(完整版)中点四边形
三角形中位线(中点四边形)
课题：三角形中位线（中点四边形）教材：苏科版八年级下册第九章第五节学校：张桥中学授课教师：龚宇升1、教学目标：1)理解三角形中位线的定义与性质，区别与三角形中线，并能利用性质解决题目。
了解掌握中点四边形的特点。
2)通过构造三角形中位线来解决四边形四边中点图形，让学生进一步掌握三角形中位线性质的应用。
3)经历利用寻找、构造三角形中位线性质解决问题的过程，培养学生研究问题和解决问题的方法以及从一般到特殊，从特殊到一般的数学思想，并进一步发展学生几何语言的能力。
2、教学重点：理解掌握三角形中位线定义与性质与中点四边形形状特点。
教学难点：中点四边形形状的证明以及通过寻找、构造三角形中位线，利用性质解决问题。
3、教学方法与教学手段：本节课以学生的自主探究为主，教师加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力。
本节课利用了幻灯片，黑板和多媒体等。
4、教学过程：一、复习1.如图ΔABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是。
2.如图ΔABC中，AB=5㎝， AC=8㎝，BC=9㎝，D﹑E﹑F分别是AB、AC、BC的中点，则ΔDEF的周长是。
三角形中位线定理：。
符号语言：∵在△ABC中，D、E 分别为AB、AC 的中点∴。
二、自主探究顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是什么图形？例1、如图，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，四边形EFGH是什么图形？为什么？三、小组探究假如把任意四边形改成矩形呢？例2、如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，四边形EFGH是什么形状？为什么？假如把任意四边形改成菱形呢？例3、如图，菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，四边形EFGH是什么形状？为什么？顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是。
顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是。
顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是。
模型36中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版)
模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形. （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是．➢变式训练【变式11】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13【变式12】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．例题精讲考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝m．➢变式训练【变式21】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9B．10.5C．12D．15【变式22】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD 等于（）A．4B．6C．8D．102．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．403．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50B．80C．96D．1004．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB n∁n D n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n∁n D n面积为．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN ＝8cm，则AB的长等于cm．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝，四边形MNPQ的面积是．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A n B n∁n D n的面积为．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若E n F n分别是E n﹣1，F n﹣1的中点，根据上述规律猜想E n F n＝．（n≥1，n为整数）18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD 的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B 两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B （）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB 的中点M表示的数是．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A （x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是和．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的．。
中点四边形模型(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。
中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
(完整版)中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题
图 2图 3图1另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题,常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图,若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。
1。
1 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1），点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +）。
证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ，y P ）.由x P —x 1=x 2-x P ,得x P =221x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为（221x x +，221yy +)。
1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A （x A ，y A ）、B (x B ，y B ）、C （x C ，y C )、D （x D ，y D ），则：x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D 。
证明: 如图2,连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点,∴E 点坐标为(2CA x x +，2C A y y +）.又∵点E 为BD 的中点， ∴E 点坐标为（2D B x x +,2DB y y +)。
∴x A +xC =x B +xD ;y A +y C =y B +y D 。
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．2 一个基本事实,解题的预备知识如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种:以AB 为对角线的□ACBD 1,以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ． 3 两类存在性问题解题策略例析与反思3。
中点四边形综合问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题18.13中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD 中，AC BD =，顺次连接四边形各边中点得到的图形是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不对【分析】根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【解析】E ，F 分别是DC ，AD 的中点， 12EF AC ∴=，//EF AC ， 同理，12GH AC =，//GH AC ，12GF BD =， EF GH ∴=，//EF GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EF GF ∴=，∴平行四边形EFGH 为菱形，故选：A ．2．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出//EF AC ''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''，求出EH FG =，//EH FG ，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH 是平行四边形，根据菱形的性质得出AC B D ''⊥''，求出90HEF ∠=︒，根据矩形的判定得出四边形EFGH 是矩形，即可判断④．【解析】①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误； ②如图，AC BD ⊥，但是四边形ABCD 不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误； ③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；④如图，E 、F 、G 、H 分别是菱形A B C D ''''的边A B ''、B C ''、C D ''、A D ''的中点，//EF AC ∴''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''， EH FG ∴=，//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形A B C D''''是菱形，∴''⊥''，AC B DEH B D''，//EH AC∴⊥''，EF AC''，//∴⊥，EF EH即90∠=︒，HEF∴四边形EFGH是矩形，故④正确；所以正确的个数是1，故选：D．3．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是()A．若AC BD=，则四边形EFGH为菱形B．若AC BD⊥，则四边形EFGH为矩形C．若AC BD⊥，则四边形EFGH为正方形=，且AC BDD．若AC与BD互相平分，且AC BD=，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD===，=时，存在EF FG GH HE故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BDEFG FGH GHE∠=∠=∠=︒，⊥时，存在90故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；===，⊥，存在EF FG GH HE C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD=，且AC BD∠=∠=∠=︒，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；90EFG FGH GHED、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC BD=，故四边形EFGH 为菱形，故本选项符合题意；故选：D．4．（2021春•樊城区期末）如果一个四边形的对角线相等，顺次连接该四边形四条边的中点，可以得到( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，//EF BD∴，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH是平行四边形．如图，连接AC、BD，AC BD=，12EF BD=，12EH AC=，EF EH∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．5．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是()A ．当AC BD ⊥时，四边形EFGH 为菱形B ．当AC BD =时，四边形EFGH 为矩形C ．当AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形D ．以上说法都不对【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH 为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，//EF AC ∴，12EF AC =，//GH AC ，12GH AC =，//EH BD ，12EH BD =， //EF GH ∴，EF GH =，∴四边形EFGH 为平行四边形，当AC BD ⊥时，EF EH ⊥，∴四边形EFGH 为矩形，A 选项说法错误；当AC BD =时，EH EF =，∴四边形EFGH 为菱形，B 选项说法错误；当AC BD ⊥，AC BD =时，EF EH ⊥，EF EH =，∴四边形EFGH 为正方形，C 选项说法正确；D 选项说法错误；故选：C ．6．（2019•青神县一模）如图，正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，若四边形EFGH 的面积是2，则正方形ABCD 的周长是( )A ．