考研数学二模拟题(新)
考研数学(数学二)模拟试卷420(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷420(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(χ)二阶连续可导，g(χ)连续，且f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(χ－t)dt，＝－2，则( )．A．f(0)为f(χ)的极大值B．f(0)为f(χ)的极小值C．(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点D．f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐点正确答案：C解析：显然f′(0)＝0，＝－2得g(0)＝0，g′(0)＝－2．由∫0χg(χ－t)dt∫0χg(u)du得f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(u)du．故(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点，选C．2．当χ＞0时，f(lnχ)＝，则∫-22χf′(χ)dχ为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由f(lnχ)＝得f(χ)＝，故选C．3．设z＝z(χ，y)由F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0确定，其中函数F 连续可偏导且af′1－cf′2≠0，则＝( )．A．aB．bC．cD．a＋b＋c正确答案：B解析：F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对χ求偏导得＝0，解得；F(az －by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对y求偏导得，故，因此选B．4．设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，其导函数的图形如图所示，则f(χ)有( )．A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点正确答案：C解析：设导函数的图形与χ轴的交点从左至右依次为A，B，C，在点A左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0．所以点A为f(χ)的极大值点，同理可知点B 与C都是f(χ)的极小值点．关键是点0处，在它左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0，而f(χ)在点O连续，所以点O也是f(χ)的极大值点(不论在χ＝0处f(χ)是否可导，见极值第一充分条件)，选C．5．设D为y＝χ，χ＝0，y＝1所围成区域，则arctanydχdy＝( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因此选B．6．设函数u＝f(χz，yz，χ)的所有二阶偏导数都连续，则＝( )．A．0B．χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C．z2f〞12＋zf〞32D．χzf〞11＋yzf〞22正确答案：C解析：因此选C．7．设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则( )．A．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关B．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关C．若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关D．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关正确答案：D解析：设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)＝n．因为BA＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s，A的列向量组线性无关，A项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n＝s，则A的行向量组线性无关，B项不对；若r(A)＝s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，C项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，故选D．8．设n阶方阵A的n个特征值全为0，则( )．A．A＝OB．A只有一个线性无关的特征向量C．A不能与对角阵相似D．当A与对角阵相似时，A＝O正确答案：D解析：若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝，于是A＝O，选D．填空题9．＝_______．正确答案：解析：10．设y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同，其中f(χ)可导，则＝_______．正确答案：解析：由y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同得f(0)＝0，f′(0)＝2．由∫0χf(χ－t)dt∫0χf(u)du11．＝_______．正确答案：10π解析：12．由方程χ＋2y＋z－2＝0所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，1，2)处的全微分dz＝_______．正确答案：dχ－2dy解析：χ＋2y+z－2＝0两边对χ求偏导得1＋＝0，则，z＋2y＋z －2＝0两边对y求偏导得2＋＝0，则＝－2，于是dz＝dχ－2dy．13．设函数y＝y(χ)在(0，＋∞)上满足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，则y(χ)＝_______．正确答案：χ(1－cosχ)解析：由可微的定义，函数y＝y(χ)在(0，＋∞)内可微，且y′＝＋χsin χ或y′－＝χsinχ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y＝＝(－cos χ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ)．14．设矩阵A＝不可对角化，则a＝_______．正确答案：0或4解析：由｜λE－A｜＝＝λ(λ－a)(λ－4)＝0，得λ1＝0，λ2＝，λ3＝4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a＝0或a＝4．当a＝0时，由r(OE－A)＝r(A)＝2得λ1＝λ2＝0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a＝0合题意；当a＝4时，4E－A＝，由r(4E－A)＝2得λ2＝λ3＝4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a ＝4合题意．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：先改写其中，则。
故选D。
知识模块：函数、极限、连续2．设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( ) A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。
在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。
故选C。
知识模块：一元函数微分学3．设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )A．C=P—1APB．C=PAP—1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。
这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。
考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。
知识模块：矩阵4．设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A．2．B．一1．C．．D．一2正确答案：D解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选D．知识模块：一元函数微分学5．对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( ) A．0。
B．1。
C．2。
D．以上都不正确。
正确答案：C解析：由f’(0)=1可知f(x)在x=0处连续。
考研数学二模拟392
考研数学二模拟392一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x))，f'(1)=1，则g(1)=A．1.B．0.C．2.D．正确答案：B[解析] 按题设令即．选B．方程x=ln(1+x)有唯一解x=0.2. 设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如图，则f(x)A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的．B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的．C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的．D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的．正确答案：B[解析] 当x∈(0，1)或x∈(3，4)时，在(0，1)，(3，4)单调下降；当x∈(1，3)时，在(1，3)单调上升．又f'(x)在(0，2)单调上升在(0，2)是凹的；f'(x)在(2，4)单调下降在(2，4)是凸的．因此，应选B．3.A．π．B．C．D．正确答案：B[解析一] 令[解析二][解析三] 令4. 下列命题中正确的是A.设(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则x=x0不是f(x)的极值点．B.设x=x0是f(x)的极小值点，f(x)在x=x0二阶可导，则f'(x0)=0，f"(x0)＞0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点x0，且x0是f(x)的极小值点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．D.若f'-(b)＜0，则f(b)不是f(x)在[a，b]的最大值．正确答案：D[解析一] 由举例易知A、B、C不正确．如图1所示，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点且x=x0是f(x)的极小值点．A 是错的．极小值点x0处可以有f"(x0)=0.如f(x)=(x-x0)4，x=x0是f(x)的极小值点，f"(x0)=0.B是错误的．若f(x)不连续，命题C不正确，如图2.f(x)在(a，b)有唯一驻点x0，是f(x)的极小值点，但f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值．因此，选D．图1图1[解析二] 由最值点处导数性质可知D正确．因为，若f(b)是f(x)在[a，b]的最大值且f'-(b)存在，则于是当f'-(b)＜0时，f(b)不可能是f(x)在[a，b]的最大值．选D．①设f(x)在(a，b)可导，若(x0，f(x0))是f(x)的拐点，则x=x0一定不是f(x)的极值点．因为此时若x=x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0，由于f'(x)在x=x0两侧升降性相反，那么f'(x)在x=x0两侧不变号，这与x=x0是f(x)的极值点矛盾了，因此x=x0不可能是f(x)的极值点．②若f(x)在(a，b)连续，x=x0是f(x)在(a，b)的唯一极值点，则x=x0一定是f(x)在(a，b)的相应的最值点．5.A.可导的奇函数．B.连续，但在x=0不可导的奇函数．C.可导的偶函数．D.连续，但在x=0不可导的偶函数．正确答案：A[解析] 因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以e x2+x2是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知是奇函数且处处可导．