(完整版)函数单调性练习题
函数的单调性与奇偶性-练习题-基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数xx f 3)(=在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1B ．x y 2=C ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝｜x －1｜＋23．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．21≥a B ．21≤a C ．21>a D ．21<a ~4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( )A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．是增函数或减函数 (二)填空题5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______．6．若函数xax f =)(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)43(f 的大小关系是______。
*9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． -(三)解答题10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说f (x )在定义域上是增函数；乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。
；11．已知函数.21)(-=xx f (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．12．已知函数||1)(x x f =． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；&(2)画出函数f (x )的图象，并根据图象写出函数f (x )的单调区间及单调性．2 函数单调性(二) (一)选择题1．一次函数f (x )的图象过点A (0，3)和B (4，1)，则f (x )的单调性为( )（A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减 2．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．),53(+∞D ．)53,(-∞3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( )A ．(3，8)B ．(－2，3)C ．(－3，－2)D ．(0，5) 4．已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数，其值域为M ，则下列说法中 ①若x 0∈D ，则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ，则有唯一的x 0∈D ！③对任意实数a ，至少存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a ④对任意实数a ，至多存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a 错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (二)填空题 5．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． 6．函数])2,1[(12∈-=x xx y 的值域是______． *7．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有0)()(<--yx y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)． -8．若函数y ＝ax 和x by -=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x ab y 在(－∞，＋∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)．9．若函数⎩⎨⎧<-≥+=)1(1)1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是______．(三)解答题10．某同学在求函数]4,1[,)(∈+=x x x x f 的值域时，计算出f (1)＝2，f (4)＝6，就直接得值域为[2，6]．他的答案对吗，他这么做的理由是什么11．用max{a ，b }表示实数a ，b 中较大的一个，对于函数f (x )＝2x ，xx g 1)(=，记F (x )＝max{f (x )，g (x )}，试画出函数F (x )的图象，并根据图象写出函数F (x )的单调区间．|*12．已知函数f (x )在其定义域内是单调函数，证明：方程f (x )＝0至多有一个实数根．3 函数的奇偶性·(一)选择题1．下列函数中：①y ＝x 2(x ∈[－1，1]) ； ②y ＝｜x ｜； ;1)(xx x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )＜0 D ．f (x )·f (－x )≤0￥3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x fA ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4．下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
(完整版)高一上学期《函数单调性的证明》练习题
高一上学期《函数单调性的证明》练习题1．函数y=f(x)对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1,当x＞0时，f（x）＞1，且f(3）=4，则( ）A．f（x)在R上是减函数，且f（1)=3 B．f（x）在R上是增函数,且f（1）=3C．f(x）在R上是减函数，且f(1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=22．已知函数y=f(x)在(0，+∞）上为增函数，且f（x）＜0(x＞0)．试判断F（x)=在（0,+∞）上的单调性并给出证明过程．3．已知函数y=f（x)在(0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f(x）=在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．4．已知函数f（x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f（y）=f(x+y)，且当x＞0时，f（x）＜0,f(1）=﹣．（1）求f（0）；（2）求证:f（x）在R上是减函数;(3）求f（x）在[﹣3,3]上的最大值和最小值．5．函数f（x）对任意a,b∈R，有f(a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f(x)＞1．（Ⅰ)求证：f（x)是R 上的增函数;（Ⅱ)若f（﹣4）=5,解不等式f（3m2﹣m﹣3)＜2．6．函数f（x）对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a)+f(b）﹣1，并且当x＞0时,f(x)＞1．（1）求证:f(x）是R上的增函数；（2）若f(4）=5，解不等式f(3m2﹣m﹣2)＜3．7．