算法课程设计

<<算法与程序设计>>课程作业班级：计本08-1班学号：3081817106姓名：詹萍简单算法符号三角形问题：这个问题用的是回溯法解决的，符号三角形要求在符号三角形的第1行有n个由“+”和“-”组成的符号，以后每行符号比上行少1个，2个同号下面是“+”，2个异号下面是“-”。

计算有多少个不同的符号三角形，使其所含“+”和“-”的个数相同。

解题思路：1、针对所给问题定义解空间，该问题的解空间为n元组x1,x2,x3...xn，其中xi ∈S，S={0，1}，其中0代表“+”， 1代表“-”；2、确定易于搜索的解空间结构，例如子集树，排列树，该问题是子集树；3、以深度优先原则搜索解空间树，并利用剪枝函数避免无效搜索，这里的约束函数应该为：在符号三角形的第一行的前i个符号x1...xi确定后，就确定了一个由i*（i+1）/2个符号组成的符号三角形。

下一步确定了x(i+1)的值后，只要在前面已确定的符号三角形的右边加一条边，就可以扩展为x1...x(i+1)所相应的符号三角形。

最终由x1...xn所确定的符号三角形中包含的“+”号个数与“-”号个数同为n*（n+1）/4。

因此在回溯搜索过程中可用当前符号三角形所包含的“+”号个数与“-”号个数均不超过n*（n+1）/4作为可行性约束；用0和1代替+和-，执行异或操作推出下一行对应符号，当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解。

4.由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，不断改变第一行每个符号，搜索符合条件的解，因此可以使用递归回溯。

#include<iostream>using namespace std;class Triangle{friend int Computer(int);//定义友元函数private:void Backtrack(int t); //t，第一行第t个符号int n, //第1行符号的个数half, //每个三角形总符号数的一半count, // 统计减号的个数**p; //指向三角形的二维指针long sum; }; //统计符合条件的的三角形的个数void Triangle::Backtrack(int t)//回溯法{int i,j,k,s,f;if((count>half)||(t * (t-1)/2 - count > half))return; //如果加号或减号的个数大于符号三角形中总符号数的一半则退出函数if(t<=n) //回溯条件直到nfor(i=0; i<2; i++){ p[1][t] = i; //第一行第t个符号count += i; //“-”号统计for(j=2; j<=t; j++) //当第一行符号>=2时，可以运算出下面行的某些符号{ p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2]; //通过异或运算下行符号count += p[j][t-j+1];}if(t>=n){ //输出符合条件的三角形f=0;for(j=1; j<=t;j++)for(k=1; k<=t-j+1; k++)f+=p[j][k];if(f==half){ //如果减号是总符号数的一半则输出并将sum加1cout<<"第"<<++sum<<"个三角形"<<'\n';for(j=1; j<=t; j++){for(s=1; s<j;s++)cout<<" ";//2个空格for(k=1; k<=t-j+1; k++){ if(p[j][k] == 1)cout<<"- ";//3个空格elsecout<<"+ ";//3个空格}cout<<'\n';}cout<<'\n';}}Backtrack(t+1); //回溯for(j=2; j<=t; j++)count -= p[j][t-j+1];count -=i;} }int Computer(int n) //友元函数调用Triangle类的成员函数{ int i,j;Triangle X;X.n = n;X.count = 0;X.sum = 0;X.half = n * (n+1) / 2;if(X.half % 2 == 1) return 0;//如果是一个三角形符号的总数是奇数则不符合条件，返回0 X.half = X.half / 2;int **p = new int * [n+1]; //分配新行for(i=0; i<=n; i++) p[i] = new int [n+1];//分配新列for(i=0; i<=n; i++)for(j=0; j<=n; j++)p[i][j] = 0;//给p所指向的二维数组赋值为0X.p = p;X.Backtrack(1);return X.sum; }void main(){ int i, n;cout<<"请输入第一行的符号个数：";cin>>i;n = Computer(i);cout<<"***************************"<<'\n';cout<<"共有"<<n<<"个符号三角形"<<'\n';}程序的输入是第一行的符号个数，输出是符合符号三角形的每一种三角形情况，符合符号三角形的总个数。

复杂算法作业调度问题：这个问题用的是贪心算法，作业调度问题要求设计出一个方案使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。

