五个月，兔子对数变为5。
这是因为第四个月的时候，已经有三对兔子分别繁殖出了两对新的兔子，所以兔子的数量变为5。
通过以上的推导，我们可以得到一个规律：每个月的兔子对数都是前两个月兔子对数之和。
这就是斐波那契兔子问题的数字规律。
斐波那契兔子问题的数字规律还有一些有趣的特点。
例如，兔子对数的增长速度是逐渐加快的。
在最开始的几个月，兔子对数的增长速度相对较慢，但随着时间的推移，增长速度越来越快。
这是因为随着兔子的数量增加，繁殖能力也随之增强，从而导致兔子对数的增长加速。
斐波那契兔子问题的数字规律还有一个有趣的特性：兔子对数的增长趋势呈现出一个近似黄金分割的比例。
黄金分割是指一条线段分为两部分，其中长部分与短部分的比例等于整体与长部分的比例相同。
在斐波那契兔子问题中，兔子对数的增长趋势也呈现出这种近似的黄金分割比例。
例如，前两个月兔子对数为1和1，比例为1:1；而后面的兔子对数依次为2、3、5，比例分别为1:2、2:3、3:5，逐渐接近黄金分割比例。
斐波那契兔子问题的数字规律在数学领域中有着广泛的应用。
兔子身上的数学
兔子身上的数学
问题兔子身上的数学问题也称为“兔子定律”，是一个古老的数学问题。
在每个月内，一对新生的兔子每月都会生出另一对小兔子，并且从第三个月起，每个月新出生的兔子都能够开始繁殖，每个月可以生出另外一对小兔子。
这样，一年后就会有比原来多出许多小兔子。
问题是，在某一个月，一对兔子可以生出多少小兔子呢？该问题可以用递归方式表达，即第n月的兔子数量等于前一个月的兔子数量加上前两个月的兔子数量，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
如果初始有一对兔子，则第一个月和第二个月没有新兔子，即F(1)=F(2)=1。
巧用黄金分割比,快速求兔子数列各数的和
巧用黄金分割比，快速求兔子数列各数的和能看懂的神奇的兔子数列意大利中世纪数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入一个数列，称为“兔子数列”。
假设兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？知乎上有容易看懂的图如下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对。
两个月后，生下一对小兔对数共有两对。
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。
依次类推可以列出下表：可以看出总体对数构成了一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
这个数列就是斐波那契数列，也叫黄金分割数列。
之所以称为黄金分割数列，是因为随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666，3÷5=0.6，5÷8=0.625，55÷89=0.617977，144÷233=0.618025……越到后面，这些比值越接近黄金比。
也就是说，如果知道最后一项是多少，可以用最后一项乘0.618，再保留整数就可以得到倒数第2项。
如果知道倒数第2项，可以用它的值除以0.618再保留整数后得到最后一项。
如在1+1+2+3+5+8+13+21＋。
+144中，144×0.618=88.992，保留整数得到89，用[144×0.618]=89，[a ]表示取a的整数部分，所以144的前一项是89。
144÷0.618=233 .0097， [144÷0.618] =233，所以它的后项是233。
1+1+2+3+5+8+13+21的和是多少呢?一个一个地加肯定能得到，但是有没有更快的方法呢?我们先在方格纸上画出下面的图。
斐波那契的兔子算法
斐波那契的兔子算法斐波那契的兔子算法是一种经典的递归算法，它用于解决关于一个兔群在n个月内繁殖的问题。
其中，每对兔子在第一个月末均会生下一对小兔子，从第二个月起便开始独立繁殖。
假设兔子都是成对出现、生存、繁殖，在这样的条件下，n个月后，兔群的总数写成F(n)。
斐波那契的兔子算法的求解过程如下：在第一个月末，兔子数量为1；第二个月末，兔子数量为1+1=2；第三个月末，兔子数量为2+1=3；第四个月末，兔子数量为3+2=5，以此类推。
这种算法可用数列表示：F(0)=1,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2)。
当n≥2时，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
因此，我可以使用递归方法对该问题进行求解，即用F(n)=F(n-1)+F(n-2)递归求出F(n)。
斐波那契的兔子算法有许多优点，其中最重要的一点是可适用性极强。
它可以用于众多问题的求解，例如在股票市场上的趋势分析、工程项目中的计算机科学问题等。
此外，它具有简单易懂、计算快速等特点。
此外，当n的值很大时，斐波那契数列的求解会变得非常复杂。
通常情况下，我们可以使用记忆化搜索来解决这个问题。
可以定义一个数组，用于保存每个F(n)的值，当需要求解某个F(n)时，如果已经求解过，直接从数组中取出即可。
如果还没有求解过，就先递归求解，再将结果存入数组中。
这种方法可以有效地减小斐波那契数列的求解时间，提高算法效率。
总之，斐波那契的兔子算法是一种经典的递归算法，其可适用性极强、简单易懂、计算快速等特点使其在许多领域都有广泛的应用。
此外，记忆化搜索可以有效地减小斐波那契数列的求解时间，提高算法效率。
兔子问题
数列斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题:一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子?我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;两个月后，生下一对小兔总数共有两对;三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;……依次类推可以列出下表:经过0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12月数总体0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144对数表中数字1，1，2，3，5，8---构成了一个序列。