函数f(x）对任意的a、b∈R，都有f（a+b)=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f(x）＞1．（1）求证:f（x）是R上的增函数；(2）若f（2）=3，解不等式f（m﹣2）＜3．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y)=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞﹣1；（Ⅰ）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；（Ⅱ）若f（1）=1，解关于x的不等式;f（x2+2x)+f（1﹣x）＞4．9．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x)+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f(0）的值;（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数;（3)解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．10．定义在R上的函数 y=f(x）对任意的x，y∈R，满足条件：f(x+y）=f（x）+f（y）﹣2，且当x＞0时，f（x）＞2（1)求f(0）的值；（2）证明：函数f(x）是R上的单调增函数;（3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．11．已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f(x）•f(y）=f(x+y）．（1）求f(0)的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；(2）设当x＜0时，都有f（x)＞f(0）,证明：f(x）在(﹣∞，+∞）上是减函数．高一《函数单调性的证明》练习题参考答案与试题解析1．函数y=f （x ）对于任意x 、y ∈R ，有f(x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1，当x ＞0时，f （x ）＞1，且f （3）=4，则（ ）A ．f （x ）在R 上是减函数，且f （1）=3B ．f(x ）在R 上是增函数，且f （1）=3C ．f （x ）在R 上是减函数，且f （1)=2D ．f （x ）在R 上是增函数，且f （1)=2【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性,再由f （3）=f （1）+f （2）﹣1=f(1)+f （1）+f(1）﹣1﹣1=4，解出f （1）． 【解答】解：设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2)=f （x 1﹣x 2+x 2）﹣f(x 2）=f(x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣1﹣f(x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1＞1﹣1=0,即f （x 1)＞f(x 2）， ∴f （x ）为增函数．又∵f （3）=f(1）+f （2）﹣1=f(1)+f （1）+f(1）﹣1﹣1=3f （1）﹣2=4, ∴f （1)=2． 故选：D ．2．已知函数y=f （x ）在（0，+∞)上为增函数，且f （x ）＜0（x ＞0)．试判断F(x ）=在（0，+∞） 上的单调性并给出证明过程．【分析】首先，设x 1，x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2,然后根据函数f （x ）的单调性进行证明即可． 【解答】解：函数F(x ）=为（0,+∞）上减函数，证明如下：任设x 1,x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， ∵y=f （x ）在（0，+∞)上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），f（x1)＜0,f（x2）＜0,F（x1）﹣F(x2）=﹣=,∵f（x1）＜f(x2），∴f(x2）﹣f（x1)＞0，∵f（x1)＜0，f（x2）＜0，∴f(x1）•f（x2)＞0，∴F（x1）﹣F（x2）＞0，即F（x1）＞F（x2),则F(x)为（0，+∞）上的减函数．3．已知函数y=f(x）在(0，+∞）上为减函数，且f（x)＜0（x＞0）,试判断f（x）=在（0,+∞）上的单调性，并给出证明过程．【分析】首先，设x1,x2∈（0，+∞）,且x1＜x2，然后，比较大小，从而得到结论．【解答】解：函数为（0，+∞）上增函数,证明如下：任设x1，x2∈（0,+∞)且x1＜x2，∵y=f（x)在（0，+∞)上为减函数，∴f（x1）＞f(x2)，f（x1）＜0,f（x2）＜0，=，∵f（x1）＞f(x2)，∴f（x2）﹣f(x1)＜0，∵f(x1）＜0，f(x2）＜0，∴f(x 1）•f （x 2）＞0， ∴g （x 1）﹣g(x 2）＜0， ∴为（0,+∞）上的增函数．4．已知函数f （x)对任意x,y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f(x+y ）,且当x ＞0时,f(x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求f （0）;（2)求证：f （x ）在R 上是减函数；(3）求f(x)在[﹣3,3］上的最大值和最小值． 【分析】（1）令x=y=0⇒f(0）=0;（2)令y=﹣x 即可证得f （﹣x ）=﹣f （x ），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f(x)是R 上的减函数；（3)利用f （x ）在R 上是减函数可知f(x ）在[﹣3，3］上也是减函数，易求f （3）=﹣2，从而可求得f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值． 【解答】解：(1)令x=y=0,则f （0）=0; （2）令y=﹣x ，则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1,x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1)=f(x 2)+f(﹣x 1)=f （x 2﹣x 1） ∵x 2＞x 1， ∴x 2﹣x 1＞0,又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1)＜0,即f(x 2）﹣f （x 1）＜0， 由定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．(3）∵f （x ）在R 上是减函数， ∴f （x ）在［﹣3,3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f(1)=f(1）+f （1）+f （1）=3×（﹣)=﹣2， 由f （﹣x ）=﹣f （x)可得f （﹣3）=﹣f （3）=2， 故f （x ）在［﹣3,3]上最大值为2，最小值为﹣2．5．函数f （x ）对任意a ，b ∈R,有f(a+b ）=f(a ）+f(b)﹣1,且当x ＞0时，f(x)＞1． （Ⅰ）求证：f(x ）是R 上的增函数；(Ⅱ）若f （﹣4）=5，解不等式f （3m 2﹣m ﹣3)＜2．【分析】（Ⅰ）设实数x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0,利用已知可得f(x 2﹣x 1)＞1．