离散数学 平面图

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离散数学PPT课件10着色与对偶图(ppt文档)

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不同颜色.
四. 图G的正常着色(简称着色):
1. 对G的每个结点指定一种颜色,使得相邻接的两个结点
着不同颜色. 如果G着色用了n种颜色,称G是 n-色的.
2.对G着色时,需要的最少颜色数,称为G的着色数,记作
x(G) .
3.对G着色方法:(下面介绍韦尔奇.鲍威尔法)
3.对G着色方法:(介绍韦尔奇.鲍威尔法 Welch.Powell) ⑴将G中的结点按照度数递减次序排序,(此排序可能不唯 一,因为可能有些结点的度数相同) ⑵用第一种颜色对第一个结点着色,并按照排序,对与前面 着色点不邻接的每一个点着上相同颜色. ⑶用另一种颜色对尚未着色的点, 重复执行⑵和⑶,直到
⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时, vi*上有一个环ek* 与ek相交.
v3*
则称图G*是G的对偶图.
v5
F1 v1*
F3
可见G*中的结点数等于
F2 v2*
G中的面数.
二. 自对偶图:如果图G对偶图G*与G同构,则称G是自对偶
图. (如下图) 三.对偶图与平面图着色的关系:

对平面图面相邻面用不同颜 色的着色问题,可以归结到对 其对偶图的相邻接的结点着
有共同的学生在读, 就在两门课程之间连一直线.得到图:
结点度数递减排序:
A
B,C,D,G,A,E,F 对图正常着色后, 标有同一种颜色的 G
课,可以同时考试.安排考试日程: 周一: A 周二: B,F 周三:C,E 周四: D,G
F E
作业 P189 – 8.16 8.17
B C
D
所有结点都着上颜色为止.
B C
例如:结点排序:A,B,E,F,H,D,G,C A

离散数学符号表

离散数学符号表

离散数学符号表∀ 全称量词任意量词∃ 存在量词├ 断定符公式在L 中可证╞ 满足符公式在E 上有效,公式在E 上可满足 ┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”“与”运算∨ 命题的“析取”“或”,“可兼或”运算 → 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算 “异或门” ↑ 命题的“与非” 运算 “与非门” ↓ 命题的“或非”运算 “或非门” □ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于∉不属于A μ· 集合A 的特征函数P A 集合A 的幂集A 集合A 的点数nA A A ⨯⨯⨯ n A 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合” 0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪ 集合的并运算∩ 集合的交运算- ~ 集合的差运算⊕ 集合的对称差运算m + m 同余加m ⨯ m 同余乘〡 限制R x ][ 集合关于关系R 的等价类A /R 集合A 上关于R 的商集)(A R π 集合A 关于关系R 的划分)(A R π 集合A 关于划分π的关系][a 元素a 产生的循环群R a ][ 元素a 形成的R 等价类r C 由相容关系r 产生的最大相容类 I 环,理想)/(n Z 模n 的同余类集合)(mod k b a ≡ a 与b 模k 相等)(R r 关系R 的自反闭包)(R s 关系R 的对称闭包+R ,)(R t 关系R 的传递闭包*R ,)(R rt 关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理CP 规则EG 存在推广规则存在量词引入规则ES 存在量词特指规则存在量词消去规则 UG 全称推广规则全称量词引入规则 US 全称特指规则全称量词消去规则 A I ,0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数 )(][A A K 集合A 的势基数R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R c R 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r rB B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂 r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域前域ranf 函数f 的值域Y X f →: Y X f −→−f 是X 到Y 的函数 ),(y x GCD y x ,最大公约数 ),(y x LCM y x ,的最小公倍数 e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元 )(Ha aH H 关于a 的左右陪集 )(f Ker 同态映射f 的核或称f 的同态核 A,B,C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数1,n 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk n C 组合数),(v u d 点u 与点v 间的距离 )(v d 点v 的度数 )(v d + 点v 的出度 )(v d - 点v 的入度 ),(E V G = 点集为V ,边集为E 的图 G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构 *G 平面图G 的对偶图 WG 图G 的连通分支数 )(G κ 图G 的点连通度 )(G λ 图G 的边连通度 )(G δ图G 的最小点度 )(G ∆图G 的最大点度 AG图G 的邻接矩阵 PG图G 的可达矩阵 MG图G 的关联矩阵 n Kn 阶完全图 m n K ,完全二分图 C复数集 N自然数集包含0在内 +N正自然数集 P素数集 Q有理数集 +Q正有理数集 -Q负有理数集 R实数集 Z整数集 m Z]}[,,]2[,]1{[m Set集范畴 Top拓扑空间范畴 Ab交换群范畴 Grp群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的结合环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴。

