数学建模-黄灯亮多久
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设驾驶员作出决定的反应时间为 t 0 ，通过刹车 距离的时间为 t1 ，通过路口和一个车身距离的时间 为 t 2 ，黄灯点亮的时间为 T 。
解题过程
第二步 ：
因此，如果取
Tt0 t1t2,
则选择刹车的驾驶员可以在刹车距离内安全停车；
选择通过路口的驾驶员也有足够时间安全通过路口。
所以最佳点亮黄灯时间就归结为求上述 的最T 小值。
黄灯亮多久
在交通管理中，定期的亮一段黄灯是为了让 那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致 无法停下的驾驶员有机会在黄灯亮的时候通过路 口。如果汽车的法定速度为 v 0 ，交叉路口宽度 为 H，典型的车身长度为 L ，地面的摩擦系数 为 f ，试问黄灯点亮的时间多长为好呢？
应用背景
相关知识点
1.函数最大(小)值的求法 2.高阶可降阶微分方程的解法 3.微分方程的几何应用和简单物理应用
fg
在 x(0) 0的条件下，对（2）式再积分得到
x(t)12fg2tv0t
（3）
从而刹车距离
x(t ') D v02 .
（4）
2 fg
解题过程
第五步 ： 由（4）式得
所以
t1
D v0
v0 2 fg
，
T2vf0gLv0Ht0 .
对 T关于 v 0 求导数,令 T 0 0 得到驻 点 v0 2fg(LH) ，所以当 v0 2fg(LH)时， T有 极小值
运行后得到如下 T关于
m/s。
40 T（s）
v 0的图像，其中
的v 0 单位为：
30
20
10
v （0 m/s）
5
10
15
20
25
30
数学实验
当 v0 30、45、60、75（km/h ），也即约8.3， 12.5， 16.7，20.8（m/s ）时， 的值T如下表所 示：
v0 （km/h）
30
T (s)
解题方法
通过建立汽车刹车的微分方程，求出汽车通 过刹车距离、路口宽度和一个车身的行驶时间， 再求黄灯亮时的最小值，解决黄灯亮时问题。
解题过程
第一步 ：
驶近交叉路口的驾驶员看到黄灯信号时首先要 作出决定：是停车还是通过路口。如果选择停车， 他必须有足够的停车距离；如果选择通过路口，他 必须有足够的时间安全通过路口。
假设汽车以法定速度 通过路口。由于 为常数，
而
v0
t0
所以只有 是需要进t一2 步L求v0H得的。，
Baidu Nhomakorabea
t1
解题过程
第三步 ： 下面先计算刹车距离. 设车辆的重量为 W ，车
辆刹车时，水平方向只受到摩擦力 f W作用，其方向 与运动方向相反。设刹车后，汽车走过的位移 x (t )， 根据牛顿第二定律有如下的微分方程：
顺便地，我们还可以求得使 T取最小值时的法 定速度v0 7.67（m/s）＝27.6（km/h），此时T *＝ 4.91s。
进一步的问题
即使给了充分的停车时间，仍有许多驾驶员企 图加速想抢在红灯亮之前冲过交叉路口。但驾驶员 们并不知道什么时候红绿灯转为红灯。有一种“倒 数”型的红绿灯可以部分地解决这个问题，在黄灯 亮的最后几秒钟内，黄灯上显示出一窜倒着数的数 字，它们准确地警告驾驶员红绿灯何时将变为红色。 这种系统在我国的部分城市正使用着，它成功地降 低了事故发生率。
T*miTn
2(LH) fg
t0
数学实验
借助于Mathematica可以描绘出 T关于 v 0 的图 像。假设t0 1 s ，L5m ，H10m 。另外，我们 将接受公路工程师提出的具有代表性的数据 f 0.2.
在Mathematica软件中输入如下程序：
Plot[v/(2*0.2*9.8)+(5+10)/v+1, {v, 0, 30}]
fW
W g
d d
2x t2
,
dx dt
t 0
v0,
x(0) 0.
（1）
解题过程
其中 g为重力加速度，负号是因为速度与摩擦力方
向相反，从而
dv d2x dt dt2 0
.
