高中理科数学离散型随机变量及分布列

理科数学复习专题 统计与概率
离散型随机变量及其分布列
知识点一
1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2、离散型随机变量的分布列及其性质：
（1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n 的概率为()i i P X x p ，则表
（2）分布列的性质：①0,1,2,,i p i n ；②11n
i
i p
（3）常见离散型随机变量的分布列：
①两点分布：若随机变量X 的分布列为,
则称X 服从两点分布，并称(1)p P x 为成功概率 ②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()(0,1,2,,k n k M N M n N C C P X
k k m C 其中min{,}m M n ，且*,,,,)n N M N n M N N ,称分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列
【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( )
A. 5
【变式1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是________．
题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）
【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．
知识点二
1．条件概率及其性质
对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用
符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)
P(B)
(P(B)>0)．
在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B)
.
2．相互独立事件
(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
3．二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率
为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －
k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．
题型三 条件概率
例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ________.
(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将
一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH
内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝
________.
练：某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．
题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布） 例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率．
例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做
一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12
. (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．
练习：
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐
的概率为12
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
【误区解密】
抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？
例：某学校10个学生的考试成绩如下：（≥98分为优秀）
（1）10人中选3人，求至多1人优秀的概率
（2）用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X 表示优秀人数的个数，求X 的分布列
练：18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[)30,40的人
数；
（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的
方法随机抽取5从，求[)50,60年龄段抽取的人
数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽到2人
作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[)
50,60年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.
2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽
相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出
它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。