离散数学课件_9 树与平面图

离散数学课件_9 树与平面图

1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支
点,层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,
兄弟,有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,
左子树,右子树,带权二叉树,最优二叉
树,前缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍
历等;
4
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2019/12/4
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树,r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v;
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系;
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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5 2019/12/4
第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限 面(外部面),内部面,边界,次数等;
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图,是用途极 为广泛的离散数学模型,特别是二叉树, 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图,能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
2.基本非平面图:K3,3与K5; 3.平面图的欧拉公式; 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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6 2019/12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
本章小结
本章我们介绍树与平面图,但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件, 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法,特别是二叉树,我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.

离散数学第七章图论习题课

离散数学第七章图论习题课
利用奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,所以, 在G中结点度数为奇数的结点,在其补图中的度 数也应为奇数,故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
P286 1、在无向图G中,从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路,从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路,则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 :
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示),则图G的点割集


应该填写:{f},{c,e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图,若有点集
V1V,使图G删除了V1的所有结点后,所得的子
图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得的子图是连通图,则称V1是G的一个点割
集.若某个结点构成一个点割集,则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中,或者有3人互相认识,或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识,边(x,y)着红色, 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明: 设简单图G有n个结点。对任一结点u,由于G没

离散数学CH04_图论_根树

离散数学CH04_图论_根树

4.6 树
4.6 树
图中的三棵树T1,T2和T3都是带权2,2,3,3,5
的二叉树,它们的权分别是:
W(T1)=2×2+2×2+3×3+5×3+3×2=38 W(T2)=3×4+5×4+3×3+2×2+2×1=47 W(T3)=3×3+3×3+5×2+2×2+2×2=36 以上三棵树都是带权2,2,3,3,5的赋权二叉树,但不 是最优树。
【例】求图所示的二叉树产 生的前缀码。 解:在图(a)中,每一个 分枝点引出的左侧边标记0, 右侧边标记1。由根结点到 树叶的路经上各边的标记组 成的0、1序列作为对应树叶 的标记,如图 (b)所示。产 生的前缀码为: 01,11,000,0010,0011
4.6 树
定理 任意一个前缀码,都对应一个二叉树。 证明:
4.6 树
给定了一个前缀码,设h是其中最长序列的长度。画出一个高为 h的正则二叉树。按定理9.6.7中描述的办法给各边标记0或1。 每一个结点对应一个0、1序列,它是由根结点到该结点的路经 上各边的标记组成的。如果某个0、1序列是前缀码的元素,则 标记该结点。将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删 除,得到了一个二叉树,再删除未加标记的树叶,就得到要求的 二叉树。
在通信中常用0、1字符串表示英文字母,即用二进制 数表示英文字母。最少用多少位二进制数就能表示26
个英文字母呢?1位二进数可以表示2=21个英文字母
,两位二进制数可以表示4=22个英文字母,……,n 位二进制数可以表示2n个英文字母。如果规定,可以 用1位二进制数表示英文字母,也可以用两位二进制数 表示英文字母。
4.6 树
定理 在完全m叉树中,其树叶数为t,分枝点数为i,则 (m1)*i=t-1。 证明:

