考研数学练习题

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往年考研数学试题及答案

往年考研数学试题及答案一、选择题1. 根据题目所给的函数f(x)=x^2-2x+3，下列哪个选项是f(x)的导数？A. 2x-2B. x^2-2C. 2x-1D. 2x+3答案：A2. 已知等差数列的首项为a1=2，公差为d=3，求第5项的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A二、填空题1. 若函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极值，则g'(2)的值为______。

答案：-12. 某工厂生产的产品，其成本函数为C(x)=50+0.1x^2，其中x表示产品数量。

若要使利润最大化，产品数量x应为______。

答案：200三、解答题1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。

证明：令函数h(x) = e^x - (x + 1)，则h'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，h'(x) < 0，说明h(x)在x < 0时是递减的。

当x > 0时，h'(x) > 0，说明h(x)在x > 0时是递增的。

由于h(0) = e^0 - 1 = 0，所以对于所有x，h(x) ≥ 0，即e^x ≥ x + 1。

2. 已知曲线y = x^2与直线y = 4x在点(2,8)处相切，求曲线y =x^2在点(2,8)处的切线斜率。

解：曲线y = x^2的导数为y' = 2x。

将点(2,8)的横坐标x=2代入导数公式，得到切线斜率k = 2 * 2 = 4。

四、计算题1. 计算定积分∫[0,1] (2x - 3) dx。

解：根据定积分的计算法则，我们有：∫[0,1] (2x - 3) dx = [x^2 - 3x] (从0到1) = (1 - 3) - (0 - 0) = -2。

2. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在x=1处的切线方程。

解：首先求导数：y' = 3x^2 - 12x + 9。

2024考研数学真题及答案

2024考研数学真题及答案本文档详细记录了2024年考研数学的真题及标准答案，旨在帮助广大考研学子掌握考试趋势，提高复习效率。

以下是各部分的详细内容：一、选择题1.1 单项选择题（1）设函数$f(x) = \ln x - x + 1$，则$f'(x)$的正确表达式为：A. $\frac{1}{x} - 1$B. $\frac{1}{x} + 1$C. $1 - x$D. $1$（答案：A）（2）已知矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$，则矩阵$A$的特征值为：A. $-2$，$6$B. $2$，$-6$C. $-2$，$2$D. $2$，$-2$（答案：A）1.2 多项选择题（3）关于平面曲线$C：\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$的描述正确的有：A. 焦点在x轴上B. 焦点在y轴上C. 椭圆D. 双曲线（答案：A，C）二、填空题（4）已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(x)$的值为______。

（答案：$3x^2 - 3$）（5）若向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, y)$，且$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则$x + y =______$。

（答案：$-3$）三、解答题（6）求函数$f(x) = x^3 - 3x$的极值。

（答案：$f(x)$在$x = 1$处取得极大值$2$，在$x = -1$处取得极小值$-2$。

）（7）已知矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$，求矩阵$A$的特征多项式及特征值。

（答案：特征多项式为$f(λ) = λ^2 - 5λ + 6$，特征值为$2$和$-2$。

）（8）解方程组$\begin{cases} 2x + 3y - 7 = 0 \\ x - y + 4 = 0\end{cases}$。

研究生数学试题及答案

研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。

答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。

答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。

答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。

证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。

2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。

解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。

然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。

因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。

结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。

考研数学2024试卷

考研数学2024试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)与f(b)异号，则下列说法正确的是（）A.f(x)在(a,b)内必有零点B.f(x)在(a,b)内至多有一个零点C.f(x)在(a,b)内必有无限多个零点D.f(x)在(a,b)内可能有零点，也可能没有零点2.设矩阵A为对称矩阵，则下列说法正确的是（）A.A的逆矩阵也是对称矩阵B.A的特征值一定为实数C.A的行列式值一定大于0D.A的对角线元素一定相等3.设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内可导，且f'(x)>0，则下列说法正确的是（）A.f(x)在(-∞,+∞)内单调递减B.f(x)在(-∞,+∞)内单调递增C.f(x)在(-∞,+∞)内有极值点D.f(x)在(-∞,+∞)内为常数函数4.设级数Σan收敛，则下列说法正确的是（）A.Σan^2也收敛B.Σanbn也收敛C.Σan为绝对收敛D.Σan为条件收敛5.设f(x)为偶函数，则下列说法正确的是（）A.f(x)的导数f'(x)为奇函数B.f(x)的导数f'(x)为偶函数C.f(x)的导数f'(x)为非奇非偶函数D.f(x)的导数f'(x)不存在二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)>0。