4B ．42C ．8D ．82【分析】根据正方形的性质得到AB BC CD AD ===，求得AE BE BF CF CG DG DH AH =======，根据全等三角形的性质得到EF FG HG EH ===，45AHE DHG ∠=∠=︒，求得90GHE ∠=︒，求得1AE AH ==，得到正方形ABCD 的边长为2，于是得到答案．【解析】正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，AB BC CD AD∴===，∴=======，AE BE BF CF CG DG DH AH∠=∠=∠=∠=︒，A B C D90∴∆≅∆≅∆≅∆，AEH BFE CGF HDE SAS()∠=∠=︒，AHE DHGEF FG HG EH∴===，45GHE∴∠=︒，90∴四边形EFGH是正方形，四边形EFGH的面积是2，∴四边形EFGH2，∴==，AE AH1∴正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的周长是8，故选：C．7．（2019•江油市二模）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是()A．任意一个四边形的中点四边形是菱形B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．【解析】A、任意一个四边形的中点四边形是平行四边形，故此选项错误；B、任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，正确；C、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，故此选项错误；D、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，故此选项错误．故选：B．8．（2019•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是正方形，=，且AC BD⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD=，=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD且AC BD⊥时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．9．（2021秋•金水区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据“一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形”进行判断即可．【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故③错误；当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形，故①②错误，所以正确的有0个，故选：A．10．（2021春•德阳期末）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相垂直；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，再由菱形、矩形以及正方形的判定分别对各个说法进行判断即可．【解析】E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EH∴是ABD∆的中位线，FG是CBD∆的中位线，EF是ABC∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD=，//FG BD，12FG BD=，//EF AC，12EF AC=，//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形，①AC BD=，EH EF∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故①错误；②AC BD⊥，EF EH∴⊥，90FEH∴∠=︒，∴平行四边形EFGH 是矩形，故②错误；③若四边形EFGH 是菱形，则AC BD =，故③错误；④对角线AC BD =，且AC BD ⊥时，中点四边形EFGH 是正方形，故④正确，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021春•阿拉尔期末）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是 正方形 ．【分析】由三角形中位线定理得//EH BD ，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =，则//EH FG ，EH FG =，得四边形EFGH 是平行四边形，再怎EH EF =，则平行四边形EFGH 是菱形，然后证90FEH ∠=︒，即可得出结论．【解析】如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EH ∴是ABD ∆的中位线，FG 是CBD ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =， //EH FG ∴，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EH EF ∴=，∴平行四边形EFGH 是菱形，又AC BD ⊥，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形，故答案为：正方形．12．（2021秋•寿光市期末）下列说法正确的是 A 、C ．A ．对角线相等的菱形是正方形B ．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C ．成轴对称的两个图形全等D ．有三个角相等的四边形是矩形【分析】利用正方形的判定方法、菱形的判定方法、矩形的判定方法及全等图形的定义分别判断后即可确定正确的答案．【解析】A 、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C 、成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D 、有四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意．故答案为：A 、C ．13．（2020春•西华县期末）如图所示，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，且AC BD ⊥，已知10AC =，8BD =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EG 41 ．【分析】易证四边形HEFG 是平行四边形，因为AC BD ⊥，所以HG EH ⊥，所以四边形HEFG 为矩形，进而由勾股定理得到22EG HE HG +．【解析】E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，152HG EF AC ∴===，142EH FG BD ===， E ，H ，是AB ，AD 中点，//HE BD ∴，12HE BD =， 同理//FG BD ，12FG BD =， ∴四边形HEFG 是平行四边形， AC BD ⊥，HG EH ∴⊥，∴四边形HEFG 为矩形，22224541EG HE HG ∴=+=+4114．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，依次连接AO ，BO ，CO ，DO 的中点E ，F ，G ，H ，得到四边形EFGH ，点M 是EF 的中点，连接OM ，若10AB =，则OM 的长为 2.5 ．【分析】根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据三角形中位线定理得到152EF AB ==，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解析】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， E 、F 分别为OA 、OB 的中点，152EF AB ∴==， 在Rt EOF ∆中，M 是EF 的中点，1 2.52OM EF ∴==， 故答案为：2.5．15．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD 中，AD BC =，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，四边形EHFG 是 菱形 ．【分析】由已知条件得出GF是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，由三角形中位线定理得出//GF EH，GF EH=，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE EH=，即可得出四边形EHFG是菱形．【解析】证明：点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，GF∴是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，//GF AD ∴，12GF AD=，12GE BC=，//EH AD，12EH AD=，//GF EH∴，GF EH=，∴四边形EGFH是平行四边形，又AD BC=，GE EH∴=，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足对角线垂直且相等条件时，四边形EFGH是正方形．【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，进而证明四边形EFGH为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可．【解析】点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，//EF BD ∴，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC BD=时，EF EH=，∴平行四边形EFGH为菱形，当AC BD⊥时，EF EH⊥，∴菱形EFGH为正方形，∴当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，故答案为：对角线垂直且相等．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是①②③．【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形解答．【解析】中点四边形都是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为：①②③．18．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD ，若M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ 是平行四边形；②四边形MNPQ 是矩形；③四边形MNPQ 是菱形； ④四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是 ①③ ．【分析】连接AC 、BD ，由三角形中位线定理得出//MN AC ，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =，则//MN PQ ，MN PQ =，MN MQ =，证出四边形MNPQ 是平行四边形，四边形MNPQ 是菱形；①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC 、BD ，如图：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，MN ∴是ABC ∆的中位线，PQ 是ACD ∆的中位线，MQ 是ABD ∆的中位线，//MN AC ∴，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =， //MN PQ ∴，MN PQ =，MN MQ =，∴四边形MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形；故①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形．故②④不正确； 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）①当AB 与CD 满足条件 AB CD = 时，四边形EGFH 是菱形；②当AB 与CD 满足条件 时，四边形EGFH 是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点，EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ， 同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）①F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ， 当AB CD =时，EG FG =，∴四边形EGFH 是菱形；②//HF AB ， HFC ABC ∴∠=∠，//FG CD ，GFB DCB ∴∠=∠，90ABC DCB∴∠+∠=︒，90HFC GFB∴∠+∠=︒，90GFH∴∠=︒，∴平行四边形EGFH是矩形，故答案为：①AB CD=；②AB CD⊥．20．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为BAC∠内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB 的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB AC=，AO平分BAC∠时，求证：四边形EFGH为矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理推知////EH AO FG，12EH FG AO==，则四边形EFGH是平行四边形．（2）根据平行线的性质和等腰AEF∆的性质推知：90HEF ADE∠=∠=︒，则四边形EFGH为矩形．【解析】证明：（1）EH是ABO∆的中位线，//EH AO ∴，12EH AO=．