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大学解析几何

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空间解析几何

基本知识

一、向量

1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量

12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r

2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则

（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→

（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→

（3）),,(321a a a a λλλλ=→

3、向量的内积→→⋅b a

（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos ||||

（2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→

其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平

面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）

321321

b b b a a a k j i

b a →

→→→→=⨯

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5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔

=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a

二、平面

1、平面的点法式方程

已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→

，则平面方程为

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→

垂直于平面

2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→

3、（1）平面过原点)0,0,0(⇔ 0=++Cz By Ax

（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于x 轴

0=++⇔D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴）

平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）⇔法向量→

n 垂直于y 轴0=++⇔D Cz Ax

（如果0=D ，则平面过y 轴）

平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）⇔法向量→

n 垂直于z 轴

0=++⇔D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴）

（3）平面与xoy 面平行⇔法向量→

n 垂直于xoy 面0=+⇔D Cz

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 平面与xoz 面平行⇔法向量→n 垂直于xoz 面0=+⇔D By

平面与yoz 面平行⇔法向量→n 垂直于yoz 面0=+⇔D Ax

注意：法向量的表示

三、直线

1、直线的对称式方程

过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程

3

02010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线

3、直线的参数方程⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=t v z z t v y y t v x x 302010

4、（1）方向向量),,0(32v v v =→，直线垂直于x 轴

（2）方向向量),0,(31v v v =→，直线垂直于y 轴

（3）方向向量)0,,(21v v v =→

，直线垂直于z 轴

5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面

（2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面

（3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面

应用

一、柱面

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1、设柱面的准线方程为⎩⎨⎧==0

),,(0),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程

方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为

3

12111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故

0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）

令

t v z z v y y v x x =-=-=-312111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程

0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程

例1：柱面的准线为⎩⎨⎧=++=++2

221222222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v ρ，求这柱面方程。 解：在柱面的准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为

1

01111z z y y x x -=-=-- 即t z z y y t x x -==+=111,,（1）

又因为),,(111z y x M 在准线上，故1212121=++z y x （2），2

222

12121=++z y x （3）

由（1）（2）（3）得012222=-+++xz z y x

2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径

方法：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过),,(0000z y x M 点做一平面垂直

于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程

联立求得平面和对称轴的交点),,(1111z y x M ，则||10M M 为圆柱的半径

例2：已知圆柱面的轴为

21211-+=--=z y x ，点1M （1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。