(完整版)中点四边形

AH D
E G
B
源自文库
F
C
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的 中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
中点四边形
（1）当四边形ABCD变为平行四边形 时，中点四边形EFGH是什么图形？
→
→
几何画板演示
（EFGH为平行四边形）
中点四边形
（2）当四边形ABCD变为菱形时，中 点四边形EFGH是什么图形？
→
→
几何画板演示
（EFGH是矩形）
中点四边形
（3）当四边形ABCD变为矩形时，中
点四边形EFGH是什么图形？
→
→
A
H
D
E
G
几何画板演示
B
F
C
（EFGH是菱形）
中点四边形
（4）当四边形ABCD变为正方形时，
→ 中点四边形EFGH是什么图形？
→
几何画板演示
（EFGH是正方形）
巩固练习
中点四边形
1、顺次连接四边形各边中点得到的是
中点四边形
三角形的中位线
• 如图，E、F为△ABC中AB、AC的中 点，则EF与BC有怎样的关系？
A
E
F
结论：EF∥BC， 2EF = BC
B
C
中点四边形
回顾学过的中点三角形，并指 出被分成的小三角形与原三角形面 积的关系。
学习目标
• 1.知道什么是中点四边形； • 2.能判断常见四边形的中点四边
相等
菱形
（2）若互对相角垂线直且垂相直等，则中点四边正形方为形矩形；
（3）既若不互对相角垂线直相也等不相且等垂直，平则行中四点边四形边形为 正方形。
应用练习
中点四边形
应 用 1 、 如 图 ， 四 边 形 ABCD， 对 角 线 AC=BD，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边 的四等分点，则四边形EFGH是_______.
中点四边形
2、顺次连接矩形各边中点得到的是
中点四边形
3、顺次连接菱形各边中点得到的是
中点四边形
4、顺次连接四边形各边中点得到正方形， 那么这个四边形是
中点四边形
5、顺次连接对角线互相平分的四边形各 边中点得到的是
中点四边形
6、顺次连接对角线互相垂直的四边形各 边中点得到的是
中点四边形
7、顺次连接对角线相等的四边形各边中 点得到的是
A
D
B
C
中点四边形
知 识
草坪问题：我们学校有
的
一块不规则四边形的草
升
坪，在每边的中点处各
华
有一棵玉兰树。现因草
坪四周施工，需要在不
移动玉兰树的情况下把
这块草坪的面积减小一
半，试问这个方案是否
可以实现？请说明理由。
中点四边形
几种特殊图形之间的关系
做一做
中点四边形
将一块不规则的四边形 纸板剪成平行四边形， 让你剪你打算怎样剪呢？
D
H
A
G
E
C
F
B
中点四边形
应用2：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M是AD 中点，N是BC中点，E是CD中点，F是AB中点。 试说明:（1） 若EF=MN，则BD⊥AC；
（2） 若AC=BD，则EF⊥ MN；
（3） 若AC⊥BD，则EF=MN。
DE
M
A
F
C N B
提高练习
中点四边形
点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、
作业
中点四边形
1、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，中 点四边形MNPQ，判断下列说法是否正确？
（1）若四边形MNPQ为矩形，则原四边形 ABCD是菱形。
（2）若四边形MNPQ为菱形，则AC=BD。
（3）若AC⊥BD，则四边形MNPQ为矩形。
（4）若四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90度。
中点四边形
OC，并把AB、OB 、 OC、CA的中点D、E、F、
G顺次连结起来，设DEFG能够成四边形。
（1）如图，当点O在△ABC内
时，求证：四边形DEFG是平
行四边形；
（2）当点O移到△ABC外时， 上小题的结论是否仍成立？
（3）若四边形DEFG为矩形， 则点O所在位置应满足什么条 件，试说明理由。
（动画演示）
2、已知：如图，分别以BM、CM为边，向△ BMC 形 外 做 等 边 三 角 形 ABM、CDM，E、F、G、 H分别为AB、BC、CD、DA中点。
（1)猜测四边形EFGH的形状，
（2)并证明你的猜想；
H
D
(3) △ BMC形状的改变是 A
G
M
否对上述结论有影响。 E
B
F
C
中点四边形
中点四边形
D
四边形A11B11C11D11是 矩__形__ ；
(2)四边形AnBnCnDn是什 么形状呢？
C
点知识四边
的
积升华有什么关
还记得一个
中点四边形
原四边形与中 形两者的面
系？你可能
恰为其中
三角形的面积
点三角形面积的四倍，那么这里是否也
中点四边形
应用：如图，矩形ABCD的长为4，宽为3， 连续取三次中点后的最小四边形的面积 为多少？
挑战 自我
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD， 顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形 A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得 到四边形A2B2C2D2,依次类推，得到四边AnBnCnDn。
A
A1
D3
B A2
D2
D1
C3
C2
A3
B1
B3
B2
C1
(1)四边形A1B1C1D1是 矩__形_ ，四边形A2B2C2D2 是菱__形_ ，
形的形状； • 3.归纳中点四边形的形状的规律; • 4.进一步熟悉中位线定理的应用。
中点四边形
例： 如图，E、F、G、H分别为四边
形ABCD的四边的中点，顺次连接EF、 FG、GH、HE得到四边形EFGH，我们把 这种顺次连结四边形各边中点所得到
的新四边形称为中点四边形。
中点四边形
例1 思求考证：顺次连结四边形四条边 的中点，所得的四边形是什平么行四边形.
我思 我进步☞
中点四边形
根据上面几题的结论，你能找出什么 规律？中点四边形的形状由什么决定？
原四边形 对角线特征 中点四边形形状
任意四边形
平行四边形
矩形
相等
菱形
垂直
正方形
相等且垂直
平行四边形
平行四边形 菱形 矩形 正方形
随堂练习
中点四边形
• 判定下列各图形中，中点四边形 的形状？
（ 菱 形 ）
（
矩 形
（正方形）
）
归纳
中点四边形
实际上，“中点四边形”一定是平行四
边形，它是不是特殊的平行四边形取决于它
的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互
相平分无关.
原四边形两对角线的数量关系决定了中点
四边形原的四边边形，两位条置对关角系线 决定了中中点点四边四形边形的角。
（1）若对互角相线垂相直等，则中点四边矩形形为菱形；