同理，FG是ACO∆的中位线，//FG OA ∴，12FG AO=．//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）设OA与EF的交点为D，AB AC=，E、F分别为AB，AC的中点，AE AF∴=．AO平分BAC∠，//EH AD，∴∠=∠=︒，HEF ADE90∴四边形EFGH为矩形．21．已知：如图，分别以BM、CM为边，向BMC∆形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点．（1）猜测四边形EFGH的形状；（2）证明你的猜想；（3）三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响？【分析】（1）由题意可猜测四边形EFGH是菱形；（2）首先连接AC，BD，易证得()∆≅∆，即可得AC BDAMC BMD SAS=，又由E、F、G、H分别为AB、===，即可得四边形EFGH是菱形；BC、CD、DA中点，则可证得EF FG GH EH（3）由（2）得：BMC∆形状的改变对上述结论没有影响．【解析】（1）解：四边形EFGH是菱形；（2）证明：连接AC，BD，∆和CDMABM∆是等边三角形，∴=，CM DMAM BM∠=∠=︒，=，60AMB CMD∴∠=∠，AMC BMD在AMC ∆和BMD ∆中，AM BM AMC BMD CM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMC BMD SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 中点，12EF GH AC ∴==，12EH FG BD ==， EF FG GH EH ∴===，∴四边形EFGH 是菱形；（3）解：BMC ∆形状的改变对上述结论没有影响．22．（2021春•东莞市期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接E 、F 、G 、H ．（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形；（2）在四边形ABCD 中，若再补充一个条件： AC BD ⊥ ，则四边形EFGH 是矩形；（3）连接EG 、FH ，求证：222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【分析】（1）由中位线定理证明：//HG AC ，12HG AC =，//EF AC ，12EF AC =，从而//HG EF ，HG EF =，即可证明四边形EFGH 是平行四边形；（2）若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，由//EF AC ，//FG BD ，即可得90GFE ∠=︒，故四边形EFGH 是矩形；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，Rt HPE ∆中，22222EH HP OE OP OE OP =++-⋅，Rt HPG ∆中，22222HG HP OG OP OG OP =++-⋅，由四边形EFGH 是平行四边形，可得12OE OG EG ==，12OH OF HF ==，故2222222222112222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP HF EG +=++-⋅+++-⋅=+，同理可得：22221122EF FG HF EG +=+，从而可证明222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【解析】（1）H 、G 是AD 、CD 的中点，HG ∴是ACD ∆的中位线，//HG AC ∴，12HG AC =，同理：//EF AC ，12EF AC =，//HG EF ∴，HG EF =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：补充的条件是：AC BD ⊥，证明如下：如图：若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，//EF AC ， 90OMF DOC ∴∠=∠=︒，FG 是BCD ∆的中位线，//FG BD ∴，18090GFE OMF ∴∠=︒-∠=︒，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：AC BD ⊥；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，如图：Rt HPE ∆中，22222222()2EH HP EP HP OE OP HP OE OP OE OP =+=+-=++-⋅， Rt HPG ∆中，22222222()2HG HP PG HP OG OP HP OG OP OG OP =+=++=++-⋅， 由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，12OE OG EG ∴==，12OH OF HF ==， 2222222222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP ∴+=++-⋅+++-⋅ 22222()HP OP OE OG =+++222112()()22OH EG EG =++ 22112()22HF EG =⨯+ 221122HF EG =+， 同理可得：22221122EF FG HF EG +=+， 222222EG FH EF FG GH HE ∴+=+++．23．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ．（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形（如图2)，判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）①设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，由于2222213()()2DB x y x x xy y =++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；【解析】四边形PQMN 为平行四边形；（1）连接AC 、BD ．PQ 为ABC ∆的中位线，//PQ AC ∴，12PQ AC =， 同理//MN AC ．12MN AC =． MN PQ ∴=，//MN PQ ，∴四边形PQMN 为平行四边形；（2）四边形PQMN 是菱形；理由如下：设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，2222213()()2DB x y x xy y ∴=++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++， 平行四边形PQMN 的对角线相等，∴平行四边形PQMN 是菱形；24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =，四边形EGFH 是怎样的四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）依据四边形ABCD 是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点， EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ， 同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）菱形．理由：F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ，又12EG AB =， ∴当AB CD =时，EG FG =，∴平行四边形EGFH 是z。
5.平行线等分线段定理及推论
平行线等分线段定理、中位线定理及推论1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC 求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC求证：AE=EF2、三角形的中位线定理三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点 求证：BC DE //，BC DE21=3、梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点 求证：////EF AD BC ，1()2EF AD BC =+. 4、和梯形中点有关的辅助线的作法：3、中点四边形（1）中点四边形的定义如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边的中点，则称四边形EFGH 叫做四边形ABCD 的中点四边形。
（2）结论：①任意四边形的中点四边形是： ②平行四边形的中点四边形是： ③矩形的中点四边形是： ④菱形的中点四边形是： ⑤正方形的中点四边形是： ⑥梯形的中点四边形是： ⑦等腰梯形的中点四边形是：总结：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。
规律：（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为矩形； （2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为菱形； （3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为正方形； 4、例题与练习（1）如图，在直角梯形ABCD 中，∠C=90°，AD ∥BC ，AD+BC=AB ，E 是CD 的中点，且AD=2，BC=8,求BE 的长度.（2） 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 是腰BC 的中点，MN ⊥AD 于N 。
专题20 中点四边形模型(学生版)-中考数学几何模型重点突破讲练
2
2
边形 EFGH 为平行四边形；（2）四边形 EFGH 的周长为 AC BD 。
又因为 EF、FG、GH、EH 分别是 BCA 、 CDB 、 DAC 、 ABD 的中位线，
相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
S BEF
1 4
SABC ，
S CGF
1 4 SCDB ， SDHG
1 4 SDAC
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
4．如图，在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四条边的中点，AB＝2，BC＝4，则四边形 EFGH 的面积
为（ ）
A．4
B．6
C．3
D．8
5．李优的窗帘厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，用于生产批形状如图所示的窗帘图案来
点缀窗帘，点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料
三、解答题 13．如图，四边形 ABCD 的四边中点分别为 E、F、G、H，顺次连接 E、F、G、H． （1）判断四边形 EFGH 形状，并说明理由； （2）若 AC＝BD，判断四边形 EFGH 形状，并说明理由．
14．四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新 四边形 EFGH 称为中点四边形．
（裁剪两种布料时，损耗不计）．若生产这批图案需要甲布料 50 匹，那么需要乙布料（ ）
A．150 匹
B．100 匹
C．50 匹
D．25 匹
6．已知：如图，在矩形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点．若
AB 2，AD 4 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
四边形常见模型(六大题型)(解析版)-初中数学
四边形常见模型目录题型01中点四边形模型 1题型02十字架模型 4题型03对角互补模型 8题型04半角模型 11题型05含60°的菱形模型 16题型06三垂线模型 20题型01中点四边形模型1.(23-24九年级上·山东枣庄·期中)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【详解】解：如图，设点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∵四边形EFGH是菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．2.(23-24九年级上·山西朔州·期中)如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和AD的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AC=10,BD =12，则四边形EFGH的面积等于()A.30B.35C.40D.60【答案】A【详解】解：∵点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，EF =12AC ，∵AC =10，∴EF =12AC =5，同理，可得：HG ∥AC ，HG =12AC =5，∴EF ∥HG ，EF =HG ，∵点E ，H 分别为边AB ，AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH =12BD =6，同理，可得：FG ∥BD ，FG =12BD =6，∴EH ∥FG ，EH =FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠FEH =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形，∴矩形EFGH 的面积为：6×5=30，即四边形EFGH 的面积为30．故选：A ．3.(23-24九年级上·山东东营·期中)如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则顺次连接四边形ADEC 各边中点，得到的四边形的形状一定是．【答案】菱形【详解】解：∵把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，∴CD =AE =AB ，∵顺次连接四边形ADEC 各边中点，∴H 、F 分别是DE 、AD 的中点，∴HF =12AE ．