再利用已知可得f(x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1＞1+f （x 1）﹣1=f （x 1）即可;（Ⅱ)令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f （﹣2)=3，f （﹣1）=2，不等式f （3m 2﹣m ﹣3）＜2．化为f （3m 2﹣m ﹣3)＜f （﹣1），由（1）可得:f （x ）在R 上是增函数．可得3m 2﹣m ﹣3＜﹣1,解得即可．【解答】解：(Ⅰ）证明：设x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0， ∵当x ＞0时，f （x ）＞1，∴f(x 2﹣x 1）＞1．又函数f （x)对任意a,b ∈R 都有f （a+b ）=f(a ）+f(b ）﹣1，∴f （x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1)+f （x 1）﹣1＞1+f （x 1）﹣1=f(x 1)， ∴f(x 2）＞f(x 1），∴f （x ）在R 上是增函数；（Ⅱ)令a=b=﹣2，则f （﹣2﹣2）=f （﹣2)+f （﹣2）﹣1=5,解得f （﹣2）=3， 再令a=b=﹣1，则f （﹣1﹣1)=f （﹣1）+f （﹣1）﹣1=3，解得f(﹣1）=2． 不等式f （3m 2﹣m ﹣3)＜2．化为f （3m 2﹣m ﹣3)＜f （﹣1）．由（1）可得：f（x)在R上是增函数．∴3m2﹣m﹣3＜﹣1,解得﹣＜m＜1．∴不等式f（3m2﹣m﹣3)＜2的解集为（﹣，1）．6．函数f（x）对任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a)+f（b）﹣1,并且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求证:f（x）是R上的增函数；(2）若f（4）=5，解不等式f(3m2﹣m﹣2)＜3．【分析】(1）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2﹣x1)＞1，再对f（x2)按照f(a+b）=f(a）+f（b)﹣1变形得到结论．（2）由f(4）=f（2）+f(2）﹣1求得f（2）=3,再将f（3m2﹣m﹣2）＜3转化为f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：(1）证明：任取x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．∴f（x2﹣x1)＞1．∴f（x2）=f［x1+(x2﹣x1）］=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f(x1），∴f（x)是R上的增函数．（2）∵f（4）=f（2）+f(2）﹣1=5，∴f（2）=3．∴f(3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）．又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数,∴3m2﹣m﹣2＜2,3m2﹣m﹣4＜0,∴﹣1＜m ＜．7．函数f （x ）对任意的a 、b ∈R ，都有f （a+b)=f （a ）+f(b ）﹣1，并且当x ＞0时,f （x ）＞1． （1）求证：f （x ）是R 上的增函数； （2）若f(2）=3,解不等式f （m ﹣2）＜3．【分析】（1)先任取x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0．由当x ＞0时，f （x ）＞1．得到f （x 2﹣x 1）＞1，再对f （x 2）按照f （a+b)=f （a ）+f （b)﹣1变形得到结论．（2)由f （2）=3，再将f （m ﹣2）＜3转化为f （m ﹣2)＜f （2），由(1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：（1）证明:任取x 1＜x 2, ∴x 2﹣x 1＞0．∴f(x 2﹣x 1）＞1．∴f （x 2）=f ［x 1+（x 2﹣x 1)］=f （x 1）+f(x 2﹣x 1）﹣1＞f(x 1）， ∴f(x)是R 上的增函数． （2）∵f （2)=3． ∴f （m ﹣2）＜3=f(2）．又由（1）的结论知，f （x ）是R 上的增函数， m ﹣2＜2，m ＜4∴解不等式f （m ﹣2）＜3的解集为：（﹣∞，4)．8．已知定义在R 上的函数f(x ）满足：①f(x+y ）=f(x ）+f （y)+1，②当x ＞0时，f （x ）＞﹣1； （Ⅰ）求:f （0)的值，并证明f （x ）在R 上是单调增函数；（Ⅱ)若f （1）=1，解关于x 的不等式；f （x 2+2x ）+f （1﹣x ）＞4．【分析】（Ⅰ）根据已知条件中，：①f （x+y ）=f(x ）+f （y ）+1,②当x ＞0时，f （x ）＞﹣1;令x=y=0，即可求出f （0）的值，在R 上任取x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，根据f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]，结合已知条件，即可判断函数的单调性;(Ⅱ)若f （1）=1，则我们易将关于x 的不等式；f(x 2+2x)+f （1﹣x ）＞4化为f （x 2+x+1）＞f （3），结合（I ）的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式,进而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ)令x=y=0 ∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+1， ∴f （0）=f （0）+f （0）+1 ∴f （0)=﹣1,在R 上任取x 1＞x 2,则x 1﹣x 2＞0， ∵当x ＞0时，f （x)＞﹣1， ∴f （x 1﹣x 2）＞﹣1则f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2］， =f （x 1﹣x 2)+f （x 2）+1＞f （x 2)， ∴f （x ）在R 上是单调增函数．(Ⅱ）由f(1)=1得：f （2）=3，f(3）=5,则关于x 的不等式；f(x 2+2x ）+f(1﹣x)＞4可化为 关于x 的不等式;f(x 2+2x ）+f （1﹣x ）+1＞5, 即关于x 的不等式；f （x 2+x+1）＞f （3), 由(Ⅰ）的结论知f （x ）在R 上是单调增函数， 故x 2+x+1＞3,解得：x ＜﹣2或x ＞1,故原不等式的解集为：（﹣∞,﹣2)∪（1，+∞）．9．定义在R 上的函数y=f （x)对任意的x 、y ∈R ，满足条件：f （x+y ）=f （x ）+f （y)﹣1，且当x ＞0时，f （x ）＞1． （1）求f （0）的值;（2）证明:函数f （x ）是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式f （2t 2﹣t)＜1．