《导数的概念与几何意义》ppt课件
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《导数的概念及其几何意义》课件1 (北师大版选修2-2)
1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
5.1.2导数的概念及其几何意义(课件)
(x0)就是_切__线___P_0_T__的斜率 k0，即 k0＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f ′(x0)．
3．导函数
对于函数 y＝f (x)，当 x＝x0 时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当 x 变化时，f ′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 y＝f (x)的导函数(简称
当堂达标
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数即为在该点处的斜率，也就是 k＝
f ′(x0)．
()
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在 x＝x1 处比在 x＝x2 处瞬时变化率较大．
()
(3)f ′(x0)就是导函数 y＝f ′(x)在 x0 处的函数值．
f ′(x0)＝
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
归纳总结
利用导数定义求导数 1取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. 2函数在 x0 处的导数 f ′x0只与 x0 有关，与 Δx 无关. 3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
4.若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则
() A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
A 解析：由题意，知 k＝y′|x＝0
＝ lim Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，
∴a＝1.
又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选 A.
由题意可知 4m＝8，∴m＝2.
代入 y＝2x2－7 得 n＝1.
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f ′(x0)．
3．导函数
对于函数 y＝f (x)，当 x＝x0 时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当 x 变化时，f ′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 y＝f (x)的导函数(简称
当堂达标
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数即为在该点处的斜率，也就是 k＝
f ′(x0)．
()
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在 x＝x1 处比在 x＝x2 处瞬时变化率较大．
()
(3)f ′(x0)就是导函数 y＝f ′(x)在 x0 处的函数值．
f ′(x0)＝
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
归纳总结
利用导数定义求导数 1取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. 2函数在 x0 处的导数 f ′x0只与 x0 有关，与 Δx 无关. 3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
4.若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则
() A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
A 解析：由题意，知 k＝y′|x＝0
＝ lim Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，
∴a＝1.
又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选 A.
由题意可知 4m＝8，∴m＝2.
代入 y＝2x2－7 得 n＝1.
第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
精选 《导数的概念及其几何意义》完整版教学课件PPT
的切线的斜率
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
5.1导数的概念及其几何意义课件(人教版)
x
x
第二步，求极限 lim y， x0 x
若 lim 存y 在，则 x0 x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
导数的概念
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y f (x) x2 7x 15 (0 ≤ x ≤8). 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 追问1 这个实际问题与导数有什么关系？ 答案 导数是瞬时变化率的数学表达.
导数的概念
例1 设 f (x) 1，求 f (1). x
分析：
因为
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
所以 f (1) lim y lim f (1 x) f (1) .
x x0
x0
x
为了便于计算，我们可以先求出 y ，再对它取极限. x
导数的概念
t 0
t
抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
答案 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
导数的概念
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处 的瞬时变化率吗？
所以 v(2) lim y lim(t 2) 2.
课件3：5.1.2 导数的概念及其几何意义
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0， lim fx0＋Δx－fx0
即 k0＝__Δ_x_→_0______Δ_x________＝f′(x0)．
知识点二 导函数的概念
1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们
[规律方法] 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________，切点坐标为____________． 解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0x＋Δx3－x＋ΔxΔ2x＋1－x3－x2＋1＝3x2－2x， 则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13， 当 x0＝1 时，y0＝x30－x02＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
答案：B
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由导数的几何意义得 f′(1)＝12，由点 M 在切线上得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
5．曲线 y＝x2－3x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， y′＝Δlxi→m0x0＋Δx2－3xΔ0＋x Δx－x20＋3x0 ＝Δlxi→m02x0Δx－3ΔΔxx＋Δx2＝2x0－3＝1，故 x0＝2， y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
导数的概念及其几何意义PPT教学课件
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
孔子和孟 子作为凡 人的一面
综合性学习 我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
▪ 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
息。
孔子和孟子 作为圣人体现 出的思想光辉
寓学于乐
让我们用游戏的方式体会他们的不平凡
看故事 猜成语 明事理 学做人
孔子在齐国,有机会欣赏到 他认为最美妙的韶乐. 谓其 “尽善矣,又尽美也!”（极动 听优美）而后大受感动,一 连好多天老是想着它,吃肉 也没有味道了.
尽善尽美:
形容做事情力求完美, 毫无缺陷
▪ 孔子为人，有时很豪放，他说他自己是“发愤忘食，乐以忘 忧，不知老之将至”的人；可是有时又很拘谨，循规蹈矩不 敢超越古代的礼仪一步，他走进朝廷的门，那种谨慎的样子，
好像自己没有容身之地一般。
▪ 孔子不懂农业生产， 也鄙视劳动。
▪ 孔子也有被难倒的 时候，并非“万事 通”。
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
精选 《导数的概念及其几何意义》完整版教学课件PPT
要点二 导数的几何意义
对于曲线 y＝f(x)上的点 P0(x0，f(x0))和 P(x，f(x))，当 点 P0 趋 近于点 P 时，割线 P0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为点 P0 处的___切__线___．割线 P0P 的斜率是__k_＝__f_xx_－－__fx_0x_0___．当 点 P 无限趋近于点 P0 时，k 无限趋近于切线 P0T 的斜率．因此，函 数 f(x) 在 x ＝ x0 处 的 导 数 就 是 切 线 P0T 的 __斜__率__k__ ， 即 k ＝ _l_iΔ_mx_→0__f_x_0_＋__ΔΔ_xx_－__f_x_0_ ____.
