第10讲-函数的图象(解析版)

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高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练10---函数的图象(附解析答案)

高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练专题10：函数的图象1. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ，其中 a <1，若存在唯一的整数 x 0 使得 f (x 0)<0，则 a 的取值范围是 ( )A. [−32e ,1)B. [−32e ,34)C. [32e ,34)D. [32e ,1)2. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x )，当 −1≤x <1 时，f (x )=x 3，若函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣（a >0，且 a ≠1）至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )A. (0,15]∪(5,+∞)B. (0,15)∪(5,+∞)C. (17,15]∪(5,7]D. (17,15)∪[5,7)3. 如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记 ∠BOP =x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 y =f (x ) 的图象大致为 ( )A. B. C. D.4. 将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为( )A. πB. π2C. π3D. π45. 如图，正三角形ABC的中心位于点G(0,1)，A(0,2)，动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x(0≤x≤2π)，向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在a= (1,0)方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f(x)的图象是( )A. B.C. D.6. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是( )A. B.C. D.7. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (0,1e )B. (ln33,e)C. (0,ln33]D. [ln33,1e )8. 已知函数 f (x )=x −4+9x+1,x ∈(0,4)．当 x =a 时，f (x ) 取得最小值 b ，则函数 g (x )=(1a )∣x+b∣ 的图象为 ( )A. B.C. D.9. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：①对任意 x ，都有 f (x +3)=f (x ) 成立；②当 x ∈[0,32] 时，f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣，则方程 f (x )=1∣x∣在区间 [−4,4] 上根的个数是 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 710. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．若 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. [−16,16]B. [−√66,√66]C. [−13,13]D. [−√33,√33]11. 如图可能是下列哪个函数的图象 ( )A. y=2x−x2−1B. y=2x sinx4x+1C. y=(x2−2x)e xD. y=xlnx12. 如图，圆C:(x−1)2+(y−1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形（阴影部分）的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为( )．A. B.C. D.13. 已知函数 f (x )=x −[x ]，其中 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数．若关于 x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ( )A. (−1,−12]∪[14,13)B. [−1,−12)∪(14,13]C. [−13,−14)∪(12,1]D. (−13,−14]∪[12,1)14. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2,sin (π4x),2≤x ≤10, 若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则(x 3−2)⋅(x 4−2)x 1⋅x 2 的取值范围是( )A. (4,16)B. (0,12)C. (9,21)D. (15,25)15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f (x )={1,x ∈Q,0,x ∈∁R Q.被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f (x ) 有如下四个命题：①f(f (x ))=1；②函数 f (x ) 是偶函数；③任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立；④存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等边三角形．其中真命题的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知函数 f (x )=∣log 2∣x −1∣∣，且关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+2b =0 有 6 个不同的实数根，若最小的实数根为 −3，则 a +b 的值为 ( )A. −2B. 4C. 6D. 817. 定义在 R 上的函数 f (x )=xsin2xx 2+a 的图象如图所示，则实数 a 的可能值为 ( )A. 16B. 14C. 12D. 118. 下列四个函数①f (x )=x +1，②f (x )=2x 3，③f (x )=xsinx ，④f (x )=x cosx 的图象能等分圆 O:x 2+y 2=1 的面积的是 ( )A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①②③④19. 某市2015年前n个月空气质量优良的总天数S n与n之间的关系如图所示．若前m月的月平均空气质量优良天数最大，则m值为( )A. 7B. 9C. 10D. 1220. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t=0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.21. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N∗)，则该函数的图象是( )A. B.C. D.22. 已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1623. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.24. 给出幂函数（1） f (x )=x ，（2） f (x )=x 2，（3） f (x )=x 3，（4） f (x )=√x ，（5） f (x )=1x ，其中满足条件 f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2(x 1>x 2>0) 的函数的个数是 ( ) 个．A. 1B. 2C. 3D. 425. 已知函数 f (x )={x 2+5x,x ≥0,−e x +1,x <0.若 f (x )≥kx ，则 k 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,5]C. (0,5]D. [0,5]26. 若函数 y =a x +b 的图象如图所示，则函数 y =1x+a +b +1 的图象为 ( )A. B.C. D.27. 设函数 f (x )=∣2x −1∣，c <b <a ，且 f (c )>f (a )>f (b )，则 2a +2c 与 2 的大小关系式 ( )A. 2a +2c >2B. 2a +2c ≥2C. 2a +2c ≤2D. 2a +2c <228. 函数 f (x )=e x +e −xe x −e −x (x ≠0) 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.29. 若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对"友好点对"（点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对"友好点对"）．已知函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)，则此函数的"友好点对"有( )A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对30. 若函数f(x)=a2x−4，g(x)=log a∣x∣(a>0且a≠1)，且f(2)⋅g(−2)<0，则函数f(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )A. B.C. D.31. 定义域为R的函数f(x)={1∣x−1∣,x≠11,x=1，若关于x的函数ℎ(x)=f2(x)+bf(x)+12有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5，则x12+x22+x32+x42+x52等于( )A. 2b 2+2b2B. 16C. 5D. 1532. 关于x的方程(x2−1)2−∣x2−1∣+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．其中假命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 333. 已知a>0且a≠1，函数f(x)={(a−1)x+3a−4(x≤0),a x(x>0)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0成立，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,+∞)C. (1,53]D. [53,2)34. 已知函 f (x )={∣lgx ∣,0<x ≤10−12x +6,x >10，若 a ，b ，c 互不相等，且 f (a )=f (b )=f (c )，则 abc 的取值范围是 ( )A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)35. 