这个数列有关十分明显的特点，那是:前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘书》中提出的，这个级数的通项公式，除了具有an+2=an+an+1的性质外，还可以证明通项公式为:an=1/√5[(1/2+√5/2)^ n-(1/2-√5/2)^n](n=1,2,3.....)(√5表示根号 5)这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一些无理数表示出来的。
即在较高的序列，两个连续的"斐波纳契数"的序列相互分割将接近黄金比例(1.618:1或1:0.618)。
例如:233/144，987/610、、、、斐波那契数列还有两个有趣的性质⒈斐波那契数列中任一项的平方数都等于兔子问题跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1;⒉任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积(内积)与两边两数之积(外积)相差1.折叠质数斐波那契质数由斐波那契序列中的质数组成，是整数质数序列.第一组质数序列是:2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229,433494437,2971215073,....。
兔子数列
趣味数学：兔子繁殖与斐波纳奇数列（适合四、五、六年级）公元13世纪，在意大利有一位天才的数学家名字叫斐波纳奇，他在一本《算盘之书》的著作里记载了这样一道数学题：有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月便有生育能力，那么过一年后，问一共能有多少对兔子？假设每产一对必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活率。
究竟有多少对呢？我们不妨计算一下，一对兔子，在一个月后生出了一对，总数是两对。
而在这两对当中，只有第一对兔子有生育能力，因而两个月后一共有三对兔子，三个月后第一第二对兔子都有生育能力，因此又新出生两对兔子，总共有五对兔子，这样依此类推，经过一年（十二个月）后，兔子总数为233对。
即兔子的对数依次为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，研究一下这个数列，我们会惊奇地发现它有许多有趣的性质：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。
即3＝2＋1；5＝2＋3；8＝3＋5；……233＝89+144，这个数列的发现对人类数学及自然科学的发展具有重大的意义，人们为了纪念大数学家斐波纳奇，因而把此数列命名为斐波纳奇数列。
斐波纳奇数列在生活中有着广泛的运用。
试举一例：一个人上楼梯，可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶。
现在假设某层楼梯有10级台阶。
那么从这层楼的下面走到上面，共有多少种不同的走法？解：根据题意列出各级楼梯的走法如下：括号里面的数字表示每次上楼梯走的级数，1个算式或数表示一种走法）第一级：1种（1）第二级：2种（1+1，2）第三级：3种（1+1+1，2+1，1+2）第四级：5种（1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2）第五级：8种（1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+2+2，2+1+2，2+2+1）第六级：……其规律为：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。
小学奥数：计数之递推法.专项练习及答案解析
7-6-4.计数之递推法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．例题精讲对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例 1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子．【答案】144【例 2】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝．【答案】89【例 3】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】 登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级1种方法 2种 3种 5种 ...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A 0，那么登了1级的位置是在A 1，2级在A 2... A 10级就在A 10．到A 3的前一步有两个位置；分别是A 2 和A 1 ．在这里要强调一点，那么A 2 到A 3 既然是一步到了，那么A 2 、A 3之间就是一种选择了；同理A 1 到A 3 也是一种选择了．同时我们假设到n 级的选择数就是An ．那么从A 0 到A 3 就可以分成两类了：第一类：A 0 ---- A 1 ------ A 3 ，那么就可以分成两步．有A 1×1种，也就是A 1 种；(A 1 ------ A 3 是一种选择)第二类：A 0 ---- A 2 ------ A 3， 同样道理 有A 2 ．类类相加原理：A 3 = A 1 ＋A 2，依次类推An = An -1 + An -2． 【答案】89【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 登 1级 2级 3级 4级 5级 ...... 10级1种方法 1种 2种 3种 4种...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面相隔的两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.