第10讲-函数的图象(解析版)

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高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练10---函数的图象(附解析答案)

高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练10---函数的图象(附解析答案)

高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练专题10:函数的图象1. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ,其中 a <1,若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0,则 a 的取值范围是 ( )A. [−32e ,1)B. [−32e ,34)C. [32e ,34)D. [32e ,1)2. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x ),当 −1≤x <1 时,f (x )=x 3,若函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣(a >0,且 a ≠1)至少有 6 个零点,则 a 的取值范围是 ( )A. (0,15]∪(5,+∞)B. (0,15)∪(5,+∞)C. (17,15]∪(5,7]D. (17,15)∪[5,7)3. 如图,长方形 ABCD 的边 AB =2,BC =1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC ,CD 与 DA 运动,记 ∠BOP =x .将动点 P 到 A ,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x ),则 y =f (x ) 的图象大致为 ( )A. B. C. D.4. 将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为( )A. πB. π2C. π3D. π45. 如图,正三角形ABC的中心位于点G(0,1),A(0,2),动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π),向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在a= (1,0)方向的射影为y(O为坐标原点),则y关于x的函数y=f(x)的图象是( )A. B.C. D.6. 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格P1低于均衡价格P0时,则需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,则供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此继续波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是( )A. B.C. D.7. 设 f (x )=∣lnx∣,若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是 ( )A. (0,1e )B. (ln33,e)C. (0,ln33]D. [ln33,1e )8. 已知函数 f (x )=x −4+9x+1,x ∈(0,4).当 x =a 时,f (x ) 取得最小值 b ,则函数 g (x )=(1a )∣x+b∣ 的图象为 ( )A. B.C. D.9. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足:①对任意 x ,都有 f (x +3)=f (x ) 成立;②当 x ∈[0,32] 时,f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣,则方程 f (x )=1∣x∣在区间 [−4,4] 上根的个数是 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 710. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥0 时,f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2).若 ∀x ∈R ,f (x −1)≤f (x ),则实数 a 的取值范围为 ( ) A. [−16,16]B. [−√66,√66]C. [−13,13]D. [−√33,√33]11. 如图可能是下列哪个函数的图象 ( )A. y=2x−x2−1B. y=2x sinx4x+1C. y=(x2−2x)e xD. y=xlnx12. 如图,圆C:(x−1)2+(y−1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形(阴影部分)的面积为S,当直线l由下而上移动时,面积S关于t的函数图象大致为( ).A. B.C. D.13. 已知函数 f (x )=x −[x ],其中 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 ( )A. (−1,−12]∪[14,13)B. [−1,−12)∪(14,13]C. [−13,−14)∪(12,1]D. (−13,−14]∪[12,1)14. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2,sin (π4x),2≤x ≤10, 若存在实数 x 1,x 2,x 3,x 4,满足 x 1<x 2<x 3<x 4,且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4),则(x 3−2)⋅(x 4−2)x 1⋅x 2 的取值范围是( )A. (4,16)B. (0,12)C. (9,21)D. (15,25)15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f (x )={1,x ∈Q,0,x ∈∁R Q.被称为狄利克雷函数,其中 R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数 f (x ) 有如下四个命题:①f(f (x ))=1;②函数 f (x ) 是偶函数;③任取一个不为零的有理数 T ,f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立;④存在三个点 A(x 1,f (x 1)),B(x 2,f (x 2)),C(x 3,f (x 3)),使得 △ABC 为等边三角形.其中真命题的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知函数 f (x )=∣log 2∣x −1∣∣,且关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+2b =0 有 6 个不同的实数根,若最小的实数根为 −3,则 a +b 的值为 ( )A. −2B. 4C. 6D. 817. 定义在 R 上的函数 f (x )=xsin2xx 2+a 的图象如图所示,则实数 a 的可能值为 ( )A. 16B. 14C. 12D. 118. 下列四个函数①f (x )=x +1,②f (x )=2x 3,③f (x )=xsinx ,④f (x )=x cosx 的图象能等分圆 O:x 2+y 2=1 的面积的是 ( )A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①②③④19. 某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示.若前m月的月平均空气质量优良天数最大,则m值为( )A. 7B. 9C. 10D. 1220. 如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上,半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直向上移动,且在t=0时,圆O与l2相切于点A,圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中,位于l2上方的圆弧的长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.21. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N∗),则该函数的图象是( )A. B.C. D.22. 已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2,g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8,设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1623. 如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上,半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.24. 给出幂函数(1) f (x )=x ,(2) f (x )=x 2,(3) f (x )=x 3,(4) f (x )=√x ,(5) f (x )=1x ,其中满足条件 f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2(x 1>x 2>0) 的函数的个数是 ( ) 个.A. 1B. 2C. 3D. 425. 已知函数 f (x )={x 2+5x,x ≥0,−e x +1,x <0.若 f (x )≥kx ,则 k 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,5]C. (0,5]D. [0,5]26. 若函数 y =a x +b 的图象如图所示,则函数 y =1x+a +b +1 的图象为 ( )A. B.C. D.27. 设函数 f (x )=∣2x −1∣,c <b <a ,且 f (c )>f (a )>f (b ),则 2a +2c 与 2 的大小关系式 ( )A. 2a +2c >2B. 2a +2c ≥2C. 2a +2c ≤2D. 2a +2c <228. 函数 f (x )=e x +e −xe x −e −x (x ≠0) 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.29. 若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对"友好点对"(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对"友好点对").已知函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0),则此函数的"友好点对"有( )A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对30. 若函数f(x)=a2x−4,g(x)=log a∣x∣(a>0且a≠1),且f(2)⋅g(−2)<0,则函数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )A. B.C. D.31. 定义域为R的函数f(x)={1∣x−1∣,x≠11,x=1,若关于x的函数ℎ(x)=f2(x)+bf(x)+12有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则x12+x22+x32+x42+x52等于( )A. 2b 2+2b2B. 16C. 5D. 1532. 