已知函数 f (x )=x 2+2x +a (a >0)，f (m )<0，则 ( )A. f (m +x +1x )<0B. f (m +x +1x )≤0C. f (m +x +1x )>0D. f (m +x +1x ) 符号不确定36. 已知函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0,)x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),其中 a ∈R ，若对任意的非零实数 x 1，存在唯一的非零实数 x 2(x 2≠x 1)，使得 f (x 2)=f (x 1) 成立，则 k 的最小值为 ( )A. −115B. 5C. 6D. 837. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的"自公切线"．下列方程：①x2−y2=1，②y=x2−∣x∣，③y=3sinx+4cosx，④∣x∣+1=√4−y2，对应的曲线中存在"自公切线"的有( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④38. 已知函数f(x)的定义域为R．若∃常数c>0，对∀x∈R，有f(x+c)>f(x−c)，则称函数f(x)具有性质P．给定下列三个函数：①f(x)=∣x∣；②f(x)=sinx；③f(x)=x3−x．其中，具有性质P的函数的序号是( )A. ①B. ③C. ①②D. ②③39. f(x)=(x−a)(x−b)−2（其中a<b），且α，β是方程f(x)=0的两根，α<β，则实数a，b，α，β的大小关系为( )A. α<a<b<βB. α<a<β<bC. a<α<b<βD. a<α<β<b40. 已知函数f(x)=ln(x+1)，x∈(0,+∞)，下列结论错误的是( )A. ∀x1,x2∈(0,+∞)，(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]≥0B. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，f (x 1)−f (x 2)<x 2−x 1C. ∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈(0,+∞)，x 2f (x 1)>x 1f (x 2)D. ∃x 1,x 2∈(0,+∞)，f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)41. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7 个不同实数解的充要条件是 ( )A. b <0 且 c >0B. b >0 且 c <0C. b <0 且 c =0D. b ≥0 且 c =042. 已知函数 f (x )=x 1+∣x∣(x ∈R ) 时，则下列结论不正确的是 ( )A. ∀x ∈R ，等式 f (−x )+f (x )=0 恒成立B. ∃m ∈(0,1) ，使得方程 ∣f (x )∣=m 有两个不等实数根C. ∀x 1,x 2∈R ，若 x 1≠x 2 ，则一定有 f (x 1)≠f (x 2)D. ∃k ∈(1,+∞) ，使得函数 g (x )=f (x )−kx 在 R 上有三个零点43. 定义：区间 [x 1,x 2](x 1<x 2) 的长度等于 x 2−x 1．函数 y =∣log a x ∣(a >1) 的定义域为 [m,n ](m <n )，值域为 [0,1]．若区间 [m,n ] 的长度的最小值为 34，则实数 a 的值为 ( )A. 54B. 2C. 154D. 444. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x) 的图象恰好通过 k(k ∈N ∗) 个格点，则称函数 f(x) 为 k 阶格点函数．下列函数：①f(x)=sinx ；②f(x)=π(x −1)2+3 ；③f(x)=(13)x ；④f(x)=log 0.6x ．其中是一阶格点函数的有 ( )A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①②③④45. 已知函数 f (x )=4∣x∣+2−1 的定义域为 [a,b ]，其中 a 、b ∈Z ，且 a <b ．若函数 f (x )的值域为 [0,1]，则满足条件的整数对 (a,b ) 共有 ( )A. 2 个B. 5 个C. 6 个D. 8 个46. 已知函数 f (x )={−x x+1,−1<x ≤0,x,0<x ≤1与函数 g (x )=a (x +1) 在 (−1,1] 上有 2 个交点，若方程 x −1x =5a 的解为正整数，则满足条件的实数 a 有 ( )A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个47. 已知函数 f (x )={2x+2+a,x ≤0,f (x −1)+1,x >0,若对任意的 a ∈(−3,+∞)，关于 x 的方程 f (x )=kx 都有 3 个不同的根，则 k 等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 448. 已知函数 y =f (−∣x∣) 的图象如图所示，则函数 y =f (x ) 的图象不可能是 ( )A. B.C. D.49. 设函数的集合 P ={f (x )=log 2(x +a )+b∣∣a =−12,0,12,1;b =−1,0,1}，平面上点的集合 Q ={(x,y )∣x =−12,0,12,1;y =−1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f (x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 ( )A. 4B. 6C. 8D. 1050. 已知函数 f (x )=∣x 2+3x ∣，x ∈R ．若方程 f (x )−a∣x −1∣=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为．51. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是．52. 已知函数 f (x )={(12)x +34,x ≥2,log 2x,0<x <2. 若函数 g (x )=f (x )−k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是．53. 对于函数 f (x )={sinπx,x ∈[0,2],12f (x −2),x ∈(2,+∞), 有下列 5 个结论： ①任取 x 1,x 2∈(0,+∞)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2；②函数 y =f (x ) 在区间 (4,5) 上单调递增；③f (x )=2kf (x +2k )(k ∈N +)，对一切 x ∈(0,+∞) 恒成立；④函数 y =f (x )−ln (x −1) 有 3 个零点；⑤若关于 x 的方程 f (x )=m (m <0) 有且只有两个不同实根 x 1,x 2，则 x 1+x 2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）54. 关于函数 f (x )=b ∣x∣−a (a >0,b >0) 有下列命题：①函数 f (x ) 的值域为 (−∞,0)∪(0,+∞)；②直线 x =k 与函数 f (x ) 的图象有唯一交点；③函数 y =f (x )+1 有两个零点；④函数定义域为 D ，则任意的 x ∈D ，f (x )=f (−x )．其中所有叙述正确的命题序号是．55. 如果是函数y=sinπxx2−bx+c 的图象的一部分，若图象的最高点的坐标为(12,43)，则b+c=．56. 设a∈R，若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−ax−1)≥0，则a=．57. 对于函数y=f(x)(x∈R)，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于直线x=0对称；（2）若f(1−x)=f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）若f(1+x)=f(x−1)，则函数y=f(x)是周期函数；（4）若f(1−x)=−f(x−1)，则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称．其中所有正确命题的序号是 .58. 已知函数 f (x )={|log 3x|,0<x <313x 2−103x +8,x ≥3，若存在实数 a ，b ，c ，d ，满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，其中 d >c >b >a >0，则 abcd 的取值范围是．59. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y =√3+2x −x 2−√3(x ∈[0,2]) 的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角 θ，若 ∀θ∈[0,α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则 α 的最大值为．60. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,sin π3x,3≤x ≤9,若存在实数 a ，b ，c ，d 满足 a <b <c <d ，且 f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，则 (c−3)(d−3)ab 的取值范围是．61. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣−1,x ≤1x 2−3x+3x−1,x >1，下列关于函数 g (x )=[f (x )]2+af (x )−1（其中 a 为常数）的叙述中：①对 ∀a ∈R ，函数 g (x ) 至少有一个零点；②当a=0时，函数g(x)有两个不同零点；③∃a∈R，使得函数g(x)有三个不同零点；④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a＜0．其中真命题有．（把你认为真命题的序号都填上）62. 已知函数y=x(x−1)(x+1)的图象如图所示．令f(x)=x(x−1)(x+1)+0.01，则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是（填写序号）．①有三个实根；②当x>1时，恰有一个实根；③当0<x<1时，恰有一个实根；④当−1<x<0时，恰有一个实根；⑤当x<−1时，恰有一个实根（有且只有一个实根）．63. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系t={64,x≤0,2kx+6,x>0.且该食品在4∘C的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：①.该食品在6∘C的保鲜时间是8小时；②.当x∈[−6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④.到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．64. [x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x−[x]．则下列结论中正确的有．