【分析】（1）用赋值法分析：在f （x+y ）=f （x ）+f(y ）﹣1中，令x=y=0可得:f （0）=f （0）+f （0）﹣1，解可得f （0）的值，即可得答案；(2）用定义法证明：设x 1＞x 2,则x 1=x 2+（x 1﹣x 2）,且（x 1﹣x 2）＞0，结合题意可得f （x 1）=f ［（x 1﹣x 2）+x 2]=f （x 2）+f （x 1﹣x 2）﹣1，作差可得f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1，分析可得f （x 1）﹣f （x 2）＞0,由增函数的定义即可得证明;（3）根据题意,结合函数的奇偶性与f （0）=1可得2t 2﹣t ＜0，解可得t 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，在f （x+y ）=f （x ）+f(y ）﹣1中， 令x=y=0可得:f （0)=f （0）+f （0)﹣1， 解可得：f （0)=1，（2）证明：设x 1＞x 2，则x 1=x 2+（x 1﹣x 2）,且x 1﹣x 2＞0， 则有f （x 1）=f ［(x 1﹣x 2）+x 2]=f （x 2）+f(x 1﹣x 2)﹣1， 即f （x 1）﹣f(x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1， 又由x 1﹣x 2＞0，则有f （x 1﹣x 2）＞1， 故有f(x 1）﹣f(x 2）=f （x 1﹣x 2)﹣1＞0， 即函数f(x)为增函数；（3）根据题意，f （2t 2﹣t ）＜1, 又由f （0）=1且函数f （x ）为增函数，则有2t 2﹣t ＜0, 解可得0＜t ＜．10．定义在R 上的函数 y=f(x) 对任意的x ，y ∈R ，满足条件:f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2，且当x ＞0时,f （x ）＞2 (1)求f （0）的值；（2）证明：函数f(x ）是R 上的单调增函数; (3)解不等式f （2t 2﹣t ﹣3）﹣2＜0．【分析】（1）由题意 y=f （x ） 对任意的x ，y ∈R,关系式成立，采用赋值法,可得f(0）的值; （2）利用定义证明其单调性．（3）利用单调性及f （0）的值，求解不等式即可．【解答】解:由题意：函数 y=f(x ）定义在R 上 对任意的x ，y ∈R 满足条件:f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2， ∴令x=y0，由f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2, 可得：f （0)=f （0）+f （0）﹣2， 解得：f （0）=2． 故f(0）的值为：2．（2)证明：设x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ， 则x 2﹣x 1＞0，由(1）可得f （x 2﹣x 1）＞2．因为对任意实数任意的x,y ∈R ，都有f （x+y)=f （x ）+f （y ）﹣2， 所以f （x 2)=f （x 2﹣x 1+x 1）=f(x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣2＞f （x 1）所以函数f（x）是R上的单调增函数．（3）解：由（1）（2)可知函数f（x)是R上的单调增函数．且f（0）=2；不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0，变形得f（2t2﹣t﹣3）＜2，转化为f（2t2﹣t﹣3）＜f(0)．故得：2t2﹣t﹣3＜0解得：，所以原不等式的解集是（﹣1，）．11．已知f（x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x）•f（y)=f （x+y)．（1）求f(0)的值,并证明对任意的x∈R,有f（x）＞0；（2)设当x＜0时，都有f(x)＞f(0），证明：f（x)在（﹣∞，+∞）上是减函数．【分析】（1）令x=y=0,代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f(0），再有x=+,即可证得对任意的x∈R,有f(x)＞0；(2)设x1,x2∈R且x1＜x2,利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．【解答】解:（1)可得f（0）•f(0）=f（0）∵f(0）≠0∴f（0）=1又对于任意又，∴f（x）＞0(2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2)=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2)=f（x2）［f（x1﹣x2）﹣1］∵x1﹣x2＜0∴f（x1﹣x2）＞f（0）=1∴f(x1﹣x2）﹣1＞0对f（x2)＞0∴f（x2)f［（x1﹣x2）﹣1]＞0∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数。
函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数2)(－＝x x f ，∈x ｛0，1，2，4｝的最大值为_____.（2）函数123)(－＝x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____.2、利用单调性的定义证明函数21)(xx f ＝在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明.4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)f(15)与6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1）上是减函数，且)23()1(－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x xx x x 2221123-----+||（4）2012－－＝x x y 8、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．9、判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)axx 21-10、求函数xx x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1）11)1()(－＋－＝x x x x f ；（2）a x f ＝)(（R x ∈）；（3）3232)52()52()(－－＋＝x x x f 12、若32)1(2＋＋－＝mx x m y 是偶函数，则m ＝_________．13、已知函数c bx ax x f ＋＋＝2)(（0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ＋＋＝23)(是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数14、已知函数b a bx ax x f ＋＋＋＝3)(2是偶函数，且其定义域为[1－a ,a 2]，则（）A．31=a ，b ＝0B．a ＝－1，b ＝0C．a ＝1，b ＝0D．a ＝3，b ＝015、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2－＝，则)(x f 在R 上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）16、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数17、若)(x ϕ，)(x g 都是奇函数，2)()()(＋＋＝x bg x a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则)(x f 在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－318、函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．19、判断函数＝)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧0130132323＜，－＋＞，＋－x x x x x x 的奇偶性.20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．