递归与迭代程序设计
从计算思维的视角辨析算法中的递归与迭代
从计算思维的视角辨析算法中的递归与迭代计算思维是指人们在解决问题时，运用逻辑思维和数学原理进行推理和计算的能力。
在计算机科学领域，计算思维对于程序设计和算法分析都起着至关重要的作用。
在算法设计中，递归与迭代是两种常见的方法。
本文将从计算思维的视角，对递归与迭代进行辨析，并探讨它们在算法设计中的应用和限制。
我们来看一下递归和迭代的基本概念。
递归是指一个函数直接或间接调用自身的过程，而迭代则是通过循环结构反复执行一段代码的过程。
在算法设计中，递归和迭代都可以用来解决重复性问题，但它们的实现方式和适用场景有所不同。
从计算思维的视角来看，递归更注重将问题分解和分治，通过不断地将大问题分解成小问题，然后将小问题的解组合起来得到整体解。
这种思维方式更贴近于数学归纳法，它能够使得算法的实现更加简洁和优雅。
递归在实际应用中也存在一些问题，比如递归层次过深可能会导致栈溢出，递归的效率相对较低等。
相比之下，迭代更注重通过不断迭代的方式逐步求解问题，它更加直观和易于理解。
迭代通常使用循环结构，可以减少函数调用和内存消耗，因此在一些需要高效计算的场景下，迭代往往比递归更加适用。
迭代的缺点也是显而易见的，比如迭代的代码可能相对冗长，难以理解和维护。
在实际算法设计中，递归和迭代的选择取决于具体的问题和要求。
对于一些重复性较强的问题，递归可能更加合适，比如在树的遍历和图的搜索等算法中，递归可以简洁地表达问题的本质。
而在一些需要高效计算的问题中，迭代往往是更好的选择，比如在排序算法和动态规划等算法中，迭代的效率往往更高。
在实际应用中，有时候递归和迭代也可以结合起来使用，比如在一些复杂的问题中，可以使用递归进行问题分解，然后再使用迭代进行求解。
这种结合使用的方式可以在保持算法简洁和高效的也能够充分发挥递归和迭代的优势。
在总结上述内容之前，我们应当认识到递归和迭代两种方法各自的优缺点，递归在表达清晰、简洁，但在效率上不及迭代，可能存在栈溢出等问题；而迭代在效率上优于递归，但在表达上相对冗长难懂。
常见的程序设计方法
常见的程序设计方法在计算机程序设计中，常见的程序设计方法有许多种。
程序设计是将问题转化为计算机可以理解和执行的指令或代码的过程，而不同的问题和需求通常需要使用不同的程序设计方法来解决。
下面将介绍一些常见的程序设计方法。
1. 顺序程序设计顺序程序设计是最基础的程序设计方法之一。
顺序程序设计按照指令的顺序逐步执行，从上到下，从左到右。
开发者需要按照问题的逻辑和需求，将指令按照正确的顺序编写。
这种方法简单明了，适用于一些简单的问题，但对于复杂的问题可能会显得不够灵活。
2. 分支程序设计分支程序设计基于条件语句，根据不同的条件选择不同的执行路径。
常见的条件语句有if语句和switch语句。
开发者可以根据不同的条件，执行不同的代码块，从而实现问题的不同分支。
分支程序设计适用于需要根据条件进行不同操作的问题，可以增加程序的灵活性和适应性。
3. 循环程序设计循环程序设计允许程序根据需要重复执行一段代码块。
循环语句的常见形式有for循环、while循环和do-while循环。
循环程序设计可以逐次迭代一个过程，直到满足退出条件为止。
这种方法适用于需要重复执行相同或类似操作的问题，提高了程序的效率和可重用性。
4. 递归程序设计递归程序设计是指一个函数或过程在执行过程中调用自身的方法。
通过递归，一个复杂的问题可以被拆分为多个相同或类似的子问题，从而简化解决步骤。
递归程序设计适用于问题可以自我分解为更小规模问题的情况，但需要注意递归深度和终止条件以避免无限循环。
5. 面向对象程序设计面向对象程序设计是一种以对象和类为基本单位的程序设计方法。
它将数据和操作这些数据的函数封装成对象，通过对象之间的交互来解决问题。
面向对象程序设计具有抽象、封装、继承和多态等特性，可以更好地模拟和解决现实世界中的问题。
面向对象程序设计适用于复杂的问题，提高了代码的可读性和可维护性。
6. 函数式程序设计函数式程序设计是一种基于数学函数概念的程序设计方法。
如何用递归方法进行程序设计
＝ ｛ ３ ｛ ｛ 【】） ） ４ （ ｛ １ ｝ ｝ ５ ４ ｛ ２ ｌ ａＯ ， ＞ ５ ｛ ３ ２ ｛ １ ’ ）
这 种从 目 的项 ａ５出发 ， 据 表 达式 （ ） 为 不断 ｆ１ 根 １变
