第二章_赋范线性空间

在 B( E E1 ) 中定义范数
T sup
x 0
Tx x
sup Tx sup Tx
x 1 x 1
（可证明）
则 B( E E1 ) 为赋范线性空间。
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B( E E1 ) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性

max xi ，则(R n , x )是赋范线性空间。 1 i n
n i 1
③ x 1 xi ，则(R n , x 1 )是赋范线性空间。
例2 C[a, b] 是线性空间，若 定义
x(t ) ，则 ( C, x )是赋范线性空间。 ① x tmax [ a ,b ]
§2.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 集合的对应关系； 算子：空间 空间的映射，记为 T， 定义域记作 D(T） ，值域记作 N(T） 算子通常指：赋范线性空间 赋范线性空间的映射 泛函： 赋范线性空间 数域的映射。 最感兴趣，也是最简单的算子是：保持两种代数运 算的算子——线性算子。
例： ① 设 A 是 m n 阶矩阵， 则 T : x R Ax R 是
n m
有界线性算子
d 1 T : x ( t ) C [a, b] x(t ) f [a, b] 是无界线性算子 ② dt
（4）可逆算子：设算子 T : D(T ) N (T ) ，若存在算子 T ,使
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1 、 x 2 、 x 相互等价
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x 1 与 x 2 等价的 k1 0, k2 0, 对于x E ，都有
k1 x
证：
2
x 1 k2 x 2 。
§2.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
{ yn } E , { n } K （数域） 2） 性质 设 E 是赋范线性空间,{xn },
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即 Tx x ,T 是连续泛函
x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的 即若 xn x, yn y , n
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
T : D(T ) E N (T ) E1 。 定义： 设 E、 E1 是赋范线性空间，
（1）线性算子：若 x, y D(T ), K (数域) ，有
T ( x y ) Tx Ty T ( x y) Tx Ty 即 T ( x ) Tx
若在(E, )中，按范数定义距离，即 验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ) ，称为由范 数导出的距离空间。
赋范线性空间 。 注意： 距离空间
x, y E, (x, y) x y ，
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间； ② (x, y) (x y,0)； ③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 ( E , ) 也是(E, )。
§2.1 定义和举例
1）定义（线性空间）设 E 是非空集合，K 是实（或复） 数域。在 E 中定义两种运算 加法： x, y E , 存在唯一 z E , 记作 z x y 数乘： x E , k , 存在唯一 E , 记作 x 且满足八条运算规律：
b
2
距离 (x, y) x y

b
a
x(t ) y (t ) dt
2

1 2
p l 例 4 ( P 1) 是线性空间，若定义
x
pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( xi ) ，则(l p , x
i 1


1 p p
p
)是赋范线性空间
p 1/ p
xi yi 距离 ( x, y) x y i 1
xn yn x y , n xn x
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1 和 x 2 如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1 比 x 2 更强； 若又由 xn 2 0 xn 1 0 ，即 x 2 比 x 1 更强， 则称范数 x 1 与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
)中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E, )按范数导出的距离空间
( E , ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§2.2 按范数收敛
3）常见赋范线性空间 例1 在线性空间 Rn 中，
x ( x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) R n
定义 ① x 2
x
i 1
n
2
i
n ，则(R , x 2 )是赋范线性空间。
2 ( x y ) i i i 1 n
距离 (x, y) x y ② x
2）性质
除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋
范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列） 。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构 （有相同的 代数运算性质） 。
1) 定义 设 E 是赋范线性空间。 若存在 n 个线性无关的 元素 e1 , e2 ,
, en E ，使得 x E ，有唯一表达式
x x1e1 x2e2
xnen xi ei
i 1
n
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1 , e2 , , en } 为 E 的基（底） ，而称{x1 , x2 , , xn } 为 E 在该基下的坐标。
第2章 赋范线性空间 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5
定义和举例 按范数收敛
有限维赋范线性空间
线性算子与线性泛函
赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。 点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广， 然而它是只有距离结构、 没有代数结构 （代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
称 T 为 D(T ) 上的线性算子。特别的， T 0 0 T 0 0 。
d T 例如：C [a, b]（一阶连续导函数全体）中， dt
1
D ，则
d d d [k1 x(t ) k2 y (t )] k1 x(t ) k2 y (t ) dt dt dt
（2）连续算子 若 xn , x D (T ) ，当 xn x(n ) 时，Txn Tx ，称 T 为连续算子。
B ( E E1 )
若在上述空间中引入线性运算：
(T1 T2 ) x T1 x T2 x, (T ) x (Tx)
B ( E E1 ) 称 （E E1 ) ， 其中 x D(T1 ) D(T2 ) E , K 。 则
为线性空间，因此可以定义范数。
x(t ) y (t ) 距离 (x, y) x y tmax [ a ,b ]
② x 1 a x(t ) dt ，则(C, x 1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
x ( x(t ) dt ) ，则(L , x )是赋范线性空间。 a
2 b 1 2
T 1 : N (T ) N (T 1 )
1 x D ( T ), 当 Tx y N ( T ) 时 , 有 T y x ，则称 T 为 且对于
1
可逆算子，而 T 称为 T 的逆。
1
例如
设 A 是 n 阶可逆方阵，则算子
T : x R n y Ax R n


，
, xn , ) 的 全体，按通常定义下的“加法” “数乘”运算是线性空间。
x sup x ( l , x )是赋范线性空间。 i 若定义 ，则 1i
特别的， l — 表示一切有界数列 x ( x1 , x2 ,
注：由于(E, )在 (x, y) x y 定义下也是 ( E , ) ， 所以在(E,
例3 Pn ( x ) ——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法” “数乘”运算下是线性空间。 例4 Qn ( x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法” “数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。
按一定 x E 实数 x 0 ， 若 且满足下列三条(范数公理) 规则
（ 1） x y y x （ 2） ( x y ) Z x ( y Z )
“零元素” 0 E, 有 x 0 x （ 3）
“负元素” x E , 有 x ( x) 0 （ 4）
（5） ( x ) ( ) x （6）1 x x, 0 x 0 （ 7） ( ) x x x （ 8） ( x y ) x y
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1
Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a, b] 、 L[ a, b] （在 [a, b] 上可积分函数全体） ，在 通常意义下的“加法” “数乘”运算下是线性空间。
例如：范数 Tx x 是连续泛函； R1 中连续函数 f ( x) 。
（3）有界算子 定义 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有 ，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
T 将 D(T ) 中的任一有界集映射为有界集。
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由 范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得 到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn 及x E ，如果
lim xn x 0
n
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim xn x (强)。 n
1 n 1 n 的逆算子为 T : y R x A y R 。
（5） 线性算子空间
定义：设 E、E1 是同一数域 K 上的赋范线性空间，则 ① 集合{T T 是E E1的线性算子} 称为线性算子空间， 记作 （E E1 )
② 集合 {T T 是E E1的有界线性算子} 称为有界线性 算子空间，记作
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T ) 连续 在 D(T ) 上处 处连续
（1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式 x, y E, 有 x y x y x y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, )或 E 。
（ 2） ( E ,
)与 ( E , ) 之间的关系