关于x的方程(x2−1)2−∣x2−1∣+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 333. 已知a>0且a≠1,函数f(x)={(a−1)x+3a−4(x≤0),a x(x>0)满足对任意实数x1≠x2,都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0成立,则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,+∞)C. (1,53]D. [53,2)34. 已知函 f (x )={∣lgx ∣,0<x ≤10−12x +6,x >10,若 a ,b ,c 互不相等,且 f (a )=f (b )=f (c ),则 abc 的取值范围是 ( )A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)35. 已知函数 f (x )=x 2+2x +a (a >0),f (m )<0,则 ( )A. f (m +x +1x )<0B. f (m +x +1x )≤0C. f (m +x +1x )>0D. f (m +x +1x ) 符号不确定36. 已知函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0,)x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),其中 a ∈R ,若对任意的非零实数 x 1,存在唯一的非零实数 x 2(x 2≠x 1),使得 f (x 2)=f (x 1) 成立,则 k 的最小值为 ( )A. −115B. 5C. 6D. 837. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的"自公切线".下列方程:①x2−y2=1,②y=x2−∣x∣,③y=3sinx+4cosx,④∣x∣+1=√4−y2,对应的曲线中存在"自公切线"的有( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④38. 已知函数f(x)的定义域为R.若∃常数c>0,对∀x∈R,有f(x+c)>f(x−c),则称函数f(x)具有性质P.给定下列三个函数:①f(x)=∣x∣;②f(x)=sinx;③f(x)=x3−x.其中,具有性质P的函数的序号是( )A. ①B. ③C. ①②D. ②③39. f(x)=(x−a)(x−b)−2(其中a<b),且α,β是方程f(x)=0的两根,α<β,则实数a,b,α,β的大小关系为( )A. α<a<b<βB. α<a<β<bC. a<α<b<βD. a<α<β<b40. 已知函数f(x)=ln(x+1),x∈(0,+∞),下列结论错误的是( )A. ∀x1,x2∈(0,+∞),(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]≥0B. ∀x 1∈(0,+∞),∃x 2∈(0,+∞),f (x 1)−f (x 2)<x 2−x 1C. ∀x 1∈(0,+∞),∃x 2∈(0,+∞),x 2f (x 1)>x 1f (x 2)D. ∃x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)41. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7 个不同实数解的充要条件是 ( )A. b <0 且 c >0B. b >0 且 c <0C. b <0 且 c =0D. b ≥0 且 c =042. 已知函数 f (x )=x 1+∣x∣(x ∈R ) 时,则下列结论不正确的是 ( )A. ∀x ∈R ,等式 f (−x )+f (x )=0 恒成立B. ∃m ∈(0,1) ,使得方程 ∣f (x )∣=m 有两个不等实数根C. ∀x 1,x 2∈R ,若 x 1≠x 2 ,则一定有 f (x 1)≠f (x 2)D. ∃k ∈(1,+∞) ,使得函数 g (x )=f (x )−kx 在 R 上有三个零点43. 定义:区间 [x 1,x 2](x 1<x 2) 的长度等于 x 2−x 1.函数 y =∣log a x ∣(a >1) 的定义域为 [m,n ](m <n ),值域为 [0,1].若区间 [m,n ] 的长度的最小值为 34,则实数 a 的值为 ( )A. 54B. 2C. 154D. 444. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f(x) 的图象恰好通过 k(k ∈N ∗) 个格点,则称函数 f(x) 为 k 阶格点函数.下列函数:①f(x)=sinx ;②f(x)=π(x −1)2+3 ;③f(x)=(13)x ;④f(x)=log 0.6x .其中是一阶格点函数的有 ( )A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①②③④45. 已知函数 f (x )=4∣x∣+2−1 的定义域为 [a,b ],其中 a 、b ∈Z ,且 a <b .若函数 f (x )的值域为 [0,1],则满足条件的整数对 (a,b ) 共有 ( )A. 2 个B. 5 个C. 6 个D. 8 个46. 已知函数 f (x )={−x x+1,−1<x ≤0,x,0<x ≤1与函数 g (x )=a (x +1) 在 (−1,1] 上有 2 个交点,若方程 x −1x =5a 的解为正整数,则满足条件的实数 a 有 ( )A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个47. 已知函数 f (x )={2x+2+a,x ≤0,f (x −1)+1,x >0,若对任意的 a ∈(−3,+∞),关于 x 的方程 f (x )=kx 都有 3 个不同的根,则 k 等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 448. 已知函数 y =f (−∣x∣) 的图象如图所示,则函数 y =f (x ) 的图象不可能是 ( )A. B.C. D.49. 设函数的集合 P ={f (x )=log 2(x +a )+b∣∣a =−12,0,12,1;b =−1,0,1},平面上点的集合 Q ={(x,y )∣x =−12,0,12,1;y =−1,0,1},则在同一直角坐标系中,P 中函数 f (x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 ( )A. 4B. 6C. 8D. 1050. 已知函数 f (x )=∣x 2+3x ∣,x ∈R .若方程 f (x )−a∣x −1∣=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为 .51. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 .52. 已知函数 f (x )={(12)x +34,x ≥2,log 2x,0<x <2. 若函数 g (x )=f (x )−k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 .53. 对于函数 f (x )={sinπx,x ∈[0,2],12f (x −2),x ∈(2,+∞), 有下列 5 个结论: ①任取 x 1,x 2∈(0,+∞),都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2;②函数 y =f (x ) 在区间 (4,5) 上单调递增;③f (x )=2kf (x +2k )(k ∈N +),对一切 x ∈(0,+∞) 恒成立;④函数 y =f (x )−ln (x −1) 有 3 个零点;⑤若关于 x 的方程 f (x )=m (m <0) 有且只有两个不同实根 x 1,x 2,则 x 1+x 2=3. 则其中所有正确结论的序号是 .(请写出全部正确结论的序号)54. 关于函数 f (x )=b ∣x∣−a (a >0,b >0) 有下列命题:①函数 f (x ) 的值域为 (−∞,0)∪(0,+∞);②直线 x =k 与函数 f (x ) 的图象有唯一交点;③函数 y =f (x )+1 有两个零点;④函数定义域为 D ,则任意的 x ∈D ,f (x )=f (−x ).其中所有叙述正确的命题序号是 .55. 如果是函数y=sinπxx2−bx+c 的图象的一部分,若图象的最高点的坐标为(12,43),则b+c=.56. 设a∈R,若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−ax−1)≥0,则a=.57. 对于函数y=f(x)(x∈R),给出下列命题:(1)在同一直角坐标系中,函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于直线x=0对称;(2)若f(1−x)=f(x−1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;(3)若f(1+x)=f(x−1),则函数y=f(x)是周期函数;(4)若f(1−x)=−f(x−1),则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.其中所有正确命题的序号是 .58. 已知函数 f (x )={|log 3x|,0<x <313x 2−103x +8,x ≥3,若存在实数 a ,b ,c ,d ,满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),其中 d >c >b >a >0,则 abcd 的取值范围是 .59. 在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y =√3+2x −x 2−√3(x ∈[0,2]) 的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角 θ,若 ∀θ∈[0,α],旋转后所得曲线都是某个函数的图象,则 α 的最大值为 .60. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,sin π3x,3≤x ≤9,若存在实数 a ,b ,c ,d 满足 a <b <c <d ,且 f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则 (c−3)(d−3)ab 的取值范围是 .61. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣−1,x ≤1x 2−3x+3x−1,x >1,下列关于函数 g (x )=[f (x )]2+af (x )−1(其中 a 为常数)的叙述中:①对 ∀a ∈R ,函数 g (x ) 至少有一个零点;②当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;③∃a∈R,使得函数g(x)有三个不同零点;④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.其中真命题有.(把你认为真命题的序号都填上)62. 已知函数y=x(x−1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x−1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是(填写序号).①有三个实根;②当x>1时,恰有一个实根;③当0<x<1时,恰有一个实根;④当−1<x<0时,恰有一个实根;⑤当x<−1时,恰有一个实根(有且只有一个实根).63. 某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:∘C)满足函数关系t={64,x≤0,2kx+6,x>0.