绪 。因此 。 文 试 图帮 助初 学 者解 决 以下几 个 问题 ： 本 什 求 前 一 项 ， 到 一个 已 知 的项 ， 通 过 不 断 回代 计算 ． 直 再 直 称 么是递 归 方法 ？ 何递 归方 法 可 以得 到正 确 的解 ？ 证 得 到后 续 项 ， 到解 出 目的项 的计 算 过 程 ， 为 递归 方 为 保 递 归 方法 求解 正 确 的条 件 是什 么 ？如 何 应 用递 归方 法 法 。 进 行 问题 求解 及 如何 设计 递 归 程序 ？ 第二种 方法 即递归方法 能正确求解 ．是 由于不断 １递归 方 法 的概 念 以及 保 证 递 归方 法 求 解 正确 性 的条 进 行 问题 转 化直 到一 个 已知项 ， ． 然后 回代 。 回代 过程 在 件 中 以递推 方法 进 行 。 因此 ， 只要 第 一步 的 问题转 化 过程 与递 归 方 法非 常 相 近 的是 递 推 方 法 。为 了弄 清 两 正确 ．那 么递 归 方法 的正 确 性无 疑 等 价 于递推 方 法 的 正确性。 事实 上 ， 在这 个 例 子 中可 以通 过 比较（） ３来 ２和（） 者 的关 系 ． 我们 先 看 例题 ｌ 。 例 １对 于数 列 知道 （） １ 总 结例 １ 我 们有 如下 概 念 ： ， ａｎ ｎ ａｎ １ ［］ 【一 】 ＝ 当 ｎ Ｏ时 ， ａＤ＝ ， ＝ 有 【］ １ｎ为 自然 数 ， 请求 出 ａ５。 ［］ 递 推 方法 ： 就是 构 造 低 阶 规 模（ 规模 为 ｉ一般 ｉ 如 ， ＿ 分析 ： 求 出 ａ５， 以 用如 下两 种 方法 ： 要 ［】可 ｏ 的 问题 ， 求 出其 解 ， 后 推 导 出 问题 规 模 为 ｉｌ的 】 并 然 ＋ 第 一 种 方法 ： 据公 式 ａｎ＝ 掌 ［— 】按 照 从 前 向 问题 以及 其解 ． 次推 到 规模 为 ｎ的 问题 的解 。 而言 根 ［】ｎ ａｎ ｊ， 依 简 后 的顺 序 依 次 求 出 ａ１＝ ＊ ［ｌ ｌ 【】 ２ ａ１＝ ，【】 之 ． 是 从 已知 的 当前 项 出发 ， 据表 达 式 向后 推 出下 ［ｌ ｌ ａｏ＝ ， ２＝ ￥ 【】 ２ａ３＝ ａ 就 根 直 ３ａ ］ ＝，［ ＝＊［＝４ａ ］ ＊［＝２ 。 【＝ ２６ａ ］ ａ １ ，［ ＝ ａ ］１ 将计算 ２３ ４４ ３２ ５５ ４ ０ 项 。 到求 出 目的项 的方 法 。 过 程 写在 一起 有 ： 递 归方 法 ： 就是 将 规 模 为 １的 问题 ， 阶成 若 干个 １ 降
CC++程序设计常用算法——迭代法
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作者：Aliven888
1、简述
程序设计的关键就是算法，算法简单来说就是程序设计时问题解题步骤或者数据数据的流程。
这里我们将介绍以下几种常用的算法：迭代法、穷举法、递推法、递归发、回溯法、贪婪法、查找算法、排序算法。
本章节主要介绍迭代法。
2、迭代法
迭代法称辗转法，是一种不断用变量旧值经过相同的计算得出新值的过程，常适用于需要重复的去做一组指令的情况；在每次执行完该指令后，都会保存当前的结果值，用于下一次的计算。
特点：
把一个问题复杂的求解过程转化成相对来说比较简单的迭代过程，然后只需要重复执行该过程，就能得到最终的结果。
注意事项：
1. 迭代算法必须要有终止条件，以免陷入死循环。
代码实例：
运行结果：。
迭代和递归
迭代和递归
在计算机科学领域中，迭代和递归是两种重要的概念，它们都被广泛应用于代码的设计和实现。
迭代是一种在程序中重复执行操作的过程。
这种过程可以在一段给定的时间内执行一系列操作，并且在执行完成后返回最终的结果。
一旦程序进入迭代，可以重复执行相同的步骤，直到它达到了一个目标。
使用迭代的优点是它的实现简单，而且可以自动完成。
相反，递归也是一种重复执行操作的过程，但它更加复杂，它需要不断地调用自身，来完成一个指定的任务。
在一个递归函数中，函数体可能有多个分支，可以根据逻辑条件来决定在哪个分支上执行递归。
当程序执行完成时，函数会自动返回结果。
递归的优点是，它可以解决一些复杂的问题，同时也可以表达更多的信息。
迭代和递归在数据结构和算法问题中都得到广泛的应用。
他们都可以被用来实现数据结构基础的操作，如遍历、排序、搜索等。
此外，二者都是解决复杂问题的有用工具，特别是当正常循环不能够解决问题时，它们就会变得非常有用，比如解决汉诺塔问题，求解棋盘问题等。
总而言之，迭代和递归都是重要的概念，都可以用来解决一些复杂的问题，在数据结构和算法中都有重要的意义。
它们有着不同的特征，但都可以在解决一些复杂问题时发挥作用。
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python常用算法 递推法、递归法、迭代法、二分法
python常用算法递推法、递归法、迭代法、二分法Python常用算法之一：递推法递推法是一种基于已知结果推导出未知结果的算法方法。
在递推法中，我们通过已知的初始值或基础情况，以及与前一项或前几项的关系，计算出后一项的值。
递推法常常用于解决数列、数学关系、动态规划等问题。
递推法的基本思想是通过找到问题的递推关系式来求出未知项的值。
这个关系式可以是一个简单的数学公式或逻辑表达式。