①函数f(x)的值域为[0,1]；②方程 f (x )=12 有无数个解；③函数 f (x ) 的图象是一条直线；④函数 f (x ) 是 [k,k +1](k ∈Z ) 上的增函数．65. 已知函数 f (x )=∣∣log a ∣x −1∣∣∣（a >0，a ≠1），若 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 1x 1+1x 2+1x 3+1x 4= ．66. 将函数 y =∣∣12x −1∣∣+∣∣12x −2∣∣+1 的图象绕原点顺时针方向旋转角 θ(0≤θ≤π2) 得到曲线 C ．若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 θ 的取值范围是．67. 设函数 f (x )={x 2−4x +1(x ≥0),3x +2(x <0), 若互不相等的实数 x 1，x 2，x 3 满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是．68. 已知函数f(x)=∣lg(x−1)∣．若a≠b，f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是．69. 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[−2,2]的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根；③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）70. 对于实数 a 和 b ，定义运算" ∗ "：a ∗b ={a 2−ab,a ≤b,b 2−ab,a >b.设 f (x )=(2x −1)∗(x −1)，且关于 x 的方程 f (x )=m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1，x 2，x 3，则 x 1x 2x 3 的取值范围是．71. 设函数 f 0(x )=(12)∣x∣，f 1(x )=∣∣f 0(x )−12∣∣，f n (x )=∣∣∣f n−1(x )−(12)n ∣∣∣，n ≥1，n ∈N ，则方程 f n (x )=(1n+2)n有个实数根．72. 已知 f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=2x −2．若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0 或g (x )<0；②∃x ∈(−∞,−4),f (x )g (x )<0，则 m 的取值范围是．73. 已知 f (x ) 是定义在 [1,+∞) 上的函数，且 f (x )={1−∣2x −3∣,1≤x <212f (12x),x ≥2，则函数 y =2xf (x )−3 在区间 (1,2015) 上的零点的个数为．74. 如图所示，函数 y =f (x ) 的图象由两条射线和三条线段组成．若 ∀x ∈R ，f (x )>f (x −1)，则正实数 a 的取值范围为．75. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为．76. 已知定义在 [−1,1] 上的函数 f (x )=−2∣x∣+1，设 f 1(x )=f (x )，f n+1(x )=f [f n (x )]，n ∈N +，若关于 x 的方程 f 3(x )−mx +m =0 有 5 个实数解，则实数 m 的取值范围是．77. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ⊆D )，有 x +l ∈D ，且 f (x +l )≥f (x )，则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数．（1）如果定义域为 [−1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [−1,+∞) 上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围是．（2）如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=∣x −a 2∣−a 2，且f (x ) 为 R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是．参考答案，仅供参考1. D 【解析】法一：考虑函数 g (x )=e x (2x −1)，以及函数 ℎ(x )=a (x −1)，则题意要求存在唯一的整数 x 0 使得 g (x 0)<ℎ(x 0)．注意到 gʹ(x )=e x (2x +1)，尤其注意到 y =x −1 为 y =g (x ) 在 (0,−1) 处的切线，如图．于是可以确定符合题意的唯一整数 x 0=0，则 {f (0)<0f (1)≥0f (−1)≥0，解得 32e ≤a <1．法二：首先 f (0)=−1+a <0，所以唯一的整数为 0．而 f (−1)=−3e+2a ≥0，解得 a ≥32e ．又 a <1，对 f (x ) 求导得 fʹ(x )=e x (2x +1)−a ，当 x <−12 时，fʹ(x )<0；当 x >0 时，fʹ(x )>0．从而 f (x ) 在 (−∞,−12) 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增．而当 a ≥32e 时，有 f (−1)≥0，f (0)<0，f (1)>0，故在 (−∞,−1]∪[1,+∞) 上 f (x )≥0，f (0)<0，满足题意．所以满足条件的 a 的取值范围为 [32e ,1)．2. A 【解析】由题意得，函数 g (x )=f (x )−log a ∣x∣ 的零点个数即为 y =f (x ) 与 y =log a ∣x∣ 的图象的交点个数．因为 f (x +2)=f (x )，所以函数 f (x ) 是周期为 2 的周期函数，又因为 f (x )=x 3(−1≤x <1)，所以函数 f (x ) 的图象如图所示．在同一坐标系中作出函数 y =log a ∣x∣={log a x,x >0log a (−x ),x <0 的图象（a >1 时，如图（1）；0<a <1 时，如图（2））．由图象得，要使y=f(x)与y=log a∣x∣的图象至少有6个交点，则当a>1时log a5<1；当0<a<1时，log a5≥−1，解得a>5或0<a≤15．3. B【解析】当点P在BC上时，x∈[0,π4]，y=PA+PB=√4+tan2x+tanx，y随x增大而增大，且y与x不为线性关系．由对称性可知，当P在DA上时，y单调递减，且y与x不为线性关系，当x=π4时，y=√5+1；当P在CD上运动时，x∈(π4,3π4]，当x=π2时，PA+PB=2√2<√5+1，结合选项，故选B．4. D5. C【解析】设BC与y轴交于点M，则AGGM =21，又G(0,1)，A(0,2)，所以M(0,12)，正三角形边长为√3．当点P运动到点B时，∠AGP=2π3，此时射影y取到最小值−√32，所以排除A，B．当点P从点B向点M运动时，2π3≤x≤π，∠PGM=π−x，所以−y12=tan(π−x)，得y=12tanx，结合图象应该选C．6. D7. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y= ax在区间(0,3]上有三个交点．画图如下．当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，由图知，当x∈(0,1]时，存在一个交点，当x＞1时，f(x)=lnx，可得g(x)=lnx−ax(x∈(1,3])，gʹ(x)=1x −a=1−axx，若gʹ(x)＜0，可得x＞1a ，g(x)为减函数，若gʹ(x)＞0，可得x＜1a，g(x)为增函数，此时y=f(x)与y=ax必须在[1,3]上有两个交点，即y=g(x)在[1,3]上有两个零点，所以{g(1a)＞0,g(3)≤0,g(1)≤0,解得ln33≤a＜1e，故函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点时，ln33≤a＜1e．8. B 【解析】f (x )=x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)×9(x+1)−5=1，当且仅当 (x +1)2=9，即 x =2（x =−4 舍去）时等号成立，故 a =2,b =1，所以函数 g (x )=(12)∣x+1∣，其图象是把函数 y =(12)∣x∣的图象向左平移一个单位得到．9. B 【解析】因为 f (x +3)=f (x )，所以 f (x ) 周期为 3，当 x ∈[0,32] 时，f (x )={2x,0<x ≤34,3−2x,34<x ≤32.画出 y =f (x ) 和 y =1∣x∣的图象如下．由图象知方程 f (x )=1∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个． 10. B【解析】函数 f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．在 x ≥0 时的解析式等价于 f (x )={−x,0≤x ≤a 2,−a 2,a 2<x <2a 2,x −3a 2,x ≥2a 2. 因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x ) 在 R 上的大致图象如下，由∀x∈R，f(x−1)≤f(x)，可得2a2−(−4a2)≤1，解得a∈[−√66,√66]．11. C【解析】A 中，因为y=2x−x2−1，当x趋向于−∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，所以函数y=2x−x2−1的值小于0，所以 A 中的函数不满足条件；B 中，因为y=sinx是周期函数，所以函数y=2x sinx4x+1的图象是以x轴为中心的波浪线，所以 B 中的函数不满足条件；C 中，因为函数y=x2−2x=(x−1)2−1，当x<0或x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；且y=e x>0恒成立，所以y=(x2−2x)e x的图象在x趋向于−∞时，y>0，0<x<1时，y<0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；所以 C 中的函数满足条件；D 中，y=xlnx 的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，且在x∈(0,1)时，lnx<0，所以y=xlnx<0，所以 D 中函数不满足条件．12. C【解析】由图1知当t≤−√2时，S=0．由图2知当t≥√2时，S=π．，且阴影部分的面积以t=0为分界点，离t=0越近增长得越快，对照当t=0时，S=π2图象知 C 符合题意．13. A【解析】如下图所示：y=kx+k表示恒过点A(−1,0)斜率为k的直线．若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根，则函数f(x)=x−[x]与函数g(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点．由图可得：当直线y=kx+k过(2,1)点时，k=13；当直线y=kx+k过(3,1)点时，k=14；当直线y=kx+k过(−2,1)点时，k=−1；当直线y=kx+k过(−3,1)点时，k=−12．则实数k的取值范围是14≤k<13或−1<k≤−12．