简支梁固有频率及振型函数

梁的基础知识

0
l
解出响应
y( x, t )

j 1

j ( x)q j (t )
欧拉梁铁木辛柯梁
考虑剪切变形时，截面法线与梁轴线之间有一夹角忽略剪切变形时，微段为虚线所示，截面法线与梁轴线的切线重合。
y x
kQ AG 1 y Q ( ) AG k x y Q k ( ) AG x
将方程的解写作振型函数的线性组合：
y( x, t )

j 1

j ( x)q j (t )
将之代入动力学方程可得：
( x)
l j 1
l

j ( x)q j (t )

[EI ( x) ( x)]q
j j 1
l

j (t )
f ( x, t )
将上式各项与φi(x)相乘后沿梁的全长积分：
（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：

l
0
j ( x)[ EI ( x)i( x)]dx EI ( x) ( x)i( x)dx 0 (i j) j
0
l
正则化

l
0
EI ( x) i ( x) j ( x)dx i2 ij
(i, j 1 , 2 , )
梁的基础知识
为什么研究梁？联系与区别
离散系统（有限自由度）——三要素（质量、弹簧、阻尼）——常微分方程连续系统（无限自由度）——弹性体原件（杆、梁、轴、板等）——偏微分方程

常微分方程（个数与自由度数相同、自变量是t）

偏微分方程（自变量有时间t、位置x）
研究梁的什么？

钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算

本文通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分
∑ （ｃｗｔ曰ｓｔｆｍ）Ａｏｍ＋ｎｙ（ｍｓｉ）ｏ
申函，数‘ 日无而定振特，寸关确的型性间方，基组，理的础推了动力试筋，土固为，各振可得：应频，ｙ，：ｃ曰ｙ程在于合论基上导完钢验凝梁有（求（型对的率取（）（ｏｓ）梁整混实了相关）告４Ａｓｉ ∞ ｎ频率的计算公式通过对实际简支梁进行证代入式）
・
５・２
第３７卷第２８期２０１１年１０月
山西建筑
ＳＨＡＮＸＩＡＲＣＩＨｒＥＣＩ＇ＵＲＥ
Ｖ０＿７Ｎ．８ｌ３ｏ２Ｏｃ．２１ｔ０１
文章编号：０９６２（０）８０５ —２１０ — ８５２１２ —０２０１，Fra bibliotek，，
由于（和（在任何截面都相等则式（）四阶常系））６为距无限小的ｄｘ两横向截面截取一微段，ｙ，）（ｆ，ｘ数齐次线性微分方程求出其通解后根据边界条件得出积分常数设（ｆ，，）Ｍ（，ｔ和Ｑ（，））ｘｔ分别表示梁的截面处在ｔ时刻的挠度、角、转弯矩和的关系从而可求出固有频率 ∞。
剪力。它们必须满足以下微分关系：：
ｒ
：）ｌ，，（ｔＥ
：（ｔ），
令 √
，由（可出通为则式６求其解：）
｛－）－Ｑ，＿（ｐＡ

