2018全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
2018年考研数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（ ）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2
x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。 （ 17 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成， 计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X A. r ( A C. r ( A
Y ） 表示分块矩阵，则（ ）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)
C. a 1 , b 1 2
D. a 1 , b 1 2
【答案】B
【解析】
1 lim e ax bx e e e x
2
1 x2
ln ex ax2 bx
lim
x0
x2
lim ex 2axb x0 2 x ex ax2 bx
lim ex 2axb x0 2x
x0
lim
f 0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0,
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0
D 不可导：
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 -x
2 x
1, 2
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
1 2
x
1
x x0
2
f 0 f 0
3.设函数
f
x
1, 1,
则
A. a 3, b 1 C. a 3, b 1
g
x 1b
1 1 b b
2
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 2 a
1 a
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 1 2 2
1 a
a
3
4. .设函数 f x 在0,1 上二阶可导，且 1 f xdx 0, 则 0
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及标准答案
(总分：150.00，做题时间：180分钟)
一、单项选择题
选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(总题数：8，分数：32.00)
1. （分数：4.00）
A.a=1/2，b=-1
(1) 求f(x1,x2,x3) = 0 的解
(2) 求f(x1,x2,x3) 的规范型（分数：11.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(
）
解析：
12.曲线 对应点处的曲率为__________。（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
2/3
）
解析：
13.设函数z = z(x，y)由方程l __________。
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
1/4
）
正确答案：(
)
解析：
19.将长为2m的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存 在最小值？若存在，求出最小值。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________
2
）
解析：
三、解答题
解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2018考研数学二真题及答案解析
2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。
以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。
【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。
解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。
解方程得到：4a + 2b + c = 3。
(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。
对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。
带入 x = 1，得到 2a + b = 3。
(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。
因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。
【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。
现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。
解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。
根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。
解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。
因此，学生总数 N 约为 17857人。
【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。
解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。
2018年考研数学二真题与答案解析
2018年考研数学二真题及答案解析1.若()212lim 1→++=xx x e ax bx，则A.1,12==-a b B.1,12=-=-a b C.1,12==a b D.1,12=-=a b 【答案】B 【解析】()()()22022002ln lim21limlim22201lim x x x xx x x e ax be ax bxe ax b xeax bxx x x x x e ax bx e ee→→→++++++++→=++===02lim 02x x e ax b x →++⇒=()00lim 20112lim 022xx x x e ax b b e ax b a x →→⎧++==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨++=-⎪⎪=⎩⎩2.下列函数中，在0=x 处不可导的是A.()sin f x x x = B.()sin f x x =C.()cos f x x = D.()f x =【答案】D 【解析】A 可导：()()()()-000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-0000sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22000011cos 1cos 1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x x x--++-+→→→→----''=====D 不可导：——印校园考研一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.()()()()()00011-11220lim lim ,0lim lim 2200x x x x x x f f x x f f --++-+→→→→+---''====-''≠3.设函数()()2,11,,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩-若()()f x g x +在R 上连续，则A.3,1==a bB.3,2==a bC.3,1=-=a bD.3,2=-=a b 【答案】D 【解析】()()()()()()()()()()()()()()()()0000111111lim lim lim 101lim lim lim 1112lim lim lim 121lim lim lim 11221x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x b b b f x g x f x g x a a f x g x f x g x a ---+++---+++→→→→→→→-→-→-→-→-→-+=+=-+=-⎡⎤⎣⎦+=+=-⇒-=-⇒=⎡⎤⎣⎦+=+=-++=+⎡⎤⎣⎦+=+=--=-⇒-=+⇒⎡⎤⎣⎦3a =-4..设函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()100,f x dx =⎰则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f 【答案】D 【解析】A 错误：()()()11000,10111,2,022f x f x dx dx f x x f x ⎛⎫'===-< ⎪⎛⎫=-+-+= ⎝⎝⎭⎪⎭⎰⎰B 错误：()()()100212111111,033243120,20,f x dx dx f x x ff x x ⎛⎫''==⎛⎫=-+-+=-+=-< ⎪⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎰⎰C 错误：()()()1100111,0220,10,2f x d f x x x f x dx f x ⎛⎫=-⎛⎫'-===> ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确：方法1：由()0f x ''>可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f ξξξξ'''=+-+-'''''=+-+-=+-=''><⎰⎰⎰介于和之间,又故5.