且该食品在4∘C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论:①.该食品在6∘C的保鲜时间是8小时;②.当x∈[−6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;③.到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;④.到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是.64. [x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x−[x].则下列结论中正确的有.①函数f(x)的值域为[0,1];②方程 f (x )=12 有无数个解;③函数 f (x ) 的图象是一条直线;④函数 f (x ) 是 [k,k +1](k ∈Z ) 上的增函数.65. 已知函数 f (x )=∣∣log a ∣x −1∣∣∣(a >0,a ≠1),若 x 1<x 2<x 3<x 4,且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4),则 1x 1+1x 2+1x 3+1x 4= .66. 将函数 y =∣∣12x −1∣∣+∣∣12x −2∣∣+1 的图象绕原点顺时针方向旋转角 θ(0≤θ≤π2) 得到曲线 C .若对于每一个旋转角 θ,曲线 C 都是一个函数的图象,则 θ 的取值范围是 .67. 设函数 f (x )={x 2−4x +1(x ≥0),3x +2(x <0), 若互不相等的实数 x 1,x 2,x 3 满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 .68. 已知函数f(x)=∣lg(x−1)∣.若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是.69. 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[−2,2]的图象如图所示.给出下列四个命题:①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根;②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根;③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根;④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根,其中正确的命题是.(将所有正确的命题序号填在横线上)70. 对于实数 a 和 b ,定义运算" ∗ ":a ∗b ={a 2−ab,a ≤b,b 2−ab,a >b.设 f (x )=(2x −1)∗(x −1),且关于 x 的方程 f (x )=m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1,x 2,x 3,则 x 1x 2x 3 的取值范围是 .71. 设函数 f 0(x )=(12)∣x∣,f 1(x )=∣∣f 0(x )−12∣∣,f n (x )=∣∣∣f n−1(x )−(12)n ∣∣∣,n ≥1,n ∈N ,则方程 f n (x )=(1n+2)n有 个实数根.72. 已知 f (x )=m (x −2m )(x +m +3),g (x )=2x −2.若同时满足条件:①∀x ∈R ,f (x )<0 或g (x )<0;②∃x ∈(−∞,−4),f (x )g (x )<0,则 m 的取值范围是 .73. 已知 f (x ) 是定义在 [1,+∞) 上的函数,且 f (x )={1−∣2x −3∣,1≤x <212f (12x),x ≥2,则函数 y =2xf (x )−3 在区间 (1,2015) 上的零点的个数为 .74. 如图所示,函数 y =f (x ) 的图象由两条射线和三条线段组成.若 ∀x ∈R ,f (x )>f (x −1),则正实数 a 的取值范围为 .75. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为 .76. 已知定义在 [−1,1] 上的函数 f (x )=−2∣x∣+1,设 f 1(x )=f (x ),f n+1(x )=f [f n (x )],n ∈N +,若关于 x 的方程 f 3(x )−mx +m =0 有 5 个实数解,则实数 m 的取值范围是 .77. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ⊆D ),有 x +l ∈D ,且 f (x +l )≥f (x ),则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数.(1)如果定义域为 [−1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [−1,+∞) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是 .(2)如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数,当 x ≥0 时,f (x )=∣x −a 2∣−a 2,且f (x ) 为 R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是 .参考答案,仅供参考1. D 【解析】法一:考虑函数 g (x )=e x (2x −1),以及函数 ℎ(x )=a (x −1),则题意要求存在唯一的整数 x 0 使得 g (x 0)<ℎ(x 0).注意到 gʹ(x )=e x (2x +1),尤其注意到 y =x −1 为 y =g (x ) 在 (0,−1) 处的切线,如图.于是可以确定符合题意的唯一整数 x 0=0,则 {f (0)<0f (1)≥0f (−1)≥0,解得 32e ≤a <1.法二:首先 f (0)=−1+a <0,所以唯一的整数为 0.而 f (−1)=−3e+2a ≥0,解得 a ≥32e .又 a <1,对 f (x ) 求导得 fʹ(x )=e x (2x +1)−a , 当 x <−12 时,fʹ(x )<0;当 x >0 时,fʹ(x )>0.从而 f (x ) 在 (−∞,−12) 上单调递减,在 (0,+∞) 上单调递增. 而当 a ≥32e 时,有 f (−1)≥0,f (0)<0,f (1)>0, 故在 (−∞,−1]∪[1,+∞) 上 f (x )≥0,f (0)<0,满足题意.所以满足条件的 a 的取值范围为 [32e ,1).2. A 【解析】由题意得,函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣ 的零点个数即为 y =f (x ) 与 y =log a ∣x∣ 的图象的交点个数. 因为 f (x +2)=f (x ),所以函数 f (x ) 是周期为 2 的周期函数, 又因为 f (x )=x 3(−1≤x <1), 所以函数 f (x ) 的图象如图所示.在同一坐标系中作出函数 y =log a ∣x∣={log a x,x >0log a (−x ),x <0 的图象(a >1 时,如图(1);0<a <1 时,如图(2)).由图象得,要使y=f(x)与y=log a∣x∣的图象至少有6个交点,则当a>1时log a5<1;当0<a<1时,log a5≥−1,解得a>5或0<a≤15.3. B【解析】当点P在BC上时,x∈[0,π4],y=PA+PB=√4+tan2x+tanx,y随x增大而增大,且y与x不为线性关系.由对称性可知,当P在DA上时,y单调递减,且y与x不为线性关系,当x=π4时,y=√5+1;当P在CD上运动时,x∈(π4,3π4],当x=π2时,PA+PB=2√2<√5+1,结合选项,故选B.4. D5. C【解析】设BC与y轴交于点M,则AGGM =21,又G(0,1),A(0,2),所以M(0,12),正三角形边长为√3.当点P运动到点B时,∠AGP=2π3,此时射影y取到最小值−√32,所以排除A,B.当点P从点B向点M运动时,2π3≤x≤π,∠PGM=π−x,所以−y12=tan(π−x),得y=12tanx,结合图象应该选C.6. D7. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y= ax在区间(0,3]上有三个交点.画图如下.当a≤0时,显然,不合乎题意,当a>0时,由图知,当x∈(0,1]时,存在一个交点,当x>1时,f(x)=lnx,可得g(x)=lnx−ax(x∈(1,3]),gʹ(x)=1x −a=1−axx,若gʹ(x)<0,可得x>1a ,g(x)为减函数,若gʹ(x)>0,可得x<1a,g(x)为增函数,此时y=f(x)与y=ax必须在[1,3]上有两个交点,即y=g(x)在[1,3]上有两个零点,所以{g(1a)>0,g(3)≤0,g(1)≤0,解得ln33≤a<1e,故函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点时,ln33≤a<1e.8. B 【解析】f (x )=x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)×9(x+1)−5=1, 当且仅当 (x +1)2=9,即 x =2(x =−4 舍去)时等号成立,故 a =2,b =1,所以函数 g (x )=(12)∣x+1∣,其图象是把函数 y =(12)∣x∣的图象向左平移一个单位得到.9. B 【解析】因为 f (x +3)=f (x ),所以 f (x ) 周期为 3,当 x ∈[0,32] 时,f (x )={2x,0<x ≤34,3−2x,34<x ≤32.画出 y =f (x ) 和 y =1∣x∣的图象如下.由图象知方程 f (x )=1∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个. 10. B【解析】函数 f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2).在 x ≥0 时的解析式等价于 f (x )={−x,0≤x ≤a 2,−a 2,a 2<x <2a 2,x −3a 2,x ≥2a 2. 因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x ) 在 R 上的大致图象如下,由∀x∈R,f(x−1)≤f(x),可得2a2−(−4a2)≤1,解得a∈[−√66,√66].11. C【解析】A 中,因为y=2x−x2−1,当x趋向于−∞时,函数y=2x的值趋向于0,y=x2+1的值趋向+∞,所以函数y=2x−x2−1的值小于0,所以 A 中的函数不满足条件;B 中,因为y=sinx是周期函数,所以函数y=2x sinx4x+1的图象是以x轴为中心的波浪线,所以 B 中的函数不满足条件;C 中,因为函数y=x2−2x=(x−1)2−1,当x<0或x>1时,y>0,当0<x<1时,y<0;且y=e x>0恒成立,所以y=(x2−2x)e x的图象在x趋向于−∞时,y>0,0<x<1时,y<0,在x趋向于+∞时,y趋向于+∞;所以 C 中的函数满足条件;D 中,y=xlnx 的定义域是(0,1)∪(1,+∞),且在x∈(0,1)时,lnx<0,所以y=xlnx<0,所以 D 中函数不满足条件.12. C【解析】由图1知当t≤−√2时,S=0.由图2知当t≥√2时,S=π.,且阴影部分的面积以t=0为分界点,离t=0越近增长得越快,对照当t=0时,S=π2图象知 C 符合题意.13. A【解析】如下图所示:y=kx+k表示恒过点A(−1,0)斜率为k的直线.若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根,则函数f(x)=x−[x]与函数g(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点.