简支梁桥有载频率分析

收稿日期:2003211225作者简介:唐贺强(1978-),男,硕士研究生. 文章编号:025822724(2004)0520628205简支梁桥有载频率分析唐贺强,沈锐利(西南交通大学土木工程学院,四川成都610031)摘　要:根据桥梁固有频率的定义求解桥梁振动微分方程,给出了列车荷载作用下简支梁桥有载频率的解析表达式.研究表明,桥梁有载频率与其上作用车辆的简化模型、过桥车辆数、行车速度以及桥梁跨度等有关:1辆车简化为4个或2个轮对时,桥梁有载频率很接近,比较符合实际情况;车辆总长超过桥梁跨度时,桥梁有载频率呈稳定的周期性变化;桥梁有载频率随时间变化,与车辆在桥上的位置有关,且行车速度越快,频率变化越快.关键词:简支梁;车桥耦合;微分方程;固有频率中图分类号:U441+.3;U448.21+7 文献标识码:AAnalysis of Loaded Frequency of Simply 2Supported Beam BridgeT ANG He 2qiang ,SHEN Rui 2li(School of Civil Eng.,S outhwest Jiaotong University ,Chengdu 610031,China )Abstract :Based on the definition of natural bridge frequency ,the analytical expression of loaded frequency of a sim ply 2supported beam bridge under train loads was given through s olving the vibration differential equation for bridges .The research shows that the loaded frequency of a bridge is in relation to the sim plified m odels of a vehicle ,the number of vehicles passing the bridge ,train speed ,bridge span and s o on.The loaded frequency obtained is very proximate to the actual value when a vehicle is sim plified as 4or 2wheelsets.It varies periodically when the total length of a train is larger than the bridge span.Furtherm ore ,the loaded bridge frequency changes with time ,relative to the location of vehicles on a bridge ,and the faster a train m oves ,the m ore quickly the frequency varies.K ey w ords :sim ply 2supported beam ;vehicle 2bridge coupling ;differential equation ;natural frequency 研究桥梁在移动(车辆)荷载作用下的强迫振动时,其有载频率是非常重要的参数,只有知道了桥梁的有载频率,才能正确分析其共振条件.高速铁路线上简支梁桥桥梁与车辆的共振速度问题[2]、车桥耦合振动系统中采用移动力、移动质量和移动振动系统3类模型对振动计算结果的影响等问题[3]都与桥梁有载频率有关.文献[1]将移动荷载简化为一个移动质量块,将其固定在梁上某一位置,用传递矩阵法计算有附加质量块的简支梁的频率,将其作为简支梁的有载频率,并讨论了质量块固定在不同位置时各阶频率和振型的变化.文献[1]的分析方法并不适合于桥梁,特别是铁路桥梁有载频率的分析.因为,(1)通过铁路桥梁的列车是由多辆车辆组成的,车辆是连续通过桥梁结构的,不能将其简化为一个单一的集中质量块;(2)列车是快速移动的,多辆车辆过桥将形成一个稳定的桥梁有载频率区间,这种有载频率区间比按固定质量块位置算出的有载频率更能反应桥梁结构在列车通过时的动力性能.本文将列车简化为移动的集中质量列,给出了列车荷载作用下简支梁桥有载频率的解析表达式,并讨第39卷　第5期2004年10月西　南　交　通　大　学　学　报JOURNA L OF S OUTHWEST J I AOT ONG UNI VERSITY V ol.39　N o.5Oct.2004论了列车通过不同跨度的简支梁桥时桥梁有载频率的变化规律.1　匀速移动质量作用下简支梁的有载频率如图1,以匀速v 向右运动的多个时变荷载F i 通过简支梁桥.假设在t =0时刻,荷载F 1位于桥梁左端支承处;在时刻t 时,荷载F 1移动到距离梁左端支承vt 处.假定简支梁为Euler 2Bernoulli 梁[4],即不考虑剪切变形和转动惯量的影响,且假设该梁为匀质等截面梁,也不考虑阻尼的影响.图1　简支梁上匀速通过多个移动荷载Fig.1　M ovable loads passing a sim ply 2supported beam at a uniform velocity 简支梁在多个外荷载F i 作用下的振动微分方程为[5,6]EI 54y (x ,t )54x +m 52y (x ,t )52t =∑iδ(vt -x i )F i u vt -x i L ,(1)式中:EI 为梁的抗弯刚度,假定为常数;m 为梁单位长度上的质量,也假定为常数;y (x ,t )为x 处时刻t 的位移;δ为Dirac 函数;x i 为第i 个荷载到第1个荷载的距离,x 1=0;L 为简支梁的跨度;u (ξi )为分段函数,其中ξi =(vt -x i )/L.u (ξi )=10≤ξi ≤1,0其它. 设强迫振动的动力位移y (x ,t )可采用振型叠加的形式表示:y (x ,t )=∑Nn =1A n (t )<n (x )　(n =1,2,…,N ),(2)式中:<n (x )为振型,与时间无关,是系统固有的,对于简支梁,<n (x )=sin (nπx/L );A n (t )为模态坐标,仅是时间t 的函数;N 为所取振型的阶数.将式(2)代入式(1),利用振型的正交性,等式两边同乘以<n (x )sin (nπx/L ),并对x 从0到L 积分,可得到解耦的强迫振动方程A ¨n (t )+ω20n A n (t )=∑i 2F i mL u vt -x i L sin n π(vt -x i )L　(n =1,2,…,N ),(3)式中:ω0n 为等截面简支梁的各阶无载固有圆频率,ω20n =EI∫L 052<n (x )5x 22d x m ∫L 0<2n (x )d x =n 4π4EI L 4m . 若作用于简支梁上的荷载F i 由移动质量产生,即考虑移动荷载本身质量的惯性力,则在任一时刻t ,荷载对桥梁的作用力等于重力与其惯性力的合力,即F i (x ,t )=m i g -m i y ¨i ,(4)式中:m i 为各移动质量;g 为重力加速度;y ¨i 为各移动质量的加速度.