初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

初中数学九大几何模型

一、手拉手模型----旋转型全等

（1）等边三角形

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；

【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED

（2）等腰直角三角形

O

B C D

E

图 1

O

A

B

C

D E

图 2

O

A

B

C

D

E

图 1

O

A

C

D

E

图 2

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；

【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED

（3）顶角相等的两任意等腰三角形

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；

且∠COD=∠AOB

【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况

【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=

∠BOA

O

A

B

C

D

E

O

A

B

C

D E

图 1

图 2

O

C

O

C

D

E

O

A

B C

D

E

O

C

D

（2）特殊情况

【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；

③

===OA

OB

OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22

22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21

S △BCD ⨯=

三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°

【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB

【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2

1

S S S =+= 证明提示：

①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN

②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；

③2△OCD △OCE OC 21

S S =-

A

O

B

C

D

E 图 1

A O

B

C

D

E

M N

图 2

A O

B

C

D

E

F

图 3

A O B

C

D

E

M

N 图 4

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

（2）全等型-120°

【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB

【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43

S S S =

+=

证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；

②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

（3）全等型-任意角ɑ

【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；

【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ；

A

O

B

C

E

F

A

O

B

C

E

F

F

③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=

※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）：

原结论变成：① ； ② ； ③ 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

对角互补模型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③注意OC 平分∠AOB 时，

∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？

A

O

B

E

D

C

A

O

B

E

C

D

A

O B

C

D

E