14. B【解析】画出f（x）的图象如图所示，由图中可以看出：x1<1<x2<2<x3<4<8<x4<10，因为f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4)，所以−log2x1=log2x2，x3+x4=12，从而有x1⋅x2=1，又(x3−2)⋅(x4−2)= (x3−2)⋅(12−x3−2)=−(x3−6)2+16，所以(x3−2)⋅(x4−2)x1⋅x2的取值范围是(0,12) .15. D【解析】由狄利克雷函数的定义：若x∈Q，则f(f(x))=f(1)=1，若x∈∁R Q，则f(f(x))=f(0)=1；若x∈Q，则−x∈Q，则f(−x)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则−x∈∁R Q，则f(−x)=f(x)=0；所以函数f(x)是偶函数；若x∈Q，因为T是非零的有理数，所以x+T∈Q，所以有f(x+T)=f(x)=1；若x∈∁R Q，则x+T∈∁R Q，所以f(x+T)=f(x)，所以对任意的x∈R，有f(x+T)=f(x)恒成立；取A(−√33,0)，B(√33,0)，C(0,1)，则△ABC为等边三角形，所以存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等边三角形．16. A【解析】画出函数f(x)=∣log2∣x−1∣∣的图象，如图所示．设f(x)=t，则t2+at+2b=0．若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+2b=0有6个不同的实数根，则关于t的方程t2+at+2b=0一定有一根为0，另一根为正，从而b=0，a<0，且两根分别为t1=0、t2=−a．（i）方程f(x)=−a(a<0)有4个实根，由最小的根为−3，得f(−3)=−a，解得a=−2；（ii）方程f(x)=0有x=0和x=2两个实根．综上，a+b=−2．17. A18. B19. C20. B【解析】解法一如图，设∠MON=α，由弧长公式知x=α，在Rt△AOM中，∣AO∣=1−t，cos x2=∣OA∣∣OM∣=1−t，所以y=cosx=2cos2x2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B．解法二由题意可知，当t=1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1=π，所以cosπ=−1，排除 A，D；当t=12时如图所示，易知∠BOC=2π3，所以cos2π3=−12<0，排除 C．21. A【解析】由已知得f(a n)>a n，即y=f(x)的图象在y=x的图象的上方．22. B【解析】由f(x)=g(x)，得(x−a)2=4．所以，当x=a−2和x=a+2时，两函数值相等，又f(x)的图象为开口向上的抛物线，g(x)的图象为开口向下的抛物线，则H1(x)={f(x),x≤a−2,g(x),a−2<x<a+2,f(x),x≥a+2, H2(x)={g(x),x≤a−2,f(x),a−2<x<a+2,g(x),x≥a+2.所以A=H1(x)min=f(a+2)=−4a−4，B=H2(x)max=g(a−2)=−4a+12，所以A−B=−16．23. B【解析】通过圆心角α将弧长x与时间t联系起来，圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α=x，如图所示，cosα2=1−t，即cos x2=1−t,则y=cosx=2cos2x2−1=2(1−t)2−1=2(t−1)2−1(0≤t≤1).其图象为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．24. A【解析】①不满足，函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2；②不满足，在第一象限，函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；③不满足，在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；④满足，函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，故当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2；⑤不满足，当x1＞x2＞0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2．25. D【解析】f(x)的图象如下图所示：令g(x)=kx，则使得f(x)的图象在g(x)图象的上方即可．g(x)的两个临界状态分别是k=0和与y=x2+5x(x≥0)相切的时候．当g(x)与y=x2+5x(x≥0)相切时，k=yʹx=0=5．所以0≤k≤5．26. C【解析】由图可知0<a<1,−2<b<−1．又函数y=1x+a+b+1的图象是由y=1x向左平移a个单位，向下平移∣b+1∣单位而得到的．结合四个选项可知C正确．27. D28. A【解析】提示：因为函数f(x)是奇函数，又f(x)=1+2e2x−1在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减．29. C【解析】函数f(x)={log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)的图象（实线部分）及函数f(x)=−x2−4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象（虚线部分）如图所示：则 A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数 f (x )=−x 2−4x (x ≤0) 的图象上，故函数 f (x ) 的"友好点对"有 2 对． 30. B【解析】f (2)⋅g (−2)=a 0log a 2<0，得 0<a <1，所以 f (x )=a 2x−4 在 R 上为减函数，g (x )=log a ∣x ∣ 在 (0,+∞) 上为减函数，在 (−∞,0) 上为增函数．31. D 【解析】令 ℎ(x )=0，即 f 2(x )+bf (x )+12=0，由其有 5 个不同零点，结合函数 f (x ) 图象，可知，f (x )=1 应满足上述方程，再结合，两根之积为 12，则 f (x )=12 也满足方程；因此，解上述 f (x )=1 和 f (x )=12，可得方程的 5 个不同的零点为 x 1=0 、 x 2=1 、 x 3=2 、 x 4=−1 、 x 5=3．32. A【解析】根据题意可令∣x2−1∣=t(t≥0)，则原方程化为t2−t+k=0，设方程t2−t+k=0的两根为t1，t2（不妨设t1≤t2），则Δ=1−4k≥0，得k≤14．则{t1+t2=1,t1⋅t2=k,结合t=∣x2−1∣的图象可知：①当k<0时，t1<0<1<t2，所以原方程有2个不同的实根．②当k=0时，t1=0，t2=1，所以原方程有5个不同的实根．③当k=14时，t1=t2=12，所以原方程有4个不同的实根．④当0<k<14时，0<t1<t2<1，所以原方程有8个不同的实根．33. C【解析】由题意知f(x)在R上为增函数，画出函数图象的草图如图所示：所以 {a −1>0,a >1,3a −4≤1, 解得 1<a ≤53．34. C 【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图，不妨设 a <b <c ，则 −lga =lgb =−12c +6∈(0,1) ab =1，0<−12c +6<1 则 abc =c ∈(10,12)．35. C【解析】设 f (x ) 的两个根分别为 x 1，x 2，且 x 1<x 2，则 (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4−4a ，因为 a >0，所以 x 2−x 1<2．由 f (m )<0 可知 x 1<m <x 2，利用均值不等式可知 m +x +1x ≥m +2 或 m +x +1x ≤m −2，结合二次函数图象知 m +x +1x >x 2 或 m +x +1x <x 1，所以 f (m +x +1x )>0． 36. D 【解析】因为函数 f (x )={kx +k (1−a 2),(x ≥0),x 2+(a 2−4a )x +(3−a )2,(x <0),，其中 a ∈R ，所以x=0时，f(x)=k(1−a2)．又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)=f(x1)成立，所以函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，易知k≤0时，结合图象可知，不符合题意．所以k＞0，且(3−a)2=k(1−a2)，即(k+1)a2−6a+9−k=0有实数解，所以△=62−4(k+1)(9−k)≥0，解得k＜0或k≥8．又因为k＞0，所以k的取值范围为[8,+∞)．37. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"；②如图所示，曲线在点(−12,−14)和点(12,−14)处的切线重合；③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"；④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．38. B【解析】对于①：因为f(x)=∣x∣是偶函数，所以当x=0时，对于∀c∈R，都有f(x+c)=f(x−c)成立，所以该函数不具有性质P；对于②：对于∀常数c>0，当x+c=−π2时，有f(x+c)≤f(x−c)成立，故该函数也不具有性质P；对于③：因为 f (x )=x 3−x 在 (−∞,−√33)，(√33,+∞) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，所以 ∃ 常数 c >√33>0，对 ∀x ∈R ，有 f (x +c )>f (x −c ) 成立，所以该函数具有性质 P ．39. A 【解析】f (x )=(x −a )(x −b )−2 的图象是由 f (x )=(x −a )(x −b ) 的图象向下平移 2 个单位得到的，如图：由图可得 α<a <b <β． 40. D【解析】函数图象可由 y =lnx 向左平移一个单位得到：当 x ∈(0,+∞) 时，函数 f (x )=ln (x +1) 为上凸的增函数，∣EF ∣=f (x 1)+f (x 2)2，∣EG ∣=f (x 1+x 22)，∣EF ∣<∣EG ∣．41. C【解析】函数f(x)的图象如图所示，再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，所以，关于f(x)的方程有两个不同解，且[f(x)]1=0，[f(x)]2>0，因此，c=0且b<0．42. D【解析】因为f(−x)=−x1+∣x∣=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；方程∣f(x)∣=m根的个数，就是函数y=∣f(x)∣与函数y=m的图象交点的个数，由图2可得B对；当x≥0时fʹ(x)=1(1+x)2>0，则f(x)在(0,+∞)为增函数，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(−∞,0)上也为增函数，可得C对；对于D中，当x>0时，f(x)−kx=0，解得x=0或x=1k −1，由x=1k−1>0，得0<k<1，故D错．43. D【解析】作出函数y=∣log a x∣(a>1)的图象（如图），。