由图可得:当直线y=kx+k过(2,1)点时,k=13;当直线y=kx+k过(3,1)点时,k=14;当直线y=kx+k过(−2,1)点时,k=−1;当直线y=kx+k过(−3,1)点时,k=−12.则实数k的取值范围是14≤k<13或−1<k≤−12.14. B【解析】画出f(x)的图象如图所示,由图中可以看出:x1<1<x2<2<x3<4<8<x4<10,因为f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4),所以−log2x1=log2x2,x3+x4=12,从而有x1⋅x2=1,又(x3−2)⋅(x4−2)= (x3−2)⋅(12−x3−2)=−(x3−6)2+16,所以(x3−2)⋅(x4−2)x1⋅x2的取值范围是(0,12) .15. D【解析】由狄利克雷函数的定义:若x∈Q,则f(f(x))=f(1)=1,若x∈∁R Q,则f(f(x))=f(0)=1;若x∈Q,则−x∈Q,则f(−x)=f(x)=1;若x∈∁R Q,则−x∈∁R Q,则f(−x)=f(x)=0;所以函数f(x)是偶函数;若x∈Q,因为T是非零的有理数,所以x+T∈Q,所以有f(x+T)=f(x)=1;若x∈∁R Q,则x+T∈∁R Q,所以f(x+T)=f(x),所以对任意的x∈R,有f(x+T)=f(x)恒成立;取A(−√33,0),B(√33,0),C(0,1),则△ABC为等边三角形,所以存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.16. A【解析】画出函数f(x)=∣log2∣x−1∣∣的图象,如图所示.设f(x)=t,则t2+at+2b=0.若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数根,则关于t的方程t2+at+2b=0一定有一根为0,另一根为正,从而b=0,a<0,且两根分别为t1=0、t2=−a.(i)方程f(x)=−a(a<0)有4个实根,由最小的根为−3,得f(−3)=−a,解得a=−2;(ii)方程f(x)=0有x=0和x=2两个实根.综上,a+b=−2.17. A18. B19. C20. B【解析】解法一如图,设∠MON=α,由弧长公式知x=α,在Rt△AOM中,∣AO∣=1−t,cos x2=∣OA∣∣OM∣=1−t,所以y=cosx=2cos2x2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1).故其对应的大致图象应为 B.解法二由题意可知,当t=1时,圆O在直线l2上方的部分为半圆,所对应的弧长为π×1=π,所以cosπ=−1,排除 A,D;当t=12时如图所示,易知∠BOC=2π3,所以cos2π3=−12<0,排除 C.21. A【解析】由已知得f(a n)>a n,即y=f(x)的图象在y=x的图象的上方.22. B【解析】由f(x)=g(x),得(x−a)2=4.所以,当x=a−2和x=a+2时,两函数值相等,又f(x)的图象为开口向上的抛物线,g(x)的图象为开口向下的抛物线,则H1(x)={f(x),x≤a−2,g(x),a−2<x<a+2,f(x),x≥a+2, H2(x)={g(x),x≤a−2,f(x),a−2<x<a+2,g(x),x≥a+2.所以A=H1(x)min=f(a+2)=−4a−4,B=H2(x)max=g(a−2)=−4a+12,所以A−B=−16.23. B【解析】通过圆心角α将弧长x与时间t联系起来,圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为α,则α=x,如图所示,cosα2=1−t,即cos x2=1−t,则y=cosx=2cos2x2−1=2(1−t)2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1).其图象为开口向上,在[0,1]上的一段抛物线.24. A【解析】①不满足,函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1>x2>0时,f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2;②不满足,在第一象限,函数f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2;③不满足,在第一象限,函数f(x)=x3的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2;④满足,函数f(x)=√x的图象是凸形曲线,故当x1>x2>0时,f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2;⑤不满足,当x1>x2>0时,f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.25. D【解析】f(x)的图象如下图所示:令g(x)=kx,则使得f(x)的图象在g(x)图象的上方即可.g(x)的两个临界状态分别是k=0和与y=x2+5x(x≥0)相切的时候.当g(x)与y=x2+5x(x≥0)相切时,k=yʹx=0=5.所以0≤k≤5.26. C【解析】由图可知0<a<1,−2<b<−1.又函数y=1x+a+b+1的图象是由y=1x向左平移a个单位,向下平移∣b+1∣单位而得到的.结合四个选项可知C正确.27. D28. A【解析】提示:因为函数f(x)是奇函数,又f(x)=1+2e2x−1在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.29. C【解析】函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)的图象(实线部分)及函数f(x)=−x2−4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象(虚线部分)如图所示:则 A ,B 两点关于原点的对称点一定在函数 f (x )=−x 2−4x (x ≤0) 的图象上,故函数 f (x ) 的"友好点对"有 2 对. 30. B【解析】f (2)⋅g (−2)=a 0log a 2<0,得 0<a <1,所以 f (x )=a 2x−4 在 R 上为减函数,g (x )=log a ∣x ∣ 在 (0,+∞) 上为减函数,在 (−∞,0) 上为增函数.31. D 【解析】令 ℎ(x )=0,即 f 2(x )+bf (x )+12=0,由其有 5 个不同零点,结合函数 f (x ) 图象,可知,f (x )=1 应满足上述方程,再结合,两根之积为 12,则 f (x )=12 也满足方程; 因此,解上述 f (x )=1 和 f (x )=12,可得方程的 5 个不同的零点为 x 1=0 、 x 2=1 、 x 3=2 、 x 4=−1 、 x 5=3.32. A【解析】根据题意可令∣x2−1∣=t(t≥0),则原方程化为t2−t+k=0,设方程t2−t+k=0的两根为t1,t2(不妨设t1≤t2),则Δ=1−4k≥0,得k≤14.则{t1+t2=1,t1⋅t2=k,结合t=∣x2−1∣的图象可知:①当k<0时,t1<0<1<t2,所以原方程有2个不同的实根.②当k=0时,t1=0,t2=1,所以原方程有5个不同的实根.③当k=14时,t1=t2=12,所以原方程有4个不同的实根.④当0<k<14时,0<t1<t2<1,所以原方程有8个不同的实根.33. C【解析】由题意知f(x)在R上为增函数,画出函数图象的草图如图所示:所以 {a −1>0,a >1,3a −4≤1, 解得 1<a ≤53.34. C 【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图, 不妨设 a <b <c ,则 −lga =lgb =−12c +6∈(0,1) ab =1,0<−12c +6<1 则 abc =c ∈(10,12).35. C【解析】设 f (x ) 的两个根分别为 x 1,x 2,且 x 1<x 2,则 (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4−4a ,因为 a >0,所以 x 2−x 1<2. 由 f (m )<0 可知 x 1<m <x 2,利用均值不等式可知 m +x +1x ≥m +2 或 m +x +1x ≤m −2,结合二次函数图象知 m +x +1x >x 2 或 m +x +1x <x 1,所以 f (m +x +1x )>0. 36. D 【解析】因为函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0),x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),,其中 a ∈R ,所以x=0时,f(x)=k(1−a2).又由对任意的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得f(x2)=f(x1)成立,所以函数必须为连续函数,即在x=0附近的左右两侧函数值相等,易知k≤0时,结合图象可知,不符合题意.所以k>0,且(3−a)2=k(1−a2),即(k+1)a2−6a+9−k=0有实数解,所以△=62−4(k+1)(9−k)≥0,解得k<0或k≥8.又因为k>0,所以k的取值范围为[8,+∞).37. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线,它不存在"自公切线";②如图所示,曲线在点(−12,−14)和点(12,−14)处的切线重合;③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)(tanφ=43).如图,在所有的最高点处的切线重合,所以③存在"自公切线";④中曲线如图所示,不存在"自公切线".38. B【解析】对于①:因为f(x)=∣x∣是偶函数,所以当x=0时,对于∀c∈R,都有f(x+c)=f(x−c)成立,所以该函数不具有性质P;对于②:对于∀常数c>0,当x+c=−π2时,有f(x+c)≤f(x−c)成立,故该函数也不具有性质P;对于③:因为 f (x )=x 3−x 在 (−∞,−√33),(√33,+∞) 上单调递增,在 (−√33,√33) 上单调递减,所以 ∃ 常数 c >√33>0,对 ∀x ∈R ,有 f (x +c )>f (x −c ) 成立,所以该函数具有性质 P .39. A 【解析】f (x )=(x −a )(x −b )−2 的图象是由 f (x )=(x −a )(x −b ) 的图象向下平移 2 个单位得到的,如图:由图可得 α<a <b <β. 40. D【解析】函数图象可由 y =lnx 向左平移一个单位得到:当 x ∈(0,+∞) 时,函数 f (x )=ln (x +1) 为上凸的增函数,∣EF ∣=f (x 1)+f (x 2)2,∣EG ∣=f (x 1+x 22),∣EF ∣<∣EG ∣.41. C【解析】函数f(x)的图象如图所示,再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,所以,关于f(x)的方程有两个不同解,且[f(x)]1=0,[f(x)]2>0,因此,c=0且b<0.42. D【解析】因为f(−x)=−x1+∣x∣=−f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;方程∣f(x)∣=m根的个数,就是函数y=∣f(x)∣与函数y=m的图象交点的个数,由图2可得B对;当x≥0时fʹ(x)=1(1+x)2>0,则f(x)在(0,+∞)为增函数,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(−∞,0)上也为增函数,可得C对;对于D中,当x>0时,f(x)−kx=0,解得x=0或x=1k −1,由x=1k−1>0,得0<k<1,故D错.43. D【解析】作出函数y=∣log a x∣(a>1)的图象(如图),。

