福建省宁德市2021届新高考数学一模试卷含解析
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号.考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写再写上上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【.案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i -B. 42i- C. 62i+ D. 42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i+=-+=+故选：C.3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2 B. 22C. 4D. 42【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l ππ=⨯，解得22l =.故选：B.4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A. 65- B. 25- C. 25 D. 65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7. 若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ）A. e ba < B. e ab <C. 0e ba << D. 0eab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t b ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0ab e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，nx ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，ny ，其中i i y x c=+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max minx x -，则第二组的极差为max min max min max min()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ）A12OP OP = B. 12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅ D.123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP，2OP 、1AP，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+= ，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-= ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin |22AP αααααααα=-+=-++=-== ，同理222||(cos 1)sin 2|sin |2AP βββ=-+= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=---cos cos 2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选：AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，32PB =D. 当PBA ∠最大时，32PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 的距离为2252541111545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-=，4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=，CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC-的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP⊥D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+ ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+ ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13,0,12A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13,0,12A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，10,,2BP μ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ，()10μμ-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+ ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+ ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为30,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以031,,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，131,,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p ∴+=- 因为PQ OP ⊥，所以260032p p p p ⨯-=>∴=∴ C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15. 函数()212ln f x x x=--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x '=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x '=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ⨯，562dm dm ⨯，53dm dm ⨯，3102dm dm⨯，3204dm dm⨯，共5种；（2）由题意可得12120S =⨯，2360S =⨯，3430S =⨯，4515S =⨯， ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+⨯⨯⨯=++++ ，则()121120111202120312022222n n n n S -+⨯⨯=++++，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- ()()112011203120360360222n n n n n -++=--=-，因此，()()4240315372072022nn n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出写出文文字说明.证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++- ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ .【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19. 记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC∠【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b =，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b b BD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b =∠，∴acBD b =，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b b c a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b=或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b +-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b=时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2) 36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F = ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥ 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F -、()21217,02F MF MF-=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ⋅的表达式，由TA TB TP TQ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122217MF MF F F -=<=，所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b <+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b ==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e+<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x'=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b +=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b ==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b +=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1xx ≤+.设()()ln 1u x x x=+-，则()1111x u x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1xx ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b <+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。
福建省宁德市2021届高三普通高中毕业班第一次质量检查数学答案
福建省宁德市2021届高三普通高中毕业班第一次质量检查数学试题参考答案1．A 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其在复平面内对应点的坐标． 【解析】解：3(3)(1)21(1)(1)i i i z i i i i ++-===-++-， 故z 对应的点(2,1)-．故选：A ．2．B 【分析】解不等式2log (1)1x +<得到集合A ，解不等式230x x -得到集合B ，再利用集合并集的定义求解．【解析】解：2log (1)1x +<，012x ∴<+<，11x ∴-<<，{|11}A x x ∴=-<<， 230x x -，03x ∴，{|03}B x x ∴=，{|13}AB x x ∴=-<．故选：B ．3．B 【分析】根据图中所给的条形图，和折线图，分析判断选项.【解析】2016至2017年R &D 的经费支出的增长速度是12.3%10.6% 1.7%-=，是最快的，故A 正确；2018至2019年R &D 的经费支出增加量为21737196782059-=（亿元），2017至2018年R &D 的经费支出增加量为19678176062072-=（亿元），20722059>，所以2018至2019年R &D 的经费支出增加量不是近五年来最多，故B 不正确； 从条形图可以看成2015至2019年R &D 的经费支出逐年增加，故C 正确；从折线图可知，2015至2019年R &D 的经费支出的增长速度先递增后递减，故D 正确. 故选：B4．B 【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而根据抛物线的定义，利用点M 到准线的距离求得点M 的纵坐标，求得答案．【解析】解：根据抛物线的定义可知点M 与抛物线焦点的距离就是点M 与抛物线准线的距离，依题意可知抛物线的准线方程为18y =-，点M 与抛物线焦点的距离为1，∴点M 到准线的距离为711()88=--，∴点M 的纵坐标为：78．故选：B ．5．D 【分析】由2n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为64，可得6n =，则在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0求得r 的值，即可求得展开式中常数项．【解析】若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为64，则264n =，6n =，故62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()66216622rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，故展开式中常数项为()3362820160C -⨯=-⨯=-，故选：D ．6．D 【分析】利用辅助角公式化简()f x ，()f x 是偶函数，可得ϕ，根据()f x 在[4π-，0]上是减函数确定一个ϕ值．【解析】解：因为())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ+++=++为偶函数，所以62k ππϕπ+=+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，故A ，C 错误，当23πϕ=-时，()2cos2f x x =-在[4π-，0]上为减函数，故D 正确；当3πϕ=时，()2cos2f x x =在[4π-，0]上为增函数，故B 错误；故选：D ．