假定移动质量在移动过程中始终与梁保持接触,则y ¨i 也是各质量作用点处梁的加速度.将式(4)代入式(3),各阶振型的强迫振动微分方程为A ¨n (t )+ω20n A n (t )=∑i 2(m i g -m i y ¨i )mL u vt -x i L sin n π(vt -x i )L　(n =1,2,…,N ).(5)926第5期唐贺强等:简支梁桥有载频率分析由式(2),得y ¨i =∑N n =1A ¨n (t )sin n π(vt -x i )L　(n =1,2,…,N ).将上式代入式(5),可得A ¨n (t )+ω20n A n (t )=∑i 2m i g -∑N n =1A ¨n (t )sin n π(vt -x i )L mL ×u vt -x i Lsin n π(vt -x i )L (n =1,2,…,N ).(6) 对简支梁桥,一般1阶频率对振动影响最大,故本文只讨论1阶频率.取N =1,式(6)可化为1+2mL ∑i m i u vt -x i L sin 2π(vt -x i )LA ¨1(t )+ω201A 1(t )=2gmL ∑i m i u vt -x i Lsin π(vt -x i )L ,则ω21=ω2011+2mL ∑i m i u vt -x i Lsin 2π(vt -x i )L ,(7)式中,ω1为等截面简支梁1阶有载圆频率(其1阶工程频率f 1=ω1/2π).从式(7)可见,在移动质量荷载作用下,结构的频率随时间变化,与质量在梁上的位置有关.2　算例及分析上述推导是在假定简支梁的振型<n (x )=sin (nπx/L )的条件下得到的.一般说来,在外载作用下,简支梁的1阶振型比较符合<n (x )=sin (nπx/L ),所以,根据式(7)绘出ω1与各量的关系曲线并加以分析.当假设简支梁的振型为其它表达式时,可以仿照上述思路推导出相应的频率表达式.算例选用我国拟建高速铁路桥梁中采用的双线整孔简支箱梁,参数见表1.采用的车辆荷载为准高速车辆,车体质量为34.0t ,每台转向架构架质量为3.0t ,每一轮对质量为1.4t ;车辆定距之半为9.0m ,转向架固定轴轴距之半为1.2m ,车体全长(车钩到车钩距)为26.575m.当简化为4个轮对时,每个轮对承受的总质量为m i =11.4t.表1　桥梁参数T ab.1　The parameters of the bridge桥梁跨度/m 桥梁截面型式梁高/m梁单位质量/(t ・m -1)弹性模量/G Pa 惯性矩/m 41阶自振频率/(rad ・s -1)20单箱单室 1.916.8735.0 3.095862.532124单箱单室 2.120.3035.0 4.557848.033132单箱双室 2.520.7035.0 6.789132.655448双箱单室 3.423.4435.513.908619.66052.1　有载频率与车辆简化模型的关系如图2,将每一车辆分别简化为1,2和4个轮对集中质量.采用表1中的桥梁参数,按5辆车匀速过桥绘出的有载频率随车辆位置变化的曲线如图3示.在图3中,各点的x 值为各简化模型的第1个轮对距桥梁左端的距离.从图3可见,简化为2和4个轮对时结果大致相同,这是由于1个转向架中2个车轮距离相近,直接采用2个车轮或将2个车轮合为1个轮对的作用效果相当;而简化为1个轮对时误差较大.(a )简化为1个轮对(实线) (b )简化为2个轮对(实线) (c )简化为4个轮对图2　车辆简化模型Fig.2　The sim plified m odels of a vehicle036西　南　交　通　大　学　学　报第39卷(a )L =20m (b )L =24m(c )L =32m (d )L =48m图3　不同简化模型和跨度时的ω12x 关系Fig.3　The relation between ω1and x for different sim plified models of a vehicle and beam spans 图3说明,车辆过桥时,桥梁的有载频率呈周期性变化,不是一个定值,变化范围与桥梁跨度、车桥质量比及车辆长度等参数有关.2.2　有载频率与过桥车辆数的关系分别按1,2和5辆(多辆)车过桥,每辆车简化为4个轮对集中质量模型,跨度为20和32m 时简支梁的有载频率曲线如图4.从图4可见,车辆总长超过桥梁跨度时,桥梁有载频率呈稳定的周期性变化.(a )L =20m (b )L =32m图4　过桥车辆数不同时的ω12x 关系Fig.4　The relation between ω1and x for different numbers of vehicles passing a sim ply2supported beam bridge 2.3　有载频率与桥梁跨度和行车速度的关系对于跨度为32和48m 的简支梁,行车速度v 分别为41.667,55.556和69.444m/s (分别对应于150,200和250km/h )时,6辆车连续通过简支梁桥,每辆车简化为4个轮对集中质量模型,并设在t =0.5s 时第1辆车辆的第1个轮对开始上桥,有载频率随时间的变化如图5所示.从图5可以看出:跨度越大,即车桥质量比越小,有载频率的变化幅度越小,比无载频率降低得越少;行车速度越快,有载频率的变化越快.136第5期唐贺强等:简支梁桥有载频率分析(a )L =32m (b )L =48m图5　ω12t 曲线Fig.5　The relation between ω1and t当把作用在桥梁上的列车简化为匀布质量叠加在桥梁上时,也可以计算出一个有载频率.对于上述的车辆质量和车辆长度,可计算出车辆单位长度的质量为1715.89kg/m ,将其直接叠加到桥梁单位长度的质量中,可计算出跨度为32和48m 时有载频率(简化法)分别为31.3806和18.9780rad/s ,相当于按本文的四轴移动集中质量计算的有载频率的平均值.3　结论 (1)车辆模型的简化形式对桥梁有载频率有影响,把1辆车简化为4个或2个轮对的集中质量模型比较符合实际情况,二者频率很接近,简化为1个轮对集中质量模型误差较大.(2)桥上作用的车辆总长超过桥梁跨度时,桥梁有载频率呈稳定的周期性变化.(3)桥梁有载频率随时间变化,与车辆在桥上的位置有关;车辆运行速度越快,频率变化的速度也越快;桥梁跨度越大,单位长度的质量越大,其有载频率的变化幅度越小.参考文献:[1]　应怀樵,郭亚.移动荷载在简支梁上不同位置有载频率的研究[A ].现代振动与噪声技术[C].北京:航空工业出版社,2002.84288.[2]沈锐利.高速铁路线上简支梁桥车桥共振问题初探[J ].西南交通大学学报,1995,30(3):2752282.[3]盛国刚,彭献,李传习.移动车辆系统作用下桥的振动特性分析[A ].中国交通土建工程学术暨建设成果论文集[C].成都:四川科学技术出版社,2003.3272330.[4]李国强,李杰.工程结构动力检测理论与应用[M].北京:科学出版社,2002.1962204.[5]李国豪.桥梁结构稳定与振动[M].北京:中国铁道出版社,2002.2912301.[6]袁向荣,卜建清,满红高,等.移动荷载识别的函数逼近法[J ].振动与冲击,2000,19(1):58260.(中、英文编辑:付国彬)236西　南　交　通　大　学　学　报第39卷。