《离散数学》图论 (上)

《离散数学》图论 (上)
12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图(undirected graph, 或graph) G 指一个三元组 (V, E, ),其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图,若 G 中所有 顶点都是孤立顶点,则称 G 为零图(null graph)或离散图(discrete graph);若 |V|=n,|E|=0,则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图(regular graph),所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图,也记作 k-正则图 注:零图是零度正则图
19
握手定理
定理(图论基本定理/握手定理)
假设 G=(V, E, ) 为无向图,则deg(v) 2 E , vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中,奇数度的顶点数必是偶 数。

离散数学第8章 图论

离散数学第8章 图论
ij
为d(vi,vj)。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= ( V , E ),其中 V={v1 ,
v2 , … , vn } , n 阶方阵 C= ( cij ),称为图 G 的连接 矩阵,其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵,我们可以 (1)判断G中任意两个结点是否相连接;
方法是:对 l=1,2,…,n–1,依次检查Al的(i,j)
项元素
(l ( ) ij)是否为0,若都为0,那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接,否则vi与vj有路相连接。 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0, 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接,使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点,设为ur= uk(r<k),则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj,仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点,那么重复上述过程又可形成一条 更短的路,…。这样,最后必得到一条真路,它连接vi到vj, 并短于前述任一非真路。因此,只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0,v1}{v1,v2}…{vl–1,vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路:若v0vl,则称路v0v1v2…vl–1vl为开路; 回路:若v0=vl,则称路v0v1v2…vl–1vl为回路; 真路:若开路v0v1v2…vl–1vl中,所有结点互不相同(此时所有 边也互不相同),则称该路为真路; 环:在回路v0v1v2…vl–1v0中,若v0,v1,v2,…,vl–1 各不相同 (此时所有边也互不相同),则称该回路为环。

离散数学平面图

离散数学平面图
则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即:6-9+r=2,解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点,至少有两个点不邻接, 所以不能组成一个面,即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成,即:所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知:deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画,K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v3, 则:e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6,则G不是连通平面图。
例题:证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件,但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1:设G=<V,E>是一个无向图,如果能把G的所有结点和
边画在平面上,且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点, 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边,再添加一条边,只有下述两种情况:
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1:证明K3,3不是平面图
证:假设K3,3是平面图,

《离散数学》总复习上课讲义

《离散数学》总复习上课讲义
不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算(重点) 3.3 集合中元素的计数(容斥原理是重点)
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系:属于xA,不属于xA 集合A与集合B的关系:习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1:命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假,即 当p为假时,pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时,pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1};哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1:前束范式(重点)
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx,kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成(置换规则) 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))

离散数学 图论

离散数学 图论

第10章 图论(Graph Theory )
G1、G2是多重图 G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;
有向图:每条边都是有向边的图称为有向图
(图 10 .1.4 (b));
无向图:每条边都是无向边的图称为无向图;
度, 记为 d (v) 。结点v的入度与出度之和称为结 点v的度数,记为 d(v)或deg(v)。

第10章 图论(Graph Theory )
定义:
在无向图中,图中结点v所关联的边数
(有环时计算两次)称为结点v 的度数,记为d(v)
或deg(v) 。
最大度 (G) max{ (v) | v V } d 最小度 (G) min{d (v) | v V }
证明: 设V1和V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结
点集。 由定理10.1.1知
vV1
deg(v) deg(v) 2是偶数之和, 必为偶数,
而2|E|也为偶数, 故 |V1|必为偶数。

V1
是偶数。 由此 deg( )
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
证明: 设G=〈V ,E〉, |V|=6, v是G中一结点。 因为v 与G的其余5个结点或者在 G 中邻接, 或者在G 中邻接。 故不失一般性可假定, 有3个结点v1, v2, v3在G中与v邻接。 如果这3个结点中有两个结点(如v1 , v2 )邻接, 则它们与v 就是G中一个三角形的3个顶点。 如果这3 个结点中任意两个在G中均不邻接, 则v1, v2, v3就