为了使用递推法，我们需要先找到递推公式，并明确初始项的值。
通过逐步求解的方式，我们可以得到数列的任意项的值。
递推法的实现通常采用循环结构。
我们可以使用for循环来遍历每一项，并根据递推公式来计算后一项的值。
下面是一个简单的例子，计算斐波那契数列的第n项：pythondef fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:a, b = 0, 1for i in range(2, n+1):a, b = b, a + breturn b在这个例子中，我们使用了一个for循环来计算斐波那契数列的第n 项。
首先，我们定义了初始项a=0和b=1。
然后，通过循环计算每一项的值，更新a和b的值，最后返回b作为结果。
递推法的优点是简单明了，适用于不涉及递归调用的问题。
尤其对于一些数值计算的问题，递推法可以利用计算机的高效运算能力，快速求解问题。
接下来，让我们看看另一种常用的算法方法：递归法。
Python常用算法之二：递归法递归法是一种在解决问题时调用自身的方法。
在递归法中，我们将一个复杂的问题分解成一个或多个规模较小的相同问题，直到问题的规模足够小，可以直接求解为止。
递归法需要定义一个递归函数，该函数在调用过程中会不断地传递参数给自身，直到满足停止条件为止。
递归法的实现通常采用函数的递归调用。
在函数的内部，我们可以通过调用自身来解决同类的子问题，同时逐步缩小问题的规模。
递归函数中通常包含两部分：基准情况（停止条件）和递归调用。
程序设计中的递归算法分析
晰 。 本 文 针 对 学生 在 学 习程序 设 计课 程 时 对递 归 算 法 难 以 理 解 及 掌握 等 情 况 ， 阐述 了递 归算 法 的 本 质 及 解 决 问题 的 思路 。
【 关键 词 】 递 归 栈 算 法 ：
Ｏ 引言 、
递归 算 法 设 计 ． 常 有 以下 ３个 步骤 ： 通
递 归 部 分 ｝ ／
在 定 义 一个 过 程 或 函 数 时 出现 了调 用 本 过 程 或 者 函数 的成
分 ．ｇ 调 用 自己 本 身 ， 称 之 为 直 接 递 归 ， 过 程 函数 Ｐ调 用 过 口 这 若
｝ 下面 应 当 设 置边 界 条 件 ， 则 程 序 就 将 无 限递 归下 去 。 以 否 可 函数 改 为 ： ｆｃ （ ｔ ） ａｔｉ ｎＮ
应 的 程 序 显 得较 为 重 要 。 但是 ． 递 归 方 式 所 描 述 的 算 法 ， 用 在一 般 计 算 机 语 言 教材 中 占有 较 小 的篇 幅 ． 生 不 容 易 理 解 ． 不 明 学 弄 白递 归 函数 执行 的步 骤 及 过程 ．尤 其 需 要 自 已编 写 程 序 时 更 觉
增 加 或 减 少 ． 归 调 用 的 次数 必 须 是 有 限 的 ． 须 有 递 归 结 束 的 的 圆 盘 ， 号 为 １２ … … ｎ １ ｎ 现 在 要 把 Ａ 上 的 Ｂ个 盘 移 到 递 必 编 、、 一 、。
归结为” 简单… 较 情形 的 计 算 ． 得 到 计 算 结 果 为 止 。 对 于 问题 并 定 义 是 递 归 的 ．数 据 结 构 是 递 归 的 ．问 题 解 法 是 递 归 的 ，都 可
以 采 用递 归 方 法 来 处理
｛ ｒ ｕｎＮ ｆｃ ｅ ｒ ａｔ 一 ｌ ｔ １
算法与程序设计知识点
算法与程序设计知识点1.数据结构1.1 数组数组是一种线性数据结构，用于存储固定大小的相同类型的数据元素。
1.2 链表链表是一种线性数据结构，由一系列节点组成，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
1.3 栈栈是一种先进后出（LIFO）的数据结构，只能在栈顶进行插入和删除操作。
1.4 队列队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，只能在队首进行删除操作，在队尾进行插入操作。
1.5 树树是一种非线性的数据结构，由一组以层次关系存储的节点组成。
1.6 图图是一种非线性的数据结构，由一组节点和边组成，用于表示事物之间的关系。
2.排序算法2.1 冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，重复地比较相邻的两个元素，若顺序错误则交换位置。
2.2 插入排序插入排序是一种简单直观的排序算法，将未排序序列中的元素依次插入到已排序序列的适当位置。
2.3 选择排序选择排序是一种简单的排序算法，每次从未排序序列中选择最小（或最大）的元素放到已排序序列的末尾。
2.4 快速排序快速排序是一种常用的排序算法，通过递归地分解问题，然后组合结果得到有序序列。
2.5 归并排序归并排序是一种分治法排序算法，将序列分成两个子序列，分别排序，然后再合并结果。