（）2.矩阵A与矩阵B相乘的结果与矩阵B与矩阵A相乘的结果相同。

（）3.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续。

（）4.若级数Σan收敛，则Σan的绝对值级数Σ|an|也收敛。

（）5.函数f(x)=x^3在原点处不可导。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^33x在区间(-∞,+∞)内单调递增，则x的取值范围为______。

2.设矩阵A为3阶矩阵，且|A|=0，则矩阵A的秩为______。

3.设函数f(x)=e^x，则f'(x)=______。

全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案

全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案一、单选题（共25题，共100分）1.若函数，x>0在x=0连续，则（）。

• A.ab=1/2• B.ab=-1/2• C.ab=0• D.ab=2ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析2.设函数f (x) 可导，且f ( x) f '(x)>0 ，则（）。

• A.f (1) >f ( 1)• B.f (1)< f ( 1)• C. | f (1)|> | f ( 1)• D.| f (1)| <| f ( 1)•ABCD正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析3.函数f (x, y, z)=x2 y+ z2 在点(1,2,0) 处沿向量r/n=(1,2,0)的方向导数为（）。

• A.12• B.6• C.4• D.2ABCD正确答案：D您的答案：4.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v=v 1(t) （单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0 （单位：s），则（）。

• A. t0 =10• B.15< t0<20•• C.t0 =25• D.t0 >25ABCD正确答案：C您的答案：5.设为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（）。

• A.• B.• C.• D.ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析6.已知矩阵,则（）。

• A.A 与C相似，B 与C相似• B.A 与C相似，B 与C不相似• C. A 与C不相似，B与C相似• D.A 与C不相似，B与C不相似ABCD正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析7.设A，B 为随机事件，若0<p( a)<1,0<p(b)<p(a="" |b)="" 的充分必要条件是（）<="" p="">• A.P(B | A) >P(B | A)• B.P(B | A)< P(B | A)• C.P(B | A) >P(B | A)• D. P(B | A)< P(B | A)ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析8.设来自总体的简单随机样本，记则下列结论中不正确的是（）.• A.• B.• C.• D.ABCD正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析9.某部门在一次联欢活动中共设26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400270元，一等奖的个数为()• A.6• B.5• C.4• D.3• E.2ABCDE正确答案：E您的答案：本题解析：设一等奖有X个，则其他奖项有26-X个。

工科考研数学试题及答案

工科考研数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 若矩阵A和B满足AB=E，其中E为单位矩阵，则矩阵A和B（）。

A. 互为逆矩阵B. 互为转置矩阵C. 互为伴随矩阵D. 互为正交矩阵答案：A4. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D5. 微分方程y''-3y'+2y=0的通解是（）。

A. y=c1e^x+c2e^(2x)B. y=c1e^x+c2e^(-x)C. y=c1e^(2x)+c2e^(-2x)D. y=c1e^(2x)+c2e^(-x)答案：B6. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[-1,1]上的最大值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D7. 级数1+1/2+1/4+1/8+...的和是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 曲线y=x^2与直线y=2x所围成的面积是（）。

A. 1/3B. 2/3C. 1D. 2答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 3答案：A10. 曲线y=ln(x)的拐点坐标是（）。

A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。

答案：2x-42. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是________。

答案：03. 若矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}，则|A|=________。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜03．设函数y ＝f （x ）由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）。

A ．f （x ）连续，f′（0）不存在B ．f′（0）存在，f′（x ）在x ＝0处不连续C ．f′（x ）连续，f′′（0）不存在D ．f′′（0）存在，f′′（x ）在x ＝0处不连续4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝0，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（）。

A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ36．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）。