第10讲一次函数

解析:∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.∵点P在一次函数y=-x+4的图象上,∴点P一定不在第三象限.故选C.
2.(2019 临沂)下列关于一次函数 y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是( D ) (A)图象经过第一、二、四象限 (B)y 随 x 的增大而减小 (C)图象与 y 轴交于点(0,b)
性质
y 随 x 的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而
增大 .
增大 .
减小 .
减小 .
3.一次函数图象的平移一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=kx向上(下)平移 |b| 个单位长度而得到的.当b>0时,将直线y=kx向上平移|b|个单位长度;当b<0时,将直线y=kx向下平移|b|个单位长度.
x＞0, x＜
3,
∴无解;
kx＜x 0,b＞0，即
x＜0, x＞
3,
∴解集为-3<x<0,
∴不等式 x(kx+b)<0 的解集为-3<x<0.
6.(2018上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米. ∴当 0≤x≤150 时,1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为 150 =6 千米.
60 35
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.

高中数学复习专题讲座(第10讲)函数图象及图象性质的应用

题目高中数学复习专题讲座函数图象及图象性质的应用高考要求函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质重难点归纳1 熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法列表、描点、连线；(2)图象变换法平移变换、对称变换、伸缩变换等2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视典型题例示范讲解例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题知识依托把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法数形结合、等价转化(1)证明设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0, ∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根， ∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论命题意图本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等知识依托充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析图形面积不会拆拼技巧与方法数形结合、等价转化解 (1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ),g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B1(2)()()2f a g a -=12=--102=-<∴f (a )<g (a )例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围解法一观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ① 又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ② ①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0 学生巩固练习1 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )2某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()3已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________三、解答题4如图，在函数y=lg x的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性5如图，函数y=23|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>23)是△ABC的BC边的中点(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标6已知函数f(x)是y=1102+x－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21-x的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x)(1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB 恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由7已知函数f1(x)=21x-,f2(x)=x+2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值8 设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )(1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标； (3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1)参考答案1 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数仔细观察题目中的直线方程可知在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合答案 A2 解析由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C 又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降答案 D3 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log441log)2(122222+++=+++=++x x x x x x x x)1(21111log2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log211)1(21log 22=++⋅+x x =－2当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号∴F (x )max =F (0)=－2答案－24 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C(2)S =f (m )为减函数5 解 (1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t ,23t )(t >0),C (x 0,y 0)∵M 是BC 的中点 ∴2x t +=1,2230y t + =m∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t∴S =21|AB |·h AB =21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1)(2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m ,23m ),若3m >1,即m >3 S =f (t ) 在区间(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3)6 解 (1)y =1102+x－1的反函数为f (x )=lg xx +-11(－1＜x ＜1)由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lgxx +-11+21+x ,定义域为(－1，1)(2)用定义可证明函数u =xx +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B7 解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x 的图像如图所示y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，其表面积为(2+2)π(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b8 (1)g (x )=x －(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0)(3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}课前后备注。

第10讲函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

解析：(1)作函数 y＝2x 的图象关于 x 轴对称的图象得到 y＝－2x 的图象，再将图象向上平移 2 个单位，可得 y＝2－2x 的图象．如图 1；
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1，【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0，【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，

(整理)第10讲二次函数图象和性质

第10讲二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值；（2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o，过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1）设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围（2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。

高中数学重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用

重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

第十讲：三角函数概念与同角关系式课堂笔记(解析版本)

第十讲三角函数概念与基本关系式
课堂笔记
【知识梳理】
一. 任意角的概念
角的定义:

学角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所形成的的图形.
角的表示方法:
常用大写字母 A, B,C 等表示; （2）也可以用希腊字母 , , 等表示.
角的分类:
数
1.按旋转方向可将角分为如下三类:
) )
的值.
【解答】解：sin( ) sin ， cos(2 a) cos ，
数一
sin 2 cos ，得 tan 2 , 原式 sin 5cos ,
3cos sin 分子分母同时除以 cos ，则有原式 tan 5 2 5 3 .
C． 2 sin1
D． 2 sin 1
【解答】解：设圆的半径为 r ，则 sin1 1 ， r 1
r
sin1
l | | r 2 1 2 sin1 sin1
这里有两个1，单位不同哇！
一个是长度，一个是角的
故选： C ．
弧度数！Βιβλιοθήκη 哇哈哈！学了弧度别糊涂哈！
7．已知
是第一象限角,
蓝令 k 1 可得， 300 与 60 终边相同，
这只是其中一个方法，你要更简练，要飞的更高！
老故选： A ．
啥？蒋鹰宇和蒋国羽哈！
2．已知 cos tan 0 ，那么角是 ( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
【解答】解：cos tan sin 0 ，角是第三或第四象限角，
cos sin

考点10 一次函数(精讲)(解析版)

考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。

2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。

①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。

3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。

《函数》第10讲函数的图象(2)

思考2. y =b· sin(ax)的图象是由 y =sinx 怎么变换得到？ (a>0, b>0)
y b f (a x )
例题1. 为了得到函数y＝2· log2(x－2)的图像，可将函数 y＝log2x 的图像上所有点的( ) A．纵坐标缩短到原来的2倍，再向右平移2个单位长度 B．纵坐标缩短到原来的2倍，再向左平移2个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移2个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2个单位长度
函数的图象────识图
1. 定义域 [ 左右位置 ]
2. 值域 [ 上下位置
3. 单调性 [ 升降趋势
]
]
4. 奇偶性 [ 图象对称
5. 周期性 [ 循环往复 6. 特殊点 [ 必经之路
]
] ]
函数的图象────用图
2 , x 例题2.已知函数 f ( x ) x 1 3 , x2 x2
2
2 .
函数的图象────用图
例题2.设a∈R , 若x>0时均有
2 a 1 x 1 x ax 1 0,
则a=
3 2
.
小结ห้องสมุดไป่ตู้
一、怎样把数形结合思想用起来？
1.画好图
2.用好图
若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，
0,1 ．则实数k的取值范围是________
函数的图象────用图
例题2.[2014年浙江理15]
, 若 f(f(x)) ≤2 ,则实数a的取值范围是
x x, x 0 设函数 f ( x ) 2 , x , x 0
课题：
函数的图象(2)

2021届数学基础第二章第10讲函数的图象含解析

2021届高考数学一轮基础反馈训练：第二章第10讲函数的图象含解析基础知识反馈卡·2。

10时间:20分钟分数:60分一、选择题(每小题5分，共30分）1．函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是( )A B CD2．函数y ＝321x x 的图象大致是( ) A B CD3．函数f （x ）＝x 2－2|x |的图象大致是( ）A B CD4．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( ）A B CD5．已知函数f (x ）的图象如图J2。

10-1,则f (x ）的解析式可能是（）图J2-10。

1A．f（x）＝错误!－x3B．f（x）＝错误!＋x3C．f（x）＝错误!－x3D．f(x)＝错误!＋x36．函数y＝ln｜x－1|的图象大致是（)二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3x（x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.8．（2015年安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝2a与函数y＝|x－a｜－1的图象只有一个交点，则a的值为________．9．设奇函数f（x）的定义域为［－5，5]．若当x∈［0，5]时,f(x)的图象如图J2.10。

2，则不等式f（x)＜0的解集是____________．图J2.10。

2三、解答题（共15分）10．直线y＝1与曲线y＝x2－｜x｜＋a有四个交点，求实数a 的取值范围．基础知识反馈卡·2。

101．C2。

A3．B解析:∵函数f（x)＝x2－2｜x|，∴f(3）＝9－8＝1〉0，故排除C，D;∵f（0）＝－1，f错误!＝错误!－212＝0.25－错误!〈－1，故排除A。

故选B.4．A解析：∵f（－x）＝－x sin(－x）＝x sin x＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∴其图象关于y轴对称,故排除B，C；∵f（π)＝πsin π＝0，排除D.故选A。

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用

第十讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值．题组三走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140，即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得：当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。