3.编程基础3.1 变量和表达式变量是用于存储数据的占位符，表达式是由操作符和操作数组成的计算式。
3.2 控制结构控制结构用于控制程序的执行流程，包括条件语句（if-else）、循环语句（for、while）、跳转语句（break、continue）等。
3.3 函数和过程函数是一段封装了特定功能的代码，过程是一段没有返回值的函数。
3.4 异常处理异常处理用于捕获和处理程序中出现的异常情况，以保证程序的正常执行。
4.算法设计4.1 递归和迭代递归是一种通过调用自身解决问题的方法，迭代是通过循环解决问题。
4.2 动态规划动态规划是一种通过将问题分解为子问题的方法来解决复杂问题。
4.3 贪心算法贪心算法是一种通过每一步选择最优解来求解整体最优解的方法。
迭代算法和递归算法
迭代算法和递归算法迭代算法与递归算法是计算机程序行解决复杂问题的重要技术手段，两种算法都可以通过多次重复求解问题的步骤，以达到最终解决问题的目的，但是两种算法的实现方式却有着本质的区别，下面将对迭代算法与递归算法技术进行详细的介绍。
一、迭代算法1、定义：迭代算法是一种按照顺序多次重复执行相同或相似的操作，从而解决问题的算法。
2、特点：（1）迭代算法依靠循环覆盖后面的步骤来完成工作，每次循环处理当前步骤直到问题被完全解决；（2）一般情况下，可解决的问题版型是固定的，在特殊情况下（如终止条件尚不满足）也可以依据循环继续处理；（3）迭代算法的时间复杂度不受输入数据的影响，只取决于要循环的次数；（4）由于迭代算法主要依赖循环，所以需要设置循环计数器，以保证算法的正确性。
3、优势：（1）迭代算法的实现相对比较简单，因为它可以利用细粒度的代码片段，从而降低实现的成本。
（2）迭代算法更适合处理大规模的数据，因为它可以通过在循环体中对数据进行分段处理，从而实现处理效率的优化。
（3）迭代算法结构清晰易懂，能够比较容易的评估出最终要实现的效果，从而简化程序开发流程。
二、递归算法1、定义：递归算法是一种将问题逐级分解求解的计算机算法。
2、特点：（1）递归算法通过把大问题分解为小问题的方式来解决，在分解得到的小问题原理上，与原始问题有相同的求解方式；（2）递归算法在求解过程中所需要不断重复执行，并且遵循“每次迭代都靠近解决结果”的原则；（3）递归算法是一种自上而下的求解算法，它依赖于自身来实现；（4）因为要把大问题分解为小问题，所以每次递归都需要多次求解，如果问题规模很大，递归处理会耗费大量的时间和空间。
3、优势：（1）递归算法的编写相对比较简单，它利用同一个函数调用自身完成对问题的求解；（2）递归算法可以把一个复杂的算法分解为若干简单的子问题，从而实现算法的优化；（3）递归算法可以从运行效率和内存消耗方面提高复杂算法的运行性能。
迭代和递归的实例
迭代和递归的实例迭代和递归是编程中两种常见的算法思想，它们都可以用来解决某些问题，但它们的实现方式和适用场景有所不同。
1. 迭代（Iteration）迭代是一种通过循环来解决问题的方法。
迭代通常从初始值开始，通过重复执行一系列操作，逐渐逼近最终结果。
以下是一个使用Python实现的简单迭代例子：```pythondef iterative_sum(numbers):total = 0for num in numbers:total += numreturn total```这个例子中的`iterative_sum`函数使用迭代的方式计算给定数字列表的总和。
在每次循环中，它将当前数字添加到`total`变量中，最终返回结果。
2. 递归（Recursion）递归是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。
递归函数会直接或间接地调用自身来处理子问题，最终解决原始问题。
以下是一个使用Python实现的简单递归例子：```pythondef recursive_sum(numbers, index=0):if index < len(numbers):return recursive_sum(numbers, index + 1) + numbers[index]else:return 0```这个例子中的`recursive_sum`函数使用递归的方式计算给定数字列表的总和。
在每次递归调用中，它将索引增加1，并将当前索引处的数字加到返回值中。
当索引等于列表长度时，递归停止，返回0作为基准情况。
最终，递归函数返回所有数字的总和。
常见的程序设计方法
常见的程序设计方法常见的程序设计方法1. 顺序程序设计顺序程序设计是一种最基础的程序设计方法，它是按照程序中各个语句的先后顺序执行，没有分支和循环的控制结构。
程序从开始执行，按照语句的顺序逐一执行，直到结束。
2. 分支程序设计分支程序设计是在程序执行过程中根据条件的不同选择执行不同的语句或语句块。
常见的分支程序设计包括if语句和switch语句。