第五章 图的基本概念-离散数学

第五章 图的基本概念-离散数学
3
Co
e4
e7
bo
oc
8
图 论
无向完全图:每对顶点间均有边相连的无向 简单图。N阶无向完全图记作Kn.
o o K2 o K3 o o o o K4
1 2
o o
o o o K5 o o
无向完全图Kn, 有边数
n( n − 1)
竞赛图:在的每条边上任取一个方向的有 向图.
9
图 论
有向完全图:每对顶点间均有一对方向相反 的边相连的有向图。例如:
2
图 论
5.1 图的定义及相关术语 5.2 通路 回路 图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 无向树 5.5 欧拉图和哈密顿图 5.6 平面图
3
图 论
§5.1 图的定义及相关术语
例1. 多用户操作系统中的进程状态变换图:
就绪 r 进程调度 ro 执行 e o w V={r,e,w}
E={<r,e>,<e,w>,<w,r>}
图 论
2
2. 回路:如果一条路的起点和终点是一个顶 点,则称此路是一个回路. ov e e 如右图中的 v o ov e e L1=v0 e1v1 e5v3 e6v2e4v0 e e L2= v0 e1v1 e5v3e2v0
0 1 4 1 2 3 5 6
2
o v3
22
3. 迹与闭迹
图 论
简单通路(迹) 顶点可重复但边不可重复的通路。 简单回路(闭迹) 边不重复的回路。 4. 路径与圈 初级通路(路径) 顶点不可重复的通路。 初级回路(圈) 顶点不可重复的回路。 例如右图中: o v0 L1=v0 e1v1 e5v3 e6v2e4v0 e1 e4 L2= v0 e1v1 e5v3e2v0 o v2 e2 e3 L3=v0 e1v1 e5v3 e2v0 e3v3 e6v2e4v0 v1 o e5 e6 L1和L2是闭迹, 也是圈. o v3 L3是闭迹,而不是圈.

离散数学(Ch15平面图及色数)

离散数学(Ch15平面图及色数)

定理15.4 设G为任一平面图, 则(G)≤5. (五色定理)
用第一数学归纳法对G的顶点数n进行归纳: 显然, 当n≤5时, 有(G)≤5. 假设 n–1 (n≥6)时, (G)≤5成立.
显然, 平面图G中必有度数小于6的顶点u0. (因m≤3n-2) 将顶点u0从G中去掉(含u0邻接的边), 得G0=G – u0, 则G0仍是平面图且顶点数为n-1, 根据假设, 有(G0)≤5. 再从G0加入顶点u0及邻接的边, 还原为G. ⑴如果d(u0)≤4, 则与u0邻接顶点最多涂4色, 有(G)≤5成立. ⑵如果d(u0)=5, 令与u0邻接的顶点按顺时钟排为u1,u2,u3,u4,u5. 并设这5个顶点涂色为C1,C2,C3,C4,C5.
3
定义15.2 设G是一个平面图, 如果连接G的任意两个 不邻接顶点u和v, 都会使G+(u,v)变成非平 面图, 则称G为极大平面图. (边数极大)
极大平面图
K5非平面图
K3
定理15.2 设G是至少具有三个顶点的极大平面图, 则G的任何一个面都是K3.
假设G是极大平面图, 但有一个面不是K3面, 不妨设为{u1,u2,u3,u4,…,u1}, 考察: ⑴ (u1,u3)邻接, (u2,u4)邻接 两边会在圈外相交 ⑵ (u1,u3)不邻接 可加边(u1,u3), 仍是平面图 ⑶ (u2,u4)不邻接 可加边(u2,u4), 仍是平面图
6
§15.2 色数
1. 对偶图 定义15.3 设G是一个平面图, 具有k个面F1,F2,…,Fk, 其中包括无限面, 构造对偶图G*: ⑴ 在G的每个面Fi的内部取一点fi, 作为G*的顶点; ⑵ 对应于G的任意一条边e,
如果e是Fi和Fj的公共边, 则与e交叉连接fi和fj, 使(fi, fj)G* 如果e仅是Fj的悬挂边或桥, 则连一个自环, 使(fj, fj)G*