人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第10讲一次函数

第10讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可．故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差2．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（）A ．2CD AC =B ．3CD AC =C ．4CD AC =D ．不能确定【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD ， ∴AC+BC=BC+BD ，即AC=BD ，又∵BC=2AC ， ∴BC=2BD ， ∴CD=3BD=3AC. 故选B ．【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3 【答案】D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题5．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C3D3【答案】B【解析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN＝22．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线【答案】C【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．7．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题．【详解】在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥BM ，DE=12BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ， ∵∠FCE=∠FCM ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴EC=EF=12AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2．故选B ．8．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6 【答案】A【解析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.0725【答案】B【解析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】由表格中数据可得：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选B．【点睛】考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．10．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB 的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【答案】D【解析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.二、填空题（本题包括8个小题）11．化简:a ba b b a+--22＝__________.【答案】a+b【解析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

第10讲函数的单调性(解析版)

第10讲函数的单调性【基础知识回顾】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D 上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减．1、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．2、列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 【答案】B【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D.4、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是．【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】函数f （x ）＝21xx+在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（. ∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx+在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．变式2、下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，在(0,)+∞上为减函数，故选B ．+∞（0，）3y x =1y x =+21y x =-+2xy -=2xy -=方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 变式1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．【答案】 [1,2]【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三复合函数的单调区间例3、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______．【答案】(1，＋∞)【解析】由题意，令x 2＋2x －3＞0，解得x ＜－3或x ＞1，因为t ＝x 2＋2x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间为(1，＋∞)．变式1、.函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞【答案】 A【解析】由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第10讲函数的图像(含解析)

第10讲函数的图像考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题. 2.掌握图像的作法:描点法和图像变换. 3.会运用函数的图像理解和研究函数性质.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅲ] 函数y=1+x+的部分图像大致为 ( )A BC D[解析] D函数y=1+x+的图像可以看成是由y=x+的图像向上平移一个单位长度得到的,并且y'=1+x+'=1+,当x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m[解析] B由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i,y i)和(x'i,y'i)均满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,∴(x i+y i)=x i+y i=0+2·=m.3.[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C. D.[解析] D令g(x)=e x(2x-1),则g'(x)=e x(2x+1),由g'(x)>0得x>-,由g'(x)<0得x<-,故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增.又函数g(x)在x<时,g(x)<0,在x>时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示.直线y=ax-a过点(1,0).若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.结合函数图像可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤a<1.故实数a的取值范围是,1.4.[2015·全国卷Ⅱ]如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)[解析] B应用排除法.当m=时,画出y=(x-1)2与y=+的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上无交点,排除C,D;当m=3时,画出y=(3x-1)2与y=+3的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上恰有一个交点.故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.f(x-a)f(x)+b -f(x)f(-x)-f(-x)log a x(a>0且a≠1)f(ax)af(x)y=y=f()对点演练1.y=0[解析] y=lo x=-log a x,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.2.x=0[解析] y==a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.3.y=x [解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.4.③[解析] 将y=两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.5.y=(2x+3)2[解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.6.y=ln[解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.7.-log2(x-1)[解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.8.[解析] y=其图像如图所示:【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x≥0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).(2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.(3)y=x2-|x|-2=其图像如图③所示.变式题解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图①所示.(2)y==2-的图像可由y=-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.(3)y=10|lg x|=其图像如图③所示.例2[思路点拨] 选用函数图像经过的几个特殊点验证排除.B[解析] 由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除A,C,故选B.例3[思路点拨] 根据函数的奇偶性及单调性可作出判断.D[解析] 令f(x)=,则f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,排除B,C.当x>1时,y==,显然y>0且函数单调递减,故D正确.例4[思路点拨] 对函数f(x)=2x的图像作相应的对称变换可得到图中所示的图像,再写出相应的解析式.C[解析] 题图中是函数y=-2-|x|的图像,即函数y=-f(-|x|)的图像,故选C.强化演练1.D[解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.2.A[解析] 由函数定义域知2x-2≠0,即x≠1,排除B,C;当x<0时,y=<0,排除D.故选A.3.C[解析] 由=>0,得x>0,又<1,故y<0,只能是选项C中的图像.4.A[解析] 先作出函数f(x)=log a x(0<a<1)的图像,当x>0时,y=f(|x|+1)=f(x+1),其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以再将函数y=f(x+1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x<0时的图像,故选A.例5[思路点拨] 根据图像可判断其对应函数的定义域、奇偶性、单调性等情况,从而确定符合性质的相应函数的解析式.D[解析] 由函数的图像可知,函数的定义域为R,所以B不符合;又图像关于原点对称,可知函数是奇函数,排除C;函数在定义域内有增有减,不是单调函数,而选项A为增函数,不符合.所以选D.例6[思路点拨] (1)作出分段函数f(x)的图像,结合图像从单调性、最值角度考虑;(2)先化简函数的解析式,在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得实数k的取值范围.(1)[-8,-1](2)(0,1)∪(1,4)[解析] (1)作出函数f(x)的图像,当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,故所求实数m的取值范围为[-8,-1].(2)y===函数y=kx-2的图像恒过点(0,-2).在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得,实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4).例7[思路点拨] 对这样一个非常规不等式应采用数形结合处理,不妨构建函数f(x)=3sin x,g(x)=lo x,将原不等式转化成两函数图像的位置关系,再进行研究.A[解析] 不等式3sin x-lo x<0,即3sin x<lo x.设f(x)=3sin x,g(x)=lo x,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图像,由图像可知,当x为整数3或7时,有f(x)<g(x),所以不等式3sin x-lo x<0的整数解的个数为2.例8[思路点拨] 根据所给的条件可确定函数f(x)的图像,并作出函数y=log7|x-2|的图像,由两函数图像的交点个数确定方程解的个数.B[解析] 由函数f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),可得f(1-x)=f(1+x),f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且f(x)是周期为4的周期函数.在同一坐标系中画出y=f(x)和y=log7|x-2|的图像(图略),由图像不难看出,其交点个数为7,即方程解的个数为7.故选B.强化演练1.C[解析] f(x)=画出函数f(x)的图像,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.2.5[解析] 方程2[f(x)]2-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出函数y=f(x)的图像,由图像知零点的个数为5.3.∪[解析] 在0,上,y=cos x>0,在,4上,y=cos x<0.由f(x)的图像知,在1,上,<0.因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为-,-1∪1,.4.[解析] y=作出其图像,如图所示.此曲线与y轴交于点(0,a),最小值为a-,要使直线y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,所以1<a<.【备选理由】例1考查分段函数,由各区间上的单调性及函数值确定函数图像;例2为依据函数图像判定相应函数图像,由所给函数图像反映的性质,探究所求函数的性质,有一定的技巧性;例3以新定义为背景,考查函数图像的应用,要注意图像对称性的应用.1[配合例3使用] [2018·南阳第一中学月考]函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是()[解析] C函数可化为f(x)=所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B,结合图像可知,当x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.2[配合例5使用] [2017·长沙长郡中学一模]已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=f[f(x)]的图像可能是()[解析] C∵f[f(-x)]=f[f(x)],∴排除A,B;又g(1)=f(0)=-1,∴排除D,故选C.3[配合例8使用] 规定“⊗”表示一种运算,即a⊗b=a2+2ab-b2.设函数f(x)=x⊗2,且关于x的方程f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值是()A.-4B.4C.8D.-8[解析] D函数f(x)=x2+4x-4,由于函数y=f(x),y=lg|x+2|的图像(如图)均关于直线x=-2对称,故四个实数根之和为-8.。