if语句根据条件的真假执行不同的代码块，而switch语句根据不同的取值执行相应的代码块。
3. 循环程序设计循环程序设计是在程序执行过程中根据条件的不同重复执行某段代码块。
常见的循环程序设计包括while循环、do-while循环和for循环。
while循环在执行前先判断条件，如果条件为真则执行循环体，执行完循环体后判断条件，直到条件为假才结束循环。
do-while循环先执行一次循环体，然后再判断条件，如果条件为真则继续执行循环体，直到条件为假才结束循环。
for循环是一种常用的循环结构，它在执行前初始化一个计数器，然后在每次循环迭代时执行循环体，并更新计数器，直到满足循环结束的条件。
4. 递归程序设计递归程序设计是指一个函数在函数体内调用自身的过程。
递归函数通常包含一个或多个终止条件，当满足终止条件时，递归停止并返回结果，否则继续调用自身进行下一步计算。
5. 模块化程序设计模块化程序设计是将整个程序划分为多个模块或函数的过程。
每个模块或函数负责完成特定的任务，通过调用其他模块或函数实现功能的组合。
模块化程序设计使得程序结构清晰，易于维护和调试，并且可以提高代码的重用性。
6. 面向对象程序设计面向对象程序设计是一种基于对象的程序设计方法。
面向对象程序设计的核心概念是类和对象，通过定义类来描述对象的属性和行为，并通过创建对象来实现功能。
面向对象程序设计具有封装性、继承性和多态性等特点，使得程序的设计和开发更加灵活和可扩展。
，常见的程序设计方法包括顺序程序设计、分支程序设计、循环程序设计、递归程序设计、模块化程序设计和面向对象程序设计。
迭代算法、递归算法区别
迭代算法、递归算法区别迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只?分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有以下是引用片段：u1=1，u2=u1+u1×1=2，u3=u2+u2×1=4，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：以下是引用片段：un=un-1×2(n≥2)对应 u n 和 u n - 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：以下是引用片段：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。
5.2.2 递归-教学设计(表格式)
例如：33和9 的最大公约数就是9与6的最大公约数3
以下程序#号划线处代码为（ ）
A.a B. gcd(b,a%b)
C. gcd(b,a//b) D. gcd(b,a)
2. def zh(n):
if n<=1:
f='1'
else:
f=zh(n//2)+str(n%2)
def fx(n):
if n<2:
（1）
else:
（2）
return f
print（fx(10))
（2）程序设计并调试：
一个楼梯有n阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。要求：编写一个程序，输入一个正整数n(表示楼梯阶数)，输出共有多少种不同的走法可以到达第n阶。
九、汉诺塔游戏：
1. 抽象与建模
return f
print(zh(18))
该程序段运行后的输出值为( )
A、10100 B、10010 C、11010D、11000
3.有如下数列a1,a2,a3,…的定义如下:
a1=1,a2=1 ,…,an =3an-1+2an-2(n>2)。为求该数列的第n项值,现利用递归算法实现,Python代码如下,请在划线处填入合适的代码。
（2）函数的描述中包含其本身。
（1）抽象建模
（2）设计算法
（3）编写程序并调试
六、课堂实践：用递归算法求n 的阶问题。
2、用递归函数替代多重循环。
3、解决本来就是用递归形式定义的问题。
八、课堂小练：
（1）用递归算法求裴波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13 ……（填空）
2.设计算法
递归程序设计
5 - 20
上述讨论表明： (1) 递归程序可以采用不同的计算规则来进行计算； (2) 采用不同的计算规则来计算递归程序时，对相同的变元，计算过程 可能终止，也可能不终止； (3) 如果对于不同的计算规则，相应的递归程序（对相同的自变元）的 计算过程都终止，则它们所得的结果一定相同； (4) 在(3)的情况下，因为计算过程不同，所以虽然得到的结果相同，但 其效率（计算时间和存储量）却可能差别大。 总之，在递归程序的执行过程中，计算规则的选取是很重要的。本章及 后面的章节中，将统一规定: 采用”最左，最内”的计算规则，即在计算过程中，总是先计算最 内层的F中最左的一个。 例如，在例6中，计算A(1,2)的第一种计算顺序就是按”最左，最 内”的计算规则进行的。但在例7中，按”最左，最内”的计算规则 去计算F(1,2)却是不终止的，故不能认为F(1,2)＝0. 虽然”最左，最内”的规则未必是最佳的，但现今具有处理递归调用 功能 的程序设计语言大都采用这种计算规则。