21、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式为_______，)(x g 的解析式为_______.22、已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R，y ∈R），且f （0）≠0.试证f （x ）是偶函数．23、设函数y＝f（x）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f（x 1·x 2）＝f（x 1）＋f（x 2）.求证f（x）是偶函数．函数单调性和奇偶性专项练习答案1、【答案】（1）2（2）3，312、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为0≥x 和0＜x 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4)；（2）∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)6、【答案】实数a 的取值范围是（31，43）7、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，21）；减区间是[21，5)和（5，＋∞）8、【答案】a 的取值范围是0≤a ≤1．9、【答案】当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得)2(f ＝4是最小值，)1(f ＝5是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）0＝a ，)(x f 既是奇函数又是偶函数；0≠a ，)(x f 是偶函数；（3）)(x f 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A 14、【答案】选B 15、【答案】选D 16、【答案】选B 17、【答案】选C 18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x ＞0和x ＜0两种情况，分别证明)()(x f x f ＝－－即可.20、【答案】解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．21、【答案】11)(2-=x x f ，1)(2－＝x xx g 22、证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．23、证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．。
函数单调性习题大全
函数的单调性一、选择题1. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数 的增区间是（ ）。
A ．B ．C ．D ．3． 在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A ．B ．C ．D ．4．当时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数（D ）无法确定增减性6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 A ．（13，23） B ．（∞-，23） C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32 8.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( ) A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)9.若(31)41()log 1a a x ax f x xx -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)710.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14]D ．(－∞，3)二、填空题1．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________ 2．已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：①（ 为常数）是___________； ②（ 为常数）是___________；③是____________； ④是__________．3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题1．求函数的单调递减区间.2.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数3.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
函数的单调性练习题(含标准答案)
函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
数学必修一《函数的单调性》精选练习(含答案解析)
数学必修一《函数的单调性》精选练习（含答案解析）一、选择题1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x) ( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+43下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.A.①B.②C.③D.④4.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是( )A.(2,7)B.(-2,3)C.(-6,-1)D.(0,5)5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )A.>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.>06.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6).7.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于( )A.-3B.13C.7D.由m而定的常数8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)二、填空题9.函数f(x)=的减区间是.10.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.11.已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为.12.函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是.13.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.三、解答题14.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.15.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.16.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).求证:函数F(x)在R上是单调增函数.17.定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.