组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形

G’T
2011-3-11
第17页 17页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
试着去对G 试着去对G图进行拆分
拆法二（很大胆的尝试） 拆法二（很大胆的尝试） G’1 G’2 G’T
G’2 G’1 G’T
…
2011-3-11
第18页 18页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
情况一：若去掉与根节点相连的边 情况一：
G’
中间节点
根节点
G图
2011-3-11 第11页 11页 石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
情况一： 情况一：若去掉与根节点相连的边
G’
中间节点
G’
中间节点
根节点
根节点
SG值为 值为0 值为
2011-3-11 第12页 12页 石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为 任何偶环的SG值为 值为0 任何偶环的 值为
根节点
2011-3-11 第23页 23页
根节点
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
策略
将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！ 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
2011-3-11
第25页 25页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为 任何偶环的SG值为 值为0 任何偶环的 值为
策略
将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！ 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
Cutting Edges游戏
证明猜想（数学归纳法） 证明猜想（数学归纳法）
以树中节点个数作为阶段； 以树中节点个数作为阶段； 一个节点和两个节点显然成立； 一个节点和两个节点显然成立； 假设N个节点时成立 个节点时成立， 假设 个节点时成立，
情况一： 情况一：若去掉与根节点相连的边 情况二： 情况二：若去掉G’中的边
Cutting Edges游戏
考虑：已知左图的 值 如何求右图的SG值 考虑：已知左图的SG值，如何求右图的 值
G’ G’
根节点 中间节点
G’图 由特殊例子给出猜想： 图 由特殊例子给出猜想： G图 SG( G )=SG( G’ )+1
2011-3-11 第10页 10页
根节点
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
结论： 结论：
先手必胜当且仅当step值最大的单一游戏为先手 值最大的单一游戏为先手 先手必胜当且仅当 必胜游戏
思考： 思考：
step值最大的既有先手必胜游戏，又有先手必败 值最大的既有先手必胜游戏， 值最大的既有先手必胜游戏 游戏时， 平局？？？ 游戏时，是否意味着平局？？？
所有先手必胜的游戏的step值为奇数！ 值为奇数！ 所有先手必胜的游戏的 值为奇数 所有先手必败的游戏的step值为偶数！ 值为偶数！ 所有先手必败的游戏的 值为偶数
Байду номын сангаас2011-3-11
第26页 26页
石家庄二中 贾志豪
Say Goodbye
2011-3-11
第27页 27页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
再次拓展
一个无相联通图，有一个点作为图的根。 一个无相联通图，有一个点作为图的根。 游戏者轮流从图中删去边，删去一条边后， 游戏者轮流从图中删去边，删去一条边后，不与 根节点相连的部分将被移走。 根节点相连的部分将被移走。
完美在哪了？？？ 完美在哪了？？？ 哦。。。 对应NIM取石子模型！！！ 取石子模型！！！ 对应 取石子模型
G’2 G’1 G’T
G’1
G’2
…
G’T
SG(G) = ( SG(G1 ' ) + 1) ⊕ ...... ⊕ ( SG(GT ' ) + 1)
2011-3-11 第19页 19页 石家庄二中 贾志豪
0 v为终止状态 step(v) = max(step(u ) ) + 1 SG (v) > 0 ∧ u为v的后继状态 ∧ SG (u ) = 0 min (step(u ) ) + 1 SG (v) = 0 ∧ u为v的后继状态
2011-3-11 第 5页 石家庄二中 贾志豪
Every-SG游戏 游戏
2011-3-11
第32页 32页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
对于奇环 G’1 G’3 G’5 G’4
2011-3-11 第33页 33页 石家庄二中 贾志豪
G’2
Say Goodbye
2011-3-11
第34页 34页
石家庄二中 贾志豪
怎么办？？ 怎么办？？ 怎么办？ 怎么办？
2011-3-11
怎么办？？？ 怎么办？？？
第 3页
石家庄二中 贾志豪
Every-SG游戏 游戏
贪心策略： 贪心策略：
对于某一个单一游戏， 对于某一个单一游戏，如果当前是先 手必胜局， 手必胜局，那么先手不会放弃游戏的 胜利！！！ 胜利！！！ 那么，游戏者需要做的， 那么，游戏者需要做的，就是让自己 可以取得胜利的游戏尽可能长的玩下 去，让自己不能取得胜利的游戏尽可 的玩下去！！！ 能短的玩下去！！！
Cutting Edges游戏
更复杂的情况
G’2 G’1 G’T
根节点
第16页 16页 石家庄二中 贾志豪
2011-3-11
Cutting Edges游戏
根据树结构的拓扑性 试着去对G 试着去对G图进行拆分
拆法一（一般树形结构拆法） 拆法一（一般树形结构拆法）
G’2 G’1 G’T
G’1
G’2
…
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为 任何偶环的SG值为 值为0 任何偶环的 值为
策略
将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！ 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
2011-3-11