简支梁自由振动加速度时间历程曲线

简支梁自由振动加速度时间历程曲线一、简支梁自由振动的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其自由振动是指在没有外力作用下，梁体在初始位移或初速度的情况下，按照固有频率进行振动。

简支梁自由振动加速度时间历程曲线可以反映出简支梁的振动特性。

二、简支梁自由振动的计算方法1. 求解固有频率固有频率是指在没有外力作用下，结构体系按照某种方式进行自由振荡时的频率。

对于简支梁来说，其固有频率公式为：f = 1/2π * √(E*I/(m*L^3))其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，m为单位长度质量，L为梁长。

2. 求解振型函数振型函数描述了结构体系在某个特定频率下的运动状态。

对于简支梁来说，其一阶弯曲模态（最常见的模态）的振型函数为：y(x,t) = A*sin(ωt)sin(kx)其中，A为幅值，ω为角频率（等于2πf），k为波数（等于2π/λ），λ为波长。

3. 求解振动加速度振动加速度是指结构体系在某个时刻的加速度大小，可以通过对振型函数进行二阶导数求解。

对于简支梁来说，其一阶弯曲模态的振动加速度公式为：a(x,t) = -ω^2 A*sin(ωt)sin(kx)三、简支梁自由振动加速度时间历程曲线的绘制方法1. 确定梁长、截面形状和材料参数在绘制简支梁自由振动加速度时间历程曲线之前，需要确定梁长、截面形状和材料参数。

这些参数将直接影响到固有频率和振型函数的计算结果。

2. 计算固有频率和振型函数根据上述公式，可以计算出简支梁的固有频率和一阶弯曲模态的振型函数。

其中，固有频率可以通过改变材料参数、截面形状或梁长等方式进行调整。

3. 绘制加速度时间历程曲线将一阶弯曲模态的振型函数带入到上述公式中，即可得到任意时刻任意位置处的振动加速度大小。

将这些数据按照时间顺序绘制成曲线，即可得到简支梁自由振动加速度时间历程曲线。

四、简支梁自由振动加速度时间历程曲线的分析通过观察简支梁自由振动加速度时间历程曲线，可以得到以下结论：1. 振动加速度大小随时间呈正弦变化，其周期等于固有周期。

07-固有频率与振型

Theory of Vibration with Applications
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多自由度系统
固有频率主振型当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有
xi = Ai sin(ωt + ϕ ) i = 1,2,3, L n
代入位移方程 && ∆ Mx + x = 0
sin(ωt + ϕ )
− ω 2 ∆MA + A = 0
多自由度系统
固有频率主振型解出 ω12 = 0,
2 ω2 = 0.7192 ,
k m
ω32 = 2.7808
k , m
k mω3 = 1.66Fra bibliotek6k m
得到三个固有频率
ω1 = 0,
ω2 = 0.8481
ω1 , ω 2 , ω3
分别代入的第三列
adj B
k2 2 k ( k − ω m) ( k − ω 2 m)(2k − ω 2 m) − k 2
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LL
Theory of Vibration with Applications
多自由度系统
固有频率主振型对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型
A(1) A1(1) (1) A2 = M (1) An A1( 2 ) (2) A2 2 A = M 2 An A( n ) A1( n ) (n) A2 = M (n) An
A2
L An )
T
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多自由度系统
固有频率主振型
(K − ω 2 M ) A = 0

双简支梁固有频率及振型测量

《振动测试实验》实验报告∗南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室二○一一年∗注：实验报告完成后请以附件形式发送至：wt78@邮件主题请写明：《振动测试实验报告》，姓名，学号，分班号（三班或四班）一、实验目的•测量双简支梁的固有频率和振型。

•理解多自由度系统振型的物理概念。

•掌握多自由度系统固有频率和振型的简单测量方法。

二、实验原理图简支梁固有频率和振型测试原理图三、实验过程1、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”。

打开各设备电源。

2、进入“双简支梁固有频率与振型测量”实验操作界面，使信号发生器的输出频率约为 30Hz，输出电压约为 1V 。

调节功率放的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（观察并用手触摸）。

3、将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，同时观察李萨育图形。

当李萨育图为稳定的正椭圆时，信号发生器的频率读数即为第一阶固有频率。

继续将信号发生器的频率向高逐步调节，测出第二阶、第三阶固有频率。

4、再将信号发生器调到第一阶固有频率值，保持功率放大器的输出功率恒定（即：不再改变信号发生器的输出电压和功率放大器的输出功率），保持“参考”传感器的位置不变。

将“测量”传感器从双简支梁的右端等距跑点，依次记下“测量”传感器在各个位置时的测量点与参考点传感器输出电压之比（即“测量点/参考点”的显示值）及其正负号。

将其归一化即可得到第一阶振型，填“振型数据”表格。

点击“振型图”或“振型动画”检验振型数据。

四、实验数据与分析1、列出固有频率。

双简支梁的3个阶段的固有频率分别为：一阶： 36.7Hz二阶： 136.5Hz三阶： 326.6Hz一阶振型图二阶振型图3、测量双简单支梁振型时，改变“测量”传感器位置后，李萨育图形出现非正椭圆，解释原因，如何避免？答：测量双简单支梁振型时，改变“测量”传感器位置后，由于传感器有一定的质量，改变传感器位置也就改变了系统的质量分布，必然引起其固有频率的变化，在李萨育图形上表现出呈非正椭圆。