因此选A．不是f(x)在含x=0区间上的原函数．事实上，x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)，它在含x=0的区间上不存在原函数．6. 设常数0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a以及x+y=1围成．记则I，J，K的大小关系是A.J＜K＜I．B.J＜I＜K．C.I＜J＜K．D.I＜K＜J．正确答案：B[解析] 在区域D上有0＜x+y≤1，于是ln3(x+y)≤0≤sin2(x+y)≤(x+y)2≤(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在D上的积分值满足应选B．7. 已知A是3阶矩阵且则A.16.B.-16.C.256.D.-256.正确答案：D[解析] 由(kA)*=k n-1A*知(2A)*=22A*=4A*，又有以及A*=|A|A-1得8. 已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．正确答案：B[解析] B=βαT，则秩r(B)=1.由αTβ=-5，知矩阵B的特征值是-5，0，0.那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3，7，7.矩阵B关于λ=-5的特征向量就是矩阵A关于λ=-3的特征向量．而Bβ=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，所以应选B．二、填空题1. 设a n＞0(n=1，2，3，…)且则正确答案：1[解析] 记其中2. 已知则f(x)的连续性区间是______．正确答案：(0，+∞)[解析] 当0＜x≤e时当x＞e时显然，x∈(0，+∞)，x≠e时f(x)连续，又f(x)在x=e左连续且右连续，f(x)也在x=e连续．因此f(x)的连续区间是(0，+∞)．3. 已知f(x)(x∈[0，+∞))为非负连续函数，且满足则f(x)=______．正确答案：[解析] 注意于是原方程改写成先求由及Φ(0)=0，积分得最后得4. 设u=u(x，y)满足且u(0，y)=y2+1，则u(x，y)=______．正确答案：[解析] 将y看作常量，这是以x为自变量，函数u=u(x，y)的一阶线性微分方程改写成两边乘e-xy得对x积分得由因此5. 设φ(z)有连续导数，1-yφ'(z)≠0，z=z(x，y)由方程x=x+yφ(z)确定，则dz=______．正确答案：[解析一] 将方程z=x+yφ(z)两边求全微分dz=dx+d(yφ(z))dz=dx+φ(z)dy+yφ'(z)dz移项并解出[解析二] 先求出方程两边分别对x求偏导数并注意x，y为自变量，z=z(x，y)，于是由复合函数求导法得解出同理，方程两边对y求偏导数得因此6. 已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0，又知AB=O，其中B=，则齐次方程组Ax=0的通解是______．正确答案：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数[解析] 矩阵A各行元素之和均为0，即故(1，1，1)T是齐次方程组Ax=0的一个解．由AB=O，知，故(1，-1，1)T也是Ax=0的一个解．从而Ax=0至少有2个线性无关的解，即n-r(A)≥2，亦即r(A)≤1，又因A是非零矩阵，又有r(A)≥1.故必有r(A)=1，那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=2个线性无关的解向量构成，所以其通解为：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数．三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出：(Ⅰ)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)；(Ⅱ)求y(x)的单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．正确答案：[证明] 先证x=tlnt单调，必存在反函数，于是确定y=y(x)．再用参数求导法求出然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．(Ⅰ)因为在[1，+∞)单调上升，值域是[0，+∞)x=tlnt反函数，记为t=t(x)，它在[0，+∞)连续，t(x)≥1(单调连续函数的反函数连续)．再由连续函数的复合函数的连续性在[0，+∞)上连续．(Ⅱ)现知y(x)在[0，+∞)连续，再由参数式求导法有因此y(x)的单调增区间为x∈[0，e]，单调减区间为[e，+∞)，x=e为极大值点因此为y(x)的凸区间，为凹区间，拐点的横坐标是[解析] 于是因此y=y(x)有渐近线y=0.抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引一切线L2，L2与L1垂直．2. 求L1与L2的交点横坐标x1；正确答案：[解] 抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线方程为L1：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2．另一点(b，b2)处的切线方程为L2：y=b2+2b(x-b)即y=2bx-b2．由L1与L2垂直即L1与L2的交点(x1，y1)满足代入得3. 证明：L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积正确答案：[解] L1，L2与y=x2所围图形的面积由x1的表达式知4. 问a＞0取何值时S(a)取最小值．正确答案：[解] 求导解最值问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．5. 试将x=x(y)满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：[解] 这实质上是求反函数x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知，再由复合函数求导法知，代入原方程得即6. 求满足y(0)=0，y'(0)=1的y=y(x)．正确答案：[解] 求y=y(x)就是求解满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的可降阶微分方程(1)．看作不显含因变量y的类型，令得这是可分离变量的方程，分离变量解得p=1(p=0不合题意)或由p=1得，再由初值得y=x．由(2)式积分得即由初值得C=0，仍然只求得y=x．因此求得y(x)=x．[解析] ①这也是不显含x的一类可降阶的二阶微分方程令并以y为自变量，由方程(3)化为一阶微分方程对于原方程(1)，我们得(P=0不合题意)，于是分离变量得积分得ln|P-1|=y+C1，P-1=Ce y由y=0时，P=1得C=0，因此再由y(0)=1得y=x．②这也是伯努利方程(大纲中不要求，若熟悉)，P=0不合题意，P≠0时改写成两边乘e-x得积分并注意到P(0)=1得由及y(0)=0得y=x．7. 求不定积分正确答案：[解] 方法一而因此方法二8. 求极坐标系中曲线的弧长l．正确答案：[解] 先求按弧长计算公式得9. 设f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足又求正确答案：[解] 由复合函数求导法得现将①，②式相加得其中由条件知f"11+f"22=1.10. 求二重积分其中D由直线x=a，x=0，y=a，y=-a及曲线x2+y2=ax，(a＞0)所围成．正确答案：[解法一] 将D1看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换．于是于是如果积分区域关于x轴(或y轴)对称，考察被积函数关于y(或x)的奇偶性，往往会简化计算．[解法二] 在直角坐标系下计算而或因此于是[解法三] 被积函数x对x是奇函数，但积分区域D1关于y轴不对称，但关于对称．作平移变换：则D1变为关于v轴对称，于是[解析] J的积分区域如图阴影部分，设D1为由x=a，x=0，y=a，所围．由于D关于x轴对称，故11. 设P(x)=x3+ax2+bx+c，a，b，c，为常数，方程P(x)=0有三个相异实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，又求证：(Ⅰ)F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点；(Ⅱ)F(x)在(x3，+∞)恰有一个零点．正确答案：[证明] 对常数a，b，c均有进一步按题设应有P(x)＜0(x＜x1)，P(x)＞0(x∈(x1，x2))P(x)＜0(x∈(x2，x3))，P(x)＞0(x＞x3)P(x)在(-∞，+∞)连续．(Ⅰ)当x＜x1时时在(-∞，x1)无零点．F(x1)=0.当x∈(x1，x2)时时在(x1，x2]无零点．因F(x)在[x2，x3]连续，又即F(x)在(x2，x3)有零点．又因F'(x)=P(x)＜0(x∈(x2，x3))在在(x2，x3)有唯一零点．因此F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点(x1与ξ)．(Ⅱ)由当x＞x*时又因F'(x)=P(x)＞0 (x＞x3)在在(x3，+∞)恰有一个零点．已知矩阵与矩阵等价．12. 求a的值；正确答案：[解] 矩阵A和B等价和B均为m×n矩阵且秩r(A)=r(B)．对矩阵A作初等变换，有由秩r(B)=2，知r(A)=2，故a=6.13. 求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：对矩阵A作初等变换化为矩阵B，有把所用初等矩阵写出，得[解析] 本题考查矩阵等价，初等矩阵左乘、右乘问题．把矩阵A化为矩阵B的方法不唯一，因此可逆矩阵P，Q不唯一．设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．14. 证明矩阵A和对角矩阵相似；正确答案：[解] 矩阵A各行元素之和均为0，即知0是矩阵A的特征值，α1=(1，1，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以A～A．15. 如α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T，求矩阵A；正确答案：[解] 当α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T时，按已知有A(α1，α，β)=(0，3β，3α)即所以16. 用配方法化二次型x T Ax为标准形，并写出所用坐标变换．正确答案：[解]令即有。
考研数学二(选择题)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1.1．下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( )①若α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。
②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0。
③如果α1，α2，…，αn线性无关，则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…kn=0。
④如果α1，α2，…，αn线性相关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B解析：对于①，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。
不全为零与全不为零不等价，故①错。
②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。
对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k2，…，kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④错误。
事实上，当且仅当α1，α2，…，αn全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
综上所述，正确的只有两个，故选B。
知识模块：向量2．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2一α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3。
则r(β1，β2，β3，β4，β5)=( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)=(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C。
