1131角平分线的性质1

的两边距离相等).
A D
1
P
2
C
E B
情景问题 探究新知 实践应用 小结
作业：1、课本习题11.3
第1、2题
2、已知一个角∠AOB，你能否只用 一块三角板画出∠AOB的角平分线 ？说出画法和理由.
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再见
情景问题 探究新知 实践应用 小结
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
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A
应用实践（2）
如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
C
D
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
A
人教版八年级数学(上)
12.3.1角平分线 D
B
的性质（1）
C E
角平分仪
A
济源市实验中学
B
D
C
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活动 1
情景问题（1）
不利用工具，请你将一张用纸
片做的角分成两个相等的角。你有什
么办法？
（对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
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N 仪或量角器）
A
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
情景问题 探究新知 实践应用 小结
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法： 1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2、分别以M、N为圆心，大于
1 2
MN
的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内部交于点C。
3、作射线OC，射线OC即为所求。
A E
D
6
求BE，AE的长和△AED的周长。 B
8
C
情景问题 探究新知 实践应用 小结
小结及作业
1.画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2.定理 角平分线上的点到这个角
的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,
O
P是OC上任意一点
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(
已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角
PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）
D
∴PD=PE（全等三
C 1P
2
角形的对应边相等）
O
EB
情景问题 探究新知 实践应用 小结
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
A
用符号语言表示为：
D
∵∠1= ∠2,PD ⊥OA ，PE ⊥OB
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中
OM=ON
MC=NC
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
O
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. 情景问题 探究新知 实践应用
A
M
C
N B 应用 小结
活动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么论？
在△PDO和△PEO中
Baidu Nhomakorabea
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
(3)验证猜想
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
情景问题 探究新知∴P实D=践P应E（用全等三小角结形的对应边相等）
活动 5
角平分线上的 点到角两边的
距离相等。
利用此性质怎
∵ ∠1= ∠2,
样书写推理过程 ?( 几何符号语言） A
活动 2
情景问题（2）
如果前面活动中的纸片换成木板、 A 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪，
其中AB=AD,BC=DC。
D
将点A放在角的顶点,AB和AD
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗?
B C E
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(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
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活 动 5 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
A
E
C
D
B
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3. 在 Rt△ABC 中 ， BD 平 分 ∠ ABC ， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有 BE=BC,DE=DC
;
相等的角有：∠ABD= ∠CBD ∠BED= ∠AED= ∠C。
⑵哪条线段与DE相等？为什么？ 10 ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
BD=DF （已知）
F
E
DC=DE（已证）
∴RT △CDF≌RT△FDB (HL)
CD B
∴CF＝BＥ（全等三角形对应边相等）
情景问题 探究新知 实践应用 小结
2. 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝， AC＝3㎝，求BE= 4 CM.
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
情景问题 探究新知 实践应用 小结
巩固练习
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（A已知）
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）
∴DC＝DＥ(角平分线的性质）
在RT△CDF和RT△BDE 中
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
应用 情景问题 探究新知 实践应用 小结
随堂练习
1. 如 图 ， OC 是 ∠AOB 的 平 分 线 ， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
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活 动 4 实践应用（1） C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
D
B
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
C
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
情景问题 探究新知 实践应用 小结
活动 3
探究新知
根据角平分仪的制作原理怎样
作一个角的平分线？（不用角平分