7．C 【分析】分析可得5次游戏中，前三次游戏仅出现一次反面，其它四次游戏都是正面，或者前三次仅出现一次正面，其它四次游戏都是反面． 【解析】解：设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则35m n m n ⎧-=⎨+=⎩，可得，当4m =，1n =或1m =，4n =时，那么5次游戏中，前三次游戏仅出现一次反面，其它四次游戏都是正面，或者前三次仅出现一次正面，其它四次游戏都是反面，所以151533113()()2216P C C =+=，故选：C ．8．A 【分析】设出AB 的中点(,)P x y ，根据垂径定理即可求出点P 的轨迹方程是以(5,0)为圆心，1为半径的圆，再利用圆的性质求出||MP 的最大值，再由向量的运算性质即可求解． 【解析】由已知圆的方程可得：圆心(6,0)C ，半径为3r =， 设AB 的中点为(,)P x y ，则由圆的性质可得：NP CP ⊥，即0NP CP ⋅=，而(4,)NP x y =-，(6,)CP x y =-， 所以2(4)(6)0x x y --+=，即点P 的轨迹方程为22(5)1x y -+=，设E 为NC 的中点，则(5,0)E ，半径为1，所以||MP 的最大值为11516ME +==+=， 又2MA MB MP +=，所以||MA MB +的最大值为12，故选：A9．CD 【分析】求出命题p 成立时a 的取值范围，再根据必要不充分条件的定义逐个判断选项，得出答案．【解析】命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ， 则2440a a ∆=+<，解得10a -<< 又()1,0-[]1,0-，且()1,0-[)1,-+∞，故选：CD10．BC 【分析】利用空间位置关系的判定与性质定理即可得出结论． 【解析】解：A ．若//m α，//αβ，则//m β，或m β⊂，因此不正确；B ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥，正确；C ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，正确；D ．若m n ⊥，n α⊥，//m β，则αβ⊥，也可能//αβ，因此不正确，故选：BC ．11．ACD 【分析】对于A ，设小边所对的角为θ，则直角三角形的两个直角边长为10sin θ，10cos θ，利用三角形的面积公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的性质即可求解；对于B ，利用两角和的正弦公式，正弦函数的性质即可求解；对于C ，令长直角边为a ，短直角边为b ，可得2a b -=，2210a b +=，解得a ，b 的值，即可求解；对于D ，令长直角边为a ，短直角边为b ，由余弦定理可得b ，a 的值，即可求解． 【解析】解：因为直角三角形的斜边长为10，设小边所对的角为θ，则直角三角形的两个直角边长为10sin θ，10cos θ，所以图1菱形面积1410sin 10cos 100sin 21002S θθθ=⨯⨯⨯=，故A 正确；图1菱形的两条对角线之和为2(10sin 10cos )202sin()2024πθθθ+=+，故B 错误；当图2小正方形的边长为2时，令长直角边为a ，短直角边为b ，可得2a b -=，2210a b +=，解得8a =，6b =，可得图1菱形的一条对角线长为12，一条对角线为16，故C 正确； 当图1菱形的一个锐角的余弦值为35时，令长直角边为a ，短直角边为b ， 由余弦定理可得2223(2)1010210105b =+-⨯⨯⨯，解得25b =，2210(25)45a =-=，可得图2小正方形的面积2(4525)20S =-=，故D 正确．故选：ACD ． 12．ACD 【分析】将函数的零点问题转化为函数2y t x =-与2||y x =-的图象交点的个数，利用图象，即可判断选项A ，将()0f x >转化为函数2y t x =-在2||y x =-的图象的上方，利用图象，即可判断选项B ，函数()f x 为偶函数，利用导数研究[0,]x t ∈时的情形，即可判断选项C ，利用导数研究函数的最值，即可判断选项D ． 【解析】解：由()0f x =，可得22||t x x -=-，函数()f x 的零点个数， 即为函数2y t x =-与2||y x =-的图象交点的个数，如图可知：当4t >时，有0个交点；当4t =时，有3个交点； 当24t <<时，有4个交点；当2t =时，有2个交点； 当02t <<时，有0个交点，所以()f x 的零点个数的可能取值为0，2，3，4，故选项A 正确；不等式()0f x >表示函数y =2||y x =-的图象的上方，由上图可知，当且仅当4t >时，才有()0f x >恒成立，故选项B 错误；显然函数()||2(0)f x x t =->为偶函数，故只需研究x ∈时的情形，此时()2f x x =，()1f x '=-=，令()0f x '=，解得x =，当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<，所以x =为极大值点，同理可知得x =也为极大值点，故选项C 正确；所以()2f x f ==⎝⎭极大值，又(0)2f =-，2f =，所以()f x 的值域为2]，故选项D 正确．故选：ACD ．13．[9,)+∞【分析】先设出幂函数的解析式，然后将点代入求出幂函数的解析式，最后解不等式即可.【解析】设幂函数的解析式为()f x x α=，由幂函数()f x 的图象过点()42，，得24α=，解得：12α=，所以()f x =所以()f x 的定义域为[)0+∞，，且单调递增,故()3f x ≥3≥，解得：9x ≥，故不等式的解集是[)9+∞，. 故答案为：[)9+∞，. 14．2020【分析】由等差数列的定义知，每层铜钱数是以31为首项、以1-为公差的等差数列且末项为70，利用等差数列的前n 项和公式求出结论．【解析】由题意知，每层铜钱数是以31为首项、以1为公差的等差数列， 且末项为70，故7031(1)140n n =+-⨯⇒=， 所以共有40层，故这堆铜钱共有40(3170)20202⨯+=缗，故答案为：2020．15．12π【分析】设AB 的中点为1O ，则1O 为Rt SAB 外接圆的圆心，由条件可得1CO ⊥平面SAB ，等边ABC 外接圆的圆心即为外接球的球心O ，设2AB x =，然后可得S ABC V -3x =32x =，然后可得答案. 【解析】设AB 的中点为1O ，则1O 为Rt SAB 外接圆的圆心 因为平面SAB ⊥平面ABC ，平面SAB平面ABC AB =，1CO AB ⊥，1CO ⊂平面ABC 由已知可得1CO ⊥平面SAB 等边ABC 外接圆的圆心即为外接球的球心O设2AB x =则22)ABC S x ==△ 三棱锥S ABC -高的最大值为x所以S ABC V -的最大值为338x =32x =所以球O 的半径223R x =⨯=所以球O 的表面积为12π故答案为：12π 16．133【分析】设双曲线C 的左焦点为F '，连结AF '，BF '，设||BF t =，则||2AF t =，||22AF a t '=+，||2BF a t '=+，由对称性得四边形AF PF '为平行四边形，进而在F AB'△中，利用余弦定理得3a t =，在F AF '△中，由余弦定理得225249a c =，进而得答案.【解析】解：设双曲线C 的左焦点为F '，连结AF '，BF '，设||BF t =，则||2AF t =， 所以||22AF a t '=+，||2BF a t '=+.由对称性可知，四边形AF PF '为平行四边形，故60F AB '∠=︒.在F AB '△中，由余弦定理得222(2)(22)(3)2(22)3cos60a t a t t a t t +=++-⨯+⨯⨯︒，解得3a t =.故83a AF '=，2||3a AF =.在F AF '△中，由余弦定理得，2222644825242cos6099339a a a a a c =+-⨯⨯⨯︒=，解得：13e =. 故答案为：13317．.【分析】若选条件①：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求1cos 2A =，结合范围(0,)A π∈，可得A 的值，利用三角形的面积公式可求bc 的值，又3b c +=，解得b ，c 的值，即可解得a 的值，另也可以利用余弦定理解得a 的值．若选条件②：利用向量垂直的坐标运算，正弦定理，两角和的正弦公式，结合sin 0C ≠，可得1cos 2A =，结合范围(0,)A π∈，可得A 的值，下同选择①． 若选条件③：利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan 3A =(0,)A π∈，可得A 的值，下同选择①．【解析】解：选条件① 由①2cos cos c b aB A-=及正弦定理可得 (2sin sin )cos sin cos C B A A B -=，2sin cos sin cos cos sin C A A B A B =+，2sin cos sin()C A A B =+因为sin()sin 0A B C +=≠， 所以1cos 2A =因为(0,)A π∈，所以60A =︒.由1S sin 216ABC bc A ==△得94bc =， 又3b c +=，可得32b c ==， 所以ABC 是等边三角形，从而32a =. 另解：2222cos 3a b c bc π=+-2()3b c bc =+-94=，则32a =.选条件②由②m n ⊥可得0m n ⋅=， 即2cos 2a C c b += 由正弦定理可得2sin cos sin 2sin 0A C C B +-=，因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=， 所以sin 2cos sin 0C A C -=， 因为sin 0C ≠，∴1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以60A =︒. 下同选择①. 选条件③由③1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=，sin sin()cos A A C B A +=因为sin()sin 0A C B +=≠所以sin A A =，所以tan A =因为(0,)A π∈，所以60A =︒. 下同选择①.18．【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，求出首项和公比，可得数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，分6n <和6n ≥两种情况，利用分组求和法得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得1121136a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a q =⎧⎨=⎩ 所以11122n n n a --=⨯=（2）因为12n n a所以111202, 6.220220, 6.n n n n n b n ---⎧-<=-=⎨-≥⎩所以6n <时，()01120222n n T n -=-+++()11220202112n n n n ⨯-=-=-+-6n ≥时，()561522220(5)n n T T n -=++++--()5552121001220(5)12n n --=+-+---220137n n =-+所以2021,6,220137, 6.n n nn n T n n ⎧-+<=⎨-+≥⎩ 19．.【分析】（1）通过椭圆的焦点为(1,0)F ，所推出1c =，利用||PF 的最大值为2b ，推出2a c b +=，222a b c =+，求出2a ，2b ，即可得到椭圆方程．（2）由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为2x my =+，则C 点为2(0,)m-，由221432x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得：22(34)120m y my ++=，求出B 的坐标．然后求解三角形的面积乘积，推出范围即可．【解析】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦点为(1,0)F ，所以1c =，又2a c b +=，222a b c =+，所以24a =，23b =，即椭圆方程为22143x y +=．（2）由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为2x my =+， 则C 点为2(0,)m-， 由221432x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得：22(34)120m y my ++=， 解得：21243B my m=-+， 故11||||2B S FA y =，21||||2C S FA y =， 由此可得：212216||||434B C S S FA y y m ⋅=⋅⋅⋅=+，所以2130,2S S ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭．20．.【分析】（1）连接BD ，DE ，证明PD BD ⊥，结合PD AD ⊥，推出PD ⊥平面ABD ，得到AB PD ⊥，再证AB ⊥平面PAD ，即可得到AB DE ⊥，结合DE PA ⊥，证明DE ⊥平面PAB ，即可推出DE PB ⊥．（2）建立如图空间直角坐标系D xyz -，求出平面DEA 的一个法向量，求出平面BDE 的一个法向量，通过若二面角B DE A --的余弦值为23，转化求解即可． 【解析】解：（1）连接BD ，DE ， 因为AD AB ⊥且2AD =，1AB =，解得BD =，又2PD =，3PB =， 则222PD BD PB +=， 所以PD BD ⊥. 又PD AD ⊥，BDAD D ，,BD AD ⊂平面ABD所以PD ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ，则AB PD ⊥. 又AD AB ⊥，ADPD D =，,AD PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为DE ⊂平面PAD ，所以AB DE ⊥ 又PD AD =，E 为PA 的中点， 所以DE PA ⊥， 又PAAB A =，,PA AB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 则DE PB ⊥.