简支梁固有频率与固有振型的实验室测量与理论分析

ＥｘｅｉｅａｓｉｅｈｏｓａｄｐｒｍｎｔｌＴｅｔｎｇＭｔｄｎＴｈｅｅｃｌＡｎａｙｉｆＳｍｐｌａｏｒｔａｉｌｓｓｏｉｅＢｅｍｗｉｈＮａｕａｅｕｅｙａｎｒｎｂａｏｔｔｒＦｒｑｎｃｎｄＩｈｅｅｔＶｉｒｔｎｌｉ
Ａｂｔａｔｉｌｂａｗｈｃｉｈｒｓ —ｅｔｎａｄｃｎｉｕｕｔｕｔｒｓｕｕｌｓｄａｎａａｙｉｔｏｆｈｉｒｔｎｐｅｓｒｃ：Ｓｍｐｅｅｍｉｈｗｔｔｅｃｏｓｓｃｉｎｏｔｏｓｓｒｃｕｅ，ｉｓａｌｕｅｓａｎｌｓｓｏｌｅｖｂａｉｈ－ｈｏｎｙｏｔｏｎｍｅｏ．Ｄｎｍｉａａｙｉｏｉｌｅｍｔｈｐｌａｉｎｏｅｒｔａｎｌｓｓａｄｅｐｒｎａｓｉｇｍｅｈｄ，ｃｎｇｔａｕｏｎｎｙａｃｎｌｓｓｆｓｍｐｅｂａｗｉｔｅａｐｉｔｆｈｏｅｉｌａｙｉｎｘｅｍｅｔｌｅｔｔｏｓａｅｔ — ｈｃｏｔｃａｉｔｎｎｒｌｒｑｅｃｖｂａｉｎａｌｕｅａｄｃｔａｄｍｐｎｆｔｅｃｎｉｕｕｔｃｕｅｏａａｙｅｔｅｎｔｒｌｒｑｅｃｖｂａｉｎ，ａｌａｅｕｎｙ，ｉｒｔｍｐｉｄｎｒｉｌａｉｇｏｏｔｏｓｓｕｔｒ．Ｔｎｚｈａｕａｅｕｎｙ，ｉｒｔｆｏｔｉｃｈｎｒｌｆｏｍｐｉ — ｔｄｎｒｔａａｉｇｃｎａｏｄｓｍｐｔｅｉｉｒｔｎｗｈｃｅｄｅｆｒｅｔａｇｏｔｅｆｍｅｏｋｔｃｎａｓｅｃｅｉ — ｕｅａｄｃｉｌｄｍｐｎａｖｉｙａｈｔｖｂａｉ，ｉｈｌａｓｔｔｕｔｓｍａｅｔａｗｒ．Ｉａｌｏｒａｈｔｉｃｃｏｏｈｈｄｈｒｈｎｔｎｉｎｔｖｉｉｒｔｎｔｒｗｉｈａｕａｅｕｎｙａｄｉｈｒｎｉｒｔｎｏｅｓｍｐｅｂａｗｉｒｓ－ｅｔｎ，ｗｉｈｏｆｒｄａｅｔｏａｏｄｖｂａｉ．Ｓａｔｔｔｅｎｔｒｆｑｅｃｎｎｅｅｔｂａｉｆｔｉｌｅｍｔｃｏｓｓｃｉｏｏｈｌｒｖｏｈｈｏｈｃｆｅｅｕｅｕｔｏｏｓｒｏｒｒｓａｃｉｒｔｎｏｏｌａｅｒｍｅｏｋｓｆｌｍｅｈｄｔｔｔｕｅｅｒｈｏｖｂａｉｆｍｐｉｔｄｆａｆｏｃｃａｗｒ．Ｋｅｒｓ：ｓｍｐｅｂａｗｔｒｓ —ｅｔｎｉｒｔｎａｕａ￣ｅｕｎｙ；ｉｈｒｎｉｒｔｎｍｏｅ；ｄｍｐｎａｉｙｗｏｄｉｌｅｍｉｃｏｓｓｃｉ；ｖｂａｉ；ｎｔｒｌｑｅｃｈｏｏｎｅｅｔｂａｉｄｖｏａｉｇｒｔｏ

振动力学(梁的横向振动)

l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u
x2
A
2u t 2
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
EI ,
A
C sin

简支梁固有频率及振型函数

简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。

梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t) (1)除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。

故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。

根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：22y EI M x ∂=∂(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。

挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。

关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。

至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。

在这些规定下，有：M QQ q x x ∂∂==∂∂， (3)于是，对方程（2）求偏导，可得：222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂， (4)考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：3434y yEI Q EI q x x ∂∂==∂∂， (5)方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。

应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为22yq t ρ∂=-∂ (6)其中ρ代表梁单位长度的质量。

假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。

将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：4242y yEI x t ρ∂∂=--∂∂ (7)其中2/a EI ρ=。

为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。

假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t)(8)将式（8）代入（7），得：224241Y a d XY tX dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。

简支梁自振频率测量(正弦扫频法)实验报告

实验2简支梁自振频率测量(正弦扫频法)一、实验目的以简支梁为例，了解和掌握机械振动系统幅频特性曲线的测量方法以如何由幅频特性曲线得到系统的固有频率，了解常用简单振动测试仪器的使用方法。

二、实验内容及原理简支梁系统在周期干扰力作用下，以干扰力的频率作受迫振动。

振幅随着振动频率的改变而变化。

由此，通过改变干扰力（激振力）的频率，以其为横坐标，以振幅B为纵坐标，得到的曲线即为幅频特性曲线。

依据共振法测试简支梁的一阶、二阶固有频率，原理同实验三。

用跳沙法观察简支梁一阶、二阶振型。

测试简支梁的振型，根据简支梁的长度，划分若干个单元格，依次标号。

将信号发生器的频率调整到一阶固有频率处，观察简支梁的振动情况，在该频率下，分别测试每个单元的振幅。

依据测得的振幅，通过归一化，绘出简支梁的一阶振型。

三、实验仪器及设备机械振动综合实验装置（安装简支梁）1套激振器及功率放大器1套加速度传感器1只电荷放大器1台信号发生器1台数据采集仪1台信号分析软件1套计算机1台四、实验方法及步骤1.将激振器通过顶杆连接到简支梁上（注意确保顶杆与激振器的中心线在一直线上），激振点位于简支梁中心偏左50mm处（已有安装螺孔），将信号发生器输出端连接到功率放大器的输入端，并将功率放大器与激振器相连接。