因四个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0，即A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵。
考研数学(数学二)模拟试卷446
考研数学（数学二）模拟试卷446(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设－1x f(t)dt，则F(x)在x=0处 ( )（分数：2.00）A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．√D.可导．解析：解析：有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续．而点x=c是f(x)的跳跃间断点．又设F(x)=∫ x0x f(t)dt，x 0∈(a，b) ．则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]但x≠c时，Fˊ(x)=f(x)；③Fˊ(c)必不存在，并且F －ˊ(c)，F +ˊ(c)=f(c － )．在做选择题时可套用此结论．由此定理可知应选C．3.当x→0时，下列3 ( )（分数：2.00）A.α，β，γ．B.γ，β，α．C.γ，α，β．D.α，γ，β．√解析：解析：对于γ低到高排列应是α，β，γ，选D．4.x=0处间断的是 ( )（分数：2.00）A.max{f(x)，g(x)}．B.min{f(x)，g(x))．C.f(x)－g(x)．√D.f(x)+g(x)．解析：解析：令故x=0是F(x)的一个间断点．选C．下面证明A，B，D中的函数在x=0处均连续，由于A中的F(x)=max{f(x)，g(x)}=1．显然此F(x)连续． B中的此F(x)在x=0处连续． D此F(x)在x=0处连续．5.设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件．B.充分条件而非必要条件．C.充分必要条件．√D.既非充分又非必要条件．解析：解析：先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以由于按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·△x+0·△y，即f xˊ(0，0)=0，f yˊ(0，0)=0．再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f xˊ(0，0)与f yˊ(0，0)必都存在．其中当x→0 +时，取“+”，当x→0 －时，取“－”．由于f(0，0)存在，所以φ(0，0)=－φ(0，0)，从而φ(0，0) =0．证毕．6.设n=0，1，2，…．则下列关于a n的关系式成立的是 ( )（分数：2.00）A.a n+2 =a n+1 + a n．B.a n+3 =a n．C.a n+4 =a n+2 + a n．D.a n+6 =a n．√解析：解析：由得f(0)=1，再由 f(x)(x 2－x+1)=x+1， (*) 两边对x求一阶导数，得fˊ(x)(x 2－x+1)+ f(x)(2x－1)=1．将x=0代入，得fˊ(0) －f (0)=1，fˊ(0)=f (0)+1=2．将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有 f (n) (x)(x 2－x+1)+C n1 f (n－1) (x)(2x－1)+C n2 f (n－2)(x)·2=0，将x=0代入，得 f (n) (0)－C n1 f (n－1) (0)+2 C n2 f (n－2) (0) =0，又因为所以有或写成 a n+2 =a n+1－a n，n=0，1，2，…． (**) 现在验算A～D中哪一个正确．显然，由递推公式(**)知， A的左边以a n+2 =a n+1－a n，仅当a n =0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确．再验算B．B的左边 a n+3 =a n+2－a n+1 = a n+1－a n－a n+1 =－a n，所以仅当a n =0时， B的左边等于B的右边，故B不正确．再验算C． C的左边 a n－4 =a n+3－a n+2 = a n+2－a n+1－a n+2 =－a n+1， C的右边 a n+2 + a n = a n+1－a n －a n =a n+1． C的左边等于C的右边，得a n－1 =0．n=0，1，2…．但这不正确．所以C也不对．余下只有D．以下可直接验算D正确．已证(**)式，所以对一切n，有 a n+6 =a n+5－a n+1 = a n+4－a n+3－a n+4 =－a n+3，从而 a n+6 =－a n+3 =－(－a n )= a n，n=0，1，2，…．所以D正确．7.设A，B，C为常数，则微分方程y″+2yˊ+5y=e －x cos 2 x有特解形式 ( )（分数：2.00）A.e －x (A+Bcos2x+Csin2x)．B.e －x (A+Bxcos2x+Cxsin2x)．√C.e －x (Ax+Bcos2x+Csin2x)．D.e －x (Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)．解析：解析：原方程可写成y″+2yˊ+5y= e －x + e －x cos 2x．特征方程是r 2 +2r+5=0．特征根r 1，2 =－1±2i．对位于自由项 e －x的一个特解形式为y 1* =Ae －x．对应于自由项 e－x cos 2x的一个特解形式为y2* =xe －x (Bcos 2x+Csin 2x)．所以原方程的一个特解形式为 y1* + y2* = e －x (A+Bcos 2x+Cxsin 2x)．故应选B．8.已知n维向量组α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的基础解系，则向量组aα1 +bα4，aα2 +bα3，aα3 +bα2，aα4 +bα1也是Ax=0的基础解系的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.a=b．B.a≠－b．C.a≠b．D.a≠±b．√解析：解析：向量组aα1 +bα4，aα2 +bα3，aα3 +bα2，aα4 +bα1，均是Ax=0的解．且共4个．故该向量组是Ax=0的基础解系〈=〉该向量组线性无关．因且α1，α2，α3，α4线性无关．则故应选D． B，C是充分条件，并非必要，A既非充分又非必要，均应排除．9.设，则A合同于（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：写出A对应的二次型，并用配方法化成标准形． F(x 1，x 2，x 3 )=x 12 +2x 1 x 2 +x 22－2x 32，知f的秩为2．正惯性指数为1(负惯性指数也为1)．这可排除选项A， B．选项C的二次型为x 12－x 22－x 32 +2x 2 x 2 = x 12－(x 2－x 3 ) 2．正负惯性指数和题干中矩阵对应的二次型一致．而选项D中二次型为 x 12 +x 22 +2 x 1 x 2 +2x 32 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 32，正惯性指数为2．故应选C．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设y=y(x)由方程所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－2π）解析：解析：由，将x=0代入，有y=1．再将所给方程两边对x求导，得x=0，y=1代入，得yˊ| x=0 =3，y″| x=0 =－2π．(－∞，+∞)内连续的充要条件是a= 1，b= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：应写出f(x)的分段表达式．在x=1处，所以在x=1处连续的充要条件是1=a+b=(1+a+b)．在x=－1处，所以在x=－1处连续的充要条件是－1=a－b=(－1+a+－b)．所解得a=0，b=1．12.设y=y(x)由y 3 +(x+1)y+x 2 =0及y(0)=0所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：此未定式为“ ”型．求导中要用到yˊ(0)，y″(0)，先求出备用．由y 3+(x+1)y+x 2 =0，两边对x求导 3y 2yˊ+(x+1)yˊ+y+2x=0．以y(0)=0代入，得0+ yˊ(0)=0，有yˊ(0)=0．再求导，6y(yˊ) 2+3y 2y″+ yˊ+(x+1)y″+ yˊ+2x=0．以y(0)=0，yˊ(0)=0代入，有0+0+0+ y″+0+2=0，y″(0)=－2．则13.设y″的系数为1的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为y 1* =(1－x+x 2 )e x与y 1* = x 2 e x则该微分方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y″－2yˊ+y=2e x）解析：解析：y 1*－y 2* =(1－x) e x为对应的二阶常系数齐次线性方程的一个解，故知r=1是该齐次方程对应的特征方程的二重特征根，故特征方程为 r 2－2r+1=0，所以该二阶常系数齐次微分方程为y″－2yˊ+y=0，设该非齐次方程为y″－2yˊ+y=f(x)．将y 2* =x 2 e x代入上述方程的左边，得 f(x)=2e x所以该微分方程为y″－2yˊ+y==2e x．14.设fˊ(lnx)=xlnx，则f (n) (x)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e x (x+n－1)）解析：解析：由fˊ(lnx)=xlnx，则fˊ(x)=xe x．由莱布尼茨高阶导数乘法公式．有 f (n) (x)=(xe x ) ( n －1) =e x x+Cn－11 e x·(x)ˊ+0=e x (x+n－1)．15.A，B等价，则参数t应满足条件 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t=4）解析：解析：A≌B〈=〉r(A)=r(B)．现由知r(B)=2r(A)=r(B)=2，故t=4．三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学模拟试题数学二
1
1 y2
（ B ） 2 dy 0
1 y2 f ( x, y )dx
1
1 y2
（ D） 2 dy
f ( x, y)dx
0
0
f ( x, y)dxdy
x2 y2 1
2
f ( x, y)dxdy
x2 y 2 1, y 0
1
2 dy 0
1 y2
1 y2 f (x, y)dx .
4.微分方程 y 2 y x e2x 的特解 y* 形式为（） .
mg kv2， dv dt
kv 2
g
，
m
记 a2
g,b2
k dv
，
m
积分得
1
bv arctan
t
ab
a
a2
b2 v2 ，
dv a 2 b2 v2
C ， t 0 时， v v0 ，故 C
dt ，
1 arctan bv0 ，
ab
a
1
bv
arctan
ab
a
t 1 arctan bv0 ，
ab
a
令 v 0 ，得上升到最高点的时间为 t1 1 arctan bv0
.
zy
解 答案为 xf3 x 2 yf32 x 2 yzf33 . u xyf 3 z 2u z y xf3 xy( f 32 x f33 xz) xf3
x2 yf32
x 2 yzf33
yx
x
11.设微分方程 y
( ) 的通解为 y
，则 ( x)
.
x
y
ln Cx
解 答案为
1
x
x2 . 将 y
代入微分方程，得
2022考研数学二模拟试卷二答案解析
4
解 由题意知 r( A) 1，A 对称, 从而 A* 也对称.又因为 A (1,1,,1)T 3(1,1,,1)T ，所以 A*
的特征值为 3, 0, 0,, 0 , 对称阵不同的特征值对应的特征向量正交， Ax 0 的解与特征值 3 对应
的特征向量 (1,1, ,1)T 正交， Ax 0 与 x1 x2 x3 xn 0 同解. Ax 0 的通解为 x k1(1,1, 0,, 0)T k2 (1, 0,1,, 0)T kn1(-1,0,0,,1)T，ki 为任意实数．
(9) 答案：选（A）.
解 记 A (1,2,3,4 ) ，由已知的向量表示可知
0 1 2 1
(1,2 ,3,4 )
(1,2 ,3,4 )
1 2
0 2
1 0
4 1
，
1
5
4
0
记作 A AB ，从而 A(B E) O ，故 r(A) r(B E) 4 ，又 r(B E) 3 ，故 r(A) 1.再因为
解
z x
f1
f2
，
z y
cf1
cf
2
；
2z x2
f11 2 f12
f
22
，
2z y 2
c2
f11
c2
f12
c2
f
21
c2
f
22
c2 f11
2c2
f12
c2
f
22
，
2z x2
1 c2
2z y 2
4
f12.
（14）答案：填 .