A ．11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（）。

考研数学练习题汇总

考研数学练习题汇总一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)内有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 极限lim(x→0) (x^2sin(1/x))的值为？A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 若矩阵A和B满足AB=0，且|A|≠0，则矩阵B的行列式为？A. 0B. 1C. -1D. 不确定二、填空题4. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为________。

5. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为________。

6. 对于向量α=(1,2,3)和β=(4,5,6)，它们的点积为________。

三、解答题7. 证明函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上单调递增。

8. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是由直线x=0，y=0，x+y=1所围成的三角形区域。

9. 求解线性方程组：\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}四、证明题10. 证明对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。

11. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是增函数。

五、应用题12. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为80元。

若生产x件产品，则总成本为50x元，总收入为80x元。

求生产多少件产品时，利润最大，并说明理由。

13. 一个容器内装有2升盐水，含盐量为10%。

若每次向容器内加入1升含盐量为20%的盐水，并充分搅拌后倒出1升混合液，如此反复操作3次，求容器内盐水的含盐量。

以上题目涵盖了考研数学中的多个重要知识点，包括函数的性质、极限、积分、线性代数等。

通过这些题目的练习，可以有效地检验和巩固考生对数学基础知识的掌握情况，为考研数学的复习打下坚实的基础。

考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

考研数学试题真题及答案

考研数学试题真题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3xD. x^3-3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。

A. -2B. 2C. -5D. 5答案：B4. 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X>1)的值是多少？A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。

答案：12. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求第n项的通项公式。

答案：a_n = 2 + 3(n-1)3. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。

答案：14. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x，求其在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。