参考答案与解析1【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.2【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.3【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.4【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).5【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1<x2时,可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.6【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤67【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13. 8【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).9【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].答案:(0,1]10【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)11【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0. 答案:(-3,0)【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.答案:a≥213【解析】依题意,得不等式组解得<x≤4.答案:【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.14【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.15【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.16【证明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函数F(x)在R上是单调增函数.17【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3, 故不等式的解集为{t|t≤3}.。
函数的单调性·基础练习
函数的单调性·基础练习函数的单调性(一)选择题[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数2．函数(1) ,(2) ,(3) ,(4) 中在上围增函数的有[ ]A ．(1)和(2)B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A 、B 、C 、D 、4．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是[ ]1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2x y =x x y =x x y 2-=x xx y +=)0,(-∞21>k 21<k 21->k 21-<kA 、B 、C 、D 、6．若y ＝f (x )在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A ．在区间上是减函数B ．y ＝－f (x )在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f (x )|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f (x )|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f (a)＞f(2a)B ．f (a 2)＜f (a)C ．f (a 2＋a)＜f (a)D ．f (a 2＋1)＜f (a)(二)填空题1．(1)函数的单调区间是 (2)函数的单调区间是 2．函数y ＝4x 2－m x ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________．3．(1)函数的增区间是(2)函数的减区间是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,43)(1x f y =()b a ,xy -=11xx y +-=11245x x y --=322-+=x x y4．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f (x )的单调递减区间是________．5．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与之间的大小关系是 。
函数单调性练习题
函数单调性练习题函数单调性是高中数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的变化规律。
通过研究函数的单调性，我们可以更深入地理解函数的性质和特点。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来探讨函数的单调性。
1. 练习题一给定函数f(x) = x^2 - 3x + 2，判断其在定义域上的单调性。
解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数f'(x)。
对于f(x) = x^2 - 3x + 2，求导得到f'(x) = 2x - 3。
接下来，我们观察f'(x)的符号变化。
当f'(x) > 0时，函数f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，函数f(x)单调递减。
解方程 2x - 3 = 0，得到x = 3/2。
我们可以得到以下结论：- 当x < 3/2时，f'(x) < 0，即f(x)在这个区间上单调递减；- 当x > 3/2时，f'(x) > 0，即f(x)在这个区间上单调递增。
所以，函数f(x)的定义域上是先递减后递增的。
2. 练习题二考虑函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，判断其在定义域上的单调性。
解析：同样地，我们计算函数g(x)的一阶导数g'(x)。
对g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6进行求导，得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
我们需要找出g'(x)的符号变化。
解方程3x^2 - 12x + 11 = 0之后，我们可以得到两个根x = 1和x = 11/3。
现在我们可以得到以下结论：- 当x < 1时，g'(x) > 0，即g(x)在这个区间上单调递增；- 当1 < x < 11/3时，g'(x) < 0，即g(x)在这个区间上单调递减；- 当x > 11/3时，g'(x) > 0，即g(x)在这个区间上单调递增。
(完整版)(练习题)函数单调性与最值
【解析】
试题分析：由题意得 ，所以 ，选A.
考点:二次函数单调性
【思路点睛】函数单调性的常见的命题角度有：
1求函数的值域或最值；
2比较两个函数值或两个自变量的大小；
3解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f（g(x）)>f(h（x））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组），此时要注意g(x）与h（x）的取值应在外层函数的定义域内；
9．D
【解析】
试题分析：二次函数 的单调递减区间为 ,由题可知： ，所以有 ，即 ，故选D.
考点:二次函数的单调性.