解 F(t)
f (x 2 y 2)dxdy 2 d t f (r 2)rdr 2 t f (r 2)rdr ，所以
考研数学模拟试卷(数学二)(附答案,详解)
考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（ ）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（ ）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.设()f x 是奇函数，除0=x 外处处连续，0=x 是其第一类间断点，则⎰xdt t f 0)(是（ ）.（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在0=x 间断的奇函数 （D ）在0=x 间断的偶函数. 5.函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点有（ ）. （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个.6.若)(),()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)('>x f ，0)(''<x f ，则()f x 在),0(+∞内 有（ ）.（A ）0)('>x f ，0)(''<x f （B ）0)('>x f ，0)(''>x f（C ）0)('<x f ，0)(''<x f （D ）0)('<x f ，0)(''>x f7. 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=.若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.(A) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C) 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（ ）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 设()f x 二阶可导，2)0(",1)0(',0)0(===f f f ，则2()limx f x xx→-= . 10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线为 .12. 设()f x 是连续函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则()f x = .13.若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则=a ，=b .14.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 三、解答题（本题共9小题，满分94分。
考研数学(数学二)模拟试卷450(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷450(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(u)为u的连续函数，并设f(0)＝a>0．又设平面区域σ1＝{(x，y)｜｜x｜﹢｜y｜≤t，t≥0}，Ф(t)＝f(x2﹢y2dxdy．则Ф(t)在t＝0处的右导数Ф’﹢﹢(0)＝( )A．a．B．2πa．C．πa．D．0．正确答案：D解析：令Dt＝{(x，y)｜x2﹢y2≤t2)，于是＝{(x，y)｜x2﹢y2≤}．由于f(u)连续且f(0)＝a>0，所以存在T>0，当0﹤t2﹤T时，f(t2)>>0．而当0≤x2﹢y2≤t2﹤T时，f(x2﹢y2)﹥>0．此外，关于3块区域，显然有所以当0﹤t2﹤T时，此外显然有Ф(0)＝0．于是有即Ф’﹢(0)＝0．2．微分方程y”－2y’﹢y＝ex的特解形式为( )A．y*＝Aex(A≠0)．B．y*＝(A﹢Bx)ex(B≠0)．C．y*＝(A﹢Bx﹢Cx2)ex(C≠0)．D．y*＝(A﹢Bx﹢Cx2﹢Dx3)ex(D≠0)．正确答案：C解析：因为方程右边ex指数上的1是特征方程的二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A≠0)，即(C)中C≠0的形式．故应选(C)．3．设f(x)在x＝a处可导，则｜f｜(x)在x＝a处不可导的充分必要条件是( )A．f(a)＝0，f’(a)＝0．B．f(a)＝0，f’(a)≠0．C．f(a)≠0，f’(a)≠0．D．f(a)≠0，f’(a)≠0．正确答案：B解析：若f(a)≠0，则存在x＝的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，当x∈U(a)时，若f(a)>0，则｜f(x)｜＝f(x)；若f(a)﹤0，则｜f(x)｜＝－f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x＝a处总可导．其中x→a﹢时取“﹢”x→a －时取“－”，所以f(a)＝0时，｜f(x)｜在x＝a处可导的充要条件为｜f’(a)｜＝0，即f’(a)＝a．所以当且仅当f(a)＝0，f’(a)≠0时，｜f(x)｜在x＝a处不可导，选(B)．4．f(x)＝在区间(－∞，﹢∞)内零点的个数为( )A．0．B．1．C．2．D．无穷多．正确答案：C解析：f(x)为偶函数，f(0)﹤0，>0，所以在区间(0，)内f(x)至少有1个零点．当x>0时，所以在区间(0，﹢∞)内f(x)至多有1个零点．故在区间(0，﹢∞)内f(x)有且仅有1个零点，所以在区间(－∞，﹢∞)内f(x)有且仅有2个零点．选(C)．5．设f(x)在x＝x0的某邻域U内有定义，在x＝x0的去心邻域内可导，则下述命题：①f’(x0)存在，则f’(x)也必存在．②设f’(x)存在，则f’(x0)也必存在．③设f’(x0)不存在，则’(x0)也必不存在．④设f’(x)不存在，则’(x0)也必不存在．其中不正确的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：D解析：举例说明所述命题没有一个是正确的．①的反例：设所以①不正确，②的反例：设则当x≠0时，f’(x)＝0，f’(x)＝(存在)，而f(x)在x＝0处不连续，所以f”(0)不存在．所以②不正确．③的反例，可取与②同一反例，所以③不正确．④的反例，可取与①同一反例，所以④不正确．所以选(D)．6．设当x>0时，f(x)连续且严格单调增加，F(x)＝∫0x(2t－x)f(t)dt，则F(x)在x>0时( )A．没有驻点．B．有唯一驻点且为极大值点．C．有唯一驻点且为极小值点．D．有唯一驻点但不是极值点．正确答案：A解析：F(x)＝∫x0(2t－x)f(t)dt＝2∫x0tf(t)dt－x∫x0f(t)dt，F’(x)＝2xf(x)－xf(x)－∫x0f(t)dt－xf(x)－∫x0f(t)dt ＝∫x0[f(x)－f(t)]dt．由于f(x)严格单调增加，可知当t∈(0，x)时，f(x)>f(t)，故当x>0时，f’(x)＝∫0x[f(x)－f(t))]dt﹥0，也即F(x)在x>0时没有驻点．故应选(A)．7．设A，B均是4阶方阵，且r(A)＝3，A*，B*是矩阵A，B的伴随矩阵，则矩阵方程A*X＝B一定有解的充要条件是( )A．r(B)≤1．B．r(B)≤2．C．r(B)≤3．D．r(B)≤4．正确答案：B解析：由题设条件知，r(A)＝3，则r(A*)＝1．A*X＝B有解r(A*)＝r(A*B*)＝1r(B*)≤1．而当r(B*)＝1时，有可能使r(A*B*)＝2．如则r(A*)≠r(A*B*)A*X ＝B*无解．故r(B*)＝0，此时r(B)≤2，有r(A*)＝r(A*B*)＝1A*X＝B*有解．故应选(B)．8．设( )A．P1P2A．B．P2P1A．C．AP1P2．D．AP2P1．正确答案：A解析：B是上三角形矩阵，应作初等行变换将A中下三角元素a21＝－1，a32＝2消为0，故应选(A)．填空题9．设y＝y(x)是由所确定，则曲线y＝y(x)在t＝0对应的点处的曲率k＝_______．正确答案：解析：10．设un＝_______．正确答案：解析：11．正确答案：e－2解析：所以原式＝e－2．12．已知y＝u(x)x是微分方程的解，则在初始条件｜x＝2下，上述微分方程的特解是y＝_______．正确答案：2xtan(x－2)解析：由y＝u(x)x，有于是原方程化为由于初值为x＝2，所以在x＝2的不包含x＝0在内的邻域上，上述方程可改写成以x＝2，y＝0代入，得u=0，C＝－2．从而得特解y＝u(x)x＝2xtan(x－2)．13．圆周x2﹢y2＝16与直线L：﹢y＝4围成的小的那块弓形状的图形绕该直线L旋转一周生成的旋转体(形如橄榄状)的体积V＝______．正确答案：解析：原点到直线L：x﹢y＝4的距离所以直线y＝2与圆周x2﹢y2＝16围成的小的那块弓形状的图形绕直线y＝2旋转一周生成的旋转体体积与题中要求的旋转体体积相同．由此有14．设是等价矩阵，则a＝______．正确答案：－3解析：由矩阵A与B等价可得r(A)＝r(B)，其中故a﹢3＝0，解得a＝－3．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(高等数学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷50(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．设y=f(x)与y=sinx在原点相切，求正确答案：由题意得f(0)=0，f’(0)=cosx|x=0=1，涉及知识点：高等数学2．设f(x)在(一∞，+∞)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．正确答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax．涉及知识点：高等数学3．设f(x)可导，y=f(cos2x)，当x=处取增量△x=一0．2时，△y的线性部分为0．2，求正确答案：涉及知识点：高等数学4．设y=xsin2x，求y’．正确答案：涉及知识点：高等数学5．设正确答案：涉及知识点：高等数学6．设y=x(sinx)cosx，求dy．正确答案：lny=lnx+coslnsinx，两边微分得涉及知识点：高等数学7．设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求dy|x=0．正确答案：当x=0时，y=1．2xy=x+y两边关于x求导得涉及知识点：高等数学8．设函数y=y(x)由x+y=tany确定，求dy．正确答案：x+y=tany两边关于x求导得涉及知识点：高等数学9．设y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx确定，求正确答案：x=0代入得y=1，ln(x2+y)=x3y+sinx两边关于x求导得=3x2y+x3y’+cosx，将x=0，y=1代入得涉及知识点：高等数学10．求2y一x=(x—y)ln(x—y)确定的函数y=y(x)的微分dy．正确答案：2y—x=(x—y)ln(x—y)关于x求导得涉及知识点：高等数学11．设由sinxy+ln(y—x)=x确定函数y=y(x)，求y’(0)．正确答案：x=0时，y=1，sinxy+ln(y—x)=x两边对x求导得将x=0，y=1代入得．即y’(0)=1．涉及知识点：高等数学12．设由e-y+x(y—x)=1+x确定y=y(x)，求y”(0)．正确答案：x=0时，y=0．e-y+x(y—x)=1+x两边关于x求导得一e-yy’+y一x+x(y’一1)=1，则y’(0)=一1；一e-yy’+y—x+x(y’一1)=1两边关于x求导得e-y(y’)2一e-yy”+2(y’一1)+xy”=0，代入得y”(0)=一3．涉及知识点：高等数学13．设y=y(x)由确定，求正确答案：x=0时，y=1．涉及知识点：高等数学14．设siny+xey=0，当y=0时，求正确答案：y=0时，x=0．siny+xey=0两边关于x求导得涉及知识点：高等数学15．设y=y(x)由(x＞0)所确定，求正确答案：涉及知识点：高等数学16．