第10讲 一次函数

第10讲 一次函数
解析:∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4的图象经过第一、二、四象限,不 经过第三象限.∵点P在一次函数y=-x+4的图象上,∴点P一定不在第三象 限.故选C.
2.(2019 临沂)下列关于一次函数 y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是( D ) (A)图象经过第一、二、四象限 (B)y 随 x 的增大而减小 (C)图象与 y 轴交于点(0,b)
性质
y 随 x 的 增 大 而 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而
增大 .
增大 .
减小 .
减小 .
3.一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=kx向上(下)平移 |b| 个单 位长度而得到的.当b>0时,将直线y=kx向上平移|b|个单位长度;当b<0时,将 直线y=kx向下平移|b|个单位长度.
x>0, x<
3,
∴无解;
kx<x 0,b>0,即
x<0, x>
3,
∴解集为-3<x<0,
∴不等式 x(kx+b)<0 的解集为-3<x<0.
6.(2018上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路 程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米. ∴当 0≤x≤150 时,1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为 150 =6 千米.
60 35
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千 米时,蓄电池的剩余电量.

高中数学复习专题讲座(第10讲)函数图象及图象性质的应用

高中数学复习专题讲座(第10讲)函数图象及图象性质的应用

题目 高中数学复习专题讲座函数图象及图象性质的应用高考要求函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳1 熟记基本函数的大致图象,掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线;(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的题型多以选择与填空为主,属于必考内容之一,但近年来,在大题中也有出现,须引起重视典型题例示范讲解例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a -x ), (1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称;(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2-x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析 找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化技巧与方法 数形结合、等价转化(1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点,则y 0=f (x 0),∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a -x 0,y 0)关于直线x =a 对称,又f (a +x )=f (a -x ),∴f (2a -x 0)=f [a +(a -x 0)]=f [a -(a -x 0)]=f (x 0)=y 0, ∴(2a -x 0,y 0)也在函数的图象上,故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解 由f (2+x )=f (2-x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称,若x 0是f (x )=0的根,则4-x 0也是f (x )=0的根, 若x 1是f (x )=0的根,则4-x 1也是f (x )=0的根, ∴x 0+(4-x 0)+ x 1+(4-x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8例2如图,点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上,它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式;(2)比较f (a )与g (a )的大小,并证明你的结论命题意图 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等知识依托 充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析 图形面积不会拆拼技巧与方法 数形结合、等价转化 解 (1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C -S △AA ′B ′-S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ),g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B1(2)()()2f a g a -=12=--102=-<∴f (a )<g (a )例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图,求b 的范围解法一 观察f (x )的图象,可知函数f (x )的图象过原点,即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1,0),∴f (x )=a +b +c ① 又有f (-1)<0,即-a +b -c <0 ② ①+②得b <0,故b 的范围是(-∞,0)解法二 如图f (0)=0有三根0,1,2,∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x -1)(x -2)=ax 3-3ax 2+2ax ,∴b =-3a ,∵当x>2时,f (x )>0,从而有a >0,∴b <0 学生巩固练习1 当a ≠0时,y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )2某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中y轴表示离学校的距离,x轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是()3已知函数f(x)=log2(x+1),将y=f(x)的图象向左平移1个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,则函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值为_________三、解答题4如图,在函数y=lg x的图象上有A、B、C三点,它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)(1)若△ABC面积为S,求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性5如图,函数y=23|x|在x∈[-1,1]的图象上有两点A、B,AB∥Ox轴,点M(1,m)(m∈R且m>23)是△ABC的BC边的中点(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值,并求出相应的C点坐标6已知函数f(x)是y=1102+x-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=-21-x的图象关于y轴对称,设F(x)=f(x)+g(x)(1)求函数F(x)的解析式及定义域;(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB 恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由7已知函数f1(x)=21x-,f2(x)=x+2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ,试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积;(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根,求实数a 的范围(3)若f 1(x )>f 2(x -b )的解集为[-1,21],求b 的值8 设函数f (x )=x +x1的图象为C 1,C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2,C 2对应的函数为g (x )(1)求g (x )的解析表达式;(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点,求b 的值,并求出交点坐标; (3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1)参考答案1 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a <0,b >1,∴0<b a<1,D 中a <0,0<b <1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合答案 A2 解析 由题意可知,当x =0时,y 最大,所以排除A 、C 又一开始跑步,所以直线随着x 的增大而急剧下降答案 D3 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >-2)F (x )=f (x )-g (x )=log 2(x +1)-2log 2(x +2)=log 21441log441log)2(122222+++=+++=++x x x x x x x x)1(21111log2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log211)1(21log 22=++⋅+x x =-2当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号∴F (x )max =F (0)=-2答案 -24 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C -S 梯形AA ′C ′C(2)S =f (m )为减函数5 解 (1)依题意,设B (t ,23 t ),A (-t ,23t )(t >0),C (x 0,y 0)∵M 是BC 的中点 ∴2x t +=1,2230y t + =m∴x 0=2-t ,y 0=2m -23t在△ABC 中,|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0-23t =2m -3t∴S =21|AB |·h AB =21·2t ·(2m -3t ),即f (t )=-3t 2+2mt ,t ∈(0,1)(2)∵S =-3t 2+2mt =-3(t -3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ,即23<m ≤3,当t =3m 时,S max =32m ,相应的C 点坐标是(2-3m ,23m ),若3m >1,即m >3 S =f (t ) 在区间(0,1]上是增函数,∴S max =f (1)=2m -3,相应的C 点坐标是(1,2m -3)6 解 (1)y =1102+x-1的反函数为f (x )=lg xx +-11(-1<x <1)由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lgxx +-11+21+x ,定义域为(-1,1)(2)用定义可证明函数u =xx +-11=-1+12+x 是(-1,1)上的减函数,且y =lg u 是增函数∴f (x )是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点A 、B7 解 (1)y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x 的图像如图所示y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成,其表面积为(2+2)π(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时,a 的取值范围为2-2<a ≤1(3)若f 1(x )>f 2(x -b )的解集为[-1,21],则可解得b8 (1)g (x )=x -(2)b =4时,交点为(5,4);b =0时,交点为(3,0)(3)不等式的解集为{x |4<x <29或x >6}课前后备注。

第10讲 函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第10讲 函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
解析:(1)作函数 y=2x 的图象关于 x 轴对称的图象得到 y=-2x 的图象,再将图象向上平移 2 个单位,可 得 y=2-2x 的图象.如图 1;
(2)因为 y=log1[3(x+2)]=-log3[3(x+2)]=-log3(x+2)-1.
3
所以可以先将函数 y=log3x 的图象向左平移 2 个单位,可得 y=log3(x+2)的图象,再作图象关于 x 轴对称的

f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知,
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
,故选项
D
正确;
故选: ABD .
5、.已知函数
f(x)=|log3x|,实数
m,n
满足
0<m<n,且
f(m)=f(n),若
3
m
ln x,x≥1, 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)= 1-x,x<1,则 f(f(0))=________,若 f(m)>1,则实数 m
的取值范围是________.
【答案】0 (-∞,0)∪(e,+∞)
ln x,x≥1, 【解析】f(f(0))=f(1)=ln 1=0.如图所示,可得 f(x)= 1-x,x<1的图象与直线 y=1 的交点分别为(0,1),
【答案】B
1-x2≥0, 【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1,得-1<x<0 或 0<x<1,