经检验，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。

因此，在区间[-2,2]上，最大值为2，最小值为-2。

3. 计算定积分∫(0,π) sin x dx。

(word完整版)考研专项练习高等数学--习题集

第一章函数·极限·连续一. 填空题1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则定义域为___________.2．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a t ax x dt te x x 1lim , 则a = ________. 3.⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________.4. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.6. 设当x bx ax e x f xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a 7. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 8. 已知A n n n kk n =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______.二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则(a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d) )()(x f x ϕ必有间断点 2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c ) (1, 2) (d) (2, 3)4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在6. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(lim x x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β =31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531 (d) 均不对8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小9. 设6)31)(21)(1(lim 0=++++→xa x x x x , 则a 的值为 (a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 310. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim 2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c三. 计算题1. 求下列极限 (1)x x x e x 1)(lim ++∞→(2)x x xx )1cos 2(sin lim +∞→ (3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→2. 求下列极限 (1) 23)11ln(lim -+x(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 3. 求下列极限 (1))1(ln lim -∞→n n n nn (2)nx nxn e e --∞→+-11lim(3) n n n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 04. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.5. 求下列函数的间断点并判别类型 (1) 1212)(11+-=x x x f(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x x x x x f π 00>≤x x 6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 n n c c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).11. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→.第二章导数与微分一. 填空题1 . 设)('31)()(lim 0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy ey x 确定, 则=dx dy ______.3. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.4. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆x x n x f x m x f x )()(lim 000_______. 5.x x x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______.6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21'f _______.7. 设f 为可导函数,)]}([sin sin{x f f y =, 则=dx dy _______.8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy ey x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a)1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([!2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 34. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dy y x ∆-∆→∆0lim等于5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin )(2 00≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.')]310ln[cos(2y x y ，求+=2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ，求++=3. 已知200sin cos 22y tdt dt e x y t +=⎰⎰, 求'y .4. 设y 为x 的函数是由方程x y y x arctan ln22=+确定的, 求'y .四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 00>≤x x 二阶可导.五. 已知)0(1)()(22n f x x x f ，求-=.六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x x x 11ln 1122. c x x x x d x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2 4.⎰+)1(8x x dx 5．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1二. 求下列不定积分: 1. ⎰+++22)1(22x x x dx 2. ⎰+241x x dx 3. ⎰++221)12(x xdx 4. ⎰-222x a dx x (a > 0) 5.⎰-dx x 32)1(6.⎰-dx x x 4217. ⎰-+dx x x x 1122三. 求下列不定积分: 1.⎰+-+dx e e e e x x x x 1243 2.⎰+)41(2x x dx四. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 1005)2( 2. ⎰+41x x dx五. 求下列不定积分:1.⎰xdx x 2cos2.⎰xdx 3sec 3.⎰dx x x 23)(ln4.⎰dx x )cos(ln5. ⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(2. ⎰+dx x xx 21arctan3.⎰dx e e x x 2arctan七. 设⎩⎨⎧-+-+=-x e x x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).九. 求下列不定积分:1.⎰++dx x x x )32(332 2.⎰-+-dx x x x )13()523(232 3.dx x x x ⎰+++221)1ln( 4. ⎰+++++)11ln()11(222x x x xdx十. 求下列不定积分: 1. ⎰+dx x x x )1(arctan 22.⎰+dx x x 1arcsin 3.⎰-+⋅dx x x x x 22211arcsin4. dx x x x⎰+)1(arctan 22十一. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 234 2. ⎰-x a x 223. dx e e e x x x ⎰-+21)1(4. ⎰-dx x a xx 2 (a > 0)十二. 求下列不定积分: 1. ⎰+x x dxcos 1sin 2. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 3. ⎰+dx x x xx cos sin cos sin十三. 求下列不定积分: 1. dx x x x⎰-1 2. ⎰+-dx e e x x 113. dxx x x ⎰--1arctan 1第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明: ⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明 n Mn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=四. 设⎰=40tan πxdx I n n , n 为大于1的正整数, 证明:)1(21)1(21-<<+n I n n .五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < α < β < 1的任何 α, β, 有 ⎰⎰>βαααβdx x f dx x f )()(0六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且)(''x f < 0, 证明:⎪⎭⎫⎝⎛+-≤⎰2)()(b a f a b dx x f ba七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给α ∈ (0, 1), 有 ⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα八. 设f(x)在[a, b]上连续,)('x f 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: ⎰≤ba dx x f x f |)('|21|)(|, (a < x < b)九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数)(''x f , 且0)(0)1()0(≠==x f f f ，, 试证:4)()(''1>⎰dx x f x f十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证: 1)]('[12≥⎰dx x f十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且⎰2)(dx x f = 0,⎰2)(dx x xf = a > 0. 证明: ∃ ξ ∈ [0, 2], 使|f(ξ)| ≥ a.第三章一元函数积分学(广义积分)一. 计算下列广义积分: (1)⎰-231)1(dx e e xx(2) ⎰+∞++022)4)(1(1dx x x(3)⎰∞+∞-+232)1(x dx(4) ⎰1)sin(ln dx x(5)⎰---12211dx x x(6)dx x x ⎰+∞+0232)1(arctan第四章微分中值定理一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且1)('≠x f , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰. 证明: 在(0, 1)内存在一个ξ, 使0)('=ξf .三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x －1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个ξ, 使 0)(''=ξF .四. 设f (x )在[0, x ](x > 0)上连续, 在(0, x )内可导, 且f (0) = 0, 试证: 在(0, x )内存在一个ξ, 使 )(')1ln()1()(ξξf x x f ++=.五. 设f (x )在[a , b ]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a , b ), 使 1)](')([)()(1-+=-n nn f nf b f a f a b a b ξξξξ六. 设函数f (x ), g (x ), h (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a , b ), 使0)(')(')(')()()()()()(=ξξξh g f b h b g b f a h a g a f七. 设f (x )在[x 1, x 2]上二阶可导, 且0 < x 1 < x 2, 证明:在(x 1, x 2)内至少存在一个ξ, 使 )(')()()(1212121ξξf f x f x f e e e e x xx x -=-八. 若x 1x 2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x 1, x 2)或(x 2, x 1), 使 )()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ九. 设f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 且f (a ) = f (b ) = 0, g (x ) ≠ 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (a , b ), 使)()(')()('ξξξξf g g f =十. 设f (x ) 在[a , b ]上连续)0(b a <<,在(a , b )内可导, 证明在(a , b ) 存在abf f )(')(',2ηηξηξ=使.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(－∞, +∞)内可导, 且对任意x 1, x 2, x 1 > x 2时, 都有f(x 1) > f(x 2), 则 (a) 对任意x,0)('>x f (b) 对任意x, 0)('≤-x f(c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加2. 曲线)2)(1(1arctan212-+++=x x x x ey x 的渐近线有 (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条3. 设f(x)在[－π, +π]上连续, 当a 为何值时, ⎰--=ππdx nx a x f a F 2]cos )([)(的值为极小值.(a) ⎰-ππnxdx x f cos )( (b)⎰-πππnxdx x f cos )(1(c) ⎰-πππnxdx x f cos )(2(d)⎰-πππnxdx x f cos )(214. 函数y = f (x )具有下列特征: f(0) = 1;0)0('=f , 当x ≠ 0时, 0)('>x f ; ⎩⎨⎧><00)(''x f 00><x x , 则其图形(a) (b) (c) (d)15. 设三次函数d cx bx ax x f y +++==23)(, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x 轴对称 (d) 以上均错 6. 曲线)2)(1(x x x y --=与x 轴所围图形面积可表示为(a) ⎰---20)2)(1(dx x x x (b)⎰--10)2)(1(dx x x x ⎰---21)2)(1(dx x x x(c) ⎰---1)2)(1(dx x x x ⎰--+21)2)(1(dx x x x (d) ⎰--2)2)(1(dx x x x二. 填空题 1. 函数⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xdt t x F 112)( (x > 0)的单调减少区间______. 2. 曲线x x y -=3与其在1=x 处的切线所围成的部分被y 轴分成两部分, 这两部分面积之比是________.3. 二椭圆12222=+b y a x , 12222=+ay b x ( a > b > 0)之间的图形的面积______.4. x 2 + y 2 = a 2绕x =－b (b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线ρ = 4(1+cos θ)和直线θ = 0, θ =2π围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.三. 证明题1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ≥ 0时函数⎰⎰=x xdtt f dtt tf x 00)()()(φ单调增加.2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内0)(''>x f , 证明ax a f x f x --=)()()(φ在(a , b )内单增.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且0)('≤x f , 求证:⎰-=x adt t f a x x F )(1)( 在(a , b )内也0)('≤x F .4. 