设x=x(t)由sint—∫tx(t)φ(u)du=0确定，φ(0)=φ’(0)=1且φ(u)＞0为可导函数，求x”(0)．正确答案：t=0时，x(0)=0．sint—∫tx(t)φ(u)du=0两边关于t求导得cost 一φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，取t=0得x’(0)=2；两边再关于t求导可得一sint 一φ’[x(t)][x’(t)]2一φ[x(t)]x”(t)+φ’(t)=0，取t=0得x”(0)=一3．涉及知识点：高等数学17．证明：曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．正确答案：涉及知识点：高等数学18．设函数y=y(x)由方程组正确答案：t=0时，x=0，y=一1，涉及知识点：高等数学19．设正确答案：y=∫0tsin(t—s)2ds=一∫0tsin(t—s)2d(t一s)=∫0tsinu2du，涉及知识点：高等数学20．求对应r=1+cosθ上点处的切线．正确答案：曲线r=1+cosθ的参数方程为涉及知识点：高等数学21．设y=y(x)由正确答案：涉及知识点：高等数学22．设f(x)=其中g(x)=∫0cosx(1+sin2t)dt，求正确答案：涉及知识点：高等数学23．设y=exsinx，求y(n)．正确答案：涉及知识点：高等数学24．正确答案：由A(2x一1)+B(x+1)=3—3x得解得A=一2．B=1．涉及知识点：高等数学25．正确答案：涉及知识点：高等数学26．f(x)=x4ln(1一x)，当n＞4时，求f(n)(0)．正确答案：涉及知识点：高等数学27．设y=x2ln(1+2x)，求y(6)．正确答案：y(5)=C50x2[ln(1+2x)](5)+C512x[ln(1+2x)](4)+C522[ln(1+2x)](3)，涉及知识点：高等数学28．设f(x)=求(0，2)内使得f(2)-f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．正确答案：当x∈(0，1)时，f’(x)=-x，当0＜ξ≤1时，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1=一2ξ，解得当1＜ξ＜2时，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1= 涉及知识点：高等数学29．设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．正确答案：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c ∈[0，3]，使得f(c)=1．因为f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f’(ξ)=0．涉及知识点：高等数学30．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，因为φ(a)=φ(b)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=一a(b一x)a-1f(x)+(b一x)af’(x)，故f(ξ)= 涉及知识点：高等数学31．解方程(3x2+2)y”=6xy’，已知其解与ex一1(x→0)为等价无穷小．正确答案：从而y’=C1(3x2+2)，解得y=C1x3+2C1x+C2，因为C1x3+2C1x+C2～ex一1～x，所以．C2=0，涉及知识点：高等数学。
考研数学二(高等数学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设，其中a，b为常数，则( )．A．a=1，b=1B．a=1，b=1C．a=-1，b=1D．a=-1，b=-1正确答案：B解析：因为，所以，即a=1，又，选(B) 知识模块：高等数学部分2．设f(x)二阶连续可导，且=2，则( )．A．x=0为f(x)的极大点B．x=0为f(x)的极小点C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由=2得f”(1)=0，由极限保号性，存在δ>0，当0>0，当x∈(1-δ，1)时，f”(x)>0；当x∈(1，1+δ)时，f”(x)，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否取极值正确答案：A解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，＜0．因为当0＜＜δ时，｜x｜+y2>0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A) 知识模块：高等数学部分填空题4．设f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，则φ(x)=_______，定义域为_______．正确答案：arcsin(1-x2)，解析：φ(x)=arcsin(1-x2)，知识模块：高等数学部分5．设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)>0，则=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分6．设f(x)在x=2处可导，且=2，则f(2)=_______，f’(2)=_______．正确答案：0，8解析：因为=2，所以=0，再由f(x)在x=2处的连续性得f(2)=0．由=2，得f’(2)=8．知识模块：高等数学部分7．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分8．=_______正确答案：π／2解析：知识模块：高等数学部分9．设z==_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分10．计算=_______正确答案：1-sin1解析：改变积分次序得知识模块：高等数学部分11．以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．正确答案：y”+y’-2y=-sinx-3cosx解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y”+y’-2y=Q(x)，把y=cos代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y”+y’-2y=-sinx-3cosx．知识模块：高等数学部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性方程组)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（线性方程组）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组2．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=B的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组3．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组4．非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r=m时，方程组Ax=西有解．B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组5．设a1，a2，a3是4元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且秩(A)=3，a1=(1，2，3，4)T ，a2+a3=(0，1，2，3)T ，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组填空题6．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式｜2A ｜=-48，则λ=________.正确答案：-1 涉及知识点：线性方程组7．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：线性方程组8．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：线性方程组9．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：线性方程组10．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：线性方程组11．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：线性方程组12．设方程有无穷多个解，则a=________.正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(填空题)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设则f(x+1)一f(x)=___________．正确答案：6x2解析：知识模块：行列式2．设则AB=__________．正确答案：解析：根据矩阵乘积的计算方法知识模块：矩阵3．曲线的水平渐近线方程为______。
正确答案：解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解。
由于因此曲线的水平渐近线为。
知识模块：一元函数微分学4．＝_______。
正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学5．已知a，b＞e，则不等式成立的条件是___________．正确答案：e＜a＜b解析：令f(x)==0，得x=e．当x＞e时，f’(x)＜0，函数f(x)单调减小，因此有e＜a＜b．知识模块：一元函数微分学6．曲线处的法线方程是___________．正确答案：y=一1解析：知识模块：一元函数微分学7．设y=sin4x，则y(n)=__________。
正确答案：解析：先将原式分解为由数学归纳法，求余弦函数的n阶导数，即(cosax)’=一asinax=acos(ax+)，(cosax)’’=一a2sin(ax+)=a2cos(ax+π)，……(cosax)(n)=ancos(ax+)，知识模块：一元函数微分学8．曲线在(0，0)处的切线方程为__________。
正确答案：y=2x解析：所以=2。
因此切线方程为y=2x。
知识模块：一元函数微分学9．设矩阵A满足A2＋A－4E＝O，其中E为单位矩阵，则(A－E)-1＝_______．正确答案：(A＋2E)解析：O＝A2＋A－4E＝(A－E)(A＋2E)＋2E－4E＝(A－E)(A＋2E)－2E，知识模块：矩阵10．A=，其中ai≠0，i=1，2，…，m，bi≠0，j=1，2，…，n。
则线性方程组Ax=0的基础解系含有解向量的个数是________。
正确答案：n—1解析：矩阵A可以分解成列向量与行向量相乘的形式，即A=(b1，b2，…，bn)，由于ai≠0(i=1，2，…，m)，bi≠0(j=1，2，…，n)，所以R(A)=1，故线性方程组Ax=0的基础解系含n—1个解向量。