同理FM =12CD ,NH =12CD ,MN =12AE ，又∵DC =AE ，∴HN =HF =FM =MN ，∴四边形HFMN 是菱形．∴得到的四边形的形状一定是：菱形．故答案为：菱形．4.(23-24九年级上·河南信阳·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是菱形．【答案】(1)证明见解析(2)互相垂直(3)AC =BD【详解】(1)证明：如图，连接AC 、BD ，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF 、GH 分别为△ABC 、△ADC 的中位线，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，GH =12AC ，GH ∥AC ，∴EF =GH ，EF ∥GH ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)解：当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形，∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 是矩形，故答案为：互相垂直；(3)解：当AC =BD 时，四边形EFGH 是菱形，∵EF =12AC ，FG =12BD ，AC =BD ，∴EF =FG ，∴平行四边形EFGH 是菱形，故答案为：相等．5.(23-24九年级上·福建泉州·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH ，HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形？并说明理由．【答案】(1)见详解(2)AC ⊥BD ，见详解【详解】(1)解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,HG =12AC ,EF ∥AC ,EF =12AC ，∴HG ∥EF ,HG =EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)解：AC ⊥BD ，理由如下：连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,EH ∥BD ．∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥EH ，∴∠EHG =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形．故答案为：AC ⊥BD ．题型02十字架模型6.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE =8，折痕为PQ ，则PQ 的长为()A.15B.16C.17D.18【答案】C 【详解】解：过点P作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，又∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ =∠PQM ，则∠PQM =∠APQ =∠AED ，∠D =∠PMQ ，PM =AD∴△PQM ≌△ADE∴PQ =AE =82+152=17．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．7.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为．【答案】25【详解】解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于H ，则四边形ABGH 中，HG =AB ，由翻折变换的性质得GF ⊥AE ，∵∠AFG +∠DAE =90°，∠AED +∠DAE =90°，∴∠AFG =∠AED ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∴HG =AD ，在△ADE 和△GHF 中，∠GHF =∠D∠AFG =∠AED GH =AD，∴△ADE ≌△GHF (AAS )，∴GF =AE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =12CD =2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得，AE =AD 2+DE 2=42+22=25，∴GF 的长为25．故答案为：25．【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．8.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)如图，正方形纸片ABCD 的边长为24，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =10，则GE 的长为【答案】9813【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =24，∠BAD =∠D =90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，又∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，∴△ABF ≌△DAE (ASA )，∴AF =DE =10，在Rt △ABF 中，BF =AB 2+AF 2=242+102=26，S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，∴24×10=26AH ，∴AH =12013，∴AG =2AH =24013，∵AE =BF =26，∴GE =AE -AG =26-24013=9813，故答案为：9813．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．9.(23-24九年级上·陕西商洛·期中)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 相交于点G ，连接AG ，求证：(1)CE ⊥DF ．(2)∠AGE =∠CDF ．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴BE =12AB ，CF =12BC ，∴BE =CF ，在△CBE 与△DCF 中，BC =CD∠B =∠FCD BE =CF，∴△CBE ≌△DCF SAS ，∴∠ECB =∠FDC ，∵∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°，∴∠ECD +∠CDF =90°，∴∠CGD =90°，∴CE ⊥DF ．(2)延长CE ，交DA 的延长线于H ，∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AHE =∠BCE ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =BE ，∵∠AHE =∠BCE ，∠AEH =∠CEB ，AE =BE ，∴△AEH ≌△BEC AAS ，∴AH =BC ，∵在正方形ABCD 中，AD =BC ，∴AH =AD ，∵CE ⊥DF∴∠HGD =90°，∴AG 是Rt △HGD 斜边的中线，AG =12DH =AD ，∠ADG =∠AGD ，∠AGE +∠AGD =∠HGD =90°，∠CDF +∠ADG =∠CDA =90°，∠AGE=∠CDF．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等，综合性很强，解题的关键是能够综合运用上述知识．题型03对角互补模型10.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()A.7B.9C.16D.25【答案】C【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，AE2=AO2+OE2，在Rt△COE中，CE2=CO2+OE2，∴AE2-CE2=AO2-CO2，在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2，在Rt△COB中，CO2=BC2-OB2，∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，∴AE2-CE2=16，故选：C．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．11.(23-24·山东淄博·期中)如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是()A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2【答案】A【详解】设EF =x ，DF =y ，根据三角形重心的性质得AF =2y ，BF =2EF =2x ，利用勾股定理得到4x 2+4y 2=c 2，4x 2+y 2=14b 2，x 2+4y 2=14a 2，然后利用加减消元法消去x 、y 得到a 、b 、c 的关系．【解答】解：设EF =x ，DF =y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF =12AC =12b ，BD =12a ，∴AF =2DF =2y ，BF =2EF =2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB =∠AFE =∠BFD =90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2=c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2=14b 2，②在Rt △BFD 中，x 2+4y 2=14a 2，③②+③得5x 2+5y 2=14(a 2+b 2)，∴4x 2+4y 2=15(a 2+b 2)，④①-④得c 2-15(a 2+b 2)=0，即a 2+b 2=5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．12.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ．(1)若AB =5，OA =3，OC =4，则BC =；(2)若AD =2，BC =5，则AB 2+CD 2=；(3)若AB =m ，BC =n ，CD =c ，AD =d ，则m ，n ，c ，d 之间的数量关系是．【答案】427m 2+c 2=n 2+d 2【详解】(1)∵AC ⊥BD ，∴∠BOC =∠COD =∠DOA =∠AOB =90°，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴CB =OB 2+OC 2=42+42=42．故答案为42．(2)由(1)得：∴OB 2+OC 2=BC 2，OA 2+OD 2=AD 2，OB 2+OA 2=AB 2，OC 2+OD 2=CD 2，∴AB 2+CD 2=OB 2+OA 2+OC 2+OD 2=BC 2+AD 2，∵AD =2，BC =5，∴AB 2+CD 2=2 2+5 2=7．故答案为7．(3)由(2)得：AB 2+CD 2=BC 2+AD 2，∴m 2+c 2=n 2+d 2．故答案为m 2+c 2=n 2+d 2．【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．13.(23-24九年级上·安徽芜湖·期中)如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是(填序号)．(2)【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形ABCD 中，若AC ⊥BD ，则AB 2+CD 2=AD 2+BC 2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．(3)【问题解决】如图乙，在△ABC 中，BC =3，AC =4，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接AE ，BD ，有AE ⊥BD ，求AB ．【答案】(1)②④；(2)猜想正确，理由见解析；(3)AB =5【详解】解：(1)∵菱形、正方形的对角线相互垂直，∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义，故答案为：②④；(2)猜想正确，理由如下：∵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOB =∠COD =∠BOC =∠AOD =90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，CD 2=OC 2+OD 2，BC 2=OB 2+OC 2，AD 2=OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，BC 2+AD 2=OB 2+OC 2+OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=AD 2+BC 2；(3)∵BC =3，AC =4，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴AD =12AC =2，BE =12BC =32，DE =12AB ，∵AE ⊥BD ，∴AB 2+ED 2=AD 2+BE 2，∴5 4AB2=4+94，∴AB=5．14.(23-24九年级上·福建福州·期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是；(只填序号)(2)如图，垂美四边形ABCD的对角线交于点O,AB=2,BC=3,AD=4，求CD的长度．【答案】(1)③④(2)21【详解】(1)解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形，故答案为：③④；(2)∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，BC2=BO2+CO2，DC2=DO2+CO2，AD2=AO2+DO2，∴AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2，BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2，∴AB2+DC2=BC2+AD2；∵AB=2,BC=3,AD=4∴CD2=32+42-22=9+16-4=21∴CD=21．