4年级中等难度奥数题

盈亏问题：（中等难度）

少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？

盈亏问题答案：解这道题的关键在于条件的转换，把"如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑"，转换成"每人挖6个树坑，还差2×（6－4）个树坑。"则本题成为"一盈一亏"的盈亏问题。所以〔3＋2×（6－4）〕÷（6－5）＝7（人），

7×5＋3＝38（个）树坑。

盈亏问题公式：总差÷分差＝份数。一盈一亏中：盈＋亏＝总差；在双盈或双亏中：大数－小数＝总差；份数在不同的题目中表示不同的意思。此题表示参与分配的人数。

等差数列：（中等难度）

把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？

等差数列答案：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54，这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）÷2=98。

等差数列重要公式：前n项的和=（首项+末项）×项数÷2。第n项=第1项＋（项数-1）×公差。和差问题公式：大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2。

等差数列：（中等难度）

如图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是多少？

等差数列答案：连接BD,由三角形等积变形，ΔBOD的面积等于阴影部分的面积，又ΔADB 的面积等于ΔBCD的面积，都是平行四边形ABCD的一半，所以阴影部分的面积是平行四边形ABCD的1/4，面积为10平方厘米。

三角形等积变换是求平面几何图形面积的一种重要方法，三角形等积变换的重要性质有：两个三角形底（高）相等时，面积比等于高（底）的比。

数字迷：（中等难度）

在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么______.

数字迷答案：如下图所示，将剩下的圆圈内标上字母

于是A=（13+17）÷2=15，由题意可得B+15=D+17=2C,因此B-D=2.于是2D=B+13=D+2+1 3,故D=15.从而C=(17+15)÷2=16，X=2C-13=19。

解数字谜时，出现的条件较少时，通过设未知量表示出其中的隐含关系往往是解题的关键。

几何计数问题：（中等难度）

图中共有______个三角形。

几何计数问题答案：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；

以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；

以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。

所以，一共有15个三角形。此题也可以用排列组合的方法来解，图中共有6条长线段，除三条直线共点的情况外（其中有3条线段共B点，有4条线段共C点），任取3条可以构成一个三角形，所以图中共有C_6^3-1-C_4^3=20-1-4=15（个）三角形。

分类枚举是一种很重要的解决计数问题的方法，按一定的规则恰当分类是关键。

做到既不重复，也不遗漏。另外用排列组合解决计数问题也是小学奥数很重要的内容。面积：（中等难度）

如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你说明它们的面积相等。

面积答案：

连接BE，根据前面介绍的模型，的面积既是平行四边形ABCD面积的一半，

又是平行四边形AEGF 面积的一半，所以这两个平行四边形的面积均为面积的两

倍，因此相等。

【计数问题】

1.难度：★★★★

下图中共有多少个三角形？

【分析】边长为1的正三角形有16个。边长为2的正三角形，尖向上的和尖向下的各有3个，共22个。

2.难度：★★★★★

下图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形。那么，图中包含"*"的所有大、小正三角形一共有多少个？

【分析】设小正三角形的边长为1，包含"*"的边长为1的正三角形有1个，边长为2的有4个，边长为3的正三角形有1个，所以，1+4+1=6（个）。

小方格：（中等难度）

用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

小方格答案：

【分析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

将上面的四种情形看成四个"抽屉"。根据抽屉原理，将5列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

约数：（中等难度）

在555555的约数中，最大的三位数是多少？

约数答案：

555555=5×111111=5×111×1001=5×3×37×7×11×13，最大的三位数约数=3×7×37=777

倍数：（中等难度）

证明任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

倍数答案：

考虑每个自然数被5除所得的余数。即自然数可以作为物品，被5除所得余数可以作为抽屉。显然可知，任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况：0，1，2，3，4。所以构造5个抽屉，每个抽屉中所装的物品就是被5除所得余数分别为0，1，2，3，4的自然数。运用抽屉原理，考虑"最坏"的情况，先从每个抽屉中各取一个"物品"，共5个，则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的"物品"，即它们被5除余数相同，所以它们的差能整除5。

列车相遇：（中等难度）

某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列车长150米，时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

列车相遇答案：

根据另一个列车每小时走72千米，所以，他的速度为

某列车的车速为：（250-210）/（25-23）=20

某列车的车长为：20*25-250=250

两列车的错车时间为：（250+150）/（20+20）=10

偶数排列：(中等难度)

从19，20，21，…，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法有多少种？

偶数排列答案：

选择两个数，使得它们的和为偶数，则只能两个数同时是偶数或两个数同时是奇数。19-93这76个数中，有38个奇数，38个偶数，于是有种不同的选法

客车货车相遇：(中等难度)

客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相