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则A.>>M N KB.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M【答案】C【解析】222222(1)11,11,22()1,(0)0,()10,()0;()0221,()01N<M,C22x xx x M dx dx x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈-+≥>⎢⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选6.()()222121011x x xx dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰A.53 B.56C.73D.76【答案】C 【解析】如图,22212107(1)(1)(1)3x x D xxDDdxxy dy dxxy dy xy dxdy dxdy S -----+-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.7.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似的为A.111011001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭B.101011001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征值为1,1,1，()2r E Q-=选项A：令111011001A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A的特征值为1,1,1，()0110012000r E A r-⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B：令101011001B-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B的特征值为1,1,1，()0010011000r E B r⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项C：令111010001C-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C的特征值为1,1,1，()0110001000r E C r-⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B：令101010001D-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，D的特征值为1,1,1，()0010001000r E D r⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若矩阵Q 与J 相似，则矩阵E Q -与E J -相似，从而()()r E Q r E J -=-，故选（A ）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似故选（A ）8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().TTr A B r A B =【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒==故选（A ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=____________.【答案】1【解析】原式221lim 1,(,1)1x xx x εε→+∞=∈++拉格朗日中值定理.10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43y x =-【解析】22ln y x x =+，定义域为{0}x x >，2'2y x x =+，22''2y x=-，令''0y =，则01x =±，由于0x >，故01x =，故拐点为(1,1)，0'()4y x =，则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)y x -=-即43y x =-.11.25143dx x x +∞=-+⎰________________________.【答案】1ln 22【解析】25143dx x x +∞=-+⎰51(3)(1)dx x x +∞--⎰5111()231dx x x +∞=---⎰513ln21x x +∞-=-1353lim ln ln 2151x x x →+∞--=---1ln 22=12.曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，在4t π=对应点处的曲率为______________.【答案】23【解析】22sin cos 'tan 3cos (sin )t ty t t t -==--，4'1t y π==-，2244sec 1''3cos sin 3cos sin t t y t t t t π=-==-，4''323()2t y π===，3322242''233(1')(11)y k y ===++.13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z exy -+=确定，则1(2,)2zx ∂=∂____________.【答案】14【解析】根据题意，得1z(2,)12=，对方程两边同时对x 偏导数并讲点代入，得1(2,)2zx ∂=∂14.14.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.【答案】2【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121A A A A ααααααααα⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦123,,ααα 线性无关，()123,,P ααα∴=可逆，1200111121P AP B-⎡⎤⎢⎥∴=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B ∴与相似，特征值相等()()22230E B λλλλ-=--+=⇒实特征值2λ=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2arctan ⎰xe.【答案】32211(tan (1)23x x e arc e C--+【解析】()2222223221arctan 211(arctan )2111(arctan )21=(arctan )211=(arctan 123x x x xx x x x x x x x e e e e e e e C ==⋅+-=----+⎰⎰原式x x ,22,1,ln(1)x t e t x t ==+=+3222322(1)211(1)1)2133xxx t t dt t dt t t C e C t t +=⋅=+=++=-++⎰⎰故原式32211((1)23x x e arc e C=--+16.（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足20()()xxf t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰.（I ）求()f x ；（II ）若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 若()212lim1xx x eax bx →++=，则 （ ）（A ）1,12a b ==- （B ）1,12a b =-=- （C ）1,12a b == （D ）1,12a b =-= 【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-∙++-→=++=+++-=+++-=，因此， 222222001()12lim 0lim 0x x x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 22201()(1)()12lim 00,102x a x b x x a b x →++++⇒=⇒+=+=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故 1,12a b ==-，选（B ）. 2. 下列函数中在0x =处不可导的是（ ）（A ）()sin f x x x = （B ）()sin f x x x = （C ）()cos f x x = （D ）()cos f x x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-=== ，可导； B. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===, 可导； C. 20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---=== ，可导；D. ()200011cos 122lim lim limx x x x x x x x x→→→---== ，极限不存在。
2018考研数学二真题及答案解析-文都版
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应选(D). 方法二： 因为 f ( x) cos
x , f (0) 1 cos x x 1 1 x 2 不存在 x
lim
x 0
f ( x) f (0) lim x 0 x
lim
x 0
f ( x) 在 x 0 处不可导，选（D）
N 2
1 x x 1 dx ，因为 e x x 1 ，所以 x 1 x e 2 e
3
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K 2 1 cos x dx ， 1 cos x 1
2
即
所以由定积分的比较性质 K M N ，应选（C）. 6.