（2）由（1）得，PD ⊥平面ABCD ， 且AD CD ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -(2,0,0)A ，(2,1,0)B ，(0,0,0)D ，(0,0,2)P .易知，平面DEA 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 假设存在满足题意的点设E 设(01)AE AP λλ=≤≤(2,0,2)AE λλ=-(22,0,2)DE DA AE λλ=+=- (2,1,0)DB =，设平面BDE 的一个法向量为2(, , )n x y z =，220,0,DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则20,(22)20.x y x z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则2y =-，1z λλ-=， 则211,2,n λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 121212cos ,n n n n n n ⋅=2211(2)λλ=-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭若二面角B DE A --的余弦值为23， 2222311(2)λλ-=-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭解得13λ=或1λ=- （舍去）所以棱PA 上存在点E ，使二面角B DE A --的余弦值为23，此时||1||3AE AP =. 21．.【分析】（1）利用频率分布直方图，求出a ，b ，c 的概率，然后求解平均值即可； （2）判断随机变量ξ服从二项分布30.7B ξ（，），求出概率得到分布列，然后求解期望；（3）由（1）及题意结合正态分布求解概率，判断是否让该批零件出厂. 【解析】（1）由题意可得10(6162)0.1100P d <≤== 1(5960)(6061)(120.030.140.1)0.352P d P d <≤=<≤=-⨯--= 所以0.030.031a ==，0.10.11b ==，0.350.351c ==. (57.562.5)0.0358.50.14(59.560.5)0.3561.50.159.9460x =+⨯+⨯++⨯+⨯=≈.（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件， 长度d 在(59,61]的概率20.350.7P =⨯= 且随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ξ，所以033(0)(10.7)0.027P C ξ==⨯-=， 123(1)0.7(10.7)0.189P C ξ==⨯⨯-= 223(2)0.7(10.7)0.441P C ξ==⨯⨯-= 333(3)0.70.343P C ξ==⨯=所以随机变量ξ分布列为00.027*******.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由（1）及题意可知60x =，1σ=.所以()(5961)0.7P x X x P X σσ-<≤-=<≤=；|()0.6826||0.70.6826|0.01740.03P x X x σσ-<≤+-=-=≤(22)(5862)0.140.350.350.10.94P x X x P X σσ-<≤-=<≤=+++=|(22)0.9544||0.940.9544|0.01440.03P x X x σσ-<≤+-=-=≤.所以这批新零件的长度d 满足近似于正态分布()2,1N x 的概率分布. 所以能让该批零件出厂.22．【分析】（1）求导后，对k 进行讨论即可；（2）将不等式转化成()1e (eln )0·ln x x x x x x---≥，然后分别研究1e(0)x x x -->，eln (0)x x x ->，ln (0)x x x >的符号即可.【解析】（1）22e e e (1)()kx kx kx k x kx f x x x--'=⋅=， 定义域为(,0)(0,)-∞+∞当0k =时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，无增区间； 当0k >.时，由()0f x '<得1x k <且0x ≠；由()0f x '>得1x k>， 所以函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当0k <时，由()0f x '<得1x k>且0x ≠；由()0f x '>得1x k <所以函数()f x 的单调递减区间为1,0k ⎛⎫⎪⎝⎭和(0,)+∞，递增区间为1,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭综上，当0k =时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，无增区间； 当0k >时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； 当0k <时，函数()f x 的单调递减区间为1,0k ⎛⎫⎪⎝⎭和(0,)+∞，递增区间为1,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）由()()g x f x ≥，即1e e e ln x xx x x --≥-，从而1e e(e )ln x x x x x x --≥-， 即()1e e 0ln 1x x x x -⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，()1e(eln )0·ln x x x x x x---≥设1()e (0)x p x x x -=->， 令1()e10x p x -'=-=，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0p x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0p x '>， 所以()p x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以min ()(1)0p x p ==，即1e 0x x --≥恒成立； 设()eln (0)h x x x x =->， 令e e()10x h x x x-'=-==， 当(0,e)x ∈时，()0h x '<，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()h x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 所以min ()(e)0h x h ==，即eln 0x x -≥恒成立； 又当(0,1)x ∈时，ln 0x <，(1,)x ∈+∞时， ln 0x >，所以不等式1e e ln x xe x x x--≥-的解集为(1,)+∞。
福建省宁德市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
福建省宁德市2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(2sin,cos ),,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 2．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A = 当cos 0A =时2A π=，ABC ∆为直角三角形；当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称， 则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 4．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，PB =Q 12AO PA ∴==122AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=，即2212x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：AO ===，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ）A ．2B ．CD ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知，圆心M=222c a b ==+，解方程即可.【详解】由已知，2c =，渐近线方程为0bx ay ±=，因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M =2bb c===，故1a =， 所以离心率为2ce a==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 6．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12,【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 7．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.8．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B 【解析】 【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.9．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( )A ．3B ．5C D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可 【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =.因此，6363123i ii z i++==-=故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 10．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-【答案】D 【解析】 【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解. 11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p=（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，3b a =，渐近线方程为3y x =±，求出交点3(,)2p pA -，3(,)2p pB --，132AOB S p ∆=⨯⨯ 2332p p ==，则2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；12．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，4AB =，3AC =，则BC uuu v 在CA u u u v方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C ．-4D ．-3【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥u u u r u u u r ，再结合图形求出BC uuu r 与CA u u u r方向上的投影即可. 详解：如图所示：Q AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v， 0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r， ∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，又4AB =，3AC =，BC ∴u u u r 在CA u u u r方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v π=-∠=-∠=-，点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学答案及评分标准
说明：2021 届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学试题参考答案及评分标准1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分40 分．1．A 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．全部选对的得 5 分，有选错的得0分，部分选对的得 3 分．9．CD 10．BC 11．ACD 12．ACD三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分20 分．13．[9, +∞)14．2020 15．12π16．13 38. 解：设AB 的中点为P ，由NP ⋅CP = 0 可得点P 的轨迹方程为(x - 5)2+y2= 1。
所以| MP |的最大值为ME1516(E为NC中点），又| MA +MB |= 2 | MP | ，所以| MA +MB |最大值为1212.解：由f (x) 0 得t x2 2 x ，函数f (x) 的零点个数即为函数y t x2 与y的图像交点个数.如图可知：当t 4 时，有0 个交点；当t 4 时，有3 个交点；当2 t 4 时，有4 个交点；当t 2 时，有2 个交点；当0 t 2 时，有0 个交点，所以f (x) 的零点个数的可能取值为0，2，3，4. 故A 正确.2 xSAO 1OB2t 2t t tf (x ) 0 即函数 y t x 2 图像在y 才有 f (x ) 0 恒成立.故B 不正确. 图像的上方，由上可知，当且仅当t 4 时，显然 f ( x )= x +t - 2x -2 ( t > 0为偶函数，故只需研究 x ∈[0 , t 时的情形，此时f ( x )= x +'t - 2x -2 x f (x ) = 1 -= t - x 2令 f '(x ) = 0 ，解得 x =2t ， 2为减函数，且当 x ∈[0,2t] 时 f '(x ) > 0 ， x ∈[ 22t ，t ] 时 f '(x ) < 0 ， 2 所以 x =2t为极大值点，同理可知 x =- 也为极大值点，故 C 正确；所以 f (x ) 2 极大值 = f (22t ) = - 2 ， 2又 f (0) = - 2 ， f ( t ) = - 2 ， 所以 f (x ) 的值域为[ 故选ACD.- 2, - 2] ，D 正确. B 也可通过t = 3 时的情形予以排除. 本题还可通过三角换元求解 15. 解：设 AB 的中点为O 1 ，则O 1 为 Rt ∆SAB 外接圆的圆心由已知可得CO 1 ⊥ 平面 SAB等边∆ABC 外接圆的圆心即为外接球的球心O 设 AB = 2x 则 S ∆ABC = 3(2x )2 = 43x 2 三棱锥 S - ABC 高的最大值为 x所以V S - ABC 解得 x = 32的最大值为 3 x 3 = 9 3 C3 8所以球O 的半径 R = 2 ⨯ 3⨯ 2x = 3 2 所以球O 的表面积为12π16. 解：设双曲线C 的左焦点为 F ' ，连结 AF ' ， BF ' ，设 BF 所以 AF ' = 2a + 2t ， BF ' = 2a + t .由对称性可知，四边形 AF 'PF 为平行四边形，故∠F 'AB = 60= t ，则 AF。
