2016年高考全国三卷理科数学试卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1. 设集合}0|{}0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S ，，则S ∩ T =

A. [2,3]

B. ),3[]2,(+∞-∞

C. ),3[+∞

D. ),3[]2,0(+∞ 2. =-+=1

i

4i 21z z z ，则

若 A. 1

B. -1

C. i

D. -i

3. 已知向量)2

1

,23()23,

21(==BC BA ，，则∠ABC = A. 30° B. 45°

C. 60°

D. 120°

4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温

和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点 表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是 A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 5. =+=

ααα2sin 2cos 4

3

tan 2，则若 A.

25

64 B.

2548

C. 1

D. 25

16

6. 已知3

15

23

42542===c b a ，，，则

A. b < a < c

B. a < b < c

C. b < c < a

D. c < a < b 7. 执行右面的程序框图，如果输入的a = 4，b = 6，那么输出的n =

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 8. 在△ABC 中，4

π

=

B ，B

C 边上的高等于

3

1

BC ，则sin A = A.

103

B.

1010

C. 5

D.

1032016.6

9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该

多面体的表面积为

A. 53618+

B. 51854+

C. 90

D. 81

10. 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB = 6，

BC = 8，AA 1 = 3，则V 的最大值是

A. π4

B.

29π C. π6

D. 3

32π

11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：)1(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点。P 为C 上

一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E 。若直线BM 经过OE 的中点，则C

的离心率为 A.

31

B.

21

C.

32

D.

4

3 12. 定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤ 2m ，a 1、a 2…a k 中的 0的个数不少于1的个数。若m = 4，则不同的“规范01数列”共有

A. 18个

B. 16个

C. 14个

D. 12个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x 则z = x + y 的最大值为___________。

14. 函数x x y cos 3sin -=的图象可由函数x x y cos 3sin +=的图象至少向右平移_______个单位长度得到。 15. 已知f (x )为偶函数，当x x x f x 3)ln()(0+-=<时，，则曲线y = f (x )在点(1,-3)处的切线方程是______________。

16. 已知直线l ：120332

2=+=-++y x m y mx 与圆交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、

D 两点，若|AB | = 32，则|CD | =_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知数列{a n }的前n 项和01≠+=λλ，其中n n a S 。 （I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； （II ）若λ，求32

31

5=S 。

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。

（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；

（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。 附注： 参考数据：

2.646755.0)(17.4032.97

1

i 71

7

1

2≈=-==∑∑∑===，，，i i i i i i

y y y t y

。

参考公式：相关系数∑∑∑===----=

n

i i n

i i

n

i i i

y y t t

y y t t

r 1

2

1

21

)()()

)((

回归方程t b a y

ˆˆˆ+=中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： t b y a

t t

y y t t

b

n

i i

n

i i i

ˆˆ)()

)((ˆ1

2

1

-=---=∑∑==，。

19. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD //BC ，AB = AD = AC = 3， P A = BC = 4，M 为线段AD 上一点，AM = 2MD ，N 为PC 的中点。

（I ）证明MN // 平面P AB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值。

20. （本小题满分12分）

已知抛物线C ：y 2 = 2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点。

（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR // FQ ；

（II ）若△

PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程。