10．B
【解析】
试题分析：依题意可知 ，另外 ，综上所述, 。
考点：分段函数图象与性质。
【思路点晴】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较。对于函数单调区间 的求解，一般要根据函数的表达形式来选择合 适的方法,对于基本初等函数单调区间的求解，可以在熟记基本初等函数的单调性的基础上进行求解；对于在基本初等函数的基础上进行变化的函数，则可以采用利用函数图象求出相应的单调区间来求得；复合函数的单调区间的求得宜采用复合函数法（同增异减)的方法来求得；绝大部分函数的单调区间可以利用导数来求得。
试题分析：先利用分类讨论思想对a分类 再利用换元法将y变成 ,然后利用二次函数对称轴t=—1,所以在区间t 上函数单调递增,即可确定f(x）max= 由题得f（x）max=14,所以可以求出 。
试题解析：令 ，则原函数化为 2分
①当 时， 3分
此时 在 上为增函数,所以 6分
所以 7分
②当 时, 8分
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。
函数单调性练习题
函数单调性演习题1.（1）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数,则实数a 的取值规模是.（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞,4］,则实数a 的取值规模是 .（3）已知x ∈[0,1],则函数的最大值为_______最小值为_________ 2.评论辩论函数f(x)＝21x ax - (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.解：设-1＜x 1＜x 2＜１,则f(x 1)-f(x 2)＝2111x ax --2221x ax -＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x a --+- ∵x 1,x 2∈(-1,1),且x 1＜x ２,∴x 1-x 2＜0,1+x 1x 2＞0,(1-x 21)(1-x 22)＞0 于是,当a ＞0时,f(x 1)＜f(x 2);当a ＜0时,f(x 1)＞f(x 2).故当a ＞0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a ＜0时,函数在(-1,1)上为减函数.3.断定函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数照样减函数,并证实你的结论;假如x ∈（0,＋∞）,函数f (x )是增函数照样减函数？4.已知：f (x )是界说在[－1,1]上的增函数,且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值规模．5.设y=f (x )的单增区间是(2,6),求函数y=f (2－x )的单调区间．6．函数21)(++=x ax x f 在区间（-2,+∞）上是增函数,那么a 的取值规模是（ ）A.210<<aB.21>a C.a<-1或a>1D.a>-2解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a(x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1,x 2∈(－2,＋∞),且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x1＋2－1－2a x2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2,＋∞)上为增函数,∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0,x 1＋2>0,x 2＋2>0,∴1－2a <0,a >12.即实数a 的取值规模是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋∞.x x y --+=122上是单调递减的. ）, （－ 在 , 由复合函数单调性可知 是单减的, 上 在 又 ）, （－ ）, （ 而 ）上是增函数, , （ 在 则由已知得 解：令 0 4 )] ( [ ) 2 ( ) 0 , 4 ( 2 ) ( 0 4 6 2 2 ) ( 6 2 ) ( , 2 ) ( ∈ = - - ∈ - = ∈ ∴ ∈ - = ∈ - = x x t f x f x x x t x x x t t t f x x t ），的单减区间是（－04)2(x f -∴7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x x ≥04x －x2x<0.若f (2－a 2)>f (a ),则实数a 的取值规模是( )A ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)解析：f (x )＝⎩⎨⎧x2＋4x ＝(x ＋2)2－4x ≥04x －x2＝－(x －2)2＋4x<0由f (x )的图象可知f (x )在(－∞,＋∞)上是单调递增函数,由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ,即a 2＋a －2<0,解得－2<a <1.故选C. 8.已知f (x )在其界说域R +上为增函数,f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),解不等式f (x )+f (x －2) ≤39.已知界说在区间（0,+∞）上的函数f(x)知足f()21x x =f(x 1)-f(x 2),且当x ＞1时,f(x)＜0. （1）求f(1)的值;（2）断定f(x ）的单调性;（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. （1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0.（2）当0 < x < y 时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 .故f 单调减.（3）f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f （｜x ｜)＜-2 = f(9),且f 单调减,所以| x | > 9 x ＞9或x ＜-910.函数f(x)对随意率性的a.b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时,f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数; （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. （1）设x1,x2∈R ,且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解：)2()2()(2x x f x f x f -=-+又)8()2(2f x x f ≤-由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->∴82020R )(2x x x x x f 上的增函数为＋ (]42，解得∈x∴f （x2）＞f(x1).即f(x)是R 上的增函数.（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5,∴f （2）=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m ＜ ,故解集为 .11.设f （x ）的界说域为（0,+∞）,且在（0,+∞）是递增的,)()()(y f x f y xf -=（1）求证：f （1）=0,f （xy ）=f （x ）+f （y ）;（2）设f （2）=1,解不等式2)31()(≤--x f x f .（1）证实：)()()(y f x f y xf -=,令x=y=1,则有：f （1）=f （1）-f （1）=0,)()()]()1([)()1()()1()(y f x f y f f x f y f x f y x f xy f +=--=-==.（2）解：∵)]3()1([)()31()(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=, ∵2=2×1=2f （2）=f （2）+f （2）=f （4）,∴2)31()(≤--x f x f 等价于：)4()3(2f x x f ≤-①, 且x>0,x-3>0[由f （x ）界说域为（0,+∞）可得∵03)3(2>-=-x x x x ,4>0,又f （x ）在（0,+∞）上为增函数, ∴①41432≤≤-⇒≤-⇔x x x .又x>3,∴原不等式解集为：{x|3<x ≤4}. 12.已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0,则f (x )的界说域是________;(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值规模是________． 解析：34⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1(1)当a >0且a ≠1时,由3－ax ≥0得x ≤3a,即此时函数f (x )的界说域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞3a ;(2)当a －1>0,即a >1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需3－a ×1≥0,此时1<a ≤3. 当a －1<0,即a <1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需－a >0,此时a <0. 综上所述,所求实数a 的取值规模是(－∞,0)∪(1,3]．13. 界说在R 上的函数()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >,且对随意率性的a b R ∈、,有()()()f a b f a f b +=⋅.