2021年新高考一卷数学试卷解析
2021年新高考一卷数学试卷解析
2021年全国新高考数学一卷是一份难度较高的试卷，以下是具体的解析：
1. 整体难度：该试卷整体难度较大，其中尤以最后两道大题为甚，很多考生在最后的时间里未能完成这些题目。
这需要考生在平时的学习和训练中，注重提高解题速度和准确度，同时也需要培养面对难题的应对策略。
2. 知识点覆盖面：该试卷对高中数学的主要知识点进行了全面的覆盖，包括代数、几何、概率统计等方面。
这有助于全面考察考生的数学知识储备和运用能力。
3. 题目类型：该试卷采用了多种类型的题目，如计算题、证明题、应用题等。
这有助于考察考生在不同题型下的解题能力和思维方式。
4. 创新性：与往年相比，该试卷在题目设计和知识点考察上具有一定的创新性。
例如，有些题目考察了考生对数学概念和方法的深度理解，而有些题目则考察了考生在解决实际问题方面的能力。
5. 考生反映：据考生反映，该试卷难度较大，部分题目较为新颖，需要考生具备较强的思维能力和应变能力。
同时，也有部分考生认为该试卷的题目设计较为合理，能够全面考察考生的数学能力和素质。
总的来说，2021年全国新高考数学一卷是一份难度较高、知识点覆盖面广、题目类型多样、具有创新性的试卷。
考生需要在平时的学习和训练中，注重提高解题速度和准确度，同时也需要培养面对难题的应对策略。
福建省宁德市2021届普通高中毕业班第一次质量检查数学试题(含答案)
8．已知点 M (2, 4) ，若过点 N(4, 0)的直线 l 交圆 C : (x 6)2 y2 9 于 A ， B 两点，则
MA MB 的最大值为
A．12
B． 8 2
C．10
D． 6 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 40 分． 1．A 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．CD 10．BC 11．ACD 12．ACD
数学试卷 第 1 页 共 5 页
4．若抛物线 y 2x2 上的一点 M 到其焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是
A．1
B． 7 8
C． 1 2
D． 1 4
5．已知二项式
x
2 x
n
展开式中各项的二项式系数和是
64
，则该展开式中的常数项是
A． 20
B． 20
C．160
D． 160
6．若偶函数 f (x) 3 sin(2x ) cos(2x ) 在[ ,0] 上为减函数，则 的可能取值为 4
9．已知命题 p ：关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集为 R ，那么命题 p 的一个必要不充 分条件是
A． 1 a 1 2
福建省宁德市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
福建省宁德市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =，∴)()()224212(191616m y y m m +-=+， 又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+，∴代入解得18m =. 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.2．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216x B x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D【解析】【分析】先化简{}{}|216|4x B x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解. 【详解】因为{}{}|216|4x B x x x =<=<， 又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ，所以4a <.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B【解析】 试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.4．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞【答案】C【解析】【分析】根据A φ≠，得到2()1f x ax x x =-+≤有解，则440a ∆=-≥，得01a <≤，1211,x x a a +==，得到12{|()}[]11,[A x f x x x x a a-≤===，再根据{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，有(())()f f x f x ≤，即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为()()2222110ax x a x a +-+-≤，根据A B φ=≠，则2210a x a -≥+的解集包含11[,]a a +求解，【详解】因为A φ≠，所以2()1f x ax x x =-+≤有解，即2()210f x ax x =-+≤有解，所以440a ∆=-≥，得01a <≤，1211x x a a==，所以12{|()}[]11,[A x f x x x x a a-≤===， 又因为{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，所以(())()f f x f x ≤，即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为()()2222110ax x a x a +-+-≤，因为A B φ=≠，所以2210a x a -≥+的解集包含，≤≥， 解得314a ≤≤， 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，5．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =U （ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()0,2D ．[)0,+∞【解析】【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞U ．故选D ．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．6．若2m ＞2n ＞1，则（ ）A ．11m n ＞B ．πm ﹣n ＞1C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞ 【答案】B【解析】【分析】 根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确；而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ．【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a--的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．4433⎡--+⎢⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6633⎡-⎢⎣⎦ 【答案】B【解析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y b k x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上， (),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上， 则PQ y b k x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+， 则2211343411k m k k m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，2222111k mk k k ++==++，化为23830k k ++=，47k -±= 即4747AB CD k k ---+==，474733PQ y b k x a ----+∴≤=≤-， y b x a --的取值范围4747,⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦，故选B. 【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >> 【答案】A【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
福建省宁德市2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析
福建省宁德市2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解.【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．2．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 【答案】A 【解析】 【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是 “任意0m >，使方程20x x m +-=无实根”. 故选：A 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.3．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立22221240y k x k x k x k =-⎧⇒-++=（）则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k=+， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
福建省宁德市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
福建省宁德市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数2(1)i i+的模为（）．A．1 2B．1 C．2 D．22【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：2(1)22i i i+=-+Q，∴复数2(1)i i+的模为22(2)222-+=．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．2．已知数列{}n a的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A．10112020B．20192020C．20202021D．10102021【答案】D【解析】【分析】由题意，设每一行的和为i c，可得11 (21)i i i n ic a a a n n i++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n nb c c c n n=+++=+，表示12(1)nnb n n=+，裂项相消即可求解.【详解】故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 3．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n-B ．212n -C ．212n (-)D ．22n【答案】B 【解析】 【分析】直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 4．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题. 5．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】由复数的除法运算化简可得1033m m i i+=+-+， 因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.6．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体【答案】C根据基本几何体的三视图确定． 【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．153D ．103【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得10c e a ==.本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C．22D ．24【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，则2311kk <+，解得22k -<<.因此，所求概率为222424P ⨯==. 故选：D. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．22C ．624D ．