5-7
递推与递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，它在复 杂算法的描述中经常被采用。能采用递归描述的算 法通常有这样特征，为求解规模为N的问题，设法 将它分解成一些规模较小的问题，然后从这些小问 题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较 小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成 规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规 模稍大问题的解。特别的，当规模N=1时，能直接 得到解。
5 - 15
…递归程序的例子…
例３ Fibonacci函数 φ(x)if x=0 then 0 else if x=1 then 1 elseφ(x-1)+ φ(x-2) 其中，x为非负整数 我们有φ(0)=0 φ(1)=1 φ(2)= φ(1)+ φ(0)=0+1=1 φ(3)= φ(2)+ φ(1)=1+1=2 φ(4)= φ(3)+ φ(2)=2+1=3 φ(5)= φ(4)+ φ(3)=3+2=5 … 例４ 计算xy 利用下述公式不难编出相应的递 归程序 F(x,y)= xy: 1 y=0 F(x,y)=1 2 y为偶数 F(x,y)=(x*x)y/2 3 y为奇数 F(x,y)=xy-1*x F(x,y)if y=0 then 1 Else if even(y) then F(x*x,y/2) Else F(x,y-1)*x 其中，x 为正实数；y为非负整数 例如：F(4,3)=F(4,2)*4=F(16,1)*4 =F(16,0)*64=64
递归与迭代
算法思路：将64个盘子的梵天塔问题转化为求解63 个盘子的梵天塔问题。如果63个盘子的梵天塔问题能够 解决，则可以先将63个盘子移动到第二个柱子上，再将 最后一个盘子直接移动到第三根柱子上，最后又一次将 63个盘子从第二根柱子移动到第三根柱子上，这样就解 决了64个盘子的梵天塔问题。依次类推，63个盘子梵天 塔问题又可以转化为62个盘子的梵天塔问题，62个盘子 梵天塔问题又可以转化为61个盘子的梵天塔问题，……， 3个盘子梵天塔问题又可以转化为2个盘子的梵天塔问题， 2个盘子梵天塔问题又可以转化为1个盘子的梵天塔问题。 再由1个盘子的梵天塔的求解求出2个盘子的梵天塔的求 解；由2个盘子的梵天塔的求解求出3个盘子的梵天塔的 求解；……，由62个盘子的梵天塔的求解求出63个盘子 的梵天塔的求解；由63个盘子的梵天塔的求解求出64个 盘子的梵天塔的求解。
与数学归纳法现对应，递归由递归基础和递归步骤两 部分组成。 例如：一序列为：2、5、11、23、……， 其递归定义可以为： a1=2； 递归基础 an=2*an-1+1，n=2，3，4，…… 递归步骤 例如：阶乘F( n)=n!的递归定义可以为： F(0)=1； 递归基础 F(n)=n*F(n-1)，n=2，3，4，……递归步骤
调用f函数
间接递归是指函数F1调用了函数F2， F2又调用了F1。
f1函数 f2函数
调用f2函数
调用f1函数
并不是所有的问题都能用递归算法求解， 能够采用递归求解的问题都具有以下的 两个特点： a) 一个大的问题可以逐步转化为规模稍 小的的类似问题，直到简化为一个简单 问题 b) 递归有明确的终止条件 具有明确的终止条件的递归问题才是有意 义的，否则，无限递归下去将永远耗费 计算机资源却得不到解，没有实际意义。
解读递归和迭代的区别（实例说明）
解读递归和迭代的区别（实例说明）话不多说，我们先⽤偏官⽅的语⾔来讲解⼀下什么是递归和迭代⽅法调⽤⾃⾝称为递归；利⽤变量的原值退出新值称之为迭代。
那么各⾃都有什么优缺点呢？递归优点：⼤问题转换为⼩问题，可以减少代码量，同时在代码精简的基础上，造成可读性好。
缺点：递归调⽤浪费了空间，⽽且递归太深的时候容易造成堆栈溢出。
迭代优点：代码运⾏效率好，因为时间只是与循环次数呈⼀个线性关系，⽽且没有额外的空间开销；也就是空间复杂度降低。
缺点：代码相交递归来说，不够简洁，可读性较差。