(1)求(0)f 的值;(2)求证：对随意率性的x R ∈,恒有()0f x >;(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->,求x 的取值规模.解：（1）解：令0a b ==,则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠,(0)1f =. （2）证实：当0x <时,0x ->,∴()1f x ->∵(0)()()1f f x f x =⋅-=,∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时, ()10f x ≥>∴对随意率性的x R ∈,恒有()0f x >.（3）解：设12x x <,则210x x ->.∴21()1f x x ->. 又1()0f x >∴1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅=121()[1()]0f x f x x --<∴12()()f x f x <.∴()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->,(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴230x x ->,∴03x <<∴所求的x 的取值规模为(0,3)14.已知函数f (x )对于随意率性x ,y ∈R ,总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数;(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)解法一：∵函数f (x )对于随意率性x ,y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),∴令x ＝y ＝0,得f (0)＝0.再令y ＝－x ,得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2,则x 1－x 2>0,f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时,f (x )<0,而x 1－x 2>0,∴f (x 1－x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2)．是以f (x )在R 上是减函数． 解法二：设x 1>x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时,f (x )<0,而x 1－x 2>0,∴f (x 1－x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数,∴f (x )在[－3,3]上也是减函数,∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分离为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2,f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2,最小值为－2.。
(完整版)函数的单调性和奇偶性练习题
—函数的单调性和奇偶性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤-3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在（0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈[－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
有关函数单调性的练习题
有关函数单调性的练习题一、判断题1. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x)在[a, b]上非负。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递减，则f'(x)在[a, b]上非正。
3. 函数y = x^3在实数域上单调递增。
4. 函数y = x^2在区间[0, +∞)上单调递减。
5. 函数y = e^x在实数域上单调递增。
二、选择题A. (∞, 0)B. (0, +∞)C. (1, 1)D. (∞, 1)∪(1, +∞)A. f(x)在实数域上单调递增B. f(x)在实数域上单调递减C. f(x)在区间[0, 3]上单调递增D. f(x)在区间[0, 3]上单调递减A. f(x)在区间[0, 2]上恒有f(x) > 1B. f(x)在区间[0, 2]上恒有f(x) < 3C. f(x)在区间[0, 2]上恒有1 ≤ f(x) ≤ 3D. f(x)在区间[0, 2]上恒有f(x) ≠ 2A. (∞, 2)B. (2, +∞)C. (1, 3)D. (1, 4)A. f(x)在区间[1, +∞)上恒有f(x) > 0B. f(x)在区间[1, +∞)上恒有f(x) < 0C. f(x)在区间[1, +∞)上恒有f(x) = 0D. f(x)在区间[1, +∞)上恒有f(x) ≠ 0三、填空题1. 设函数f(x) = x^2 2x，求f(x)的单调递增区间：______。
2. 设函数f(x) = 3x^3 9x，求f(x)的单调递减区间：______。
3. 设函数f(x) = 2x + 1，求f(x)在区间[1, 1]上的单调性：______。
4. 设函数f(x) = e^x x，求f(x)在区间[0, 2]上的单调性：______。
5. 设函数f(x) = ln(x 1)，求f(x)的单调递增区间：______。
四、解答题1. 设函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x，求f(x)的单调区间。
(完整版)函数的单调性课后练习题
函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值， 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确． 答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明． 解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
高中数学函数的单调性练习题及其答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)3C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y )4（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取5值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx618.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；7③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
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函数单调性练习题
1. 已知函数f(x)＝x 2
+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
2.讨论函数f(x)＝21x
ax - (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？
4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．
5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．
6．函数2
1)(++=
x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ）
.
7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )
8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3
9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2
1x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；
（2）判断f(x ）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
10.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R 上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.
11.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -=
（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；
（2）设f （2）=1，解不等式2)3
1(
)(≤--x f x f 。
12.已知函数f (x )＝3－ax a －1
(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；
(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
13. 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2
()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.
14.已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23
. (1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．。