离散数学ch2 (10)

离散数学ch2 (10)

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1
i
证明:由定理14.1,必要性显然 充分性:由已知条件可知,d中有2k个奇数,不妨设它们为 d1, d2, …, dk , dk+1 , dk+2 …, d2k,构造以d为度数列的n阶无 向图G=<V,E>,如下: V={v1, v2, …, vn},在顶点vr和vr+k之 间连边,r=1,2,…, k,若di为偶数,令di’= di ,若di为奇数, 则令di’= di -1,得到d’=(d1’, d2’, …, dn’),则di’均为偶数, 再在vi处画di’/2条环,i= 1,2,…, n, 这就证明了d是可图 化的 易知:(2, 4, 6, 8, 10),(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的,而(1, 2, 3, 4, 5),(3, 3, 3, 4) 不是可图化的
第五部分 图论
本部分主要内容 图的基本概念 欧拉图、哈密顿图 树 平面图 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
1
图论的研究可以追溯到1736 年, 图论中几个重要的结论也 是在19 世纪得到的,但图论引起人们兴趣是20 世纪20 年代。 应用:计算机科学、化学、运筹学、经济学、语言学等。 内容:图的基本概念包括路径和环,欧拉回路,哈密尔顿 回路/货郎担问题,图同构、平面图等。
9
相关概念
7. 设D=<V,E>为有向图, ek =<vi,vj>E ,称vi,vj为ek的端点, vi为ek的始点,vj为ek的终点, ek与vi(vj)关联,若vi =vj, 则称ek为D中的环 8. 若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻, 若两条边中一条边的终点是另一条边的始点则称这两条 边相邻 图(无向的或有向的)中没有边关联的顶点称作孤立点

离散数学_命题逻辑_1.1

离散数学_命题逻辑_1.1

1.1命题与联结词
例1.1 判断下列语句是否是命题 不是命题 (7) x+8>0。 (8)你出去么? 不是命题 (9)5或6是素数。 不是命题 (10)如果行列式的两行对应成比 真命题 例,则行列式的值为0。 (11)角A与角B相等当且仅当A与角 假命题 B是对顶角。
1.1命题与联结词


2.命题的特点 命题一定是陈述句,但陈述句不一定是命 题。 命题的真值有时明确给出,有时还要依 靠环境、条件、实际情况等因素才能确 定其真值。
什么是离散?离散就是不连续。
线与点。 人的说话声,鸟叫声等;计算机里储存声音。 生活中,人眼见到的图像(非计算机里的);计 算机里用灰度值(从0到255)表示的图像。 计算机不能处理连续信息的,这是由计算机的 本质:0和1,决定的。因此,如果要用计算机 来处理连续信息,必须经过离散化。


离散数学的地位


离散数学的特点

提高抽象思维、严格推理以及综合归纳 分析能力 以研究离散量的结构和相互关系为主要 目标
显著特征是符号化和形式化


离散数学的用途

又称“计算机数学”,因为离散数学的 主要应用领域是计算机。
数理逻辑——数字逻辑电路、密码学 图论(包括树)——数据结构、操作系统 、编译 原理、计算机网络 集合论和关系代数——软件工程和数据库原理
其他分支
代数系统
图论
形式语言与 自动机
数理逻辑
集合论
离散数学 的构成
数理逻辑 命题逻辑
离散数学
集合论 集合及其运算 二元关系
谓词逻辑
函数
代数系统
图论 图的基本概念
群、环、域
Euler图与Hamilton图