2.用双面胶纸（或传感器磁座）将加速度传感器粘贴在简支梁上（中心偏左50mm）并与电荷放大器连接，将电荷放大器输出端分别与数据采集仪输入端连接。

3.将信号发生器和功率放大器的幅值旋钮调至最小，打开所有仪器电源。

设置信号发生器输出频率为10Hz，调节信号发生器的幅值旋钮使其输出电压为2V。

调节功率放大器的幅值旋钮，逐渐增大其输出功率直至简支梁有明显的振动（用眼观察或用手触摸）。

4.将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，观察简支梁的振动情况，若振动过大则减小功率放大器的输出功率。

5.保持功率放大器的输出功率恒定，将信号发生器的频率重新由抵向高逐步调节，记录调整频率的变化情况，采集各个调整频率下响应信号振动幅值对应的电压数据。

机械振动学中的固有频率与振型分析

机械振动学中的固有频率与振型分析机械振动学是研究机械系统在受到外界激励作用下产生振动现象的一门学科。

在机械系统中，固有频率与振型分析是非常重要的内容，可以用来描述系统的动态特性和振动行为。

本文将介绍机械振动学中固有频率与振型分析的基本概念和应用。

一、固有频率固有频率是指机械系统在没有外界激励下自由振动的频率。

对于一个简单的振动系统，其固有频率可以通过运动方程的解析解求得。

固有频率是系统的固有特性之一，可以用来描述系统的动态响应特性和结构的刚度、质量、阻尼等参数。

在实际工程应用中，固有频率的计算对于系统结构设计和振动控制至关重要。

通过对系统的固有频率进行分析，可以避免共振现象的发生，减小系统动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。

二、振型分析振型分析是指对机械系统的振动模式和振动幅值进行分析和描述。

振型是指系统在特定频率下的振动模式，可以通过振动实验和有限元分析等方法得到。

振型分析可以提供系统的模态形式和振动幅值信息，有助于分析系统的受力情况和结构设计。

振型分析在工程实践中具有广泛的应用，可以用于评估系统的结构健康状况、辅助设计优化和振动控制。

通过对系统的振型进行分析，可以找到系统的薄弱环节和潜在问题，及时进行改进和优化，提高系统的性能和可靠性。

三、结语固有频率与振型分析是机械振动学中重要的内容，对于机械系统的设计和性能评估具有重要意义。

通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以优化系统的结构设计，降低系统的动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解机械振动学中固有频率与振型分析的相关知识。

简支梁实验

简支梁模态参数测定之一—测定固有频率与振型一、实验目的1、加深对系统固有频率和主振型的理解；2、掌握振动系统固有频率及主振型的一种测量方法（共振法）；3.了解压电式传感器及与它相配的测量系统的工作原理，掌握正确使用的方法；4、了解激振系统的工作原理。

二、实验装置框图图1 表示实验装置系统框图图1 实验装置系统框图三、实验原理试验模态分析法是确定结构固有频率的有效方法，在结构分析中应用广泛，而简支梁也是桥梁结构中一种常见的模型，现代桥梁中依然存在不少采用简支梁模型的桥梁结构。

所以本事通过试验模态法得到简支梁的固有频率和振型，也是桥梁结构分析中一种常用的方法很有实际意义，实验所用的均质等截面简支梁模型，属于小阻尼和连续的无限自由度的振动系统。

本实验模型是一矩形截面简支梁，它是一无限自由度系统。

理论上说，它应有无限个固有频率和主振型，在一般情况下，梁的振动是无穷多个主振型的迭加。

如果给梁施加一个合适大小的激振力，且该力的频率正好等于梁的某阶固有频率，就会产生共振，对应于这一阶固有频率而确定的振动形态叫做这一阶主振型，这时其它各阶振型的影响小得可以忽略不计。

用共振法确定梁的各阶固有频率及振型，具体步骤是首先得找到梁的各阶固有频率，并让激扰力频率等于某阶固有频率，使梁产生共振，然后，测定共振状态下梁上各测点的振动加速度值，从而确定前三阶主振型。

振型：即振动形态，即梁上各个测量点和振幅的关系图。

如图所示为一阶，二阶和三阶的振型图。

在正弦激励下振幅的比值等于加速度的比值。

所以本次试验测量加速度与位置之间的关系就能正确画出振型，大致如图2所示。

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9 1图2 前三阶振型图根据材料力学理论下简支梁固有频率的计算：2012f l ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭E 为材料的弹性模量，查表取E=210Gpa 测量得简支梁b=0.05m h=0.15m l=1m312bh I =s 为梁的横截面积37850kgm ρ=2201135.1622f Hzl l ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10f f =214140.6f f Hz == 319316.4f f Hz==四、实验方法1、激振器安装把激振器安装在支架上，将激振器和支架固定在实验台基座上，并保证激振器顶杆对简支梁有一定的预压力（不要超过激振杆上的红线标识），用专用连接线连接激振器和DH1301输出接口。