第24页 24页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为 任何偶环的SG值为 值为0 任何偶环的 值为
2011-3-11
第13页 13页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
情况二： 情况二：若去掉G’中的边
G’
中间节点
G’
中间节点
根节点
根节点
SG值不确定 值不确定
2011-3-11 第14页 14页 石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
考虑左图的SG值意味着什么？？ 考虑左图的 值意味着什么？？ 值意味着什么
怎么办？ 怎么办？
好难！ 好难！
2011-3-11
好难！！ 好难！！
好难！！！ 好难！！！
第28页 28页 石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
考虑上题给出的提示
将环处理掉即可
时间原因，直接给出方法。 时间原因，直接给出方法。
2011-3-11
第29页 29页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
组合游戏略述
——浅谈组合游戏的若干拓展及变形 浅谈组合游戏的若干拓展及变形
石家庄二中 北校区 高三18班 高三 班 贾志豪
内容概述content introduction
组合游戏的规则拓展 组合游戏的规则拓展
走完最后一步者输——Anti-SG游戏和 定理 游戏和SJ定理 走完最后一步者输 游戏和 可以将一堆石子分成多堆——Multi-SG游戏 可以将一堆石子分成多堆 游戏 每一个可移动的棋子都要移动——Every-SG游戏 每一个可移动的棋子都要移动 游戏
Say Goodbye
2011-3-11
第20页 20页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
稍加拓展： 稍加拓展：
A和B轮流从图中删边，删去一条边后，不与根 和 轮流从图中删边 删去一条边后， 轮流从图中删边， 节点相连的部分将被移走。 为先手。 节点相连的部分将被移走。A为先手。 图是通过从基础树中加一些边得到的。 图是通过从基础树中加一些边得到的。 所有形成的环保证不共用边， 所有形成的环保证不共用边，且只与基础树有一 个公共点。 个公共点。
证明猜想（数学归纳法） 证明猜想（数学归纳法）
即证：它的后继状态的 值为 值为0 即证：它的后继状态的SG值为 的所有值； 到SG(G')的所有值； 的所有值 以树中节点个数作为阶段； 节点个数作为阶段 以树中节点个数作为阶段； 一个节点和两个节点显然成立； 一个节点和两个节点显然成立； 假设N个节点时成立 个节点时成立， 假设 个节点时成立，
G’ G’
根节点
定理： 定理：SG(G)=SG(G’)+1
根节点
中间节点
至多有N 至多有N个点
由归纳假设
至多有N 至多有N-1个点
SG值为 到SG( G’ )-1， 值为0到 值为 ， 取不到SG( G’ ) 取不到 2011-3-11
SG值为 到SG(G’ )，取不 值为1到 值为 ， ’ )+1 到SG(G石家庄二中 贾志豪 15页 第15页
输 赢 长 短
2011-3-11 第 7页 石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
退化版： 退化版：
给出一个有N个点的树， 给出一个有 个点的树，有一个点作为树的根节 个点的树 点。 游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后， 游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后，不与 根节点相连的部分将被移走。 根节点相连的部分将被移走。 谁无边可删谁输
对于偶环 G’1 G’2
G’6
G’3
G’5
2011-3-11 第30页 30页
G’4
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
对于偶环 G’1 G’2 G’3 G’6 G’5
2011-3-11 第31页 31页
G’4
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
对于奇环 G’1 G’2
G’3 G’5 G’4
2011-3-11 第 6页 石家庄二中 贾志豪
Every-SG游戏 游戏
发现宝藏（长与短的博弈） 发现宝藏（长与短的博弈）
一般的组合游戏只有输与赢的博弈； 一般的组合游戏只有输与赢的博弈； 游戏又增加了长与短的博弈 而Every-SG游戏又增加了长与短的博弈，这使得 游戏又增加了长与短的博弈， Every-SG游戏更有嚼头，更有味道 游戏更有嚼头 游戏更有嚼头，
组合游戏的模型变形 组合游戏的模型变形
翻硬币游戏 无向图删边游戏
2011-3-11
第 2页
石家庄二中 贾志豪
Every-SG游戏 游戏
何为Every-SG游戏？？？ 游戏？？？ 何为 游戏
个单一游戏， 有N个单一游戏，游戏者轮流进行决策； 个单一游戏 游戏者轮流进行决策； 游戏者的决策必须满足： 游戏者的决策必须满足：对于所有还没有结束的 单一游戏， 单一游戏，游戏者必须对该单一游戏进行一步操 作； 无路可走者输
如何做？？ 如何做？？ 如何做？ 如何做？
2011-3-11
如何做？？？ 如何做？？？
第 8页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
从树结构入手?? 从树结构入手
树结构是一种特殊的拓扑结构
从最简单的例子入手?? 从最简单的例子入手
根节点只有一个分支
2011-3-11
第 9页
石家庄二中 贾志豪
不要慌！！ 不要慌！！ 不要慌！ 不要慌！
2011-3-11
不要慌！！！ 不要慌！！！
第21页 21页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为
根节点
2011-3-11 第22页 22页
根节点
石家庄二中 贾志豪
2011-3-11
第 4页
石家庄二中 贾志豪
Every-SG游戏 游戏
解决方法： 解决方法：
对于SG值为0的点， 对于SG值为0的点，我们需要知道最少几步能将 SG值为 游戏带入终止状态 ； 对于SG值不为0的点， SG值不为 对于SG值不为0的点，我们需要知道最多几步游 戏会被带入终止状态 ； 以上两个值，我们都用step来表示 以上两个值，我们都用 来表示