作业51

题组层级快练(五十一)

1．(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④

C．①③D．②④

答案 D

解析①中l与m可能相交、平行或异面；②中结论正确；③中两平面α，β可能平行，也可能相交；④中结论正确．

2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是()

A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

答案 C

解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

3．(2018·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

答案 A

解析由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.

4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()

A．不存在B．有且只有一对

C．有且只有两对D．有无数对

答案 D

解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的

平面β与α垂直，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线，此垂线与b确定的平面β与α垂直．故选D.

5．(2018·保定模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，

BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

答案 D

解析因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．

6.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的

任一点，则下列关系中不正确的是()

A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB D．PC⊥BC

答案 C

解析AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.

7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，

则下列命题中正确的是()

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

答案 C

解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.

8.(2017·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正

六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()

A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD

答案 D

解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF 为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D. 9．(2018·重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有() ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE 内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案 A

解析①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD 内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE，故③正确；

④若SE⊥BA，过点S作SF⊥AE于点F，∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE ＝AE，∴SF⊥平面ABCE，∴SF⊥AB，又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE是锐角矛盾，故④错误．

10．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)．

答案②③④

解析对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．