624【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()2243S a b c =+-，得222143sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴ 23sin 2cos 2ab C ab C ab =+， 3cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<，∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3212622+⨯+⨯=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．11．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i -C ．2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算求解即可. 【详解】224422(1)2ii i i i===---. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 12．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2021年福建省宁德市高考数学模拟试卷〔理科〕〔5月份〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数z=1+i，则的值等于〔〕A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，假设∁U A={0，1}，则实数a的值为〔〕A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序．假设输入的n=3，则输出的结果为〔〕A．6 B．7 C．8 D．94．S n是等比数列{a n}的前n项和，假设S2，S4，S3成等差数列，则数列{a n}的公比q等于〔〕A．B．2 C．﹣2 D．5．双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是〔〕A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．=16．设x，y满足条件且z=x+y+a〔a为常数〕的最小值为4，则实数a的值为〔〕A．B．2 C．4 D．57．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．假设取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为〔〕A．2 B．3 C．4 D．58．命题p：y=sin〔x﹣〕在〔0，π〕上是减函数；命题q：“a=〞是“直线x=为曲线f〔x〕=sinx+acosx的一条对称轴〞的充要条件．则以下命题为真命题的是〔〕A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕，〔2，0，0〕，〔2，1，1〕，〔0，1，1〕．假设画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是〔〕A．B．C．D．10．过抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，假设以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为〔〕A．8 B．8C．12 D．1611．四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且全部顶点都在外表积为20π的球面上，则a的值等于〔〕A．3B．2C．3D．312．点A〔1，1〕，点P在曲线f〔x〕=x3﹣3x2+3x〔0≤x≤2〕上，点Q在直线y=3x﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为〔〕A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，=3，则=______．14．〔1+2x〕〔x+〕5展开式中x的系数为______．15．函数f〔x〕=假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是______．16．假设数列{a n}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式a n≤a m恒成立，则m的值是______．三、解答题：本大题共5小题，总分值60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b〔sinC+cosC〕．〔Ⅰ〕求∠ABC；〔Ⅱ〕假设∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．某职业学校有2021名学生，校效劳部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：〔Ⅰ〕试估量该校学生在校月消费的平均数；〔Ⅱ〕根据校效劳部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x〔元〕和效劳部可获得利润y〔元〕，满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，答复以下问题：〔ⅰ〕对于任意一个学生，校效劳部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．〔ⅱ〕假设校效劳部方案每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．〔Ⅰ〕求证：CD⊥AE；〔Ⅱ〕假设平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．20．点F〔1，0〕，点P在圆E：〔x+1〕2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q〔m，0〕〔m＞2〕的直线l交曲线Γ于A，B两点．〔Ⅰ〕求曲线Γ的方程；〔Ⅱ〕设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．21．函数f〔x〕=﹣+〔a﹣1〕x+lnx．〔Ⅰ〕假设a＞﹣1，求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设a＞1，求证：〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．〔Ⅰ〕求弦CD的长；〔Ⅱ〕⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：〔α为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求曲线C的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|﹣|x﹣a|〔a＞0〕．〔Ⅰ〕当a=1时，求不等式f〔x〕≤x的解集；〔Ⅱ〕当x≤﹣时，不等式f〔x〕+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．2021年福建省宁德市高考数学模拟试卷〔理科〕〔5月份〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数z=1+i，则的值等于〔〕A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵数z=1+i，∴=，应选：A．2．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，假设∁U A={0，1}，则实数a的值为〔〕A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】补集及其运算．【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2，进行求解即可．【解答】解：∵∁U A={0，1}，∴A={2}，即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2，则﹣=2，即a=﹣4，应选：D．3．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序．假设输入的n=3，则输出的结果为〔〕A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值，满足条件时退出循环，输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=0不满足条件n是偶数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．应选：B，4．S n是等比数列{a n}的前n项和，假设S2，S4，S3成等差数列，则数列{a n}的公比q等于〔〕A．B．2 C．﹣2 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S2，S4，S3成等差数列，∴2S4=S3+S2，∴2a1〔1+q+q2+q3〕=a1〔2+2q+q2〕，化为：1+2q=0，解得q=﹣．应选：D．5．双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是〔〕A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2，离心率的值，建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．【解答】解：设双曲线的一个焦点为F〔c，0〕，双曲线的一条渐近线为y=，取bx﹣ay=0，所以焦点到渐近线的距离d==2，∵离心率e==，∴c=，则c2=a2+b2，即3a2=a2+4，即2a2=4，则a2=2，则该双曲线的方程可以是=1，应选：C．6．设x，y满足条件且z=x+y+a〔a为常数〕的最小值为4，则实数a的值为〔〕A．B．2 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y+a为y=﹣x+z﹣a，由图可知，当直线y=﹣x+z﹣a过点A〔2，0〕时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2+0+a=4，即a=2．应选：B．7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．假设取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【考点】概率的意义．【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包含：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球；从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球；从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，这个事件的概率是．【解答】解：设A箱中有x个红球，则有〔6﹣x〕个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，取出的3个球中有两个颜色相同包含：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为××2，从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为×〔+〕，从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为×〔+〕，故××2+×〔+〕+×〔+〕=，解得x=5，故答案为：5．8．命题p：y=sin〔x﹣〕在〔0，π〕上是减函数；命题q：“a=〞是“直线x=为曲线f〔x〕=sinx+acosx的一条对称轴〞的充要条件．则以下命题为真命题的是〔〕A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】分别推断出p，q的真假，从而推断出复合命题的真假．【解答】解：∵0＜x＜π，∴﹣＜x﹣＜，∴y=sin〔x﹣〕在〔0，π〕上是增函数，命题p是假命题；假设a=，则f〔x〕=sinx+cosx=2〔sinx+cosx〕=2sin〔x+〕，对称轴x+=kπ+，∴x=kπ+，是充分条件，假设直线x=为曲线f〔x〕=sinx+acosx的一条对称轴，则f〔﹣x〕=f〔+x〕当x=即f〔0〕=f〔〕∴f〔0〕=a=f〔〕=+，解得a=，故命题q是真命题；则命题￢p∧q是真命题，应选：C．9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕，〔2，0，0〕，〔2，1，1〕，〔0，1，1〕．假设画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是〔〕A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，利用空间直角坐标系，借助于正方体在坐标系中画出几何体，再画出它的侧视图．【解答】解：由题意，画出直角坐标系，在坐标系中各点对应位置如图①所示；以平面zOy为投影面，得到的侧视图如图②所示：应选：C．10．过抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，假设以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为〔〕A．8 B．8C．12 D．16【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为〔，0〕，设直线AB的方程为y﹣0=x﹣，即为y=x﹣，代入抛物线的方程，可得x2﹣3px+=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1+x2=3p，x1x2=，∴y1+y2=2p由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=4p．∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，∴4p2=〔8〕2+p2，∴p=8应选：A．11．四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且全部顶点都在外表积为20π的球面上，则a的值等于〔〕A．3B．2C．3D．3【考点】球内接多面体．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值．