具体要求在设有n个独立的作业{1,2,…,n}，由m台相同的机器进行加工处理。

作业i所需的处理时间为ti。

现约定，任何作业可以在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断处理。

任何作业不能拆分成更小的子作业。

问题分析：这个问题是一个NP完全问题，到目前为止还没有一个有效的解法。

对于这一类问题，用贪心选择策略有时可以设计出较好的近似算法。

采用最长处理时间作业优先的贪心选择策略可以设计出解多机调度问题的较好的近似算法。

当n <= m 时，只要将机器i 的[0,ti]时间区间分配给作业i即可。

当n > m 时，首先将n 个作业依其所需的处理时间从大到小排序，然后依此顺序将作业分配给空闲的处理机。

将作业处理所需时间按照从小到大排序，分给每台机器后把剩下的作业分给空闲的机器，即把耗时最多的作业分配给先空闲的机器，这样就充分利用了每台机器的处理能力，显然有利于均衡。

总而言之，让最空闲的机器做最繁重的任务。

#include <iostream>#include"iostream.h"#include "conio.h"#define maxWork 100 //最大工作数为100#define maxMachine 100 //最大机器数为100class machineWork{ public:machineWork(void);~machineWork(void);void SetMachine( int machine );void SetWorks( double times[] , int works );bool Arrange();void Sort(int timeId[]);void Print();private:double timesUnsorted[maxWork];int graph[maxMachine][maxWork];double machinesTime[maxMachine];int machines;int works;};machineWork::machineWork(void){}machineWork::~machineWork(void){}void machineWork::Sort( int timeId[] ){for( int i = 0 ; i < works ; i++ )timeId[i] = i;for( i = 0 ; i < works - 1 ; i++ ){double min = timesUnsorted[ timeId[i] ];int p = i;for( int j = i + 1 ; j < works ; j++ ){if( this->timesUnsorted[ timeId[j] ] > min ){min = this->timesUnsorted[ timeId[j] ];p = j;} }int t = timeId[i];timeId[i] = timeId[p];timeId[p] = t; }}void machineWork::SetMachine( int machines ){this->machines = machines;}void machineWork::SetWorks( double times[] , int works ){this->works = works;for( int i = 0 ; i < works ; i++ )timesUnsorted[i] = times[i];}bool machineWork::Arrange(){ int timeId[maxWork];Sort( timeId );//某一工作安排后，对机器的工作时间进行排序，index[i]保存机器编号int index[maxMachine];//graph[i][0]表示机器i中已经安排了几项任务for( int i = 0 ; i < machines ; i++ )graph[i][0] = 0;//机器已经安排的工作时间for( i = 0 ; i < works ; i++ )machinesTime[ i ] = 0.0;//index[0]所指向的graph[ index[0] ][0] 的值是最小的for( i = 0 ; i < machines ; i++ )index[i] = i;for( i = 0 ; i < works ; i++ ) //给i 号作业分配机器{ graph[ index[0] ][0]++; //把作业分配给index[0] 所指向的机器graph[ index[0] ][ graph[index[0]][0] ] = timeId[i];machinesTime[ index[0] ] += timesUnsorted[ timeId[i] ];int j = 0; //对机器的已经安排的工作时间进行排序while(j< machines-1 && machinesTime[ index[j] ] > machinesTime[ index[j+1] ]) {int t = index[j];index[j] = index[j+1];index[j+1] = t;j++;} }return true;}void machineWork::Print(){for( int i = 0 ; i < works ; i++ )printf( "工作%d 所需要的时间%5.f\n" , i , timesUnsorted[i] );printf( "\n" );for( i = 0 ; i < machines && i < works ; i++ ){printf( "机器%d 工作总时间%.f = " , i , machinesTime[i] );printf( "%.f " , timesUnsorted[ graph[i][1] ] );for( int j = 2 ; j <= graph[i][0] ; j++ )printf( "+ %.f " , timesUnsorted[ graph[i][j] ] );printf( "\n" );}printf( "\n" );for( i = 0 ; i < machines ; i++ ){printf( "机器%d 上的工作安排" , i );for( int j = 1 ; j <= graph[i][0] ; j++ )printf( "%d " , graph[i][j] );printf( "\n" );}}int main(int argc, char* argv[]){int a,b;cout<<"请输入工作数：";cin>>a;cout<<endl;double t[maxWork];for(int i=0;i<a;i++){cout<<"工作"<<i<<" : ";cin>>t[i];cout<<endl;}machineWork w;cout<<"请输入机器数：";cin>>b;cout<<endl;w.SetMachine(b);w.SetWorks( t , a );w.Arrange();w.Print();getch();return 0;}程序的输入是工作数、每个工作需要的时间和机器数，输出是每个工作需要的时间和每个机器的工作总时间和每个机器上的工作安排。