(整理)第10讲二次函数图象和性质

(整理)第10讲二次函数图象和性质

第10讲 二次函数(一)专题一:二次函数的图像与性质(一)知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a >02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式,其中 h = , k = .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移:将二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象进行平移,可得到y=ax 2+c ,y=a(x -h)2,y=a(x -h)2+k 的图象.⑴ 将y=ax 2的图象向上(c >0)或向下(c< 0)平移|c|个单位,即可得到y=ax 2+c 的图象.其顶点是(0,c )形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同. ⑵ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x -h)2的图象.其顶点是(h ,0),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑶ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x -h)2 +k 的图象,其顶点是(h ,k ),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.(二):经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2+bx 2+c 的图象如图所示,则a 0,b 0,c 0.(填“>”或“<”=.)例2、二次函数y=ax 2+bx +c 与一次函数y=ax +c 在同一坐标系中的图象大致是图中的( )例3、在同一坐标系中,函数y=ax 2+bx 与y=xb的图象大致是图中的( )例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x 2+0.9x +10表示,而且左右两条抛物线关于y 轴对称,你能写出右面钢缆的表达式吗?例5、图中各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax 2+(a +c )x +c 与一次函数y=ax +c 的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )例6、抛物线y=ax 2+bx +c 如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 .例7、已知二次函数y=(m -2)x 2+(m +3)x +m +2的图象过点(0,5)(1)求m 的值,并写出二次函数的表达式; (2)求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ,PQ=PR=5cm ,QR=8cm ,点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上.当CQ 两点重合时,等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动,t 秒后,正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3秒时,求S 的值; (2)当t=5秒时,求S 的值;三:拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2.将抛物线23y x =-向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是 .3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象,那么a 的值是 .4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是( ) A.-2 B.2 C.-1 D.15. 请写出一个开口向上,对称轴为直线x =2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x 的取值范围是( )A .-1≤x≤3B .-3≤x≤1C .x≥-3D .x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )的图象如图所示,则下列结论: ①a >0; ②c >0; ③ b 2-4a c >0,其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点(-1,8).(1)求此二次函数的解析式;(2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点,并画出函数的图象;(3)根据图象回答:当函数值y<0时,x的取值范围是什么?专题二:二次函数与一元二次方程(一):【知识梳理】1.二次函数与一元二次方程的关系:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时,则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根(二):【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2-6x+8,求:(1)抛物线与x轴J轴相交的交点坐标;(2)抛物线的顶点坐标;(3)画出此抛物线图象,利用图象回答下列问题:①方程x2-6x+8=0的解是什么?②x取什么值时,函数值大于0?③x取什么值时,函数值小于0?2.已知抛物线y=x2-2x-8,(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积.3.如图所示,直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ,∠BAC=90o, 过C 作CD ⊥x 轴,垂足为D (1)求点A 、B 的坐标和AD 的长(2)求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm ,BC=12cm ,点P 从点A 出发,沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动,同时点Q 从点B 出发,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,回答下列问题:(1) 设运动后开始第t (单位:s )时,五边形APQCD 的面积为S(单位:cm 2),写出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围 (2)t 为何值时S 最小?求出S 的最小值5. 如图,直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点P 是线段AB 的中点,抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O (原点)。

高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用

高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用

重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容,对于选择题和填空题部分,重点考查基本初等函数的单调性,利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等,难度较小,属于基础题;对于解答题部分,一般与导数结合,考查难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法:在判断()f x -与()f x 的关系时,只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y 轴)对称.4、性质法:两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数,而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围,然后将它代入相应段的函数表达式中,()f x 与()f x -对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+(00a a >≠且)为偶函数;2、()x x f x a a -=-(00a a >≠且)为奇函数;3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++(00a a >≠且)为奇函数;4、()log a b xf x b x-=+(00,0a a b >≠≠且)为奇函数;5、())log af x x =(00a a >≠且)为奇函数;6、()f x ax b ax b =++-为偶函数;7、()f x ax b ax b =+--为奇函数;四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论(a 是不为0的常数)(1)若()()+=f x a f x ,则=T a ;(2)若()()+=-f x a f x a ,则2=T a ;(3)若()()+=-f x a f x ,则2=T a ;(4)若()()1+=f x a f x ,则2=T a ;(5)若()()1+=-f x a f x ,则2=T a ;(6)若()()+=+f x a f x b ,则=-T a b (≠a b );2、函数对称性的常用结论(1)若()()+=-f a x f a x ,则函数图象关于=x a 对称;(2)若()()2=-f x f a x ,则函数图象关于=x a 对称;(3)若()()+=-f a x f b x ,则函数图象关于2+=a bx 对称;(4)若()()22-=-f a x b f x ,则函数图象关于(),a b 对称;3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系(1)若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ,则其函数图象关于直线=x a 对称,当0=a 时可以得出()()=-f x f x ,函数为偶函数,即偶函数为特殊的线对称函数;(2)若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ,则其函数图象关于点(),a b 对称,当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ,函数为奇函数,即奇函数为特殊的点对称函数;4、函数对称性与周期性的关系(1)若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称,那么函数的周期是2-b a ;(2)若函数()f x 关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称,那么函数的周期是2-b a ;(3)若函数()f x 关于直线=x a ,又关于点(),0b 对称,那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系(1)①函数()f x 是偶函数;②函数图象关于直线=x a 对称;③函数的周期为2a .(2)①函数()f x 是奇函数;②函数图象关于点(),0a 对称;③函数的周期为2a .(3)①函数()f x 是奇函数;②函数图象关于直线=x a 对称;③函数的周期为4a .(4)①函数()f x 是偶函数;②函数图象关于点(),0a 对称;③函数的周期为4a .其中0≠a ,上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

第十讲:三角函数概念与同角关系式课堂笔记(解析版本)

第十讲:三角函数概念与同角关系式课堂笔记(解析版本)
第十讲 三角函数概念与基本关系式
课堂笔记
【知识梳理】
一. 任意角的概念
角的定义:

学 角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所形成的的图形.
角的表示方法:
常用大写字母 A, B,C 等表示; (2)也可以用希腊字母 , , 等表示.
角的分类:

1.按旋转方向可将角分为如下三类:
) )
的值.
【解答】解:sin( ) sin , cos(2 a) cos ,
数 一
sin 2 cos ,得 tan 2 , 原式 sin 5cos ,
3cos sin 分子分母同时除以 cos , 则有原式 tan 5 2 5 3 .
C. 2 sin1
D. 2 sin 1
【解答】解:设圆的半径为 r ,则 sin1 1 , r 1
r
sin1
l | | r 2 1 2 sin1 sin1
这里有两个1,单位不同哇!
一个是长度,一个是角的
故选: C .
弧度数!Βιβλιοθήκη 哇哈哈!学了弧度别糊涂哈!
7.已知
是第一象限角,
蓝 令 k 1 可得, 300 与 60 终边相同,
这只是其中一个方法,你要 更简练,要飞的更高!
老故选: A .
啥?蒋鹰宇和蒋国羽哈!
2.已知 cos tan 0 ,那么角 是 ( )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解答】解:cos tan sin 0 , 角 是第三或第四象限角,
cos sin

考点10 一次函数(精讲)(解析版)

考点10 一次函数(精讲)(解析版)

考点10.一次函数(精讲)【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点,也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面,年年考查,总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点,也是反比例函数、二次函数学习的基础,而初中函数部分,更是和整个高中学习体系联系紧密,不管对于中考还是高中基础积累,一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时,需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1:一次函数的相关概念(☆☆)1)正比例函数的概念:一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫正比例函数,其中k 叫正比例系数。

2)一次函数的定义:一般地,形如y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地,当一次函数y =kx +b 中的b =0时,y =kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2:一次函数的图象与性质(☆☆☆)1)一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0,b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0,b <0一、三、四k >0,b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0,b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0,b <0二、三、四k <0,b =0二、四2)k,b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系在直线y=kx+b(k≠0)中,令y=0,则x=-bk,即直线y=kx+b与x轴交于(–bk,0)。

①当–bk>0时,即k,b异号时,直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0,即b=0时,直线经过原点.③当–bk<0,即k,b同号时,直线与x轴交于负半轴。