设f (x )在[a , b ]上连续, 且f (x ) > 0, 又⎰⎰+=xbx adt t f dt t f x F )(1)()(. 证明: i. ,2)('≥x F ii. F(x) = 0在(a , b )内有唯一实根.5. 证明方程x x -=1tan 在(0, 1)内有唯一实根.6. 设a 1, a 2, …, a n 为n 个实数, 并满足012)1(3121=--++--n a a a n n . 证明: 方程 0)12cos(3cos cos 21=-++x n a x a x a n 在(0, 2π)内至少有一实根.四. 计算题1. 在直线x －y + 1=0与抛物线542+-=x x y 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.2. 求通过点(1, 1)的直线y = f (x )中, 使得⎰-222)]([dx x f x为最小的直线方程.3. 求函数⎰--=2)2()(x t dt e t x f 的最大值与最小值.4. 已知圆(x －b )2 + y 2 = a 2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面4条性质 ( I ) ),(y x f 在点),(00y x 处连续; ( II ) ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ( I II) ),(y x f 在点),(00y x 处可微; ( IV ) ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在; 若用Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q, 则有( A ) )I ()III ()II (⇒⇒ ( B ) )I ()II ()III (⇒⇒ ( C ) )I ()IV ()III (⇒⇒ ( D ) )V I ()I ()III (⇒⇒二. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点(0, 0) 处( A ) 连续, 偏导数存在; ( B ) 连续, 偏导数不存在; ( C ) 不连续, 偏导数存在; ( D ) 不连续, 偏导数不存在.三. 设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求xv x u ∂∂⋅∂∂.四. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+y z y z x ϕ22, 其中ϕ为可微函数, 求y z ∂∂. 五. 设xuz x t t x y z y x f u ∂∂===，求，，又),(),(),,(ψϕ.六. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ，求0),,(=+++;2. dz y z xz f z ，求，)(-=.七. 设),sin (22y x y e f z x+=, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.八. 已知''''),2(yy xx z z yxx f z ，，求=.九. 已知'','',''),ln (yy xy xx z z z y x y x f z ，求-=.十. 设⎩⎨⎧=+++=+++==00)()(322z z y x z z y x x z z x y y ，由，确定, 求dx dzdx dy ，.十一. 设22222222)()(y z y y x z xy x z x x y x y xf z ∂∂+∂∂∂+∂∂+=，求ϕ十二. 设)](,[2xy y x f z ϕ-=, 其中f (u , v )具有二阶连续偏导数, )(u ϕ二阶可导, 求yx z∂∂∂2.十三. 设)())(,())(,())(),(,(x z x y x Q x y x P x z x y x F +=, 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z F dx d y F .第七章二重积分一. 比较积分值的大小: 1. 设,41⎰⎰+=Ddxdy yx I ,42⎰⎰+=Ddxdy y x I ⎰⎰+=Ddxdy yx I 334其中}2)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x D , 则下列结论正确的是 ( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<2. 设32,1,)(22，==⎰⎰+-i dxdy e I iD y xi , 其中:}|),{(2221r y x y x D ≤+=,}2|),{(2222r y x y x D ≤+=,}||,|||),{(3r y r x y x D ≤≤=则下列结论正确的是( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<3.设,cos 221⎰⎰+=Dy x I σ,)cos(222⎰⎰+=Dy x I σ⎰⎰+=Dy x I σ2223)cos(其中}1|),{(22≤+=y x y x D, 则下列结论正确的是 ( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<二. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为累次积分(两种形式), 其中D 给定如下:1. D: 由x y 82=与y x 82=所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0及x －2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由122≤+y x , y ≥ x 及x > 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| ≤ 1所围之区域.1.⎰⎰--ax a ax a dy y x f dx 022222),(2. ⎰⎰⎰⎰-+312301),(),(2x x dy y x f dx dy y x f dx3. ⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(x xx xdy y x f dx dy y x f dx四. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ b 2, y ≥ 0, (b > a > 0)2. D: x 2 +y 2 ≤y, x ≥ 03. D: 0 ≤ x +y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1五. 求解下列二重积分: 1. ⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinxxxdy yxdx dy yxdx ππ2. ⎰⎰-xy dy edx 021023.⎰⎰Ddxdy xy6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形 4.⎰⎰+Ddxdy yx xy22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 21. ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ddxdy b y a x 221, D: 12222≤+b y a x .2. ⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22, D: 1222≤+≤y x ε, 并求上述二重积分当+→0ε时的极限.3.⎰⎰--xady y x x a y f dx 0))(()('4. ⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211, D: x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.七. 求证:⎰⎰⎰=21)(2ln )(du u f dxdy xy f D, 其中D 是由xy = 1, xy = 2, y = x 及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.八. 求证:⎰⎰⎰-≤+-=+2221)(2)(22du u f u dxdy y x f y x九. 设f (t )是半径为t 的圆周长, 试证:⎰⎰⎰-≤++-=at a y x y x dt et f dy dx e22222222)(2121ππ十. 设m , n 均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明0222=⎰⎰≤+dy dx y xa y x n m十一. 设平面区域}11,1|),{(3≤≤-≤≤=x y x y x D ,)(x f 是定义在)1(],[≥-a a a 上的任意连续函数试求:⎰⎰--++=Ddxdy x f x x f x y I )]()1()()1[(2第八章无穷级数一. 