【解答】解：外表积为20π的球的半径为．画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，取AD的中点E，则OE⊥AD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，设球心为G，∵OA=OD=，AD=2，∴OE=设球的半径为R，GE=x，则R2=5=3+x2=+〔﹣x〕2，∴x=，a=3应选：C．．12．点A〔1，1〕，点P在曲线f〔x〕=x3﹣3x2+3x〔0≤x≤2〕上，点Q在直线y=3x﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为〔〕A．B． C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f〔x〕的导数，令导数为3，求得切线的方程，以及中点M所在直线的方程，运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离，即可得到最小值．【解答】解：f〔x〕=x3﹣3x2+3x的导数为f′〔x〕=3x2﹣6x+3，令f′〔x〕=3，解得x=0或2，可得与直线y=3x﹣14平行，且与y=f〔x〕图象相切的直线为y=3x或y=3x﹣4，可得中点M所在直线的方程为y=3x﹣7或y=3x﹣9，由图象可得A到直线y=3x﹣7的距离为=，A到直线y=3x﹣9的距离为=．即有|AM|的最小值为，应选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，=3，则=4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由，在方向上的投影为2，求出三角形的边长为4，再根据=〔〕即可求出答案．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，∴||=2，∴AB=AC=BC=4，∴=〔〕=〔﹣〕•=||2﹣•=×42﹣4×4×=4，故答案为：414．〔1+2x〕〔x+〕5展开式中x的系数为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=〔x+〕5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=〔x+〕5展开式的常数项的乘积，分别由m的展开式可得．【解答】解：展开式的x项来源于第一个括号的1和m=〔x+〕5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=〔x+〕5展开式的常数项的乘积，又m=〔x+〕5的通项为T k+1=x5﹣k〔〕k=2k•x5﹣2k，令5﹣2k=1可得k=2，故m展开式中含x的项为40x，令5﹣2k=0可得k=∉Z，故m展开式中无常数项，∴原式展开式中x的系数为40，故答案为：40．15．函数f〔x〕=假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数f〔x〕=的图象，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有两个零点，则函数f〔x〕的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数f〔x〕=的图象如以下图所示：当x＞0时，函数f〔x〕的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，即函数g〔x〕=f〔x〕﹣x恰有一个零点，故x≤0时，函数g〔x〕=f〔x〕﹣x也恰有一个零点，即x≤0时，函数f〔x〕的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，故a＞0，y=x与y=﹣x2+a相切，解得：a=﹣，故实数a的取值范围是：，故答案为：16．假设数列{a n}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式a n≤a m恒成立，则m的值是5．【考点】数列与不等式的综合．【分析】通过作差可知数列{a n}的通项公式，计算出数列的前几项即可推断出数列的变化规律，进而即得结论．【解答】解：∵++…+=﹣，∴当n≥2时， ++…+=﹣，两式相减得：=﹣=，∴a n=〔2n﹣1〕•〔n≥2〕，又∵=﹣=﹣不满足上式，∴a n=，∵a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，且易知从第六项开始数列递减，∴m=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，总分值60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b〔sinC+cosC〕．〔Ⅰ〕求∠ABC；〔Ⅱ〕假设∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈〔0，π〕，即可求得B的值．〔Ⅱ〕由利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由及〔Ⅰ〕可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】〔此题总分值为12分〕解：〔Ⅰ〕在△ABC中，∵a=b〔sinC+cosC〕，∴sinA=sinB〔sinC+cosC〕，…∴sin〔π﹣B﹣C〕=sinB〔sinC+cosC〕，∴sin〔B+C〕=sinB〔sinC+cosC〕，…∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈〔0，π〕，故sinC≠0，…∴cosB=sinB，即tanB=1．…又∵B∈〔0，π〕，∴．…〔Ⅱ〕在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…又，由〔Ⅰ〕可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴．…∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…18．某职业学校有2021名学生，校效劳部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：〔Ⅰ〕试估量该校学生在校月消费的平均数；〔Ⅱ〕根据校效劳部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x〔元〕和效劳部可获得利润y〔元〕，满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，答复以下问题：〔ⅰ〕对于任意一个学生，校效劳部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．〔ⅱ〕假设校效劳部方案每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔Ⅰ〕由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数．〔Ⅱ〕〔ⅰ〕月消费值落入区间[200，400〕、[400，800〕、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．〔ii〕先求出效劳部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元．【解答】解：〔Ⅰ〕由频率分布直方图得学生月消费的平均数：…=680…〔Ⅱ〕〔ⅰ〕月消费值落入区间[200，400〕、[400，800〕、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，∴P〔ξ=20〕=0.05，P〔ξ=40〕=0.80，P〔ξ=80〕=0.15，∴ξ的分布列为：ξ20 40 80P 0.05 0.80 0.15Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．〔ii〕效劳部的月利润为45×2021=90000〔元〕，受助学生人数为2021×0.05=100，每个受助学生每月可获得90000×÷100=200〔元〕．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．〔Ⅰ〕求证：CD⊥AE；〔Ⅱ〕假设平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】〔I〕由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°，故而CD⊥平面PAC，于是CD⊥AE；〔II〕由面面垂直可得AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，则|cos＜＞|=，列方程解出λ即可．【解答】证明：〔Ⅰ〕在△ADC中，AD=4，，∠ADC=60°，由正弦定理得：，即，解得sin∠ACD=1，∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DC⊥PA．又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．〔Ⅱ〕∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角．∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如下图，则，．=〔，3，﹣3〕.=〔0，0，3〕．∴=〔，3λ，﹣3λ〕，∴==〔，3λ，3﹣3λ〕．设平面PBC的法向量为=〔x，y，z〕，则，∴，令，得=〔，0，1〕．设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则，∴或．20．点F〔1，0〕，点P在圆E：〔x+1〕2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q〔m，0〕〔m＞2〕的直线l交曲线Γ于A，B两点．〔Ⅰ〕求曲线Γ的方程；〔Ⅱ〕设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】〔I〕利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．〔Ⅱ〕由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k〔x﹣m〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线A'B与x轴的交点为S〔s，0〕则A'〔x1，﹣y1〕，直线方程与椭圆方程联立可得：〔3+4k2〕x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4，∵|ME|+|MF|＞|EF|，∴点M的轨迹是以点F〔1，0〕和E〔﹣1，0〕为焦点，2a=4的椭圆，∴，∴曲线Γ的方程为．〔Ⅱ〕由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k〔x﹣m〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，直线A'B与x轴的交点为S〔s，0〕则A'〔x1，﹣y1〕，∴=〔x1﹣s，﹣y1〕，=〔x2﹣s，y2〕，由得，〔3+4k2〕x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，△＞0，即〔4﹣m2〕k2+3＞0，∴，当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得〔x1﹣s〕y2+〔x2﹣s〕y1=0，即k〔x1﹣s〕〔x2﹣m〕+k〔x2﹣s〕〔x1﹣m〕=0，2x1x2﹣〔s+m〕〔x1+x2〕+2sm=0，∴，∴，∴，即，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点．综上述，直线A'B恒过一个定点，且=4．21．函数f〔x〕=﹣+〔a﹣1〕x+lnx．〔Ⅰ〕假设a＞﹣1，求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设a＞1，求证：〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔Ⅰ〕求导，令f′〔x〕=0，解得x1、x2，再进行分类商量，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；〔Ⅱ〕a＞1，由函数单调性可知，f〔x〕在x=1取极大值，也为最大值，f〔x〕max=a﹣1，因此〔2a﹣1〕f〔x〕≤〔2a﹣1〕〔a﹣1〕，构造辅助函数g〔a〕=，求导，求出g〔a〕的单调区间及最大值，＜=3，可知g〔a〕＜3，e a﹣3＞0，即可证明〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=﹣+〔a﹣1〕x+lnx，x＞0则f′〔x〕=﹣ax+〔a﹣1〕+=，令f′〔x〕=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′〔x〕＞0的解集为〔0，1〕，〔﹣，+∞〕，f′〔x〕＜0的解集为〔1，﹣〕，∴函数f〔x〕的单调递增区间为：〔0，1〕，〔﹣，+∞〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，﹣〕；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′〔x〕＞0的解集为〔0，1〕，f′〔x〕＜0的解集为〔1，+∞〕；∴当a＞0，函数f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，+∞〕；综上可知：﹣1＜a＜0，函数f〔x〕的单调递增区间为：〔0，1〕，〔﹣，+∞〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，﹣〕；a＞0，函数f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，函数f〔x〕的单调递减区间为〔1，+∞〕；〔Ⅱ〕证明：∵a＞1，故由〔Ⅰ〕可知函数f〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕单调递减区间为〔1，+∞〕，∴f〔x〕在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f〔x〕max=a﹣1，又∵2a﹣1＞0，∴〔2a﹣1〕f〔x〕≤〔2a﹣1〕〔a﹣1〕，设g〔a〕=，g′〔a〕=﹣=﹣，∴g〔a〕的单调增区间为〔2，〕，单调减区间为〔，+∞〕，∴g〔a〕≤g〔〕==，∵2＞3，∴＜=3，∴g〔a〕＜3，e a﹣3＞0，∴〔2a﹣1〕f〔x〕＜3e a﹣3．