∴a＝－5.
答案：(2)－5
题型二 求曲线的切线方程——师生共研 例 2 已知曲线 y＝13x3，求曲线在点 P(3,9)处的切线方程．
解析：由 y＝13x3，
得 y′＝li m Δx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
13x＋Δx3－13x3 Δx
＝13liΔmx→0 3x2Δx＋3xΔΔxx2＋Δx3＝13liΔmx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
解析：设切点坐标为(x0，y0)．
f′(x)＝li m Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝li m Δx→0
x＋Δx2＋6－x2＋6 Δx
＝li m (2x＋Δx)＝2x. Δx→0
∴过(x0，y0)的切线的斜率为 2x0.
(1)∵切线与直线 y＝4x－3 平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝x20＋6＝10，
(1)先由已知求出 l1 的斜率，再由 l1⊥l2，求出 l2 的斜率，进而 求出切点坐标，得出 l2 的方程．
(2)求出 l1 与 l2 的交点坐标，l1，l2 与 x 轴的交点，求出直线 l1， l2 和 x 轴围成的三角形的面积．
3.1.3导数的概念和几何意义_课件-湘教版数学选修1-1
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)． 所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得y＝4x－4，y＝6x－9， 此即是所求的切线方程． 点评 在求曲线过某点的切线方程时，第一要判断该点是否在曲线上，再根 据不同情况求解．
课堂总结 1．函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导 数． 2．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切 线的斜率，即当d→0时，k＝fx0＋dd－fx0＝f′(x0)． 3．求曲线的切线方程应充分利用导数的几何意义，抓住两 点： (1)切点在曲线上，则在切点处的导数值即为切线的斜率； (2)若已知点不在曲线上时，要设出切点再利用导数几何意义和已 知条件去求.
C．f′(x0)＝2x0
D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )．
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 A
4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的 平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.
当 d→0 时 1－xx＋1 d→1－x12， ∴f′(x)＝1－x12， ∴f′(1)＝1－112＝0.
题型四 利用导数求切线方程 【例4】 已知曲线C：y＝x2. (1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程；
解 (1)fx＋dd－fx＝x＋dd2－x2＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2 ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
高中数学第五章导数的概念及其几何意义第2课时导数的几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册
()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
导数的概念及其几何意义 课件
(2)切线方程
曲 线 y ＝ f (x) 在 点 (x0 ， f (x0)) 处 的 切 线 方 程 为 _y_－__f _(x_0_)＝__f_′_(_x0_)_(x_－__x_0_)．
5.1.2 导数的概念及其几何
1
2
3
4
5
意义
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
＝－2－Δ1x＋＋ΔΔxx2，
所以ΔΔyx＝－－21Δ＋x＋ΔxΔΔxx2＝－ －21＋ ＋ΔΔxx，故函数在 x＝－1 处的导数 y′|x
＝ ＝－1 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ －21＋ ＋ΔΔxx＝2．
5.1.2 导数的概念及其几何
1
2
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4
5
意义
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
在 x＝x0 处的导数(也称为_瞬_时__变__化__率__)，记作 f ′(x0)或__y_′|_x＝__x0_，即 f ′(x0)
＝ lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
．
简记：函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数就是函数 y＝f (x)在(x0，f (x0))
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何
1
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5
意义
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
学习任务
核心素养
1．经历由平均变化率到瞬时变化率的过 1．通过导数概念和
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册
s
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
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y x3
3
3
P
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1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
导数的几何意义课件.ppt
曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点 P可以是切点，也可以不是切点，且这样的直线可能有多条
三、曲线的切线的求法 若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点 P(x0，y0)是
切点和不是切点两种情况求解． (1)点 P(x0，y0)是切点的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点 P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f(x1))． 第二步：写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1. 第四步：将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)
考纲要求
1、了解导数概念的实际背景． 2、理解导数的几何意义． 3、能根据导数定义，求函数 y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，
y＝1x，y＝ x的导数． 4、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求
简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复 合函数)的导数．
的切线方程．
（一）导数与斜率
例 1、曲线 y＝sinxs＋ inxcosx－12在点 M(π4，0)处的切线的斜率为___．
例 2、(2010 年辽宁)已知点 P 在曲线 y＝ex＋4 1上，α 为曲线在点 P 处 的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是( ) A．[0，π4) B．[π4，π2) C．(π2，34π] D．[34π，π)
位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
二、曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0) 的切线的区别：
三、曲线的切线的求法 若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点 P(x0，y0)是
切点和不是切点两种情况求解． (1)点 P(x0，y0)是切点的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点 P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f(x1))． 第二步：写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1. 第四步：将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)
考纲要求
1、了解导数概念的实际背景． 2、理解导数的几何意义． 3、能根据导数定义，求函数 y＝c(c)为常数，y＝x，y＝x2，y＝x3，
y＝1x，y＝ x的导数． 4、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求
简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复 合函数)的导数．
的切线方程．
（一）导数与斜率
例 1、曲线 y＝sinxs＋ inxcosx－12在点 M(π4，0)处的切线的斜率为___．
例 2、(2010 年辽宁)已知点 P 在曲线 y＝ex＋4 1上，α 为曲线在点 P 处 的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是( ) A．[0，π4) B．[π4，π2) C．(π2，34π] D．[34π，π)
位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
二、曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0) 的切线的区别：
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
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=-4 lim
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
h →0
=-4f'(x0)=-8.