双简支梁固有频率及振型测量

《振动测试实验》实验报告∗南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室二○一一年∗注：实验报告完成后请以附件形式发送至：wt78@邮件主题请写明：《振动测试实验报告》，姓名，学号，分班号（三班或四班）一、实验目的•测量双简支梁的固有频率和振型。

•理解多自由度系统振型的物理概念。

•掌握多自由度系统固有频率和振型的简单测量方法。

二、实验原理图简支梁固有频率和振型测试原理图三、实验过程1、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”。

打开各设备电源。

2、进入“双简支梁固有频率与振型测量”实验操作界面，使信号发生器的输出频率约为 30Hz，输出电压约为 1V 。

调节功率放的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（观察并用手触摸）。

3、将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，同时观察李萨育图形。

当李萨育图为稳定的正椭圆时，信号发生器的频率读数即为第一阶固有频率。

继续将信号发生器的频率向高逐步调节，测出第二阶、第三阶固有频率。

4、再将信号发生器调到第一阶固有频率值，保持功率放大器的输出功率恒定（即：不再改变信号发生器的输出电压和功率放大器的输出功率），保持“参考”传感器的位置不变。

将“测量”传感器从双简支梁的右端等距跑点，依次记下“测量”传感器在各个位置时的测量点与参考点传感器输出电压之比（即“测量点/参考点”的显示值）及其正负号。

将其归一化即可得到第一阶振型，填“振型数据”表格。

点击“振型图”或“振型动画”检验振型数据。

四、实验数据与分析1、列出固有频率。

双简支梁的3个阶段的固有频率分别为：一阶： 36.7Hz二阶： 136.5Hz三阶： 326.6Hz一阶振型图二阶振型图3、测量双简单支梁振型时，改变“测量”传感器位置后，李萨育图形出现非正椭圆，解释原因，如何避免？答：测量双简单支梁振型时，改变“测量”传感器位置后，由于传感器有一定的质量，改变传感器位置也就改变了系统的质量分布，必然引起其固有频率的变化，在李萨育图形上表现出呈非正椭圆。

钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算

钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算杨斌谷淡平【摘要】摘要:通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有频率的计算公式，对实际简支梁进行了动力试验，验证了固有频率理论计算公式的准确性。

【期刊名称】山西建筑【年(卷),期】2011(037)028【总页数】2【关键词】关键词:钢筋混凝土，简支梁，固有频率，数值计算0 引言钢筋混凝土承弯梁是实际工程中常见的重要构件，其损伤的识别、监测对于确保整个构筑物的安全，评估其服役状态，都具有重要的意义。

深入了解钢筋混凝土梁的振动特性，是采用动力破损评估法对其损伤进行辨识、监测的前提和基础[1］。

本文通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在基于组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有频率的计算公式，通过对实际简支梁进行动力试验，证实了相关理论和计算公式的正确性，能较好的满足工程需要。

1 简支梁固有频率的计算梁在横向荷载作用下，在长为l的梁的轴向(x方向)处用相距无限小的dx两横向截面截取一微段，设y(x，t)，θ(x，t)，M(x，t)和Q(x，t)分别表示梁的x 截面处在t时刻的挠度、转角、弯矩和剪力。

它们必须满足以下微分关系[2］:其中，EI(x)，ρl(x)分别为所取微段处的截面抗弯刚度和单位长度的质量。

从式(1)可以得出:由于梁在任一点、任一时刻的挠度可表示为无数简谐振动下挠度的叠加，利用分离变量法[3］，设第m阶简谐振动的频率是ωm，再设Tm(t)，Ym(x)分别为振幅函数和振型函数，则在一定边界条件下式(4)的解可表示为[4］:由于挠度函数y(x，t)具有与时间无关而确定的振型特性[5］，为求出各种振型函数对应的频率，取y(x，t)=(Acosωt+Bsinωt)Y(x)，代入式(4)可得:式(6)即为求解梁横向振动固有频率的微分方程。

由于EI(x)和ρl(x)在任何截面都相等，则式(6)为四阶常系数齐次线性微分方程，求出其通解后根据边界条件得出积分常数的关系，从而可求出固有频率ω。

实验五简支梁固有频率测试实验1

实验五简支梁固有频率测试实验一、实验目的：1、掌握固有频率测试的工程意义及测试方法。

2、掌握用共振法、李萨育图形法测量振动系统的固有频率的方法及步骤。

3、加深了解常用简单振动测试仪器的使用方法。

二、实验设备和工具1.机械振动综合实验装置（安装简支梁） 1套2.激振器及功率放大器 1套3.加速度传感器 1台4.电荷放大器 1台5.数据采集仪 1台6.信号分析软件 1套三、实验内容1．用共振法测量简支梁固有频率共振法测量振动系统的固有频率是比较常用的方法之一。

共振是指当激振频率达到某一特定值时，振动量的振动幅值达到极大值的现象。

由弹性体振动理论可知，计算简支梁固有频率理论解为：APEJ L f 20115.49 式中，L 为简支梁长度（cm ）；E 为材料弹性系数（kg/cm 2）;A 为梁横截面积（cm 2）；P 为材料比重（kg/cm 3）；J 为梁截面弯曲惯性矩（cm 4）。

用共振法测量简支梁固有频率的仪器连接如图1所示图1测量双简支梁固有频率框图2．用李萨育图形法测量简支梁固有频率李萨育图形是由运动方向相互垂直的两个简谐振动的合成运动轨迹。