时间项⽬经验总结两者的取舍问题：那么实际的开发过程中，我们如何取舍呢？对于笔者的项⽬经验中，⼏乎是使⽤递归来完成业务需求的，很多的层级树、功能点树都是使⽤递归的，原因在于什么呢?就是因为他思路更清晰，虽然说可能需要写两个⽅法之类的，但是在传统的web项⽬中，少不了有新⼈、或者团队协作中其他开发者接触到每个⼈的代码，那么对于⾃⼰的代码，不仅要算法效率⾼，还要考虑⼀个可读性，对于可读性，我个⼈觉得是必须存在的，项⽬的⼀个交接，⼀个赏⼼悦⽬，都得考虑，所以我们在平时写⼀个算法的时候，必须考虑到代码的可读性，不能太多的玩“骚操作”，不然这⽆疑是对接触你代码的⼈的⼀个巨⼤考验。
⽽且不仅对于其他⼈，可能⾃⼰⽽⾔，这套逻辑，半个⽉没接触了，然后注释可能写的不是很直观，那么你需要对这段code进⾏⼀个修改，更新。
⾃⼰捡起来也是很困难的。
所以关于上⾯两者的取舍，我认为优先考虑可读性。
那么我们考虑到了可读性，那么也得对其的弊端进⾏⼀个解决⽅案。
递归是⼀个很容易造成溢出的算法，所以在笔者的实际开发中都会对递归的层次设定⼀个最⼤值，那么这个最⼤值是容许范围内的，那么说，对于⼀个业务需求来说，可能这段代码，这个递归所解决的需求，我作为实现开发⼈员，我很清楚的知道它是有⼀个最⼤值的，且在这个递归最⼤深度值⾥⾯，是可以保证完成递归需要的，所以说，如果递归达到这个最⼤值的时候，那么递归就必须返回，即使没有完成（如果没有完成，那就是异常情况了）。
递归和迭代的区别及关系
递归和迭代的区别及关系
计算机编程技术中，递归和迭代是两个绕不开的词语。
它们都表示对特定任务的重复执行，两者都是循环出现。
因此，它们也被误认为是一种技术，但实际上它们是相互影响、相互关联的比较技术。
那么，递归和迭代究竟有何区别和关系呢？
递归和迭代的首先区别在于，递归技术是以类似“自己调用自己”的方式运行的，而迭代技术是以每次累计的方式运行，而累计的结果可以作为判断的依据。
接下来，进一步讨论递归和迭代的差异。
递归技术通常是采用分治算法，即一个复杂的任务分解成若干个规模相对较小且相同性质的子任务，再将子任务本身也形成一个更大的问题，即将原问题分解至简单的问题。
迭代技术通常是采用从头到尾的算法，每次重复的步骤只会产生累计的结果，而不受到外部的影响，这样可以在一定程度上减少程序的复杂性。
此外，递归和迭代也有一定的共同性。
首先，它们都是循环出现的技术，它们都是用来解决每一步之后的某种重复问题；其次，递归和迭代都需要事先确定结束条件，以确保算法能够最终终止。
最后，要更深入地讨论递归和迭代的关系，要从它们是如何共同协作、实现某一类任务的结果来看。
从理论上讲，递归和迭代的结合可以大大改善算法的性能，这是因为递归分解问题后能够节约中间结果，而迭代则可以有效地拓展数据，使之实现更高的精度和更大的数据量。
比如，当程序要处理的任务比较复杂、使用递归或迭代单独处
理效率都不高时，综合运用递归和迭代可以达到更好的效果。
总之，递归和迭代不仅有明显的区别，而且也存在一定的关系，它们之间的关系恰恰体现在程序设计过程中，在许多情况下组合使用递归和迭代能够更有效地处理程序中的任务。
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优化后的迭代算法
void reverse(char * s) { int top=0; while(*s!=’\0’) { top++; s++; } while (top!=0) { putchar(*s); s--; top--; } }
例2：写一个求数组a[n]中的最大元素的递归算法并将其改写 成迭代算法。
优化后的迭代算法 int max (int i) { int j, k=n-1; for (j=n-2; j>=i; j--) if (a[j]>a[k]) k=j。
抽象控制递归算法
SOLUTION DandC (p, q) /* divide and conquer */ { int m; SOLUTION s1, s2, s; if( small (p, q) ) s=conquer (p, q); else { m=divide (p, q); s1=DandC (p, m); s2=DandC (m+1, q); s=combine (s1, s2); } return s; }
完全返回
4
*s=’\0’
调用结束，转返回处理
4
top=0
改写的迭代算法
void reverse (char * s) { extern ElemType stack[2*n+1], top=0; L1: if( *s!=’\0’ ) { stack[++top]=s; stack[++top]=L2; s=s+1; goto L1; L2: putchar(*s); } // 接下来处理返回语句 if(top==0 ) return; // 栈为空 else { addr=stack[top--]; // 恢复地址 s=stack[top--]; // 恢复参数 if(addr == L2) goto L2; } }
(8) 如果栈为空，直接返回.