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．〔Ⅰ〕求弦CD的长；〔Ⅱ〕⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】〔Ⅰ〕连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，接着得出弦CD的长；〔Ⅱ〕在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF•FG，得出FG，接着求得CG的值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：连结CA，则CA⊥CB，∵由圆的对称性知CD⊥AB，∴由射影定理得：BC2=BE•BA=BE•〔BE+EA〕，∴22=BE•〔BE+3〕，∴BE=1；∴在Rt△BEC中，，∴．〔Ⅱ〕在△CEF中，，EF=BF﹣BE=1，∴CF=2，在△ACE中，．设⊙A与直线AB相交于M，N两点，AF=AE﹣EF=3﹣1=2，，∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=〔2+2〕•〔2﹣2〕=8，∴FG=4，∴CG=4+2=6．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：〔α为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求曲线C的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．【考点】参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕曲线C：〔α为参数〕，利用平方关系可得曲线C的一般方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程．〔2〕由对称性，设点A、B的极坐标分别为〔ρ1，θ〕，，其中，代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：〔1〕曲线C：〔α为参数〕，可得曲线C的一般方程为．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为．〔2〕由对称性，设点A、B的极坐标分别为〔ρ1，θ〕，，其中，则=．当且仅当sin22θ=1即，|OA|•|OB|取到最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f〔x〕=|2x+1|﹣|x﹣a|〔a＞0〕．〔Ⅰ〕当a=1时，求不等式f〔x〕≤x的解集；〔Ⅱ〕当x≤﹣时，不等式f〔x〕+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕将a=1代入f〔x〕，通过商量x的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕求出f 〔x〕的最小值，根据函数恒成立求出a的范围即可．【解答】解：〔1〕当a=1时，f〔x〕≤x化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x，…当，不等式化为2x+2≥0，解得；…当，不等式化为2x≤0，解得；…当x≥1，不等式化为2≤0，无解；…所以f〔x〕≤x解集为{x|﹣1≤x≤0}．…〔2〕∵当时f〔x〕=﹣2x﹣1﹣〔a﹣x〕=﹣x﹣a﹣1，∴．…∵t2+2t+3=〔t+1〕2+2≥2，…要使当时f〔x〕+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，则当时f〔x〕+2≥0恒成立，…∴，又由a＞0∴．…2021年9月20日。
2021宁德市2021届高三1月质量检查(数学文)
2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷文 科 数 学本试卷共5页，满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A.(2,1)-B.(1,2)C.(1,2)-D.(1,1)-2.已知复数1i z ，其中i 是虚数单位，则21z zA.1i 2B.1i 2C.1iD.1i3.已知双曲线222:14xy C b-=的焦距为45A. 8B. 6C.2D. 44.设向量,a b 满足15,7a ba b ，则a b A.4 B.3 C.2 D.15.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考。
“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是A.14B.13 C.12 D.236.已知公比为1-的等比数列n a 的前n 项和为n S 等差数列n b 的前n 项和为n T 若有345610a b b a ，则88S TA.80B.40C.20D.10 7.若实数,,x y z 满足23log log 2z xy，则,,x y z 的大小关系是A.z x yB.x y zC.x z yD.z y x 8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各序框图，则输出nA.20B.30C.75D.80 9.将函数31()sin cos 22f x x x ωω=+的图象向左平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是A.13 B.2 C.3 D.6 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的表面积为A.16B.20C.1626 D.202611.已知12,F F 为椭圆:C 222164x y a 的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原点的距离相等，且12PF F 的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 12.已知函数33,0,(),0,x x x f x ax x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是 A.当0a >时，至少有2个零点 B.当0a >时，至多有9个零点C.当0a <时，至少有4个零点D.当0a <时，至多有4个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 .15.在边长为2的菱形ABCD 中，π3ABC，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B 的位置，且点B 在面ACD 内的正投影为ΔACD 的重心G 则B ACD '-的外接球的球心O17131223到点G 的距离为 .16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-< 则称数列{}n a 为D 型数列 以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n n a a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-= 则D 型数列{}n a 的序号为 .（一）必考题：共60分． 17.(12分)ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，3c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．18.(12分)如图，矩形ABCD 平面BCE ，1,2AB BC BE 且2π3EBC ，,M N 分别为,AB CE的中点.（1）证明：//MN 平面AED ； （2）求几何体A MND 的体积.19.(12分)某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i 的数据进行了统计，得到如下数表：月销售单价i x （元/件） 8 8.5 9 9.5 10 月销售量i y （万件）1110865（1）建立y 关于x 的回归直线方程；（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-参考数据：51352i i i x y ==∑，521407.5i i x ==∑20. (12分) 已知抛物线2:2C y px 的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF. （1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOBMONSS，求直线l 的方程.21. (12分)已知函数2()1(0)x f x ax e a ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）已知0a 且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知11212xx m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11a Mb 求2ab 的取值范围.宁德市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. B 2. A 3. D 4. C5. A6. B7. A8. C9. C 10. D 11. B 12. B二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．31y x 14．5 1516．②③④三、解答题：本大题 共6小题，共70分．17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b cac整理得222a b c ab +-=-，………………………………………………………3分2221cos 22a b c C ab +-∴==-，(0,)C π∈，23C π∴=……………………………………………………………………………5分（2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++………………………………………………………………6分由正弦定理32sin sin sin 3a b c A B C，所以,2sin 2sin b a A B ==，24sin 2sin a b A B +=+…………………………………………………………8分4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+………………………………………………………10分(0,)3A π∈，(,)662A πππ∴+∈， 1sin()(,1)62A π∴+∈，2(3,23)a b ，……………………………………………………………11分所以ABD ∆的周长的取值范围是(23,33)．………………………………12分解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B +=……………………………………………………2分 sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+,………3分 2sin cos sin B C B , sin 0B ≠，1cos 2C ∴=-，…………………………………………………………………4分(0,)C π∈，23C π∴=……………………………………………………………………………5分（2）同解法一．18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH ……………………………………1分 ∵,N H 分别为,EC ED 的中点，∴NH 为ECD 的中位线∴//NH CD 且12NH CD ……………………2分∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点∴//NH AM 且NH AM ……………………3分 ∴四边形AMNH 为平行四边形∴//MN AH ………………………………4分MN EAD 平面 AH EAD 平面……………………………………………………5分 ∴//MN 平面AED …………………………………………………………………6分 （2）过N 作NF BC 于F ………………………………………………………………7分 ∵平面ABCD 平面EBC ， 平面ABCD 平面EBC BC ， 又NF 平面EBC∴NF 平面ABCD ……………………………………9分 在CNF 中，∵23EBC π且BE BC∴6πECB132NF CN…………………………………………………………………10分 1122AMD S AM AD……………………………………………………………11分 113332A MND D AMN V V ………………………………………………12分解法二：（1）取BE 中点G ，连接,MG NG ………………………………………………1分 在ABE 中，MG 为中位线，∴//MG AE ……………………………………2分∵MG 平面EAD ，AE 平面EAD∴//MG 平面EAD ………………………………3分同理，//GN BC ，∴//GN AD∵GN 平面EAD ，AD 平面EAD∴//GN 平面EAD ………………………4分又MG GN G∴平面//MNG 平面EAD ……………5分 ∵MN 平面MNG∴//MN 平面EAD …………………………………………………………………6分 （2）∵平面ABCD 平面EBC ，平面ABCD 平面EBC BC ， 又AB BC∴AB 平面EBC∴AB CN ………………………………………………7分 ∵BE BC 且N 为CE 的中点∴CN BN …………………………………………8分 ∵CN BN ，CN AB ，AB BN B 则CN 平面ABN即CN 平面AMN …………………………9分 ∵//CD 平面AMN ，∴D 到平面AMN 的距离d CN在CNF 中，∵23EBC π且2BE BC∴3d CN……………………………………………………………………10分 1124AMNSAM BN ……………………………………………………………11分 ∴113334A MNDDAMNV V ……………………………………………12分19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想等.满分12分.