李萨育图形可以通过示波器或数据采集软件的X-Y轨迹图观察到。

在图的X、Y 轴上同时输入简谐振动两个信号，这两个信号不同的相位差合成不同的李萨育图形如图2所示。

振动的位移、速度及加速度的幅值其各自达到极大值时频率是不同的，只有在无阻尼的情况下，它们频率才相等，并且等于振动系统的固有频率。

但在弱阻尼的情况下，三种共振频率接近系统的固有频率。

只有速度共振频率真正和固有频率相等，所以用速度共振的相位差判别共振。

判别依据是系统发生速度共振时，激振力和速度响应之间的相位差为90°，依据位移、速度、加速度响应判断速度共振的李萨育图形如图3~5所示。

θ=00 θ=450 θ=900 θ=1350 θ=1800图2 不同相位差信号合成的李萨育图形n ωω< n ωω= n ωω>图3用位移响应判断速度共振n ωω< n ωω= n ωω>图4用速度响应判断速度共振n ωω< n ωω= n ωω>图5用加速度响应判断速度共振四、实验原理固有频率是振动系统的一项重要参数。

测试梁的各阶固有频率试验

21
梁的横向振动微分方程
图中的直梁在xy平面内作横向振动。假定梁的各截面的中心惯性主轴在同一平面Oxy内，外载荷也作用在该平面，并且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉-伯努利梁的模型。
22
•
在梁上x处取长为dx的微元段。在任意瞬时t，此微元段的横向位移用y(x, t)表示；单位长度梁上分布的外力用 p (x, t)表示；单位长度梁上分布的外力矩用m (x, t)表示。记梁的密度为，横截面积为A，材料弹性模量为E，截面对中性轴的惯性矩为J。由牛顿第二定律写出微段沿y向的运动微分方程
如果函数f(t)的周期T无限增大，则f(t)成为非周期函数。傅氏积分和傅氏变换是研究非周期函数的有力手段。与周期函数不同，非周期函数的频谱是连续曲线。由数学知，若非周期函数f(t)满足条件：(1) 在任一有限区间满足狄氏条件；(2) 在区间（-，+) 上绝对可积，则在f(t)的连续点处有 1 jt jt f (t ) [ f ( t ) e dt ] e d (4) 2 上式称函数 f (t ) 的傅氏积分公式。如令
k
fn
F

1 2 k m
3
4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式实验目的 1. 了解并掌握用“三线摆”方法测取物体转动惯量的方法。 2. 分析“三线摆”摆长对测量的误差。 “三线摆”是测取转动惯量的一种常用方法。给摆一个微小偏转，然后自然释放，摆就会产生扭振。同样的摆线长，不同的转动惯量，摆动的周期是不相同的；而同样的转动惯量，不同的摆长，摆动的周期也不相同。因此，“三线摆”的摆动周期不仅与物体的转动惯量有关，而且与摆线的长度也有关。根据摆的线长和摆动周期，可以推算出三线 o 摆在线性振动范围内圆盘转动惯量计算公式为 mgr 2T 2 Jc 4 三线摆示意图 4 2l

机械振动大作业——简支梁的各情况分析2

机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。

单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。

解答：一、单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。

因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。

根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l x x y -==）（223max43x l lx y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。

连续系统振动b梁弯曲振动

略去高阶小量得：
Fs
Mm(x,t) x
材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： M(x,t)EI2yx(x2,t)
变截面梁的动力学方程：
2连0续21系年统3月振x212动3[日bE梁I弯曲2振y动x( x2 , t) ]
S
2 y(x,t) t 2
f (x,t) m(x,t) x
4
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2021年3月13日连续系统振动b梁弯曲振动
4
2
a02
a02
EI
S
18
(0) 0 (0) 0 (l) 0 (l) 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
y
x
0
l
(x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
(0) 0 (0) 0
C1 C3 0 C2 C4 0
第 i 阶主振动： y(i)(x ,t) a i i(x )siin t(i)
a i 和 i 由系统的初始条件确定
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
y(x,t) aii(x)si nit(i)
2021年3月13日
i1
7
连续系统振动b梁弯曲振动
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
Fs M
f (x,t)dx
m(x,t)dx
M M dx x
Fs x
f(x,t)S2 t2y
Sdx
2y t 2
Fs
Fs x
dx
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：
dx
（ M M x d ) M x F s d fx ( x ,t ) d d 2 x x S 2 t d 2 y d 2 x m x ( x ,t ) d 0 x

固支梁各阶固有频率及振型测量

固支梁各阶固有频率及振型测量
一、实验目的：
1. 熟悉梁的固有频率测量原理及振型形状；
2. 用共振法确定固支梁的各阶固有频率和振型。

二、实验仪器设备及安装示意图：
1. 计算机
2. YE6230T3动态数据采集系统
3. 功率函数发生器
4. 机械振动实验台
5. 加速度传感器激光位移传感器电涡流传感器自选
6. 激振器
三、实验过程：
四、实验结果及分析：
1、前三阶固有频率测量结果
2、各测点实测振幅（单位：）1，175；
3、各测点振幅换算值
4、绘出固支梁前三阶振型图一阶振型图
二阶振型图三阶振型图
多自由度系统各阶固有频率及主振型的测量一、实验目的
二、实验设备及安装示意图
三、实验结果与分析
1、不同张力下各阶固有频率的理论计算值与实测值
2、绘出观察到的三自由度系统振型曲线。

3、将理论计算出的各阶固有频率、理论振型与实测固有频率、实测振型相比较，是否一致? 产生误差的原因在哪里?。