A. M N K . C. K M N . 答案：（C） 解析： M
B. M K N . D. K N M .
2 2
1 x
1 x2
2
dx =
2 2
2x 1 2 1 x
2 dx 1dx ， 2
4.设函数 f ( x ) 在 0,1 上二阶可导，且
1
0
f ( x)dx 0, 则
2
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1 2 1 C.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
A.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 答案：（D）
1 2 1 D.当 f "( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
（B） lim
x 0
1 2 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （C） lim = lim = lim 2 = 0 ，可导 x 0 x 0 x 0 x x x 1 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （D） lim = lim = lim 2 不存在，不可导 x 0 x 0 x 0 x x x
2018考研数学二真题及答案详解
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若()120lim 1→++=x x x e ax bx ，则 A. 1,12==-a b B. 1,12=-=-a b C.1,12==a b D. 1,12=-=a b 【答案】B【解析】()()()2220200120ln lim 2lim 22lim21lim x x x x x x x x x x e ax bx x e ax b x e ax bx e ax bx e ax bx e ee →→→→++++++++=++===02lim 02x x e ax b x →++⇒=()00lim 20112lim 022x x x x e ax b b e ax b a x →→⎧++==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨++=-⎪⎪=⎩⎩2.下列函数中，在0=x 处不可导的是A.()()sin =f x x xB.()sin f x x =C.()cos f x x = D.()f x =【答案】D【解析】A 正确()()()()()()-0000sin sin 0lim lim 0sin sin 0lim lim 0x x x x x x x x f x xx x x x f x x--++→→+→→-⋅'===⋅'===B 正确()()-00000lim lim 00lim lim 0x x x x f f --++→→+→→'==='===C 正确()()2-002001cos -120lim lim 01cos -120lim lim 0x x x x x x f x xx x f x x--++→→+→→-'===-'===D 不正确()()()()()-0000-1-120lim lim 21120lim lim -200x x x x x f x x f x f f --++→→+→→+-'===-'===''≠3.设函数()()2,1-1,0,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩若()()+f x g x 在R 上连续，则A.3,1==a b B.3,2==a b C.3,1=-=a b D.3,2=-=a b 【答案】B【解析】()()()()()()()()()()()()()()()()000000111111lim lim lim -10-1lim lim lim 1-112lim lim lim -121lim lim lim -11-2-21x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x b b b f x g x f x g x a a f x g x f x g x a ---+++---+++→→→→→→→-→-→-→-→-→-+=+=+=⎡⎤⎣⎦+=+=-⎡⎤⎣⎦⇒=-⇒=+=+=++=+⎡⎤⎣⎦+=+=-=⎡⎤⎣⎦⇒=+⇒3a =4..设函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()100,f x dx =⎰则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f C. 当()0'>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f 【答案】D【解析】A 错误 ()()()1100010,11,22102f x x x f f x dx dx f x ⎛⎫== ⎪=-+⎝⎭-+⎛⎫= '-⎝=<⎪⎭⎰⎰B 错误()()()12100211,331111024302012,f x dx dx f f x x x x f =-+-+⎛⎫=-⎛⎫== ⎪⎝⎭''+=> ⎪⎝<⎭=-⎰⎰C 错误()()()1100010,11,22102f x f x dx dx f x f x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭'=>=--⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确()()()10022111,33111020102431,2f x f x x x f dx dx f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭=--⎛⎫=-=-''=>< ⎪⎝⎭⎰⎰5.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x x M dx N dx K dx x e 则 A.>>M N K B.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M【答案】C【解析】222222(1)11-,11,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221-,()01N<M,C 22x xx x M dx dx x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈≥>⎢⎥⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选6.()()2202121011----+-=⎰⎰⎰⎰x x x x dx xy dy dx xy dy A.53 B.56C.73 D.76【答案】C【解析】如图,220212107(1)(1)(1)3x x D x x D D dxxy dy dx xy dy xy dxdy dxdy S -----+-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 7.