第10讲一次函数的图像和性质

∴S△AOB＝21AO·BO＝21×4×4＝8.
2．求图象经过点(2，－1)，且与直线 y＝2x＋1 平行的一次函数的表达式．
[解析] 图象与y＝2x＋1平行的函数的解析式的一次项系数为2，则可设此表达式为y＝2x＋b，再将点(2，－1)代入，求出b即可．
解：由题意可设所求函数表达式为y＝2x＋b， ∵图象经过点(2，－1)， ∴－1＝2×2＋b. ∴b＝－5， ∴所求一次函数的表达式为y＝2x－5.
3.若直线 y＝－2x－4 与 y＝4x＋b 的交点在第三象限，则 b 的取
值范围是( A )
A．－4＜b＜8
B．－4＜b＜0
C．b＜－4 或 b＞8
D．－4≤b≤8
4.已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象
与 y 轴交点的坐标为___(0_，__－__1．)
5.已知一次函数 y＝2x－6 与 y＝－x＋3 的图象交于点 P，则点 P
性质
与方程和不等式的关系
知识点过关---相关概念
1.对于函数y＝(m－4)x＋(m2－16)，当m＝__－__4____时，它是正比例函数；当m_≠__4_____时，它是一次函数．
2．定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．若特征数是[2，k－2]的一次函数为正比例函数，则k的值是_____2___．
4.下列图象中不可能是一次函数 y＝mx－(m－3)的图象的是( C )
5.若直线 y＝mx－2m－3 经过第二、三、四象限，则 m 的取值范围
是( B )
A．m<32
B．－32<m<0 C．m>32
D．m>0
知识点过关---待定系数法
1.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过(1，3)和(3，1)两点，且与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点．

第10讲二次函数的图像与性质--基础版

第10讲函数的图象及其性质知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数. 其中：x的最高次数为2且a≠0。

【典例】1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（）A. y=x（x﹣3）B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2C. y=x2+D. y=2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______3.下列关系中，是二次函数关系的是（）A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系D. 正方形的周长C与边长a之间的关系【方法总结】1.本知识点需要掌握：（1）知道二次函数的一般表达式.（2）会利用二次函数的概念分析解题.2.注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【随堂练习】1．（2018•南关区校级一模）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____．2．（2017秋•颍泉区校级月考）已知函数y=（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．知识点2二次函数图象与基本性质1.2.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=， 3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4. 二次函数2y ax bx c =++的性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．【典例】1.用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为_______2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）C. 抛物线的对称轴是直线x=6D. 抛物线经过点（0，10）【方法总结】1. 把一般形式化成顶点式有利于思考2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.【随堂练习】1（2018•松江区一模）我们定义：关于x 的函数y=ax 2+bx 与y=bx 2+ax （其中a≠b ）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=____．2．（2018•陵城区二模）如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为____．3．（2018•黄浦区一模）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．知识点3 二次函数图象与系数之间的关系二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。

高考数学(文科)复习第二单元第10讲函数的图像

=ln13+sin12=sin12-ln
3<0,故排除选项
A.故选
B.
课堂考点探究
[总结反思] 利用性质识别函数图像是辨图的主要方法,采用的性质主要是定义域、值域、函数整体的奇偶性、函数局部的单调性等.当然,对于一些更为复杂的函数图像的判断,还可能与特殊点法结合起来使用.
课堂考点探究
考向3 图像变换法
2.【考向 1】[2018·广西陆川模拟] 函数 f(x)=��22+�� 1的图像大致是 ( )
[答案] A [解析] f(x)=��22+�� 1,当 x=0 时,f(0)=0,排除选项 D;当 x>0
时,f(x)>0,排除选项 B,C.故选 A.
图 2-10-7
课前双基巩固对点演练
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)将函数 y=f(-x)的图像向右平移 1 个单位长度得到函数
y=f(-x-1)的图像. ( )
(2)函数
f(x)=
��-1 与
��-1
g(x)=
��-1的图像相同.
(
)
(3)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(a-x),则函数 f(x)图像的对称轴
图 2-10-2
课堂考点探究
例 2 [2019·合肥调研] 函数 f(x)=x3+ln( ��2 + 1-x)的图像大致为 ( )
图 2-10-2
[答案] B [解析] 由题意,f(-x)=(-x)3+ln( ��2 + 1+x)=-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数.又 f(1)=1+ln( 2-1)>0,f(2)=8+ln( 52)>0,故选 B.