考研数学二(高等数学)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷54(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f(x，y)在(x0，y0)处偏导数存在，则在该点函数f(x，y)( )．A．有极限B．连续C．可微D．以上结论均不成立正确答案：D解析：取f(x，y)=显然f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，但不存在，所以应选(D)．知识模块：高等数学填空题2．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=______．正确答案：1解析：x+y+z+xyz=0两边关于x求偏导得将x=0，y=1，z=一1代入得故fx’(0，1，一1)=1．知识模块：高等数学3．已知正确答案：解析：两边关于x求偏导得知识模块：高等数学4．设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，则正确答案：1解析：两边关于x求偏导得2cos(x+2y一3z)2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边关于y求偏导得知识模块：高等数学5．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))，则φ’(1)=____．正确答案：47解析：φ’(x)=fx’(x，f(x，2x))+fy’(x，f(x，2x))．[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，则φ’(1)=fx’(1，f(1，2))+fy’(1，f(1，2))．[fx’(1，2)+2fy’(1，2)] =fx’(1，2)+fy’(1，2).[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4(3+8)=47．知识模块：高等数学6．设则2f’x(0，0)+f’y(0，0)=_______．正确答案：一2解析：f(x，y)=一3x+4y+o(ρ)，由二元函数可全微定义得fx’(0，0)=一3，fy’(0，0)=4，故2fx’(0，0)+fy’(0，0)=一2．知识模块：高等数学7．由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|(e,0)=_______．正确答案：解析：x=e，y=0时，z=1．x=xey+z两边关于x求偏导得x=zey+z两边关于y求偏导得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(高等数学)模拟试卷42(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷42(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设=2，其中a2+ c2≠0，则必有A．b=4dB．b=一4dC．a=4cD．a=一4c正确答案：D 涉及知识点：高等数学2．设f(x)的导数在x=a处连续，又=一2，则A．z=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点．正确答案：B 涉及知识点：高等数学3．设等于A．0B．1C．D．3正确答案：A 涉及知识点：高等数学4．设f(x，y)=则f(0，0)点处A．不连续B．偏导数不存在C．偏导数存在但不可微D．偏导数存在且可微正确答案：C 涉及知识点：高等数学5．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C1、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3B．C1y2+C1y2一(C1+C2) y3C．C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D．C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3正确答案：D 涉及知识点：高等数学填空题6．设a是非零常数，则=________．正确答案：e2a 涉及知识点：高等数学7．设f’(a)=b，f(a)=1，则=________．正确答案：eb 涉及知识点：高等数学8．设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)，则f’(0)=________，f(n+1)(x)=________．正确答案：(一1)n!，(n+1)! 涉及知识点：高等数学9．=________．正确答案：1．涉及知识点：高等数学10．由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成平面图形的面积为________．正确答案：涉及知识点：高等数学11．设f(x，y)=xy，则=________．正确答案：xy一1+yxy一1lnx 涉及知识点：高等数学12．=________．正确答案：涉及知识点：高等数学13．微分方程=y(xy一x+y一1)的通解为________．正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷553(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷553(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列命题正确的是( )．A．f(x)在点x0连续的充要条件是f(x)在点x0可导B．若fˊ(x)=x2(偶函数)，则f(x)必是奇函数C．若(常数)，则fˊ(0)=aD．若，则fˊ(0)=-1正确答案：D解析：由连续、可导及奇偶性定义便可得结论．解：由导数定义知故应选(D)．错例分析:有的学生选择(B)选项，这是不对的．如取fˊ(x)=1+cos x．则令C=1，则f(x)=x+sin x+1，显然fˊ(x)=1+cos x是偶函数，但f(x)=x+sin x+1不是奇函数．还有的同学选(A)项，也是错误的，如取f(x)=｜x｜，则f(x)在x0=0处连续．但由于fˊ-(0)=-1≠1=fˊ+(0)，所以fˊ(0)不存在，即f(x)在x0=0处不可导．选择(C)项同样是错误的，因为不知道f(0)的值就不可能求出fˊ(0)．2．设，其中，则( )．A．I3＞I2＞I3B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：利用被积函数的不等性确定二重积分的不等性．解：又当0≤x≤π/2时，cos x是减函数，所以有由二重积分性质，得即I1≤I2≤I3．故应选(A)．3．设函数(n为正整数)，则f(x)有( )．A．两个第二类间断点B．一个第一类间断点，一个第二类间断点C．两个第一类间断点D．零个间断点正确答案：C解析：先求出函数f(x)的具体表达式，再用间断点的定义判断即可．在分段点x=-1处，因为所以x=-1为第一类间断点(跳跃间断点)．在分段点x=1处，因为所以x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．故应选(C)．错例分析:有的学生选择（D）项，理由是f(x)的表达式中分母为1+x2n，无论x取何值，f(x)都有意义，所以f(x)没有间断点．这样选择是错误的，原因是函数f(x)是用极限定义的，所以必须先求出极限，即先求出f(x)的具体表达式，然后再讨论间断点问题．这是一类题，考生应重视．4．设f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-∞，0)上有唯一的零点x0=-1，且fˊ(x0)=1，则函数的严格单调增区间是( )．A．(-∞，-1)B．(-1，0)C．(-1，1)D．(1，+∞)正确答案：C解析：由题设条件，根据导数定义、极限的保号性、变限函数求导数以及偶函数的性质进行讨论便可得结论．解：在(-∞，0)上考虑，由x0为f(x)的零点可得由极限的保号性质可知，存在δ＞0，在[x0-δ，x0+δ] ?(-∞，0)内有f(x)/(x-x0)＞0．因此，当x∈[x0-δ，x0]时，f(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ]时，f(x)＞0．由f(x)在(-∞，0)上有唯一零点x0=-1，可得当x∈(-∞，x0-δ)时，f(x)＜0；x∈(x0+δ，0)时，f(x)＞0(理由见方法点击)．由题设f(x)是实数集上连续的偶函数，可得x∈(0，1)时，f(x)＞0；x∈(1，+∞)时，f(x)＜0．综合上述，x∈(-1，1)时，f(x)＞0；x∈(-∞，-1)及x∈(1，+∞)时，f(x)＜0．因为Fˊ(x)=f(x)，因此F(x)在(-1，1)内严格单调增加．故应选（C）．5．设函数f(x)在[0，a]上连续，且f(x)+f(a-x)≠0，x∈[0，a]，则=( )．A．0B．1C．a/2D．a正确答案：C解析：利用定积分换元法便可得结论．故应选（C）．6．设D由x2+y2=4y，x2+y2=4x所围成，在极坐标变换x=rcos θ，y=rsin θ下，将化为累次积分为( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：先用射线θ=π/4将D分成D1与D2两部分，对D1与D2分别用极坐标系中的累次积分表示二重积分即可．解：由x2+y2=4y及x2+y2=4x得y=x，即rsinθ=rcosθ，所以θ=π/4，如图3—1所示，所以，D=D1+D2；故应选（A）．7．设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关正确答案：A解析：对于抽象的向量组，可以用定义法，也可以用排除法．解：设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1+λ2+λ3+λ4(kβ1+β2)=0，若λ4=0，则有条件λ1=λ2=λ3=0，从而推出α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．若λ4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，故β2也可由α1，α2，α3线性表示，矛盾，所以，λ4=0，从而（A）正确．对于其余三个选项，也可用排除法．当k=0时，可排除（B）、（C）项；当k=1时，可排除(D)项．故应选(A)．8．下列各组矩阵相似的是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：利用相似的传递性直接证明(B)项中矩阵相似，或者利用相似的必要条件排除错误选项．解：因为相似矩阵的秩相等，由的秩为1，而的秩为2，故(A)项中的矩阵不因为相似矩阵的行列式的值相等，由于=4，而=8，故(C)项中的矩阵不相似．因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等．由于的对角线元素之和为6，而的对角线元素之和为4，故（D）项中的矩阵不相似，因此只能选（B）．事实上，和都与对角矩阵相似，因而与相似．故应选（B）．填空题9．设则I，J，K的大小关系为．正确答案：I＜K＜J解析：比较被积函数在积分区间内的大小次序，利用定积分的性质即可得．解：当0＜x＜π/4时，有cot x＞l＞cos x＞sin x＞0．从而由y=lnx的单调增加性质，得ln cott＞ln cosx＞ln sinx，根据定积分性质，可得即I＜K＜J．故应填I＜K＜J．10．= ．正确答案：e1/2解析：首先将已知函数表示为指数函数的形式，然后利用对数函数的泰勒展开式，最终取极限即可得结果．错例分析:对于本题，部分学生解法如下：11．设f(x)，g(x)是连续函数，= ．正确答案：解析：直接利用变限积分的求导公式即可．12．在区间[0，1]上，函数f(x)=nx(1一x)n的最大值记为M(n)，则= ．正确答案：e-1解析：先求出f(x)在(0，1)内的极值可疑点；再由f(x)在极值可疑点处的函数值及区间端点的函数值得最大值M(n)；最后求13．如图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，g(x)是线性函数，则= ．正确答案：1解析：由直线方程的点斜式先求出g(x)的表达式，将g(x)代入积分中，计算定积分即可．解：先求g(x)的表达式，由图形可知，线性函数g(x)的斜率为14．设3阶实对阵矩阵A满足A2一3A+2E=O，且｜A｜=2，则二次型f=xTAx 的标准形为．正确答案：解析：二次型可经过正交变换化为标准形，且标准形中平方项的系数即为对应实对称矩阵A的特征值．解：由A2一3A+2E=O，得A的特征值为1或2．又因为｜A｜=2，即特征值乘积为2，故A的特征值为1，1，2．所以二次型的标准形为．故应填．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(解答题)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限：正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续2．