填空题(1) 设有级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n nn x a , 若31lim1=+∞→n n n a a , 则该级数的收敛半径为______.(2) 幂级数∑∞=--+112)3(2n n nnx n 的收敛半径为______.(3) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛区间为______.(4) 幂级数∑∞=-112n nn n x 的收敛区间为______.(5) 幂级数∑∞=-1)1(n nxn 的和函数为______.二. 单项选择题 (1) 设∑∞==>1),2,1(0n n na n a ，且收敛, 常数)2,0(πλ∈, 则级数∑∞=-12)tan ()1(n nn a n n λ(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关 (2) 设)11ln()1(nu n n+-=, 则 (A)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛. (B)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散. (C)∑∞=1n nu收敛, 而∑∞=12n nu发散. (D)∑∞=1n nu发散,∑∞=12n nu收敛.(3) 下列各选项正确的是 (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛, 则∑∞=+12)(n n nv u收敛(B) 若||1nn n vu ∑∞=收敛, 则∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥(D) 若级数∑∞nu收敛, 且),2,1( =≥n v u n n, 则级数∑∞nv 收敛.(4) 设α为常数, 则级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121sin n n n n α(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关.三. 判断下列级数的敛散性:(1)∑∞=+11sin )2ln(1n n n(2))0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n(3)∑∞=1!3n n n n n(4)∑∞=+12)/1(n n n n n(5)∑∞=12)!2()!(n n n(6)∑∞=-1)ln 1(n nnn四. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-11312)1(n nn n n(2)∑∞=-+++-111)1(1)1(n nn n n(3)∑∞=+1)sin(n nn ππ(4)∑∞=--111tan)1(n n nn五. 求下列级数的收敛域:(1)∑∞=+++12)1()1(n n n n x x(2)∑∞=++-11212)1(n n nn x(3)∑∞=--112212n n nx n(4)∑∞=⋅-129)1(n n nn x六. 求下列级数的和:(1) ∑∞=----112112)1(n n n n x(2) ∑∞=+1)1(n nxn n(3) ∑∞=+12)1(n n n n x七. 把下列级数展成x 的幂级数:(1)x x x x f arctan 2111ln 21)(+-+=(2) ⎰+=xdx xx x f 0)1ln()(第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题 1. 微分方程x x y y cos tan '=+的通解为_________.2. 微分方程0)4(2=-+dy x x ydx 的通解为________.3. 微分方程x y y 2''-=+的通解为________.4. 微分方程x e y y y =+-2'2''的通解为________.5. 已知曲线)(x f y =过点(0, 21-), 且其上任一点(x , y )处的切线斜率为)1ln(2x x +, 则)(x f =_______.二. 单项选择题 1. 若函数)(x f 满足关系式 ⎰+=xdt tf x f 202ln )2()(, 则)(x f 等于 (A) 2ln x e (B) 2ln 2x e (C) 2ln +x e (D) 2ln 2+x e2. 微分方程1''+=-x e y y 的一个特解应具有形式(式中a 、b 为常数)(A) b ae x + (B) b axe x + (C) bx ae x + (D) bx axe x +三. 解下列微分方程:1.⎪⎩⎪⎨⎧=+-==1)1()1(30|22x y y x dxdy2. 0)1()1(2=+-+ydy x x dx y3. 11+-=yx dx dy四. 解下列微分方程:1. xy e y xy +=' 2. dx y x ydx xdy 22+=-3. 0cos )cos (=-+dy xyx dx x y y x五. 解下列微分方程: 1. x e x y y sin cos '-=+2. xx ex y y x 122'-=-3. )1(ln ln '+=+x ax y x xy4. 0sin cos sin '3=--x y x x y六. 解下列微分方程:1. 0)0(sec tan '==-y x x y y ，2. 1)0(cos sin cos '==+y x x x y y ，3. 4)0(cos 2sin '22π==+-y y xe y x y x ，七. 解下列方程: 1. 02'22''=++y y y2. 03'2''=++y y y3. 03'2''=--y y y八. 解下列方程:1. xe x x y y y 223)1(4'4''+++=+-2. x y y y 2cos 2'3''=+-3. x xe y y y 5'2''=+-4. 123'2''22-+=++x x y y y5. 1'''2+=+x y y第十章函数方程与不等式证明一. 证明不等式21111211ln )1(n a a a a n a nn n n <-<+++. (a > 1, n ≥ 1)二. 若a ≥ 0, b ≥ 0, 0 < p < 1, 证明 p p p b a b a +≤+)(三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足0)0(1)('0=<<f x f 且. 求证⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dx x f dx x f四. 求证 p p p p b a b a |)||(|2||||1+≤+-, (0 < p < 1).五. 求证: 若x + y + z = 6, 则12222≥++z y x , (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).六. 证明: 1︒ 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''>x f ，则2)()()()()()(b f a f a b dx x f a f a b ba +-<<-⎰ 2︒ 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''<x f ，则2)()()()()()(b f a f a b dx x f b f a b b a +->>-⎰七. 证明: 1︒ n x x x n x x x nn 2222121+++≤+++2︒ n n nx x x n x x x 2121≥+++八. 设],[)(''b a c x f ∈, 且0)()(==b f a f , 求证 |)(''|max 12)()(3x f a b dx x f b x a b a ≤≤-≤⎰九. 若)('x f 在[0, 2π]上连续, 且)('x f ≥ 0, ∀n(正整数)有 nf f nxdx x f )]0()2([2sin )(20-≤⎰ππ十. 设在[a, b]上0)(''>x f , a < x 1 < x 2 < b, 0 < α < 1, 试证: ])1([)()1()(2121x x f x f x f αααα-+>-+第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为x 时的边际成本函数为232040'x x C +-=, 边际收益为x R 1032'-=, 试求: ( 1 )总利润函数; ( 2 ) 使总利润最大的产量.二. 设某商品的需求量Q 是单价P(单位: 元)的函数: Q = 12000－80P; 商品的总成本C 是需求量Q 的函数: C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税2元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系 P = 7－0.2x(万元/吨), x 为销售量(单位:吨), 商品的成本函数13+=x C(万元). (1) 若每销售一吨商品政府要征税t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大.四. 设某企业每月需要使用某种零件2400件, 每件成本为150元, 每年库存费为成本的6%, 每次订货费为100元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。