八年级秋季班-第10讲函数的概念及表示法

内容分析知识结构模块一：函数的概念知识精讲函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 允许的取值范围内，变量y 随着x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量.函数用记号y =f (x) 表示，f (a) 表示x =a 时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数例题解析（5）2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】（1）在正方形的周长公式l = 4a 中，a 是自变量，是的函数，是常量；（2）面积是 S (cm 2 ) 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是，其中自变量是．（3）圆的周长 C 与半径 r 之间的函数关系是，其中常量是，变量是．【例2】在匀速运动中，若用 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子 s = vt ，下列说法中正确的是（）A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与 v 是变量，t 是常量C ．v 与 t 是变量，s 是常量D ．s 与 t 是变量，v 是常量【例3】下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断 y 是否是 x 的函数？为什么？（1） y = 2x ；（2） y =| 3x | ；（3（4x 1 2 3 4y1122y 1 2 3 4 x1122x ± x x 2+ 2x + cx - 1 【例4】下列各式中，不是函数关系式的是（）A ．y = B ． y =C ．y = D ．y =【例5】判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1）长方形的宽 a （cm ）固定，其面积 S 与长 b ；（2）长方形的长 a 固定，面积 S 与周长 c ；（3）三角形一边上的高为 4，三角形的面积 y 与这边长 x ；（4）等腰三角形顶角的度数 x 与底角的度数 y ．【例6】填空：（1）函数 y = -3x 2 + 2 ，当 x =，函数 y 的值等于 0；（2）若函数 y =1 的自变量 x 的取值范围是一切实数，则 c 的取值范围是．【例7】求下列函数的定义域：12x 2 （1） y = - | x | -4（2） y =；x（3） y = 5x；（4） y =．- x -x x - 3 x - 2 + (x - 5)0A F ECB D【例8】将x =2 y -1写成y =f (x) 的形式，并求f (0) ，f (-3) ，1≠3，a ≠ 0) ，3y + 2f (a +1)（a ≠-1）的值．3f ( )(aa 2【例9】A、B 两地路程为160 千米，若汽车以50 千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系式．【例10】已知水池的容量为100 m3 ，每小时灌水量为Q m3 ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为 5 m3 时，灌满水池需多少时间?【例11】如图，△ABC 与正方形BDEF，其中∠C=90°，AC=BC=BD=8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2 个单位/秒向右平移，设移动的时间为t，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】已知等腰三角形周长为24cm，（1）若腰长为x，底边长为y，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）若底边长为x，腰长为y，求y 关于x 的函数关系式及定义域．AEC DB【例13】如图，在△ABC 中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D 、E 分别是边 BC 、BA 上的动点（不与端点重合），且 DE ⊥BC ，设 BD = x ，将△BDE 沿 DE 进行折叠后与梯形 ACDE 重叠部分的面积是 y ：（1）求 y 和 x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当 x 为何值时，重叠部分的面积是△ABC 面积的 1．4AC备用图BAC 备用图BAC备用图B1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是y=k ，或表示为y =kxx（x不等于0），k是不等于零的常数.(2)解析式形如y =kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y =kx 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y =kx ( k 是常数, k ≠ 0 )的图象是经过(0 ，0) ，(1，k) 这两点的一条直线，我们把正比例函数y =kx 的图象叫做直线y =kx ；(2)图像画法：列表、描点、连线．3．正比例函数的性质(1)当k > 0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当k < 0 时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【例14】下列各变量成正比例函数关系的是（）A．圆的面积与它的半径B．长方形的面积一定时，长与宽C．正方形的周长与边长D．三角形面积和高【例15】下列函数中，是正比例函数的是（）A．y =3(k ≠ 0)kB．y = (k + 2)x(k ≠-2)C．y = 1(k ≠ 0)kxD．y =kx2 (k ≠ 0)模块二正比例函数知识精讲例题解析【例16】（1）已知函数y=(m-2)x m2-3 是正比例函数，则m= ；（2）当a 时，函数y = (a +1)x 是正比例函数．【例17】（1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当x =-1时，y = 2 ，当x = 3 时，y = 2；（2）已知y -1与3x 成正比例，且当x =-1时，y = 4 ，则y 与x 之间的函数关系式是．【例18】（1）若点B（b，-9）在函数y = 3x 的图像上，则b= ；（2）若将点P（5，3）向下平移1 个单位后，落在直线y =kx(k ≠ 0) 的图像上，则k= ．【例19】（1）如果正比例函数y =；x2m -1的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是（2）函数y = (1-k)x 的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围．【例20】（1）已知y 与x 之间的函数关系式是y = 2x -1，那么y 与x （填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知3y =x - 9 ，y 与成正比例关系，k= ．【例21】（1）已知2 y- 3 与4x + 5 成正比例，且当x =1时，y =15 ，求y 与x 的函数关系式；（2）已知y = (k - 2)x +k 2 +k - 6 为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】若y = (2 - 3t)x4+3t 是正比例函数，又y = 7x -12 ，当x 取何值时y >y ．1 2 1 2【例23】已知y 是x 的正比例函数，且当x = 3 时，y =-1 ：（1）求出这个函数的解析式；（2）在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；（3）如果点P（a，4）在这个函数图像上，求 a 的值；（4）试问：点A(-6，2)关于原点对称的点B 是否在这个图像上?【例24】已知正比例函数的图像过第四象限且过(-2，3a)和(a，-6)两点，求此正比例函数的解析式．【例25】点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm 的蜡烛，点燃3 分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x 分钟后，剩余长度ycm ，求y 与x 的函数解析式及x 的取值范围．【例26】已知三角形ABC 的底边AB 的长为3，AB 边上的高为x，面积为y，（1）写出y 和x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图像．【例27】（1）已知直线y =ax 是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数y = (2m +1)x 的值随x 的增大而减小，且函数y = (1- 3m)x 的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】正比例函数的解析式为y = (k 2 -1)x ，（1）当-1 <k < 1 时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？（2）若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】已知正比例函数的自变量增加 4 时，对应的函数值增加6，（1）求这个函数解析式；（2）当x = 6 时，求y 的值；（3）当y = 4 时，求x 的值；（4）当-2 ≤x ≤ 4 时，求y 的取值范围；（5）当-6 ≤y ≤ 6 时，求x 的取值范围．【例30】m 取何值时，y 关于x 的函数y = (m + 3)x2m+1 + 4x 是正比例函数．【例31】已知直角三角形ABC 中，∠C=90°AC=6，AB=12，点D、E、F 分别在边BC、AC、AB 上（点E、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点H，设CE=x，BF=y，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】已知一正比例函数y =mx 图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ⊥y 轴，垂足为点Q，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．【例33】如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P，（1）若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的3 倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．xx2x - 3【习题1】下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】在函数 y = + 中，自变量x 的取值范围是（）．A ． x ≥ 0 C ． x = 0B ． x ≤ 0 D ．任意实数【习题3】下列各点，不在函数 y =- 2 x 图像上的是（）．3A ．（1， - 2 ）B ．（3，-2）C ．( - 2 ， 1)D ．（-6，4）3 3 3【习题4】（1）若函数 y = (m 2 - m )x m 2是正比例函数，则 m 的值是；（2）已知 y = kx 是正比例函数，且当 x =2 时 y =3，则比例系数是．【习题5】求下列函数的定义域：（1） y =x2x - 3；（2） y =x；（3） y = 1x + 2；（4） y =1 - 2x ．1 + x随堂检测AB CD-x x - 2【习题6】若x=2y+1，用含x 的式子表示y；若y=f(x)，试求f (1) ，f(0)，f(a-1)(a≠3)，y - 1f (-x)(x ≠-2) 的值．【习题7】已知正比例函数y=(k-1)x k2 -3 的值随自变量x的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】（1）已知y - 3 与x + 2 成正比例，当x=3 时，y=7，求y=9 时，x 的值；（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图像过A（1，a）、B（a+1，6），求函数的解析式．【习题9】已知y =y - 2 y ，y 与x2 成正比例，y 与3x + 1成正比例．且当x = 1时y = 5 ，1 2 1 2当x =-1时y = 3 ，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】已知正比例函数的图像过点(- 3，23)．（1）若点(a ，- 2) ，( 3 ，b) 在图像上，求a、b 的值；AD PCB（2）过图像上一点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q (0 ，- 15) ，试求三角形 OPQ 的面积．【习题11】在直角三角形 ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于 D ，在 CD 上取一点 P （不与 C 、D 重合），设三角形 APB 的面积是 y ，CP 的长为 x ，求 y 和 x 的函数关系式，并写出函数的定义域．【习题12】如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13， S 梯ABCD = 40 ，P 是一动点，沿 AD 、DC 由 A 经 D 点向 C 点移动，设 P 点移动的路程是 x ．（1）当 P 在 AD 上运动的时候，设 S ∆PAB = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2）当点 P 继续沿 DC 向 C 移动时，设 S ∆PAB = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式．APDC【作业1】三角形 ABC 中∠A =90°，AB =4，BC =5，P 是 AC 边上一动点，点 P 不与 A 、C重合，则该图中线段是常量，线段是变量；若 AP=x ，设 S ∆BPC = y ，写出 y 关于 x 的函数关系式，自变量 x 的取值范围是．【作业2】下列变量之间的变化是函数关系的是（只填序号）．（1）正方形的面积和它的周长；（2）长方形的面积和它的周长；（3）y = ± x (x ≥ 0) ；（4） y =| x | ；（5） y = x (x < 0)【作业3】（1）已知 f (x ) = 2x ，f (a - 2) = 6 ，则 a 的值是；（2）已知 f (x ) = 2x 2 -1，g (x ) = -2(x +1)2，则f (- 3) + 1 =．g ( )42【作业4】（1）函数 y =| x + 3 | 的定义域为； x 0（2）函数 y = x -1 -1 的定义域为；（3）函数 y = x - (x - 3)0的定义域为．【作业5】 y - 2 与3x 成正比例，当 x =2 时，y =11，求 y 与 x 之间的函数关系．【作业6】（1）已知直线 y = (m + 3)x k 2+ m 2 - 9 是正比例函数，求 mk 的值；课后作业x - 2ABCD墙xy（2）已知 y = (m 2 - 4m )x m2-15是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线 y = (k - 2)x + k 2 - 5k 经过原点，且 y 的值随 x 的值的增大而减小，求 k的值．【作业7】等腰钝角三角形 ABC 中，底边长为 8，面积是 S ，底边上高 AD 为 h ，试求出 S与 h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．【作业8】（1）某同学用 20 元钱买水笔，其单价为 3.5 元，求买水笔余下的钱 y 与买水笔的数量 x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为 18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为 35cm ，求养鸡场的一边长为 y （cm ）与另一边长 x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【作业9】已知直线 y = kx 过点（ - 1 2，3），A 为 y = kx 图像上的一点，过点 A 向 x 轴引垂线，垂足为点 B ， S ∆AOB = 5（1）求函数的解析式；（2）在平面直角坐标系内画出函数的图像；（3）求点 A 、B 的坐标．【作业10】过正比例函数图像上的一点 Q (3 - a ，5 - a ) 在第二象限，（1的值；（2）若 a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点(k ，- k ) 在不在函数图像上．【作业11】已知正比例函数过点 A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且 S ∆ABP = 10 ，求点 P 的坐标．。