解题过程
第四步 ： 对（1）式积分得
由于车停下后速v度为ddxt零，f所gt以v0在（2）式中（令2）v 0 得到汽车自刹车至停下所用的时间 t ' v 0 。
4.92
经验法(s) 2
45
5.39
3
60
6.16
4
75
7.03
5
数学实验
表中的“经验法”是按如下“经验”得到：对法 定的迫近速度的每个15 km/h亮黄灯1秒。我们注意 到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。 这使人想起，许多交叉路口的设计很可能使车辆在 绿灯转为红灯时正处在交叉路口上。
解题过程
第二步 ：
因此，如果取
Tt0 t1t2,
则选择刹车的驾驶员可以在刹车距离内安全停车；
选择通过路口的驾驶员也有足够时间安全通过路口。
所以最佳点亮黄灯时间就归结为求上述 的最T 小值。
黄灯亮多久
在交通管理中，定期的亮一段黄灯是为了让 那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致 无法停下的驾驶员有机会在黄灯亮的时候通过路 口。如果汽车的法定速度为 v 0 ，交叉路口宽度 为 H，典型的车身长度为 L ，地面的摩擦系数 为 f ，试问黄灯点亮的时间多长为好呢？
应用背景
相关知识点
1.函数最大(小)值的求法 2.高阶可降阶微分方程的解法 3.微分方程的几何应用和简单物理应用
fg
在 x(0) 0的条件下，对（2）式再积分得到
x(t)12fg2tv0t
（3）
从而刹车距离
x(t ') D v02 .
（4）
2 fg
解题过程
第五步 ： 由（4）式得
所以
t1
D v0
v0 2 fg
，
T2vf0gLv0Ht0 .
对 T关于 v 0 求导数,令 T 0 0 得到驻 点 v0 2fg(LH) ，所以当 v0 2fg(LH)时， T有 极小值
运行后得到如下 T关于
m/s。
40 T（s）
v 0的图像，其中
的v 0 单位为：
30
20
10
v （0 m/s）
5
10
15
20
25
30
数学实验
当 v0 30、45、60、75（km/h ），也即约8.3， 12.5， 16.7，20.8（m/s ）时， 的值T如下表所 示：
v0 （km/h）
30
T (s)
解题方法
通过建立汽车刹车的微分方程，求出汽车通 过刹车距离、路口宽度和一个车身的行驶时间， 再求黄灯亮时的最小值，解决黄灯亮时问题。
解题过程
第一步 ：
驶近交叉路口的驾驶员看到黄灯信号时首先要 作出决定：是停车还是通过路口。如果选择停车， 他必须有足够的停车距离；如果选择通过路口，他 必须有足够的时间安全通过路口。
假设汽车以法定速度 通过路口。由于 为常数，
而
v0
t0
所以只有 是需要进t一2 步L求v0H得的。，
Baidu Nhomakorabea
t1
解题过程
第三步 ： 下面先计算刹车距离. 设车辆的重量为 W ，车
辆刹车时，水平方向只受到摩擦力 f W作用，其方向 与运动方向相反。设刹车后，汽车走过的位移 x (t )， 根据牛顿第二定律有如下的微分方程：
顺便地，我们还可以求得使 T取最小值时的法 定速度v0 7.67（m/s）＝27.6（km/h），此时T *＝ 4.91s。
进一步的问题
即使给了充分的停车时间，仍有许多驾驶员企 图加速想抢在红灯亮之前冲过交叉路口。但驾驶员 们并不知道什么时候红绿灯转为红灯。有一种“倒 数”型的红绿灯可以部分地解决这个问题，在黄灯 亮的最后几秒钟内，黄灯上显示出一窜倒着数的数 字，它们准确地警告驾驶员红绿灯何时将变为红色。 这种系统在我国的部分城市正使用着，它成功地降 低了事故发生率。
T*miTn
2(LH) fg
t0
数学实验
借助于Mathematica可以描绘出 T关于 v 0 的图 像。假设t0 1 s ，L5m ，H10m 。另外，我们 将接受公路工程师提出的具有代表性的数据 f 0.2.
在Mathematica软件中输入如下程序：
Plot[v/(2*0.2*9.8)+(5+10)/v+1, {v, 0, 30}]
fW
W g
d d
2x t2
,
dx dt
t 0
v0,
x(0) 0.
（1）
解题过程
其中 g为重力加速度，负号是因为速度与摩擦力方
向相反，从而
dv d2x dt dt2 0
.
解题过程
第四步 ： 对（1）式积分得
由于车停下后速v度为ddxt零，f所gt以v0在（2）式中（令2）v 0 得到汽车自刹车至停下所用的时间 t ' v 0 。
4.92
经验法(s) 2
45
5.39
3
60
6.16
4
75
7.03
5
数学实验
表中的“经验法”是按如下“经验”得到：对法 定的迫近速度的每个15 km/h亮黄灯1秒。我们注意 到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。 这使人想起，许多交叉路口的设计很可能使车辆在 绿灯转为红灯时正处在交叉路口上。