【答案】28【例 4】 1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如果用12⨯的长方形盖2n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12⨯的，也可能横放2个12⨯的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210⨯的长方形一共有89种．【答案】89【例 5】 用13⨯的小长方形覆盖38⨯的方格网，共有多少种不同的盖法？【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如果用13⨯的长方形盖3n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，21a =,32a =,对于4n ≥，左边可能竖放1个13⨯的，也可能横放3个13⨯的，前者有-1n a 种，后者有a 种，所以a a a =+,依照这条递推公式列表：【答案】13【例 6】 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如【答案】927【巩固】 一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1个苹果有1种方法，取2个苹果有2种方法，取3个苹果有4种取法，以后取任意个苹果的种数等于取到前三个苹果所有情况之和，以此类推，参照上题列表如【答案】81【例 7】 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 本题可以采用递推法，也可以进行分类讨论，当然也可以直接进行枚举． (法1)递推法．假设有n 枚棋子，每次拿出2枚或3枚，将n 枚棋子全部拿完的拿法总数为n a 种．则21a =，31a =，41a =．由于每次拿出2枚或3枚，所以32n n n a a a --=+(5n ≥)．所以，5232a a a =+=；6342a a a =+=；7453a a a =+=；8564a a a =+=；9675a a a =+=；10787a a a =+=．即当有10枚棋子时，共有7种不同的拿法．(法2)分类讨论．由于棋子总数为10枚，是个偶数，而每次拿2枚或3枚，所以其中拿3枚的次数也应该是偶数．由于拿3枚的次数不超过3次，所以只能为0次或2次．若为0次，则相当于2枚拿了5次，此时有1种拿法；若为2次，则2枚也拿了2次，共拿了4次，所以此时有246C =种拿法． 根据加法原理，共有167+=种不同的拿法．【答案】7【例 8】 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答BAA B 1357946821235813213455891【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【答案】89【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A 房间到达B房间有多少种方法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 斐波那契数列第八项．21种．86427531【答案】21【例 9】 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答BA【解析】 按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有296种不同的回家方法．【答案】296【例 10】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】可以先尝试一下，倒推得出下面的图：2410131112514302831643215167683421其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，… 从上面的图看出，1n a +比n a 大.一方面，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个.另一方面，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好一样多. 而由上面所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以11n n n a a a +-=+，即上面所说的规律的确成立.【答案】34【例 11】 有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如果没有剩下的不能使质数这个条件，那么递推方法与前面学过的递推法相似，只不过每次都是前面3个数相加．现在剩下的不能是质数个，可以看作是质数个的取法总数都是0，然后再进行递推．【答案】25【巩固】有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有 种不同的方法取完这堆棋子.【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【解析】 把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成一串，用递推法把所有的方法数写出来：【答案】54【例 12】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 设第n 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有n a 种．可以想象前1n -次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有11333333n n --⨯⨯⨯=144424443()个…(种)传球方法．这些传球方法并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第1n -次恰好传到甲手中，这有1n a -种传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第1n -次传球，球不在甲手中，第n 次持球人再将球传给甲，有n a 种传法．根据加法原理，有11133333n n n n a a ---+=⨯⨯⨯=14444244443(个…)． 