.. 导. 学 固思
求切线方程 已知曲线 y=
1
t -x
上两点 P(2,-1),Q(-1, ).
1 2
(1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
【解析】将 P(2,-1)代入 y= ,得 t=1,∴y=
.. 导. 学 固思
如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点
P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?
.. 导. 学 固思
问题1 根据创设的情境,割线 PPn 的变化趋势是
点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置 PT,PT 为曲线的切线 .
问题4
问题3
曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线 有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 瞬间变化 情况,体现的是数形结合, 以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反, 不止一个 有些切线与曲线的交点 .
.. 导. 学 固思
1
下列说法正确的是( D ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若 f'(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处无 D.若 y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则 f'(x0)不一定
【解析】由 x+2y-3=0 知斜率 k=- ,∴f'(x0)=- <0.
3
设 P0 为曲线 f(x)=x +x-2 上的点,且曲线在 P0 处的切线平行 (1,0)或(-1,-4) 于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为 .
【解析】f'(x)= lim = lim
Δ x →0 Δx (x+Δ x)3 +(x+Δ x)-2-(x 3 +x-2) Δx Δ x →0 (3x 2 +1)Δ x+3x(Δ x)2 +(Δ x)3
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
【解析】由已知得: lim 当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
h →0
=2,
lim
f(x 0 -4h)-f(x 0 ) h
= lim
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
h →0
=2.
.. 导. 学 固思
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= lim
3
=3x2+1,
由于曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,所以 2 f(x)在 P0 处的导数值等于 4,设 P0(x0,y0),有 f'(x0)=3x0 +1=4,解得 x0=±1,这时 P0 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).
.. 导. 学 固思
4
函数 y=3x+2 上有一点(x0,y0),求该点处的导数 f'(x0).
=
1 (1-x)2
.
=1,曲线在点 Q 处的
(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0,曲线在点 Q 处的切线方程为 y- = [x-(-1)],即 x-4y+3=0.
Δy h →0 Δ x
= lim
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
h →0
= lim
f(x 0 +ah )-f(x 0 ) ah
h →0
(其中 a 为非零
常数). 于是,正确解答为:
h →0
lim
f(x 0 -4h)-f(x 0 ) h
=-4 lim
f(x 0 -Байду номын сангаасh)-f(x 0 ) -4h
h →0
切线 存在
【解析】当切线平行于 y 轴时,切线斜率不存在,则 f'(x0)不存在.
.. 导. 学 固思
2
如果曲线 y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( B ). A.f'(x0)>0 C.f'(x0)=0 B.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在
1 2 1 2
【解析】f'(x0)= lim = lim
Δ x →0 Δx f(x 0 +Δ x)-f(x 0 ) Δx
Δ x →0 3(x 0 +Δ x)+2-(3x 0 +2)
=3.
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导数概念的理解 已知
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) f'(x0)=2,求 lim . h h →0
所以求导数的步骤为: (1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
Δ y f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) (2)算比值: = ; Δx Δx Δy (3)求极限:y' x=x = lim . 0 Δ x →0 Δ x
.. 导. 学 固思
函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δy x=x0 处的切线的斜率 lim = lim Δx Δ x →0 Δ x Δ x →0 k=f'(x0)= . 相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
第2课时 导数的概念与几何意义
.. 导. 学 固思
1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点
的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.
3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数 学思想方法.
t-x 1 1 1-x
.
1
∴ lim
1 1 1-(x +Δ x ) 1-x
Δ x →0
Δx
= lim
Δx
Δ x →0 [1-(x+Δ x)](1-x)Δ x
= lim
(1)曲线在点 P 处的切线斜率为 y'|x=2= 切线斜率为 y'|x=-1= .
4 1
Δ x →0 (1-x-Δ x)(1-x) 1 (1-2)2
问题2 导数的概念与求法:
我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim 为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有 f'(x0)= lim
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx
Δ x →0
称
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δy = lim , Δ x Δ x Δ x →0 Δ x →0