3)两直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系:①当k1=k2,b1≠b2,两直线平行;②当k1=k2,b1=b2,两直线重合;③当k1≠k2,b1=b2,两直线交于y轴上一点;④当k1·k2=–1时,两直线垂直。

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第10讲-函数的图象一、 考情分析1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.二、 知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y =f (x )的图象―——————————―→关于x 轴对称y =-f (x )的图象; y =f (x )的图象―——————————―→关于y 轴对称y =f (-x )的图象; y =f (x )的图象――————————————→关于原点对称y =-f (-x )的图象;y =a x (a >0,且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y =x 对称y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y =f (x )――———————————————————→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a (a >0)倍y =f (ax ).y =f (x )―————————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y =Af (x ).(4)翻折变换y =f (x )的图象――————————————→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y =|f (x )|的图象;y =f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉,右侧不变y =f (|x |)的图象.[微点提醒] 记住几个重要结论(1)函数y =f (x )与y =f (2a -x )的图象关于直线x =a 对称. (2)函数y =f (x )与y =2b -f (2a -x )的图象关于点(a ,b )中心对称.(3)若函数y =f (x )对定义域内任意自变量x 满足:f (a +x )=f (a -x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.三、 经典例题考点一 作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象:(1)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |; (2)y =|log 2(x +1)|; (3)y =x 2-2|x |-1.【解析】 (1)先作出y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象,保留y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分,再作出y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分,即得y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象,如图①实线部分.(2)将函数y =log 2x 的图象向左平移一个单位,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y =|log 2(x +1)|的图象,如图②.(3)∵y =⎩⎨⎧x 2-2x -1,x ≥0,x 2+2x -1,x <0,且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图③. 规律方法 作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.考点二函数图象的辨识【例2】(1)(一题多解)函数y=1+x+sin xx2的部分图象大致为()(2)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()【解析】(1)法一易知g(x)=x+sin xx2为奇函数,故y=1+x+sin xx2的图象关于点(0,1)对称,排除C;当x∈(0,1)时,y>0,排除A;当x=π时,y=1+π,排除B,选项D满足.法二当x=1时,f(1)=1+1+sin 1=2+sin 1>2,排除A,C;又当x→+∞时,y→+∞,排除B,而D满足.(2)f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,又f(2)=8-e2∈(0,1),排除选项A,B;当x≥0时,f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x,所以f′(0)=-1<0,f′(2)=8-e2>0,所以函数f(x)在(0,2)上有解,故函数f (x )在[0,2]上不单调,排除C ,故选D. 规律方法 1.抓住函数的性质,定性分析:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.2.抓住函数的特征,定量计算:从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 考点三 函数图象的应用【例3-1】 已知函数f (x )=x |x |-2x ,则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f (x )是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)【解析】 将函数f (x )=x |x |-2x 去掉绝对值得 f (x )=⎩⎨⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,画出函数f (x )的图象,如图,观察图象可知,函数f (x )的图象关于原点对称,故函数f (x )为奇函数,且在(-1,1)上是减少的.【例3-2】 已知函数y =f (x )的图象是如图所示的折线ACB ,且函数g (x )=log 2(x +1)”,则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )A.{x |-1<x ≤0}B.{x |-1≤x ≤1}C.{x |-1<x ≤1}D.{x |-1<x ≤2}【解析】 令g (x )=y =log 2(x +1), 作出函数g (x )图象如图,由⎩⎨⎧x +y =2,y =log 2(x +1),得⎩⎨⎧x =1,y =1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}.【例3-3】已知函数f (x )=⎩⎨⎧|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________. 【解析】 在同一坐标系中,作y =f (x )与y =b 的图象.当x >m 时,x 2-2mx +4m =(x -m )2+4m -m 2, ∴要使方程f (x )=b 有三个不同的根,则有4m -m 2<m , 即m 2-3m >0.又m >0,解得m >3.规律方法 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f (x )=g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标;不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合思想. [方法技巧] 1.识图对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象,还可以判断方程f (x )=g (x )的解的个数,求不等式的解集等.3.图象变换是针对自变量x 而言的,如从f (-2x )的图象到f (-2x +1)的图象是向右平移12个单位,先作如下变形f (-2x +1)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,可避免出错.4.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.5.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用.四、 课时作业1.(2020·浙江省高三二模)函数()y f x =的部分图象如图所示,则( )A .()()()1112121x f x x x =+++- B .()()()1112121x f x x x =-++-C .()()()1112121x f x x x =+-+-D .()()()1112121x f x x x =--++-【答案】A【解析】由函数图象的对称性可得,函数()y f x =为奇函数. 在选项C 中,()()()21111121211f x x x x x x =+-=-+--,()()111122+2323f f -=--≠-=-不是奇函数,所以排除.在选项D 中,()()()21111121211x x x x f x x=--+=-+--,()()11112+23223f f -=≠-=-不是奇函数,所以排除.在选项B中. ()()()()2211112121111x x x x xxx xf x=-+=-=+---()()()211x xf x f x-==---是奇函数,由()()211xfxx=-,当x>且0x→时,()0f x<,不满足条件,所以排除. 2.(2020·天津高一期末)已知函数()2,01ln,0x xf xxx-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()()g x f x x a=--.若()g x有2个零点,则实数a的取值范围是()A.[)1,0-B.[)0,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞【答案】D【解析】令()0g x=可得()f x x a=+,作出函数()y f x=与函数y x a=+的图象如下图所示:由上图可知,当1a≥时,函数()y f x=与函数y x a=+的图象有2个交点,此时,函数()y g x=有2个零点.因此,实数a的取值范围是[)1,+∞.3.(2020·江西省临川一中高一开学考试)已知函数()()21,1ln1,1x xf xx x-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x=根的个数为( ) A .3 B .5C .7D .9【答案】C【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. (1)当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =;(2)当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示:直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.4.(2020·福建省高三其他(理))设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ,则()g x 图象大致是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】因为()4cos f x x x =--,所以()3'sin 4f x x x =-,所以()3sin 4g x x x =-,所以函数()g x 是奇函数,其图象关于原点成中心对称,而函数()g x 为偶函数,其图象关于y 轴对称,所以选项B ,C 错误;又因为其图象过原点O ,所以选项A 错误.5.(2020·四川省泸县第一中学高三三模(文))函数()21x f x x-=的图象大致为()A .B .C .D .【答案】D【解析】由题意,函数()21x f x x -=,可得()()22()11x x f x f x x x----===-, 即()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 对称,排除B 、C ;当0x >时,()211x f x x x x-==-,则21'()1f x x =+>0,所以函数在0∞(,+)上递增,排除A , 6.(2020·陕西省高三二模(文))现有四个函数:①sin y x x =⋅;②cos y x x =⋅;③cos y x x =⋅;④2xy x =⋅的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A .①④②③B .①④③②C .④①②③D .③④②①【答案】A【解析】①sin y x x =⋅为偶函数,它的图象关于y 轴对称,故第一个图象即是; ②cos y x x =⋅为奇函数,它的图象关于原点对称,它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值为正数, 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数,故第三个图象满足; ③cos y x x =⋅为奇函数,当0x >时,()0f x ≥,故第四个图象满足;④2xy x =⋅,为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故第二个图象满足,7.(2020·湖南省长郡中学高二月考)函数()ln xf x x=的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】A【解析】由题意知,函数()f x 的定义域为}{0x x ≠,其定义域关于原点对称, 因为()()ln ln x xf x f x x x--==-=--,故()f x 为奇函数,故选项B 、C 排除;又()ln1101f ==,()ln 0ef e e=>,故选项D 排除; 8.(2020·天津高二期中)已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象(如图所示)与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0),若3-和3是函数()f x 的两个零点,则不等式()0f x >的解集( )A .(-∞,2)(2-⋃,)+∞B .(-∞,3)(3-,)+∞C .(-∞,3)(0-⋃,2)D .(3-,0)(3⋃,)+∞【答案】B【解析】由图,当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>,故()0f x '<,()f x 为减函数; 当()2,0x ∈-时()0xf x '<,故()0f x '>,()f x 为增函数; 当()0,2x ∈时()0xf x '<,故()0f x '<,()f x 为减函数; 由图,当()2,x ∈+∞时()0xf x '>,故()0f x '>,()f x 为增函数; 又3-和3是函数()f x 的两个零点,画出()f x 的简图如下:故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.9.(2020·金华市曙光学校高二开学考试)函数()ln f x x x =的图像大致是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】因为函数()ln f x x x =是奇函数,排除C ,D 又因为2x = 时()0f x >,排除B10.