由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以10a =． 利用递推关系可以得到：2303a =-=，33336a =⨯-=，4333621a =⨯⨯-=，533332160a =⨯⨯⨯-=．这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种．本题也可以列表求解．由于第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第1n +次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种．从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种．【答案】60【巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中．问：共有多少种传球方式？【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 递推法．设第n 次传球后球传到甲的手中的方法有n a 种．由于每次传球有4种选择，传n 次有4n 次可能．其中有的球在甲的手中，有的球不在甲的手中，球在甲的手中的有n a 种，球不在甲的手中的，下一次传球都可以将球传到甲的手中，故有1n a +种．所以14n n n a a ++=．由于10a =，所以12144a a =-=，232412a a =-=，343452a a =-=．即经过4次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有52种．【答案】52【例 13】 设A 、E 为正八边形ABCDEFGH 的相对顶点，顶点A 处有一只青蛙，除顶点E 外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E 时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A 出发恰好跳10次后落到E 的方法总数为 种．【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【关键词】清华附中【解析】 可以使用递推法．回到A 跳到B 或H 跳到C 或G 跳到D 或F 停在E 1步 12步 2 13步 3 14步 6 4 25步 10 46步 20 14 87步 34 148步 68 48 289步 116 48其中，第一列的每一个数都等于它的上一行的第二列的数的2倍，第二列的每一个数都等于它的上一行的第一列和第三列的两个数的和，第三列的每一个数都等于它的上一行的第二列和第四列的两个数的和，第四列的每一个数都等于它的上一行的第三列的数，第五列的每一个数都等于都等于它的上一行的第四列的数的2倍．这一规律很容易根据青蛙的跳动规则分析得来．所以，青蛙第10步跳到E 有48296⨯=种方法．【答案】96【巩固】在正五边形ABCDE 上，一只青蛙从A 点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D 点上就停止跳动．青蛙在6次之内(含6次)跳到D 点有 种不同跳法．【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空AB C D E【解析】 采用递推的方法．列表如下：跳到A 跳到B 跳到C 停在D 跳到E1步 1 12步 2 1 13步 3 1 24步 5 3 25步 8 3 56步 13 8 5其中，根据规则，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D 点上就停止跳动．所以，每一步跳到A 的跳法数等于上一步跳到B 和E 的跳法数之和，每一步跳到B 的跳法数等于上一步跳到A 和C 的跳法数之和，每一步跳到C 的跳法数等于上一步跳到B 的跳法数，每一步跳到E 的跳法数等于上一步跳到A 的跳法数，每一步跳到D 的跳法数等于上一步跳到C 或跳到E 的跳法数．观察可知，上面的递推结果与前面的枚举也相吻合，所以青蛙在6次之内(含6次)跳到D 点共有1123512++++=种不同的跳法．【答案】12【例 14】 有6个木箱，编号为1，2，3，……，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，决赛【解析】 (法1)分类讨论．如果1，2号箱中恰好放的就是1，2号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以“好”的方法有两种情况：⑴1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是3～6箱的钥匙．⑵1，2号箱的钥匙都不在1，2号箱中．对于⑴，从1，2号箱的钥匙中选1把，从3～6号箱的钥匙中选1把，共有248⨯=(种)选法，每一种选法放入1，2号箱各有2种放法，共有8216⨯=(种)放法．不妨设1，3号箱的钥匙放入了1，2号箱，此时3号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法，依次类推，可知此时不同的放法有3216⨯⨯=(种)．所以，第⑴种情况有“好”的方法16696⨯=(种)．对于⑵，从3～6号箱的钥匙中选2把放入1，2号箱，有4312⨯=(种)放法．不妨设3，4号箱的钥匙放入了1，2号箱．此时1，2号箱的钥匙不可能都放在3，4号箱中，也就是说3，4号箱中至少有1把5，6号箱的钥匙．如果3，4号箱中有2把5，6号箱的钥匙，也就是说3，4号箱中放的恰好是5，6号箱的钥匙，那么1，2号箱的钥匙放在5，6号箱中，有224⨯=种放法；如果3，4号箱中有1把5，6号箱的钥匙，比如3，4号箱中放的是5，1号箱的钥匙，则只能是5号箱放6号箱的钥匙，6号箱放2号箱的钥匙，有212⨯=种放法；同理，3，4号箱放5，2号箱或6，1号箱或6，2号箱的钥匙，也各有2种放法． 所以，第⑵种情况有“好”的放法()1242222144⨯++++=(种)．所以“好”的方法共有96144240+=(种)．(法2)递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-． 所以，6542554543225!240a a a a ==⨯==⨯⨯⨯=⨯=L ，即好的方法总数为240种．【答案】240【巩固】有10个木箱，编号为1，2，3，……，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【解析】 递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-． 所以，109829989876543229!=725760a a a a ==⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯L ，即好的方法总数为725760种．【答案】725760。
