2电磁场基本方程
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第2章 电磁场基本方程
2.1 / 2.1-1设空气中有一半径为a 的电子云，其中均匀充满着密度为
ρv 的电荷。试求球内（ra ）任意点处的电通密度D 和电场强度E 及D ⋅∇和E ⋅∇。
[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.
dv r r D s d D s
v
v ⎰⎰=⋅=⋅ρπ2
4ˆ 1) r 4r dv v v v πρρ⎰= 3ˆ,3 ˆερρr r E r r D v v ==∴ 0,31022=⨯∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛⋅∂∂= ⋅∇E r r r r D v v ρερ 2) r>a: 33 4a dv v v v πρρ⎰= 2 03 2 3 3ˆ,3ˆr a r E r a r D v v ερρ==∴ 0,03132=⨯∇=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E a r r D v ρ 2.2 / 2.1-2设空气中内半径a 、外半径b 的球壳区域内均分布着体密 度为ρv 的电荷。试求以下三个区域的电场强度E E ⋅∇、及E ⨯∇：(a)rb. [解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面. dv r r D s d D s v v ⎰⎰=⋅=⋅ρπ2 4ˆ (a) r 0,0==∴E D 0,0=⨯∇=⋅∇E E (b) a 4 a r dv v v v -=⎰πρρ () ()3 32 033 2 3ˆ,3ˆa r r r E a r r r D v v -=-=∴ερρ () 0,3103302=⨯∇=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-∂∂= ⋅∇E a r r r E v v ερερ (c) r>b: ()333 4 a b dv v v v -=⎰πρρ () ()332 033 2 3ˆ,3ˆa b r r E a b r r D v v -=-=∴ερρ 0,0=⨯∇=⋅∇E E 2.3 / 2.1-3一半径等于3cm 的导体球，处于相对介电常数εr =2.5的电 介质中，已知离球心r=2m 处的电场强度E=1mv/m ，求导体球所带电量Q 。 [解] 由高斯定理知, Q r E =⋅24πε C E r Q 123921011.1105.210361 444---⨯=⨯⨯⨯⨯ ⨯==∴π πεπ 2.4 / 2.1-4 一硬同轴线内导体半径为a ，外导体内外半径分别为b 、c ，中间介质为空气（题图2-1）。当内外导体分别通过直流I 和-I 时，求：(a)内导体（ρ 22 20 2 2a Il d d a I H l d H l ==⋅=⋅⎰⎰ ⎰πρ ϕρρππρ 题图2-1 同轴线横截面图 22ˆa I H πρ ϕ =， 2 00 2ˆa Il H B πμϕμ== J a I z a I z H ==⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇22 2 ˆ21ˆππρρρ 01=∂∂=⋅∇ϕ ρϕ B B (b) :b r a << I H =⋅πρ2 πρ ϕ 2ˆI H =, πρ μϕ 2ˆ0I B = 021ˆ=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇πρρI z H 01=∂∂= ⋅∇ϕ ρϕ B B (c) :c r b << ( ) () 22222 2222b c c I b b c I I H --=-⋅--=⋅ρρπππρ 222 22ˆb c c I H --=ρπρϕ, 222202ˆb c c I B --=ρπρμϕ () J b c I z b c c I z H '-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂=⨯∇222222ˆ21ˆπρπρρ 01=∂∂= ⋅∇ϕ ρϕ B B 2.5 / 2.2-1 一矩形线圈与载有电流I 的直导线同平面，如题图 2-2所示。求下述情况下线圈的感应 电动势： a)线圈静止，I=I 0sin ωt ； b)线圈以速度v 向右边滑动，I=I 0。 [解] (a) 应用安培环路定律, I H I l d H l ==⋅⎰πρ2, πρ μρ πρ ρ 2ˆ,2ˆI B I H ==∴a b a I c dl dz I dz B d s d B C b a a s c b a a m +== =⋅=⎰⎰⎰⎰ ⎰ ++ln 2200 πμρπμρψ 题图2-2载流直导线与矩形线圈