题型04半角模型15.(23-24九年级上·四川眉山·期中)(半角模型)如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF=45°．求证：AE+CF=EF．【答案】见解析【详解】证明：如图，在BC的延长线上截取CG=AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCG=90°，∴△ADE≌△CDG SAS，∴DE=DG，∠ADE=∠CDG．∵∠EDF=45°，则∠ADE+∠CDF=∠ADC-∠EDF=45°∴∠FDG=∠CDF+∠CDG=45°．∴∠EDF=∠FDG．在△DEF 和△DGF 中DE =DG∠EDF =∠FDG DF =DF，∴△DEF ≌△DGF SAS ∴EF =GF ．即EF =GC +CF∴AE +CF =EF ．16.(23-24九年级上·广西南宁·期中)【探索发现】如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且∠MAN =45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ，连接AM 、AN 、MN．(1)试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，∠MAN =45°，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)MN =DM +BN ．证明见解析(2)MN =BN -DM ．证明见解析【详解】(1)解：MN =DM +BN ．证明如下：由旋转，可知：AE =AM ，BE =DM ，∠EAM =90°．∠ABE =∠D =90°∴点E 、B 、C 共线∵∠MAN =45°∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN在△EAN 和△MAN 中AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN (SAS )∴EN =MN∵EN =BE +BN∴MN =DM +BN (2)解：MN =BN -DM ．证明如下：在BC 上取BE =MD ．连接AE ，∵AB =AD ，∠B =∠ADM ，∠EAM =90°∴△ABE ≌△ADM (SAS )∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD∵∠MAN =45°∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MAN(SAS)∴EN=MN∵EN=BN-BE∴MN=BN-DM【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键．17.(23-24九年级上·广东汕尾·期中)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．(1)求证：△EAG≅△EAF；(2)若DF=3，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE=2【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°；由旋转的性质可知：∠GAB=∠DAF，AG=AF，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△EAG和△EAF中，AF=AG∠GAE=∠EAF AE=AE，∴△EAG≅△EAF SAS．(2)解：∵DF=3，CD=6，∴CF=3，由(1)可知：GE=EF，BG=DF，∴CG=9，∴CE+EF=9，在Rt△EFC中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即CE2+32=9-CE2，解得：CE=4，∴BE=BC-CE=6-4=2．18.(23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)【问题情境】神奇的半角模型在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，为了探究EF、BE、DF之间的数量关系，小明的思路如下：如图2，延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，先证明△ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE．从而得到EF、BE、DF之间的数量关系．(1)提出问题：EF、BE、DF之间的数量关系为．(2)知识应用：如图3，AB=AD，∠B=∠D=90°，以A为顶点的∠BAD=120°，∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)知识拓展：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=b，CD=c．∠ABC与∠D互补，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，且∠EAF=1∠BAD，请直接写出△EFC的周长=．(用2含a、b、c的式子表示．)【答案】(1)EF=DF+BE(2)(1)中的结论还成立，证明见解析(3)b+c【详解】(1)解：延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABH=∠BAD=90°，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH,AH=AF，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=45°，∴∠EAH=∠EAF，∵AE=AE，∴△AHE≌△AFE，∴EF=EH，∵EH=BE+BH，∴EF=DF+BE；故答案为：EF=DF+BE(2)解：(1)中的结论还成立，证明如下：延长CB到点M，使BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，∴∠ABM=∠D=90°，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABM，∴∠DAF=∠BAM,AM=AF，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=60°，∴∠EAM=∠EAF，∵AE=AE，∴△AME≌△AFE，∴EF=EM，∵EM=BE+BM，∴EF=DF+BE；(3)解：如图，延长CB到点P，使BP=DF，连接AP，∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABP=180°，∴∠D=∠ABP，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABP，∴∠DAF=∠BAP,AP=AF，∵∠EAF=1∠BAD，2∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=12∴∠EAP=∠EAF，∵AE=AE，∴△APE≌△AFE，∴EF=EP，∵EP=BE+BP，∴EF=DF+BE，∵BC=b，CD=c，∴△EFC的周长=EF+CE+CF=DF+BE+CE+CF=BC+CD=b+c．故答案为：b+c题型05含60°的菱形模型19.(2024·上海·期中)菱形ABCD的边长为23，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，那么△AEF周长为【答案】9【详解】解：过点A作AM⊥EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC=CD=23，∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，∵AE ⊥BC ，∴BE =CE =12BC =232=3，∠BAE =∠DAF =30°，再Rt △AEB 中，AE =AB 2-BE 2=3，同理可证，∠DAF =∠CAF =30°，AF =3，∴∠EAF =120°-30°-30°=60°，AE =AF =3，∴△AEF 是等边三角形，边长为3∴△AEF 的周长是9．20.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试)如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为．【答案】192【详解】解：如图，取H 为BE 的中点，∵菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，∴AB =BC =CD =4，AB ∥CD ，∠BAD =∠BCE =60°，∵F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，∴EH =12BE ，FH 是△ABE 的中位线，∴FH =12AB =2，AB ∥FH ，∴AB ∥FH ∥CD ，∵BE ⊥AB ，∴FH ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠FHE =∠BEC =90°，∴∠CBE =90°-60°=30°，∴CE =12BC =2，∴BE =BC 2-CE2=42-22=23，∴EH =12BE =3，∴FH =CE ，在△FHG 和△CEG 中，∠FHG =∠CEG∠FGH =∠CGE FH =CE，∴△FHG ≌△CEG (AAS )，∴EG =GH =12EH =32，在Rt △FHG 中，由勾股定理得：GF =FH 2+GH 2=22+32 2=192，故答案为：192．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21.(23-24九年级上·上海·期中)如图，菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，AE =1，点P 为对角线AC上的一个动点，则PE +PB 的最小值为．【答案】7【详解】解：如图，连接BD ，PD ，过D 作DR ⊥AB 于R ，由菱形的对称性可得：PD =PB ，∴PB +PE =PD +PE ≥DE ，当D ,P ,E 三点共线时，PD +PE 最短，∵菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，∴AB =AD =3，△ABD 为等边三角形，∴AR =BR =32，DR =AD 2-AR 2=323，∵AE =1，∴ER =32-1=12，∴DE =12 2+323 2=7，∴PB +PE 的最小值为：7；故答案为：7【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．22.(23-24九年级上·广西钦州·期中)如图，已知菱形ABCD 的边长为8，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ADC =120°，则MA +MB +MD 的最小值是．【答案】83【详解】解：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=DC=BC，∠DAB，∠MAE=12∴∠DAB+∠ADC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°，∴∠MAE=1∠DAB=30°，2△DAB是等边三角形，∵ME⊥AB，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2ME+DM，∴当D、M、E三点共线时，ME+DM取得最小值，此时ME+DM=DE，∴MA+MB+MD的最小值为2DE，AB=4，∴AE=12∴DE=AD2-AE2=82-42=43，∴2ME+DM=2DE=83，∴MA+MB+MD的最小值为83；故答案：83．23.(23-24九年级上·四川绵阳·开学考试)如图，△ABC中，∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，若CE∥AB，DE∥BC，且DE交AC于点O，连接AE．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B=60°，BC=6，则四边形ADCE的面积=．【答案】(1)证明见解析(2)183【详解】(1)证明：∵CE∥AB，DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE∥BD，且EC=BD．∵D是斜边AB的中点，∴AD=BD，∴EC=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：∵∠BCA=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴AC=AB2-BC2=122-62=63，由(1)知，四边形ADCE是菱形，四边形DBCE是平行四边形，∴AC⊥DE，DE=BC=6，∴菱形ADCE的面积=12AC×DE=12×63×6=183，故答案为：183【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．24.(23-24九年级上·浙江杭州·开学考试)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【答案】(1)见解析(2)菱形的面积为83【详解】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，作EG⊥BC于G，∴∠BEG=30∘,∠BGE=90∘，∴BG=12BE=2,∴EG=23，即高为23，∴菱形的面积为4×23=8 3.题型06三垂线模型25.(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG，连接AF，BD交于点P，连接BG，过点F作FH⎳BG交BC于点H，连接AH，交BD于点K，下列结论中错误的是()A.HE=CDB.△AHF是等腰直角三角形C.点P为AF中点D.PK=BK+DP【答案】D【详解】解：A．∵四边形CEFG是正方形，∴GF∥CE，GF=CE，∵BG∥HF，∴四边形BHFG为平行四边形，∴GF=BH，∴BH=CE，∴BC=HE，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD．∴HE=CD，故A正确；B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，∵BC=HE，BH=CE，∴AB=HE，BH=EF，∴△ABH≌△HEF(SAS)，∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，∵∠BAH+∠AHB=90°，∴∠EHF+∠AHB=90°，∴∠AHF=90°，∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确；C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠HBD=1∠ABC，2∴∠HBM=45°，∴BH=MH，∵△ABH≌△HEF，∴BH=EF，∴MH=EF，∴四边形EFMH为矩形，∴MF∥BE∥AD，MF=HE，∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，∵AD=BC=HE，∴AD=MF，∴△P AD≌△PFM(ASA)，∴AP=FP，故C正确；D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°，∵△AHF是等腰直角三角形，∴∠HAF=45°，∴∠QAK=∠P AK=45°，∵AK=AK，∴△AQK≌△APK(SAS)，∴QK=PK，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，∴∠QBK=90°，∴BK2+BQ2=QK2，∴BK2+DP2=KP2，故D错误；故选：D．【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形．26.(23-24九年级上·广西贵港·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为()A.13B.15C.17D.20【答案】C【详解】∵四边形ABDE是正方形，∴∠BAE=90°，AE=AB，∵EF ⊥CA ，∴∠F =90°，∴∠EAF +∠AEF =90°，∵∠EAF +∠BAC =180°-∠BAE =90°，∴∠AEF =∠BAC ，在ΔAEF 和ΔBAC 中，∠F =∠ACB =90°∠AEF =∠BAC AE =AB，∴ΔAEF ≌ΔBAC AAS ，∴EF =AC =8，AF =BC =7，在Rt ΔECF 中，EF =8，FC =FA +AC =8+7=15，根据勾股定理得：CE =82+152=17，故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．27.(23-24九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE =CF ，则四边形EBFD 的面积为：．【答案】9【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =DC ，∠A =∠DCF =90°，∵AE =CF，∴△DAE ≅△DCF SAS ，∴四边形EBFD 的面积=正方形ABCD 的面积=32=9．故答案是9．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键．28.(23-24九年级上·陕西西安·期中)已知：点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 得到四边形EFGH ．有下列说法：①四边形EFGH 是平行四边形；②当四边形ABCD 为平行四边形时，四边形EFGH 是菱形；③当四边形ABCD 为矩形时，四边形EFGH 是菱形；④当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；⑤若四边形EFGH 是正方形，则四边形ABCD 一定是正方形．其中正确的是()A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤【答案】A 【详解】解：如图所示，连接BD 、AC ，∵E 、H 分别为AD ，CD 中点，∴EH =12AC ，同理，FG =12AC ，EF =12BD ，HG =12BD ，∴EH =FG ，EF =HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；当四边形ABCD 是矩形时，则AC =BD ，∴EH =EF ，∴平行四边形EFGH 是菱形，而当四边形ABCD 是平行四边形时，不能得出EH =EF ，故②错误，③正确；当AC ⊥BD 时，∵E 、F 、H 分别为AD 、AB 、CD 中点，∴EF ∥BD ，EH ∥AC ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，故④正确；∵EF =GH =12BD ，EH =FG =12AC ，四边形EFGH 是正方形，∴EF =GH =EH =FG ，EF ⊥EH ，∴BD =AC ，BD ⊥AC ，不能说明四边形ABCD 是正方形，故⑤错误；故选A ．29.(23-24九年级上·山东泰安·期中)如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为()A.23cmB.33cmC.43cmD.3cm【答案】B【详解】解：连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =AD =BC =CD =2cm ，∠B =∠D ，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴BE =12BC =1,DF =12CD =1，∴BE =DF =1，在△ABE 和△ADF 中，AB =AD∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF (SAS )，∴AE =AF ,∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠D =60°，∴△ABC 与△ACD 是等边三角形，∴AE ⊥BC ，∴∠BAE =∠DAF =90°-60°=30°，AE =AB 2-BE 2=3，∵∠BAD =180°-∠B =120°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE -∠DAF =120°-30°-30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长是33cm ．故选B ．30.(23-24九年级上·江苏无锡·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，点E 是边AD 的中点，将△DCE沿着CE 翻折，得到△D CE ，延长BD 交CE 的延长线于点H ，则EH =．【答案】255【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB =4，∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°,AB =BC =CD =AD =4，∵点E 是边AD 的中点，∴DE =AE =12AD =2，在Rt △CDE 中，CE =DE 2+CD 2=22+42=25，∵将△DCE 沿着CE 翻折，得到△D CE ，∴∠DCE =∠D CE =12∠DCD ，∠D =∠CD E =90°，CD =CD =4，DE =D E =2，∴CD =BC ，如图，过点D ′作D F ⊥CH 于点F ，过点C 作CG ⊥BH 于点G ，则∠D CG =∠BCG =12∠BCD ，∴∠HCG =∠D CE +∠D CG =12∠DCD +12∠BCD =12(∠DCD +∠BCD )=12∠BCD =45°，∴∠H =45°，∴△D FH 为等腰直角三角形，HF =D F ，∵S ΔDCE =12D E ×CD =12CE ×D F ，∴D F =D E ×CD CE =2×425=455,∴HF =D F =455，在Rt △D EF 中，EF =D E 2-D F 2=22-455 2=255，∴EH =HF -EF =255，故答案为：255．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到∠H =45°是解题关键．31.(23-24九年级上·山西太原·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E 是BC 边上一点，且CE =2BE ，连接AE ，点F 是AB 边上一点，过点F 作FG ⊥AE 交CD 于点G ，连接EF ，EG ，AG ，则四边形AFEG 的面积为．【答案】5【详解】解：如图，过F 点作FH ⊥CD 于H ，∴∠FHG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AB =3，∠B =∠C =90°，∴四边形BCHF 是矩形，∴FH =BC =AB =3，∠BFH =90°，∴∠GFH +∠AFG =90°，∵AE ⊥FG ，∴∠AFG +∠EBA =90°，∴∠EAB =∠GFH ，在△ABE 和△FHG 中，∠B =∠FHGAB =FH ∠BAE =∠HFG，∴△ABE ≌△FHG (ASA )∴AE =FG ，∵CE =2BE ，∴BE =13BC =1，∴AE =AB 2+BE 2=32+12=10，∴FG =10，∴S 四边形AFEG =12AE ⋅FG =12×10×10=5；故答案：5．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键．32.(23-24九年级上·山西吕梁·期中)如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形各边中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH 的面积等于cm 2．【答案】8【详解】解：连接AC ，BD ，∵点E 、F 、G 、H 是正方形各边的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，FG 是△ABC 的中位线，GH 是△BCD 的中位线，EH 是△ADC 的中位线，∴EF =GH =12BD ，FG =EH =12AC ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，又∵AC =BD ，∴EF =FG =GH =EH ，∴四边形EFGH 是菱形，又∵AC ⊥BD ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是正方形∵正方形ABCD 的周长为16cm ，，∴AB =BC =CD =AD =4，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD =42，，∴EF =12BD =22∴四边形EFGH 的面积=22 2=8cm 2．故答案为：8．33.(23-24九年级上·山东东营·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，∠AOC =60°，则点B 的坐标为．【详解】解：如图，连接AC交BO于点D，∴OC=OA=2,OD=DB，AC⊥BD，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，AC=1，∴AD=12∴OD=OA2-AD2=3，∴OB=2OD=23，∵点B在y轴上，∴点B的坐标为0,23．故答案为：0,23．34.(23-24九年级上·湖北咸宁·期中)在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND(如图①)，求证：△APM≌△ANM；(2)求证：MN2=BM2+DN2；(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，(如图②)，请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)MN2=2BM2+2DN2．理由见解析【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°．∴∠BAM+∠NAD=45°，∵△APB≌△AND，∴P A=NA，∠P AB=∠NAD，∴∠P AB+∠BAM=45°，∴∠P AM=∠NAM=45°，在△APM和△ANM中，P A=NA∠P AM=∠NAMAM=AM，∴△APM≌△ANM(SAS)；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∵△APB≌△AND，∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°，∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，∴PM2=BM2+PB2，∵△APM≌△ANM，∴PM=MN，∴MN2=BM2+DN2；(3)解：MN2=2BM2+2DN2．理由如下：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△AB M ．如图：过点M 作M F⊥CD于F，连接M N，同(1)可证△AMN≌△AM N，∴M N=MN．∵∠C=90°，∠CMN=45°，∴CM=CN．设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，∴M F=AD-AB =AD-AB=a+c-(b+c)=a-b，NF=DN+DF=DN+B M =DN+BM=b+a．在Rt△M FN中，M N2=M F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a2+2b2，∴MN2=2BM2+2DN2．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用SAS即可证明△APM≌△ANM；(2)证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；(3)通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2．35.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE=DF，AB=BE，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=DF=3，∠ABE=60°，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)4【详解】(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC,AD=BC，∵CE=DF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD,AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为22，∴AB+BC=11，∴AB+BE+EC=11，∵AB=BE,CE=3，∴AB=BE=4，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=4．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．。