离散数学 第4-5章

离散数学 第4-5章

例题6: 1 2 带权图如右,求图的最小生成树 6 5 e 4 解:选取含最大边(c,d)的回路cdec, 3 删去其中权数最大的边(c,d),然后 b 1 c 再选取含最大边(a,b)的回路abea,删去其中权数最 大的边(a,b),再选取含最大边(c,e)的回路bceb,删 去其中权数最大的边(c,e),再选取含最大边(a,d)的 回路adea,删去其中权数最大的边(a,d),即得最小 a 生成树。 d 1 T=<{a,b,c,d,e},{(c,b),(b,e),(e,a),(e,d)}>。 e 2
汉密尔顿图的判定:
必要条件但不是充分条件定理: 1。在汉密尔顿图G中删除结点集V1后,G-V1的 连通分支数W (G V1 ) | V 1|。不满足这一条件的图一 定不是汉密尔顿图。 充分条件但不是必要条件定理: 2。如果无向简单图G中任何一对结点的度数之和 都大于等于结点数,则G中存在一条汉密尔顿回路。
例题4: 下列结论不正确的是( D )。 A)无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不 含奇数度结点 B)非平凡连通图G有欧拉通路的充分必要条件是 G最多有两个奇数度结点 C)有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的 每个结点的入度等于出度 D)有向连通图D是有向欧拉图的充分必要条件是 除两个结点外,每个结点的入度等于出度
例题3: 设G是无向图如右(彼得森图), 说明G不是欧拉图。 解:因为无向图G中所有的 结点的度数全为奇数,所以 G不是欧拉图。 2。无向连通图存在欧拉通路的充分必要条件是图 中只有两个奇数度的结点。 3。当n为奇数时,完全无向图Kn是欧拉图。例 如K3、K5等。 4。当n为偶数时,完全无向图Kn不是欧拉图,也 不存在欧拉通路。
g
例题8: 设图G如右,作图G 的嵌入图,说明图G是 平面图。 解: 图G的嵌入图如下, 故图G是平面图。

图,上海大学,离散数学

图,上海大学,离散数学
–图的着色(补充)
29
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: (1) 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点,
V*= { vi*| i=1,2,…,r }.
(2) 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交;
例如
极大平面图
外部面的次数为4 非极大平面图
13
极小非平面图
定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图. 例如: (1) K5, K3,3都是极小非平面图; (2)下述4个图也都是极小非平面图.
14
6.4.4 平面图
–平面图与平面嵌入
–平面图的面及其次数 –极大平面图 –极小非平面图 –欧拉公式
11
极大平面图
定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 例如:
K1, K2, K3, K4都是极大平面图;
(1)是K5删去一条边, 是极大平面图. (2)、(3)不是.
(1)
(2)
(3)
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极大平面图的性质
• • •
极大平面图是连通的; 结点数大于等于3的极大平面图不可能存在割点和桥。 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条 件是, G每个面的次数均为3.
x1 1 x5 2 3 2 x2 x4 x3
与K3,3同胚
与K5同胚
也可收缩到K3,3
也可收缩到K5
27
实例
例6 画出所有非同构的6阶11条边的简单连通非平面图. 解: 在K5(5阶10条边)上 加一个顶点和一条边

离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路

离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路

第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文,解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展,图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念,接着研 究了连通图性质和规律,给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
(本课程仅讨论无向图和有向图)
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中:V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G:G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即,deg(v)=deg-(v)+deg+(v),或简记为d(v)=d-(v)+d+(v)
4)最大出度:+(G) =max deg+(v) | vV
5)最小出度:+(G) = min deg+(v) | vV
6)最大入度: (G) =max deg-(v) | vV
7)最小入度: (G) = min deg-(v) | vV
解:G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下,图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此,图可以简单的表示为:

离散数学PPT【共34张PPT】

离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色,
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色(G是k-可着色的)——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的,但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图,则(G)=3,若G为偶阶轮 图,则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空,则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中,只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中,绿色边不在M中,则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径;(2)中的全不是可增广的交错路 径;(3)中是一个交错圈. 不难看出,可增广交错路径中,不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数,记为0
(1)
(2)
在图中,点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点,则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索: (1) 设V*为G的极大点独立集,证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2,奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数(n1)时,(Kn)=n;
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平面图和平面嵌入
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G 的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入, (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
1
平面图和平面嵌入(续)
今后称一个图是平面图,
K5
K3,3
10
与欧拉公式有关的定理(续)
定理: 设G为有 p (p2) 个连通分支的平面图, 且每个面的次数不小于l (l 3), 则
l m ( n p 1) l2
定理 设G为简单平面图,则 (G)5.
11
同胚与收缩
消去2度顶点v 如上图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如上图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如下图从(1)到(2)
E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
15
平面图的对偶图(续)
例 黑色实线为原平面图, 红色虚线为其对偶图
16
平面图的对偶图(续)
性质: G*是平面图,而且是平面嵌入. G*是连通图 若边e为G中的环,则G*与e对应的边e*为桥; 若e 为桥,则G*中与e对应的边e*为环. 在多数情况下,G*含有平行边. 同构的平面图的对偶图不一定同构. 上面两个平面图是同构的, 但它们的对偶图不同构.
可以是指定义中的平面图 , 又可 以是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的 画法有关时, 是指平面嵌入. K5
K5和K3,3是非平面图 设G G, 若G为平面图, 则G 也是
平面图; 若G 为非平面图, 则G也 是非平面图.
Kn(n5), K3,n(n3)都是非平面图. 平行边与环不影响图的平面性.
8
欧拉公式(续)
欧拉公式的推广 设G是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则 nm+r=p+1 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp+ p1, 即得 面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度,用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 还可能是非连通的回路之并. 定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍.
12
库拉图斯基定理
定理 G是平面图G中不含与K5同胚的子图, 也不
含与K3,3同胚的子图. 定理 G是平面图G中无可收缩为K5的子图, 也无
可收缩为K3,3的子图.
13
非平面图证明
例 证明下述2个图均为非平面图.

图中红色部分分别与K3,3和 K5 同胚
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平面图的对偶图
定义 设平面图G, 有n个顶点, m条边和r个面, 构造G
4
极大平面图
定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图.
性质 若简单平面图中已无不相邻顶点,则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图. 极大平面图必连通. 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥. 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. 任何n(n4)阶极大平面图G均有δ(G)3.
的对偶图G*=<V*,E*>如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上,
则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek为G中的桥且在
面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*).
5
实例
3个图都是平面图, 但只有右边的图为极大平面图.
6
极小非平面图
定义 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图 都是平面图, 则称G为极小非平面图. 说明: K5, K3,3都是极小非平面图 极小非平面图必为简单图 下面4个图都是极小非平面图
7
欧拉公式
定理8.11 (欧拉公式) 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 nm+r=2. 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论为真. 设m=k(k0)结论为真, m=k+1时分情况讨论如下: (1) G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及它关 联的边, 记作G . G 连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归 纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. (2) 否则,删除一个圈上的一条边,记作G . G 连通, 有n个顶 点,k条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论也成立. 证毕.
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与欧拉公式有关的定理
定理 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次数不 l 小于l (l 3), 则
m
l2
( n 2)
证 由定理 (各面次数之和等于边数的2倍)及欧拉公式得 2m lr = l (2+m-n) 可解得所需结论. 推论 K5 和 K3,3不是平面图. 证 用反证法, 假设它们是平面图, 则 K5 : n=5, m=10, l=3 K3,3 : n=6, m=9, l=4 与定理矛盾.
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平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界.
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
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