解：（1）因为1(88.599.510)95x =++++=，……………………………………………1分1(1110865)85y …………………………………………………………2分所以2350598 3.2407559ˆb ．，则8 3.2936.ˆ8a，……………………4分 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8y x ； ………………………………5分 （2）当7x =时， 3.2736 4.4ˆ.81y，则14.814.40.40.5y y，……………………………………………………7分所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；…………………………………8分 （3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x <<………………………9分 23.252.8184x x =-+-……………………………………10分所以8.25x =时，M 取最大值．………………………………………………………11分 所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润.……………………………12分 20. 本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（1）313||,2222p QF ，………………………………………………………1分 2=∴p …………………………………………………………………………………2分 抛物线C 的方程为：x y42=.………………………………………………………3分将1(2Q 代入24y x 得2t ……………………………………………………4分（2）设),,(),,(2211y x B y x A 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：)0(2≠+=k kx y ，………………………………5分 联立⎩⎨⎧+==242kx y x y ，消去y 得04)1(422=+--x k x k ，……………………………………6分22Δ16(1)160k k ，得21<k 且0≠k ，2212214,)1(4kx x k k x x =-=+∴，……………………………………………………………7分 ΔΔ3,||3||AOB MON S S AB MN ，|0|13||102212-+=-+∴x k x x k ，即||3||021x x x =-，…………………………8分N 是的中点，2210xx x +=∴，………………………………………………………9分22121212()()434x x x x x x ，整理得2122116)(x x x x =+，………………………10分 2224(1)64[]k k k，解得31,121=-=k k ，………………………………………………11分 ∴直线l 的方程为：2+-=x y 或231+=x y ……………………………………………12分21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+(2)x ae x x =+ ………………………………………………………………1分 当0a 时，令'()0f x >得0x >或2x <-；令'()0f x <得20x -<<．AB∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-．……………………………………………………………3分 当0a 时，令'()0f x >得20x -<<；令'()0f x <得0x >或2x <-．∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.………………………………………………5分 综上所述 当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e 在[1,)无解则2()x g x x e 与1y a在[1,)无交点……………………………………………………6分2'()(2)x g x x x e ，2()x g x x e 在[1,)上单调递增min ()g x e ，∴1e a则1a e………………………………………………………………………………………7分由（1）得()f x 在[1,)上单调递增()(1)10f x f ae ≥=->……………………………………………………………………8分 要证 2(1)(()1)ln x f x x x -+≥ 即证 22(1)ln x x ax e x x -≥即证 (1)ln x a x e x -≥即证 (1)ln 0x a x e x --≥…………………………………………………………………9分令()(1)ln xg x a x e x =--1'()(1)x x g x ae a x e x=+--1x ae x x =-21xax e x -=()0f x x=>()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分 ()(1)g x g ∴≥0= 所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e 在[1,)无解则2()x g x x e 与1y a在[1,)无交点……………………………………………………6分2'()(2)x g x x x e ，2()x g x x e 在[1,)上单调递增min()g x e ，∴1e a则1ae………………………………………………………………………………………7分 要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥， 即证22(1)ln x x ax e x x -≥，即证(1)ln x a x e x -≥，………………………………………………………………………8分因为11(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e-->-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥，即证 1ln 0x x --≥，………………………………………………………………………9分 令 ()1ln g x x x =--11'()10x g x x x-=-=≥，………………………………………………………………10分()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分 ()(1)0g x g ∴≥=，所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分． 解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=，………………………1分 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩，……………………………………………………………3分所以120sin cos 2ρρραα+==+，…………………………………………………………4分所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)πθ∈．…………………………5分（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅=……………6分 |sin cos |αα+|sin cos |αα=+=7分所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，………………………………8分又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=，……………………………………………………9分即12πα=或512πα=…………………………………………………………………………10分解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，…………………………………………………………………………1分 故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部），………………………………………2分 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………3分即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．……………………………5分（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅=………………6分|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=7分令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t =224(1)3t t -⋅=，………………………………………………8分即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去），所以21sin 212t α=-=，又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以26πα=或526πα=，……………………………………………………………………9分即12πα=或512πα=．………………………………………………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，∴min 1()2f x m ≥-，…………………………………………………………………………1分又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，………………………………………………………………3分∴min 3()2f x =，∴2m ≤，……………………………………………………………………4分∴m 的最大值2M =．………………………………………………………………………5分（2）由（1）得2M =，故121a b ．0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--，32b ∴>或01b <<．……………………………………………………………………6分故112222(1)11a b b b b b．……………………………………………7分 当01b <<时，011b <-<，1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b，即21b 时取“=”；…………………………………8分 当32b >时，112b ->，1122(1)22(1)2211a b b b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即21b时取“=”．…………………………………9分 所以2a b 的取值范围是(,22][22,)．………………………………10分。
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福建省宁德市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若202031i izi+=+，则z的虚部是（）A．i B．2i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi+的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()2020221313131232 11111i ii i i i iz ii i i i i+-+++-=====+ +++--，所以z的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.3． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．5．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.6．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点， 可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||PQ ==. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 7．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案. 【详解】 解：1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 8．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.9．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．3 B ．23C．2 D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：2000223222263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,2y p y p ==时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．10．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 11．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．1C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：若O 为ABC V 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC V 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有222242AC BC AC BC d +⋅==„，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 2，2sin 22d θ=„即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163πD ．16833π+【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。