(2020·浙江省高三其他)函数333()x xf x x --=的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】B【解析】因为333()x xf x x--=,所以333333()()()x x x x f x f x x x -----===-. 所以函数()f x 是偶函数,排除A ,D .因为2233310(2)29f --==,4443338138010(4)(2)464649f f ----==>>=,所以排除C.11.(2020·河北省衡水中学高三期中(理))已知函数32()32f x x x mx m =-+--,若存在唯一的正整数0x ,使得0()0f x >,则m 的取值范围为( ) A .(0,1) B .1[,1)3C .2[,1)3D .2[,)3+∞【答案】C 【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+,则()()2'3632g x x x x x =-+=--,()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减,在()0,2上递增,且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=,在一个坐标系中画出两个函数图象如图:存在唯一的正整数0x ,使得()00f x >,即()()00g x h x >∴由图得02x =,则()()()()02211m g h g h ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩,即044133m m m>⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩,解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选C. 12.(2020·山西省高二期中(理))已知()'f x 是函数()f x 的导函数,对任意的实数x 都有()()2'xf x f x e +=-,且302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若函数()y f x a =-有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .252,e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .522,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C .522,e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .522,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设函数()()23xg x e f x x =+-,则()()()''2xxg x e f x e f x =++,因为()()2'x f x f x e +=-,所以()2'()20xxg x e e=⨯-+=, 又因为302g ⎛⎫=⎪⎝⎭,所以()0g x =,即()32x x f x e -=. ()25'xx f x e -=,()f x 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减,在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,()52min522f x f e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.且当52x >时,()0f x <,如图所示:所以当522,0a e -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()y f x =与y a =有两个交点,所以实数a 的取值范围是522,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.(2020·湖南省长郡中学高二月考)设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩,若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ,则122313x x x x x x ++=( )A .12B .11C .6D .3【答案】B【解析】作出函数1,2()21,2,1ax f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示,令()f x t =,由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个(1t =时有三个,1t ≠时有两个),所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =(若有两个根,则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根),由()1f x =,可得123,,x x x 的值分别为1,2,3, 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=14.(2020·金华市曙光学校高二开学考试)定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,且当[1,0]x ∈-时,2()f x x =,函数()g x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()lg g x x =,则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是( ) A .9 B .10C .11D .12【答案】C【解析】由于()()11f x f x -=+,所以,函数()y f x =的周期为2,且函数()y f x =为偶函数, 由()0h x =,得出()()f x g x =,问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数,作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示,由图象可知,()01f x ≤≤,当10x >时,()lg 1g x x =>, 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点,结合图像可知,函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点,故选C.15.(多选题)(2020·海南省高三其他)已知函数22log (1),13()1296,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的实根1x ,2x ,3x ,4x 满足1234x x x x <<<,则下列说法正确的是( ) A .121=x x B .12111x x += C .3412x x += D .34(27,29)x x ∈【答案】BCD【解析】作出函数()f x 的图象,方程()f x m =有四个不同的实根, 即函数()y f x =与y m =有四个不同的交点,如图所示:依题意2122|log (1)||log (1)|x x -=-,且12123x x <<<<, 所以2122log (1)log (1)x x -=--,即2122log (1)log (1)0x x -+-=, 所以212log [(1)(1)]0x x --=,即12(1)(1)1x x --=, 所以1212x x x x +=,所以12111x x +=,故选项A 错误,选项B 正确;又3x ,4x 是方程21296(01)22x x m m -+=<<的两根, 即3x ,4x 是方程2122920x x m -+-=的两根, 所以3412x x +=,34292x x m =-,因为方程()f x m =有四个不同的实根,所以由图可知(0,1)m ∈,所以34292(2729)x x m =-∈,,故选项C ,选项D 均正确. 16.(多选题)(2020·枣庄市第三中学高二月考)已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是( )A .()f x 为奇函数B .对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C .对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D .若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD【解析】对于A 选项,当0x >时,0x -<,则 ()22()()2()2() 11 f x x x x x f x -=--+-+-≠-+=- 所以函数()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于B 选项,221y x x =++的对称轴为1x =-,221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增,函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增,并且2202010201+⨯+=-+⨯+所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈,都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x -<-<⇒--<⎡⎤⎣⎦,故B 错误; 对于C 选项,当0x >时,0x -<,则 22()()2(2 )11f x x x x x -=--+--+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+=当0x =时,(0)(0)1f f -==,则(0)(0)2f f -+=当0x <时,0x ->,则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=,故C 正确;对于D 选项,当0x =时,()010y f ==≠,则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时,()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=,函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时,)1x ⎡∈+∞⎣,()0f x <时,(,1x ∈-∞所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++≤<⎨⎪⎪--<⎩=⎪当0x >时,设1201x x ,()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<,所以()()120g x g x ->,即()()12g x g x > 设121x x <<,()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<,即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,)+∞上单调递增同理可证,函数()g x在区间)1⎡-⎣上单调递减,在区间(,1-∞上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知,要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞,故D 正确;17.(多选题)(2020·南京市大厂高级中学高一开学考试)下列命题中正确的为( )A .在同一坐标系中,2log y x =与12log y x =的图象关于x 轴对称 B .函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值是12C .函数12x y x +=+的图象关于点()2,1-对称 D .函数()22xf x x =-只有两个零点 【答案】ABC【解析】A. 122log log x x y =-=,所以在同一坐标系中,2log y x =与的图象关于x 轴对称,故正确.B. 令211x t =-+≤,则1212ty ⎛⎫⎪⎭≥=⎝,所以2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值是12,故正确. C. 因为12111222x x y x x x ++-===-+++,所以图象关于点()2,1-对称,故正确. D. 令()220xf x x =-=的根,即为22,x y y x ==两图象交点的横坐标,如图所示:有三个交点,故错误.18.(多选题)(2020·山东省章丘四中高二月考)已知函数()3xf x e x =⋅,则以下结论正确的是( )A .()f x 在R 上单调递增B .()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭C .方程()1f x =-有实数解D .存在实数k ,使得方程()f x kx =有4个实数解【答案】BCD【解析】()3xf x e x =⋅,则()()322'33xxxf x e x e x x ex =⋅⋅=++,故函数在(),3-∞-上单调递减,在()3,-+∞上单调递增,A 错误;125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><,根据单调性知()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭,B 正确;()00f =,()32731f e-=-<-,故方程()1f x =-有实数解,C 正确; ()f x kx =,易知当0x =时成立,当0x ≠时,()2x f x k e x x==,设()2x g x e x =, 则()()'2xg x e x x =+,故函数在()0,∞+上单调递增,在()2,0-上单调递减,在(),2-∞-上单调递增,且()242g e -=. 画出函数图象,如图所示:当240k e<<时有3个交点.综上所述:存在实数k ,使得方程()f x kx =有4个实数解,D 正确;19.(2020·广西壮族自治区高三月考(文))已知()|1|1f x x =-+,()(),3123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩. (1)解不等式()23f x x ≤+;(2)若方程()F x a =有三个解,求实数a 的取值范围.【解析】(1)不等式()23f x x ≤+,即为1123x x -+≤+.当1x ≥时,即化为1123x x -+≤+,得3x ≥-,此时不等式的解集为1x ≥,当1x <时,即化为()1123x x --+≤+,解得13x ≥-, 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上,不等式()23f x x ≤+的解集为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,. (2)()1131233x x F x x x ,,,⎧-+≤=⎨->⎩即()21131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩,,,,. 作出函数()F x 的图象如图所示,当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时,方程()F x a =有三个解,所以13a <<.所以实数a 的取值范围是()13,.。

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