趣味题：Fibonacci数列(兔子生兔子问题)
趣味题：Fibonacci数列（兔子生兔子问题）在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。
在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。
而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibon acci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。
可是这不等于说Fibo nacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。
Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。
问过n个月后共有多少对兔子？解：设满x个月共有兔子F x对，其中当月新生的兔子数目为N x对。
第x-1个月留下的兔子数目设为O x对。
则：F x=N x+O x而O x=F x-1，N x=O x-1=F x-2 (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了)∴F x=F x-1+F x-2 边界条件： F0=0，F1=1由上面的递推关系可依次得到F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
Fabonacci数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“骨牌覆盖”问题、下文中的例题1等都可以用这种方法来解决。
在优选法(优选法：设函数y=f x在区间(a,b)上有一单峰极值点，假定为极大点。
所谓单峰极值，即只有一个极点ξ，而且当x与ξ偏离越大，偏差|f(x)-f(ξ)|也越大。
要求用若干次试验找到ξ点准确到一定的程度。
较优的是实验方法有0.618优选法和Fibonacci优选法)中，Fibonacci数列的用处也得到了较好的体现。
兔子生兔子分录
兔子生兔子分录
如果这个月是第n个月，那要求这个月兔子的总数，其实就是上个月的兔子总数加上新生出来的兔子。
也就是f(n)=f(n-1)+x。
这个
x是比较难理解的地方。
那这个月到底新生出来多少兔子呢？这就是求这个月已经有生育能力的兔子是多少，上上个月所有的兔子就是这个月所有的有生育能力的兔子，这里可以结合表格推一推就很好理解了。
所以x就是f(n-2)。
因此可以得到递推f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
其实比较简单的问题，不过自己光凭笨脑子想，突然没想明白，记一下这个思考过程。
有人是以a表示一个月的兔子，b表示两个月的兔子，c表示三
个月的兔子（原文这么注释的），我因为这个注释半天没看懂，后来明白了，c意思是已经成熟的兔子，也就是表示3个月及以上的兔子，也就是说c表示能生兔子的兔子。
那就可以以月份循环，每到达新的一个月，b都会成熟，所以c+=b，c就更新了，仍然表示所有成熟了的兔子，b怎么更新呢？b其实就
是上个月那些成熟度是1个月的兔子，所以再更新b，用b=a；a呢？a就是现在更新后的c，因为更新后的c表示这个月成熟了的兔子，
那这些兔子都会生一只新的兔子，新兔子就是成熟度为1个月的，所以用a=c。
这样现在这个月的兔子总数就是a+b+c。
兔子繁殖问题的分析
兔子繁殖问题的分析
问题描述： 兔子在出生两个月以后，就具有生殖后代的能力。假设一对兔子，每月都能生一对兔子，生出来的每一对小兔子，在出生两个月后，也每月 生一对兔子。那么，由一对刚出生的小兔子开始，连续不断地繁殖下去，在某个指定的月份有多少对兔子？ 问题分析： 分析老年、中年、青年兔子在各个月份的数量就会发现，兔子总对数符合斐波那契数列。
案例二：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对
案例二：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？1．程序分析：可以看出每个月的兔子总数依次为1，1，2，3，5，8，13。
…。
这就是Fibonacci数列。
2．程序流程图：3．程序N-S图：4．程序源代码： main() {long int f1，f2; int i;f1=1;f2=1; for(i=1; i<=20; i++){printf("%12ld %12ld "，f1，f2); if(i%2= =0) printf("\n"); f1=f1+f2;程序流程图程序N-S 图f2=f2+f1;}}5．程序运行结果：1 12 35 8 13 2134 55 89 144233 377 610 9871597 2584 4181 676510946 17711 28657 4636875025 121393 196418 317811514229 832040 1346269 21783093524578 57022887 9227465 1493035224157817 39088169 63245986 102334155程序中在printf函数中输出格式符用“%12 ld”，而不是用“%12d”，这是由于在第23个数之后，整数值已超过整数最大值32767，因此必须用“%ld”格式输出。
if语句的作用是使输出4个数后换行。
i是循环变量，当i为偶数时换行，而i每增值1，就要计算和输出2个数(f1，f2)，因此i每隔2换一次行相当于每输出4个数后换行输出。