设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．正确答案：可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，A2x=λAx=λ2x，…，Amx=λmx，困Am=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=diag(0，0，…，0)=O，则A=POP-1=O，这与A≠0矛盾．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量3．设＝e3，其中f(χ)连续，求．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续4．求证：x∈(0，1)时正确答案：令g(x)=，则当x＞0时有故g(x)在(0，1)内单调下降．又g(x)在(0，1]连续，且g(1)=－1，g(x)在x=0无定义，但若补充定义g(0)=，则g(x)在[0，1]上连续．又g’(x)＜0，0＜x＜1，因此g(x)在[0，1]单调下降．所以，当0＜x ＜1时g(1)＜g(x)＜g(0)，即成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用5．求｜cos(x+y)｜dxdy，其中D={(x，y)｜正确答案：直线x+y=将区域D分为D1，D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤D2={(x，y)｜0≤x≤则涉及知识点：重积分6．求y’2一yy”=1的通解．正确答案：涉及知识点：微分方程7．设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．证明：AB=O．正确答案：由A2=A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O 或AB=-BA，AB=-BA两边左乘A得AB=-ABA，再在AB=-BA两边右乘A得ABA=-BA，则AB=BA，于是AB=O 涉及知识点：线性代数部分8．已知三角形周长为2p，求出这样一个三角形，使它绕自己的一边旋转时体积最大．正确答案：Vmax= 涉及知识点：高等数学设二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。
考研数学二模拟391
考研数学二模拟391一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设f(x)在[0，1]连续且非负但不恒等于零，记则它们的大小关系为A.I1＜I2＜I3．B.I3＜I1＜I2．C.I2＜I1＜I3．D.I3＜I2＜I1．正确答案：B[解析] 比较两个连续函数的定积分大小关系时，若积分区间不同，常常是通过变量替换转化为积分区间相同的情形，从而转化为比较被积函数的大小．因此I3＜I1＜I2．选B．因此I3＜I1＜I2．选B．2. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0(x∈(a，b))，又则下列不等式成立的是A.L＞M＞N．B.L＞N＞M．C.M＞L＞N．D.N＞L＞M．正确答案：B[解析一] 由题设知y=f(x)是[a，b]上的凹函数，借助于几何直观我们可选择正确答案．L，M，N分别代表梯形ABCD，梯形ABFGE与曲边梯形ABCGD的面积(如图)，G是点，EF是曲线y=f(x)在点G处的切线，于是由面积的大小关系可得L＞N＞M．故选B．[解析二] y=f(x)是[a，b]上的凹函数，由凹函数的性质，它的几何意义是：弦在曲线y=f(x)(x∈(a，b))的上方，除G点外曲线y=f(x)(x∈[a，b])在曲线上G点的切线EF的上方(如上图)．用式子表示即将上述不等式各项求积分得其中因此L＞N＞M．故选B．3. 设其中1＜λ≤2，则f(x)在x=0处A.不连续．B.连续但不可导．C.可导但f'(x)在x=0不连续．D.可导且f'(x)在x=0连续．正确答案：C[解析] 先考察其中在x=0空心邻域有界，再求其中当λ＞1时，当λ≤2时，时即f'(x)在x=0不连续．因此，选C．由上述讨论易知：1.当λ＞2时，即f'(x)在x=0连续．2.当0＜λ≤1时，f(x)在x=0连续但不可导．3.当λ≤0时，f(x)在x=0不连续．4. 设f(x)是arcsin(1-x)的原函数且f(0)=0，则A．B．C．D．正确答案：D[解析] 已知f'(x)=arcsin(1-x)，求我们不必先求出f(x)，而是把求I转化为求与f'(x)相关的积分，就要用分部积分法或把再积分．[方法一] 用分部积分法可得也可用分解法求出选D．[方法二] 由于且f(0)=0，于是代入得其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤z}={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤1}现交换积分次序得5. 设f(x)在[0，+∞)连续，又f(x)是的解，则A．0.B．a．C．∞．D．正确答案：C[解析] 先求解方程两边同乘得(e x2y)'=e x2f(x)积分得通解于是因此选C．6. 设区域D：x2+y2≤1，则可以化成的累次积分为A．B．C．D．正确答案：C[解析] 因为区域D：x2+y2≤1关于x轴，y轴均对称，函数f(x2+y2)关于y，x 都是偶函数，所以其中D1：x2+y2≤1，x≥0，y≥0.作极坐标变换并化为累次积分得选C．若先y后x化为累次积分是7. 已知α1，α2，α3，α4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是A.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1．B.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．C.α1，α2+α3，α3+α4，α4．D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4+α1．正确答案：C[解析] 由题意Ax=0的基础解系是由4个线性无关的解向量所构成．根据齐次方程组解的性质，所给出的4组向量都是Ax=0的解，因而本题是要判断哪一组线性无关．用观察法，知(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0故A线性相关．或由而，故r(α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1)＜4即选项A线性相关．类似可知选项B、D线性相关．用秩可判断出选项C线性无关．8. 设矩阵，则A和BA.合同，但不相似．B.合同，且相似．C.相似，但不合同．D.既不合同，也不相似．正确答案：A[解析] 两个实对称矩阵相似特征值相同，两个实对称矩阵合同正、负惯性指数分别相等．得A的特征值：1，4，0.而B的特征值：3，2，0.所以A和B不相似，但A和B合同(因为p=2，q=0)．二、填空题1. 数列极限正确答案：1[解析一] 由积分中值定理知，ξ∈(n，n+1)使得[解析二] x≥1时估计利用适当放大缩小法求该极限．现考察的单调性．因为因此当单调下降．当x∈[n，n+1]时，，于是又因此2. 设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为______．正确答案：-2[解析] 由f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4)，两边对x求导，则f'(x)=f'(x+4)，故f'(5)=f'(1)．又因为则f'(1)=-2.故y=f(x)在(5，f(5))处的切线斜率为f'(5)=-2.3. 函数的值域区间是______．正确答案：[1，+∞)[解析] y(x)在(1，+∞)连续，求f(x)的值域区间，归结为分析y(x)的单调性并求为y(x)在(1，+∞)上的最小值．又因此y(x)的值域区间是[1，+∞)．4. 设有摆线则L绕x轴旋转一周所成的旋转面的面积A=______．正确答案：[解析] 按曲线由参数方程给出时，旋转面的面积公式：该题有如下变式：(Ⅰ)摆线L的弧长l=______．解：按由参数方程给出的曲线的弧长计算公式(Ⅱ)摆线L的形心=______．解：L关于y轴对称只须求按曲线的形心公式有因此，形心5. 设u=u(x，y)，则u(x，y)=______．正确答案：[解析]6. 三元二次型x T Ax经正交变换x=Qy化为标准型如果矩阵A属于特征值λ=1的特征向量是α=(1，1，-2)T，那么Q=______．正确答案：[解析] 求正交变换Q就是求矩阵A的特征向量，而二次型矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵A属于特征值λ=2的特征向量是X=(x1，x2，x3)T．于是αT X=x1+x2-2x3=0解出α2=(-1，1，0)T，α3=(2，0，1)T．由于Q是正交矩阵，现在α2，α3不正交，故需Schmidt正交化．令β1=α2=(-1，1，0)T，则有再单位化，得所以三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 设f(x)在[0，+∞)连续且则在(0，+∞)为常数；正确答案：[证明] 实质上x＞0时f(x)可导，考察由题设2. 设f(x)在(a，b)二阶可导且x∈(a，b)时则lnf(x)在(a，b)为凹函数．正确答案：y=lnf(x)(x∈(a，b))，先求再求在(a，b)为凹函数．已知函数y=y(x)由方程e y+6xy+x2-1=0确定．3. 求证：y(x)在x=0取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线y=y(x)在x=0附近的凹凸性；正确答案：[证明] 在方程中令将方程两边对x求导两次得e y y'+6xy'+6y+2x=0 ①e y y"+e y y'2+6xy"+12y'+2=0 ②将x=0，y=0代入①得y'(0)=0，再以x=0，y=0，y'=0代入②得y"(0)=-2.因此y(x)在x=0取极值，并取极大值．由方程知，y(x)有二阶连续导数．由y"(x)的连续性知存在x=0的一个邻域，在此邻域y"(x)＜0，即曲线y=y(x)在点(0，0)附近是凸的．4. 求证：g(y)=e y+6y在(-∞，+∞)有唯一零点，该零点取负值．正确答案：[证明] 考察则g'(y)=e y+6＞0，g(y)在(-∞，+∞)单调上升，又g(0)-1＞0，在(-∞，+∞)有唯一零点，记为y1，y1＜0.5. 求证：y(x)在x=1某邻域是单调下降的．正确答案：[证明] 在原方程中令x=1得e y(1)+6y(1)=0，由(Ⅱ)的结论，于是y(1)=y1＜0.由①式由再由y'的连续性知，存在x=1的一个邻域，在此邻域y'(x)＜0，即y(x)在此邻域单调下降．已知通过x轴上的两点A(1，0)，B(3，0)的抛物线y=a(x-1)(x-3)，a为参数．6. 求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于x轴与该抛物线所围成的面积；正确答案：[证明] 过A(1，0)，B(3，0)两点的抛物线方程为y=a(x-1)(x-3)，则两坐标轴与该抛物线所围成的面积为：x轴与该抛物线所围成的面积为所以S1=S2．7. 计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．正确答案：[解] 两坐标轴与该抛物线所围成的图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积为x轴与该抛物线所围成的图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积为所以[解析] 本题考查①平面图形面积；②旋转体体积．具体到本题，根据已知条件设抛物线方程为y=a(x-1)(x-3)很重要，这样可以使后面计算简化．8. 设曲线Γ的方程为φ(x，y)=0，其中φ(x，y)有一阶连续偏导数且在Γ上任意点处φ'x(x，y)与φ'y(x，y)不同时为零．