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 A. 111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似 故选（A ）8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().T T r A B r A B =【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒==故选（A ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9. 2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=____________. 【答案】1 【解析】令1t x=，则 原式2011arctan(1)arctan lim t t t t +→+-=222201111()()111(1)1()lim 2t t tt t t +→---+++=2220111(1)lim 2t t t t t+→-+++=222222201111()()1(1)1()lim 2(1)[(1)]t t t t t t t t t +→---+++=++202lim 2t t t t+→+=1=10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43y x =- 【解析】2'y x x =+，22''2y x=-，令''0y =，则01x =±，由于0x >，故01x =0'()4y x =，则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)y x -=-即43y x =-. 11.25143dx x x +∞=-+⎰________________________. 【答案】1ln 22【解析】25143dx x x +∞=-+⎰51(3)(1)dx x x +∞--⎰5111()231dx x x +∞=---⎰513ln 21x x +∞-=-1353lim ln ln 2151x x x →+∞--=---1ln 22=12.曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，在4t π=对应点处的曲率为______________. 【答案】23【解析】22sin cos 'tan 3cos (sin )t t y t t t -==--，4'1t y π==-，2244sec 1''3cos sin 3cos sin t t y t t t t π=-==-，4''33()2t y π===，33222''233(1')(11)y k y ===++. 13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z e xy -+=确定，则1(2,)2z x ∂=∂____________. 【答案】14【解析】根据题意，得1z(2,)12=，对方程两边同时对x 偏导数并讲点代入，得1(2,)2z x ∂=∂14. 14.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组. 若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.【答案】2【解析】三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2⎰x e 的值【答案】()32211(123x x e e C --+【解析】()2222223221arctan 211()2111()21=()211=(123x xx x x xx xx x x x e e e e e e e C ==+-=--+⎰⎰原式x ,22,1,ln(1)x t e t x t ==+=+原式2222332(1)221(1)131(1)3x t t dt t t t dtt t C e C +=⋅+=+=++=-+⎰⎰故原式32211(tan (1)23x x e arc e C =--+16.（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足200()()xxf t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰. （I ）求()f x ；（II ）若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值。
2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数⎩⎨⎧≥-=010,1)(x x x f ，＜，⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且⎰=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx e xN x ⎰-+=221ππ，dx x K ⎰-+=22)cos 1(ππ，则 （A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-⎰⎰⎰⎰----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-11（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题（4分×8） 1. 若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则 （ ）A 、 1,12a b ==- B 、1,12a b =-=- C 、1,12a b == D 、1,12a b =-= 解 选B 。
因()2122201lim 1lim 0x x xx x e ax bx e ax bxx →→++-++=⇔=；由此可知02lim 012x x e ax b b x →++=⇒=-，及021lim 022x x e a a →+=⇒=-。
2.下列函数在x = 0处不可导的是 （ ） A 、()sin f x x x = B、()f x x = C 、()cos f x x = D、()f x =解 选D 。
详见数学一的第1题。
3.设函数2,11,0(),(),101,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩，若()()f x g x R +在上连续，则（ ） A 、 3,1a b == B 、3,2a b == C 、3,1a b =-= D 、3,2a b =-= 解 选D 。
计算得21,1()()1,101,0ax x f x g x x x x b x --≤-⎧⎪+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩，因()()f x g x R +在上连续，故21210b+1a +-=--+=-及，解得3,2a b =-=。
4. 设函数()f x 在上[0,1]二阶可导，且1()0f x dx =⎰，则 （ ）A 、当()0f x '< 时，1()02f <B 、当()0f x ''< 时，1()02f <C 、当()0f x '> 时，1()02f <D 、当()0f x ''> 时，1()02f <解 选D 。