中点四边形
中点四边形长沙市第七中学黄曙一、基本说明1教学内容所属模块：八年级(下)2年级：初二3所用教材出版单位：人民教育出版社4所属的章节：第十九章第四节第3课时(课题学习)5学时数：45 分钟二、教学设计1、教学目标：（1）进一步复习和巩固特殊四边形的性质与判定。
（2）理解和熟悉中点四边形与原四边形之间的联系（3）掌握由特殊到一般的数学证明方法（4）通过对中点四边形的探讨，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
2、内容分析：教学重点：复习和巩固特殊四边形的性质与判定。
教学难点：特殊四边形之间的区别与联系3、学情分析：学生在学习了四边形一章的内容后，已掌握了一些特殊四边形的性质与判定的推理与证明的方法，但如何灵活运用所学知识,如何正确的联想到要用的知识点来解决问题,一直是本章学习的难点。
本节课以探讨中点四边形的形状和性质入手,通过图形大量的变化让学生学会观察与分析，抓住实质性的东西,从而使学生加深对特殊四边形的性质与判定的理解和掌握。
4、设计思路：根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用多媒体教学,主要借助《几何画板》及幻灯片展示相关图形的变化,让学生在“变化”中感知“不变”,从而获取相关知识,培养学生的观察分析能力。
教学流程为：知识回顾与思考→初步感知→类比推广→逆向思维→拓展深化→归纳总结。
三、教学过程四、教学反思1、由于学生基础较好,虽然内容多,但学生都跟得上,尤其是动态演示过程中学生兴趣很浓,在类比推广和逆向思维阶段参与积极.2. 拓展深化阶段学生先感到疑惑,但随着分析的深入学生豁然开朗,课堂气氛非常活跃.学生思考问题也细致,课后给出了另一些结论.如:①当原四边形为凹四边形时，利用《几何画板》演示仍然发现相应的中点四边形为平行四边形。
(如图1所示)②当四边形转化为图2所示的形状时,只要AB=CD,中点四边形就一定是菱形.③对于直角三角形如图3所示当点B,D,F为各边中点时,所得小矩形的面积也等于该直角三角形面积的一半.图(1) 图(3)附：中点四边形课件(两个课件采用链接交替使用,使用前安装《几何画板》)。
专题01 中点四边形模型(全国通用)(原卷版)
专题01 中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【典例2】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【典例3】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2023春•福山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和3．（2023春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（）A．8B．6C．4D．34．（2023春•费县期末）顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．对角线相等的四边形C．菱形D．对角线互相垂直的四边形5．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．对角线相等6．（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（）A．互相平分．B．互相平分且相等C．互相垂直．D．互相平分且垂直7．（2023春•达州期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．138．（2023•浦东新区二模）顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形9．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．10．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定11．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD12．（2022春•惠城区校级期中）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形13．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等的四边形14．（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．48B．24C．32D．1215．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，则AO的长为．16．（2022春•皇姑区期末）在四边形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为cm．17．（2023秋•丹东期末）【问题初探】数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质．首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．接下来张老师提出问题：如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是什么形状？中点四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程．班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形EFGH是平行四边形，且中点四边形EFGH的面积是原四边形ABCD面积的一半．证明如下：证明：如图2，连接AC，BD∵点H，G分别为AD，CD的中点∴HG是△ADC的中位线，根据三角形中位线定理可得：HG与AC的位置关系为，数量关系为．同理可得：EF∥AC，∴HG∥EF，HG＝EF∴四边形EFGH是平行四边形根据线段HG，AC的关系，进而可得△DHG∽△DAC，且＝同理∴（1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整．【类比探究】（2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形EFGH的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空）①当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为菱形？②当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为矩形？③中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有怎样的数量关系，并说明理由．【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD内部有一点O，连接OA，OB，OC，OD，点H，G分别是AD，BC的中点，连接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的长．18．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．19.（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．。
中点四边形教案
《探究中点四边形形状》教案教学目标：１.知识与技能：(1)了解中点四边形的概念；(2)利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形,理解特殊的平行四边形的中点四边形的特征；(3)理解中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。
２. 过程与方法：(1)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形的过程熟练运用三角形中位线定理；(2)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形的中点四边形的特征；３.情感态度与价值观：(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识。
教学重点：１、任意四边形的中点四边形形状的判定和证明；２、特殊平行四边形的中点四边形形状的判定和证明。
教学难点：影响中点四边形形状的主要因素的分析和概括。
教学过程：一、复习旧知，情境引入１、回顾三角形中位线性质定理。
２、问题１：出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？（学生思考、讨论、分析，想出解决办法）师：你能证明吗？生：已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。
求证：四边形EFGH为平行四边形。
（学生可连接AC,也可连接AC、BD）二、探索活动１、中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。
２、结合引例得出结论：任意一个四边形的中点四边形，都为平行四边形。
问题2：观察这个图形，平行四边形EFGH各边与什么有关？各个内角又与什么有关？在问题2的基础上，完成下列三个探究。
探究1：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是矩形？探究2：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是菱形形？探究3：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是正方形形？学生四人小组合作探究并得出结论：（1）中点四边形的形状与原四边形的有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形；（４）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是。
四边形各边中点的连线知识讲解
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
九年级数学(上)第三章 证明(三)
回顾与思考
特殊四边形的性质
驶向胜利的彼岸
平行四边形
矩形
对边平行
边
且相等
对边平行 且相等
菱形
对边平行 四边相等
正方形
对边平行 四边相等
对角相等 四个角都是 对角相等 四个角都是
角 邻角互补
90°
邻角互补
90°
对 角 线
互相平分
互相平分 且相等
互相平分 互相平分 且垂直 垂直且相等
A1
D2
D1
D3
C3
四边形1A42B2C2D2的周长 B 是_____。
A2
D
C2
四边1形0A3B3C3D3的周长 是_____。
A3
B1
B3
B2
C1
7
C
独立
作业
知识的升华2013年 驶向胜利
中考数学试题
的彼岸
如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD， 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形
A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得 到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ） ①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形； a b ③四边形A5B5C5D5的周长是 4 ④四边形AnBnCnDn的面积是 a b
正方形、等腰梯形的各边中点顺次连接得到什
么形状的四边形。
动,不如
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
初中数学知识点：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
初中数学知识点：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到
的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
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(完整版)中点四边形的知识点
中点四边形的知识点
任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，则四边形EFGH称为中点四边形。
结论1：任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形
结论2：如果该四边形对角线互相垂直（可得出有一角为
90度），则中点四边形为矩形，如菱形的中点四边形是矩形。
结论3：如果该四边形对角线互相相等（可得出有一组邻边相等），则中点四边形为菱形，如矩形的中点四边形是菱形。
结论4：如果该四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形，如正方形的中点四边形是正方形。
所以：中点四边形只与原四边形的对角线的位置和长度有
关而与原四边形的形状无关。
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中点四边形
例： 如图，E、F、G、H分别为四边
形ABCD的四边的中点，顺次连接EF、 FG、GH、HE得到四边形EFGH，我们把 这种顺次连结四边形各边中点所得到
的新四边形称为中点四边形。
中点四边形
例1 思求考证：顺次连结四边形四条边 的中点，所得的四边形是什平么行四边形.