设点P(x*，y*)为Γ外一点，(Q在Γ上，坐标为(x0，y0))为点P到曲线Γ的最短距离．求证：必位于曲线Γ在点Q处的法线．正确答案：[证明] Γ上任意点M(x，y)与P(x*，y*)的距离平方为按题设，Q(x0，y0)为f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的最小值点．用拉格朗日乘数法，引入函数L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)则Q(x0，y0)应满足由此要证的斜率等于Γ在Q点的法线的斜率．由①②式由隐函数求导法知，Γ在Q(x0，y0)处切线的斜率是Γ在Q点的法线斜率是而的斜率是因此④式表示，必位于曲线Γ在点Q处的法线．9. 计算正确答案：[解法一] 由被积函数和区域D可看出，本题宜采用极坐标．的极坐标方程分别为r=2和r=2cosθ．D的极坐标表示：于是[解法二] D看成区域D'1与D'2的差集，D'1是由直线段圆弧及x轴围成的区域，D'2是圆弧及x轴围成的半圆域．它们的极坐标表示是于是[解析] 这是x2+y2在某区域D上的二重积分的累次积分．直接计算累次积分不方便，求I即确定D，然后求出这个二重积分．从题设的累次积分知，如图所示．①上述计算中用到了公式②计算的另一方法是化二倍角和四倍角后直接积分：10. 有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为3克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米．如果物体在绳子拉直并未伸长时放下，问物体向下运动到什么地方又开始上升?正确答案：[解] 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s向下为正．(1)受力分析弹性恢复力f=ks，由条件知，g为重力加速度．重力mg=3g．(2)列方程与初始条件由牛顿第二定律得初始条件：(3)转化．按题意，我们需求物体速度与s的关系．于是方程改写为初条件为(4)求解初值问题分离变量得vdv=(g-8gs)ds积分得由(5)结论．当物体开始向下运动到它开始向上运动时，此时速度v=0，故有0=gs-4gs2因此为所求．设x∈(-∞，+∞)时f(x)有连续的导数，且又数列{x n}如下定义：x1任意给定，x n+1=f(x n)(n=1，2，3，…)，求证：11. 存在；正确答案：[证明] 为证只须证{x n}单调有界．若x2=x1，则f(x2)=f(x1)，即x3=x2，依此类推可得x n=x1(n=1，2，……)下设x2≠x1．先证x n单调．由f'(x)＞0(x∈(-∞，+∞))f(x)在于是由x n+1-x n=f(x n)-f(x n-1)与x n-x n-1同号，由此可归纳证明{x n}单调．(若x2＞x1，则x n 单调上升；若x2＜x1，则x n单调下降)．再证{x n}有界，易知其中M＞0为某常数，因此|x n|=|f(x n-1)|≤M．因{x n}单调有界，所以12. 方程x=f(x)有唯一根．正确答案：[证明] 记对x n+1=f(x n)，两边令n→∞取极限，由f(x)的连续性得a=f(a)，即a是f(x)=x的一个根，也是F(x)=x-f(x)的一个零点．由在(-∞，+∞)单调上升，故零点唯一，即x=f(x)的根唯一．已知齐次方程组Ax=0为又矩阵B是2×4矩阵，Bx=0的基础解系为α1=(1，-2，3，-1)T，α2=(0，1，-2，1)T13. 求矩阵B；正确答案：[解] 由B(α1，α2)=0有(α1，α2)T B T=0那么矩阵B T的列向量(亦即矩阵B的行向量)是齐次方程组(α1，α2)T x=0的解．对系数矩阵(α1，α2)T作初等行变换，有得到基础解系：(1，2，1，0)T，(-1，-1，0，1)T故矩阵14. 若Ax=0与Bx=0同解，求a1，a2，a3，a4的值；正确答案：[解] 由于两个方程组同解，那么α1，α2必是齐次方程组Ax=0的基础解系得即解出a1=1，a2=3，a3=2，a4=1.15. 求方程组Ax=0满足x3=-x4的所有解．正确答案：[解] 由于Ax=0的通解是k1α1+k2α2=(k1，-2k1+k2，3k1-2k2，-k1+k2)T因为x3=-x4即3k1-2k2=k1-k2即k2-2k1．所以Ax=0满足条件x3=-x4的所有解为(k，0，-k，k)T，k为任意常数．[解析] 矩阵B的行向量是齐次方程组的解，因此矩阵B的答案不唯一．16. 已知矩阵只有2个线性无关的特征向量，求a 的值并求A的特征值和特征向量．正确答案：[解] 如果矩阵A有3个不同的特征值，那么A必有3个线性无关的特征向量．现在矩阵A只有2个线性无关的特征向量，所以A的特征值必有重根．由于矩阵A的特征值是λ1=1-a，λ2=a，λ3=a+1.因为特征值必有重根，有如果矩阵A的特征值为由得的特征向量k1(1，0，1)T，k1≠0.由得的特征向量k2(3，-4，5)T，k2≠0.如果a=0，矩阵A的特征值为1，1，0.由得λ=1的特征向量l1(1，0，1)T，l1≠0.由得λ=0的特征向量l2(1，1，1)T，l2≠0.。
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(A) (B)
(C) (D)
(3)若 是奇函数， 是偶函数，则 （）
（A）必是奇函数（B）必是偶函数
（C）是非奇非偶函数（D）可能是奇函数也可能是偶函数
(4)设 ，则（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
(5)下列说法中正确的是（）
（A）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大；
（B）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小；
解： 有非零解，充要条件是 ，由此即可找到答案。
（8）D
解： = =
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
（9）应填 。
解：由 ， 得
(10)应填
解：令 ，原方程变为
方程两边对 求导得
再两边对 求导得 ，即
由 得 ，故
(11)应填
(12)应填
解：由
其中
利用分部积分法，有
（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解
(8)设 均是 阶可逆矩阵，则行列式 的值为
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
(9)已知 ， ，则 。
(10)方程 满足 的特解为。
(11) 。其中 为 。
(12)设 有一个原函数为 ，则 。
(16)（本题满分10分）
解：本题积分区域利用极坐标表示
原式
(17)（本题满分10分）证明：作函数 ，有
。
所以由积分中值定理，存在 ，
使 即 。
又 ，所以，由极限的保号性，存在 ，
使 ，即 。
因此，由介值定理，至少存在一个 ，使 ，即 。
(18)（本题满分10分）
解：设 ， ，则
解得：
解得：
所以 =0
（C）有界函数与无穷大之和必为无穷大；
（D）无界函数与无界函数的乘积必无解；
(6)设线性无关的函数 都是二阶线性非齐次方程 的解， 为任意常数，则该方程的通解是（）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） ；
(7)设 是 阶矩阵，齐次线性方程组（I） 有非零解，则非齐次线性方程组（II） ，对任何
（A）不可能有唯一解；（B）必有无穷多解；
（II）若要 在 处可导，则必须 在 处连续（ ），且
所以
所以 ， 时， 在 处可导
(21)（本题满分10分）解：设 为所给椭圆上任一点，则可求得在 处的切线方程为
它与两坐标轴的交点为 和 。
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为
则只须求 在条件 下的极值即可。
设
由
解得 或 。
由此分别求的 或
所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为
（II） 、 为何值时 在 处可导？
(21)（本题满分11分）过椭圆 上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(22)（本题满分11分）设 是实矩阵。证明：（I） 与 是同解方程组；（II）秩 =秩
(23)（本题满分11分）设 为三阶方阵， 为三维线性无关列向量组，且有 ， ， 。求
(13)若 ，则 =。
(14)设 是三阶矩阵，已知 ， 与 相似，则 的相似对角形为。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）求 。
(16)（本题满分10分）计算 。
(17)（本题满分10分）设 在 连续，且 ， 。证明：至少 ，使得 。
(18)（本题满分10分）设函数 由方程 所确定，其中 有一阶连续偏导数，求 。
故
故原式
(13)应填
解：由于
所以
(14)应填 【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】
解：由 ，知 的特征值为 ，相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值也为 ，故 相似的标准形为
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）解：
由
所以
又由 线性无关，得 ， ， 也线性无关，所以 是矩阵 的二重特征值，即 得全部特征值为 ,2
(22)（本题满分11分）证明：若 是 的解，显然 是 的解；反之，设 是 的解，则 。即 ，从而
，于是 ，即 是 的解。 与 是同解方程组
（II）既然 与 是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩 =秩
(23)（本题满分11分）
解：（I）由已知得， ， ， ，
又因为 线性无关，所以 ， ，
所以 ,2是 的特征值， ， ， 是相对应的特征向量。
（I）求 的全部特征值。（II） 是否可以对角化？
考研数学二模拟题参考答案
二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）C
解：由
所以
由
。故C成立。
（2）B
解：由于函数可导（除 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。
（3）B
解：设 ，则
（4）A
解： ，因 ，则
，故 。而
，故 ，所以
【也可以用泰勒公式计算】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（5）C
设 在 内有界，即 ； ， ，即 ， ，使当 时， 。则 ，即对 ，当 时， ，故
（6）D
由 都是已知方程的线性无关的解知 是二阶线性齐次方程 的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为
（7）A
(19)（本题满分10分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 和 绕 轴的旋转面，容器的外高为10，比重为 。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少？（长度单位为厘米）
(20)（本题满分11分）设 ，其中 在 处二阶可导，且 。
（I） 、 为何值时 在 处连续？
(19)（本题满分10分）解：设容器体积为 ，容器的容积即由抛物线 在 上绕 轴旋转所得立体的体积 ，则
，
所以，容器重量为
设注入液体的最大深度为 ，则注入液体的重量为
若液体和容器形成一体的比重为1，则可保持其在水中不沉没
所以，由 ，可得 ，
(20)解：（I）
若要 在 处连续，必须 ，即
故 ， 为任意实数时， 在 处连续。
考研数学二模拟题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）当 时，设 ， ， ，把三个无穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；
（2）设函数 在 内连续，在 内可导，函数 的图像为