(9) 否则，恢复返回地址和参数： 从栈中取返回地址，并把此地址赋给 一个未使用的变量； 从栈中取所有局部变量和参数，并赋 给相应的变量； (10) 如果这个过程是函数，插入一条语句， 计算紧跟在return后面的表达式并将其 入栈； (11) 用返回地址标号的下标实现对该标号 的转移。 }
S为空字符串吗？
NO
按逆序输出除S[0]外的子字符串
输出S[0]
返回
输出s=”abc”的递归过程
进入递归调用, top=0 顺序
1
递归调用返回, top=6 top=, s= 顺序
2, s+1 4, s+2 1
条件
*s=’a’
栈中元素
stack[1]=s, (’a’) stack[2]=L2, (putchar) stack[3]=s, (’b’) stack[4]=L2 , (putchar)
二、消除递归的一般步骤
例1：写一个递归函数 reverse (char * s)，按逆序输出一个字 符串，并将此递归算法改写成相应的迭代算法。
递归的基本思路——分治
YES
递归算法
void reverse (char * s) { if( *s!=’\0’ ) { reverse(s+1); putchar (*s); } return; }
if(top==0) return k; else { addr=stack[top--]; j=stack[top--]; i=stack[top--];
stack[++top]=k;
if(addr==L2) goto L2; }
思考题：
为什么k不作为局部变量在L1之后入栈，可否象i, j一样处理？
数据结构与算法设计试验
第三讲 递归与迭代
目的
分治法的思想 递归算法改写成迭代算法的一般方法
重点
递归算法理解 递归算法改与迭代算法的转化
难点
将递归算法改写成迭代算法的一般方法和实现
3.1 递归
一、递归算法的特点
符合人的递推求解问题的自然思维习惯 算法的结构简单，代码精炼，可读性好 效率低
作业
完成实验指导书的递归与迭代程序设计 。 考虑将作业二的递归过程改写为迭代过程。
if(top==0) return s； else { addr=stack[top--]; m=stack[top--]; q=stack[top--]; p=stack[top--]; stack[++top]=s; if(addr==L2) goto L2; else goto L3; } }
分治的思路:
a[i]
a[i+1] … a[n-1]
递归算法:
int max (int i) { int j=i, k; if(i<n-1) { j=max(i+1); if (a[i]>a[j]) k=i; else k=j; } else k=n-1; return k; }
(0) 开始，照搬（所有不涉及递归调用和返 int max(int i) { 回语句的代码都照搬） extern stack[4*n+1], top=0; (1) 定义和初始化堆栈(存储参数、局部变 int j=i, k; 量、返回值和返址). (2) 对第一条可执行语句定义标号L1,每次 递归调用执行步骤 (3). (3) 将所有参数和局部变量进栈. (4) 建立第i个返回地址的标号Li，进栈. (5) 计算本次递归调用实参的值，并赋给形 参变量. (6) 无条件转移到L1进入递归. (7) 如果是带返回值的调用，从栈顶取回 返回值并代替调用，其余代码按原方式 处理，并将(4)建立的标号附于该语句； 如果是不带返回值的调用，则将(4)建立 的标号直接附于(6)对应的语句之后的那 条语句. L1: if(i<n-1) { stack[++top]=i; stack[++top]=j; stack[++top]= L2; i=i+1; goto L1； L2: j=stack[top--]; if(a[i]<a[j]) k=i; else k=j; } else k=n-1;
条件
top=6
addr, s
addr=stack[6] s=stack[5] addr=stack[4] s=stack[3]
2
*s=’b’
2
top=4
3
*s=’c’
stack[5]=s, (’c’) stack[6]=L2 , (putchar)
6, s+3
3
top=2
addr=stack[2] s=stack[1]
抽象控制迭代算法
SOLUTION DandC (p, q) { extern ElemType stack[5*n+1], top=0; int m; SOLUTION s1, s2; L1: if(small(p,q)) s=conquer(p,q); else { m=divide(p,q); stack[++top]=p; stack[++top]=q; stack[++top]=m; stack[++top]=L2; p=p; q=m; goto L1; L2: s1= stack[top--]; stack[++top]=p; stack[++top]=q; stack[++top]=m; stack[++top]=L3; p=m+1; q=q; goto L1; L3: s2=stack[top--]; s=combine(s1,s2); }