AH D
E G
B
F
C
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的 中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
中点四边形
（1）当四边形ABCD变为平行四边形 时，中点四边形EFGH是什么图形？
→
→
几何画板演示
（EFGH为平行四边形）
中点四边形
（2）当四边形ABCD变为菱形时，中 点四边形EFGH是什么图形？
矩 形
（正方形）
）
归纳
中点四边形
实际上，“中点四边形”一定是平行四
边形，它是不是特殊的平行四边形取决于它
的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互
相平分无关.
原四边形两对角线的数量关系决定了中点
四边形原的四边边形，两位条置对关角系线 决定了中中点点四边四形边形的角。
（1）若对互角相线垂相直等，则中点四边矩形形为菱形；
我思 我进步☞
中点四边形
根据上面几题的结论，你能找出什么 规律？中点四边形的形状由什么决定？
原四边形 对角线特征 中点四边形形状
任意四边形
平行四边形
矩形
相等
菱形
垂直
正方形
相等且垂直
平行四边形
平行四边形 菱形 矩形 正方形
随堂练习
中点四边形
• 判定下列各图形中，中点四边形 的形状？
（ 菱 形 ）
（
作业
中点四边形
1、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，中 点四边形MNPQ，判断下列说法是否正确？
（1）若四边形MNPQ为矩形，则原四边形 ABCD是菱形。
（2）若四边形MNPQ为菱形，则AC=BD。
（3）若AC⊥BD，则四边形MNPQ为矩形。
（4）若四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90度。
中点四边形
2、已知：如图，分别以BM、CM为边，向△ BMC 形 外 做 等 边 三 角 形 ABM、CDM，E、F、G、 H分别为AB、BC、CD、DA中点。
（1)猜测四边形EFGH的形状，
（2)并证明你的猜想；
H
D
(3) △ BMC形状的改变是 A
G
M
否对上述结论有影响。 E
B
F
C
中点四边形
中点四边形
ADBiblioteka BC中点四边形
知 识
草坪问题：我们学校有
的
一块不规则四边形的草
升
坪，在每边的中点处各
华
有一棵玉兰树。现因草
坪四周施工，需要在不
移动玉兰树的情况下把
这块草坪的面积减小一
半，试问这个方案是否
可以实现？请说明理由。
中点四边形
几种特殊图形之间的关系
做一做
中点四边形
将一块不规则的四边形 纸板剪成平行四边形， 让你剪你打算怎样剪呢？
→
→
几何画板演示
（EFGH是矩形）
中点四边形
（3）当四边形ABCD变为矩形时，中
点四边形EFGH是什么图形？
→
→
A
H
D
E
G
几何画板演示
B
F
C
（EFGH是菱形）
中点四边形
（4）当四边形ABCD变为正方形时，
→ 中点四边形EFGH是什么图形？
→
几何画板演示
（EFGH是正方形）
巩固练习
中点四边形
1、顺次连接四边形各边中点得到的是
OC，并把AB、OB 、 OC、CA的中点D、E、F、
G顺次连结起来，设DEFG能够成四边形。
（1）如图，当点O在△ABC内
时，求证：四边形DEFG是平
行四边形；
（2）当点O移到△ABC外时， 上小题的结论是否仍成立？
（3）若四边形DEFG为矩形， 则点O所在位置应满足什么条 件，试说明理由。
（动画演示）
D
四边形A11B11C11D11是 矩__形__ ；
(2)四边形AnBnCnDn是什 么形状呢？
C
点知识四边
的
积升华有什么关
还记得一个
中点四边形
原四边形与中 形两者的面
系？你可能
恰为其中
三角形的面积
点三角形面积的四倍，那么这里是否也
中点四边形
应用：如图，矩形ABCD的长为4，宽为3， 连续取三次中点后的最小四边形的面积 为多少？
挑战 自我
四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD， 顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形 A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得 到四边形A2B2C2D2,依次类推，得到四边AnBnCnDn。
A
A1
D3
B A2
D2
D1
C3
C2
A3
B1
B3
B2
C1
(1)四边形A1B1C1D1是 矩__形_ ，四边形A2B2C2D2 是菱__形_ ，
相等
菱形
（2）若互对相角垂线直且垂相直等，则中点四边正形方为形矩形；
（3）既若不互对相角垂线直相也等不相且等垂直，平则行中四点边四形边形为 正方形。
应用练习
中点四边形
应 用 1 、 如 图 ， 四 边 形 ABCD， 对 角 线 AC=BD，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边 的四等分点，则四边形EFGH是_______.
D
H
A
G
E
C
F
B
中点四边形
应用2：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M是AD 中点，N是BC中点，E是CD中点，F是AB中点。 试说明:（1） 若EF=MN，则BD⊥AC；
（2） 若AC=BD，则EF⊥ MN；
（3） 若AC⊥BD，则EF=MN。
DE
M
A
F
C N B
提高练习
中点四边形
点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、
中点四边形
2、顺次连接矩形各边中点得到的是
中点四边形
3、顺次连接菱形各边中点得到的是
中点四边形
4、顺次连接四边形各边中点得到正方形， 那么这个四边形是
中点四边形
5、顺次连接对角线互相平分的四边形各 边中点得到的是
中点四边形
6、顺次连接对角线互相垂直的四边形各 边中点得到的是
中点四边形
7、顺次连接对角线相等的四边形各边中 点得到的是
中点四边形
三角形的中位线
• 如图，E、F为△ABC中AB、AC的中 点，则EF与BC有怎样的关系？
A
E
F
结论：EF∥BC， 2EF = BC
B
C
中点四边形
回顾学过的中点三角形，并指 出被分成的小三角形与原三角形面 积的关系。
学习目标
• 1.知道什么是中点四边形； • 2.能判断常见四边形的中点四边