考研数学试题大全及答案

考研数学试题大全及答案考研数学模拟试题一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(2+x) = f(2-x)的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = |x|D. y = x^22. 设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，若f'(a)=0，则称点x=a为函数的（）。

A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点3. 对于函数F(x) = ∫(0到x) t^2 dt，其不定积分F(x)为（）。

A. x^3/3B. x^3C. x^2/2D. x^24. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) = λ^k e^(-λ) / k!，k=0,1,2,...，则E(X)等于（）。

A. λB. λ^2C. e^λD. 1/λ5. 设A为3阶矩阵，|A|=2，则A的伴随矩阵的行列式值为（）。

A. 1/2B. 4C. 8D. 166. 对于二元函数z=f(x, y)，若偏导数∂z/∂x和∂z/∂y都存在，则该函数在该点连续的充分必要条件是（）。

A. 混合偏导数相等B. 偏导数连续C. 函数可微D. 函数有界7. 设数列{an}满足an+1 = an + 1/n，n≥1，则该数列的极限为（）。

A. 0B. 1C. eD. ∞8. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4，其在区间[1, +∞)上的最小值为（）。

A. -1B. 0C. 1D. 49. 设矩阵A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，矩阵B=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}，则AB-BA的行列式为（）。

A. -15B. -16C. -18D. -2012. 设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x, y)，若P(X>Y) = ∫∫ f(x, y) dy dx，其中积分区域为y<x，且P(X>Y)=1/4，则E(XY)等于（）。

2024 考研数学(三)真题试卷及参考答案

试卷及解2024考研数学（三）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+，则()f x A．在1x =，1x =-处都连续．B．在1x =处连续，在1x =-处不连续．C．在1x =，1x =-处都不连续．D．在1x =处不连续，在1x =-处连续．1．【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,，当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,，当21,lim01n x n →∞==+时，当01lim01n x n→∞=-=+时,，故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时，连续；1x =时不连续．选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰，k 为整数，则I 的值A．只与a 有关B．只与k 有关C．与,a k 均有关D．与,a k 均无关2．【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +，则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134．【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+，则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5．【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=，1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他，则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128．【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立，且~(0,2),~(1,1)X N Y N -，设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->，则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9．【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=，(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=，所以2~(1,9)X Y N -；(2)2022E X Y EX EY -=-=+=，(2)4246D X Y DX DY -=+=+=，所以2~(2,6)X Y N -；121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝，所以2112p p >>，故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10．【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ，则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时，()0Z F z =；2当0z ≥时，{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ，从而Z 与X 服从相同的分布，选D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.当0x →时，()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小，则k =.11．【答案】3【解析】当0x →时，()22221sin ~1cos 2x xx x++，则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12．【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13．【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ，(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-，代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点，(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14．某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价，单位：万元；Q 为产量，单位：件)，总成本函数为215050.25C Q Q =++（万元），则经营该产品可获得的最大利润为（万元）.14．【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得：220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时，50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵，*A 为的A 伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵，若(2)1,()2r r -==E A E +A ，则*A =.15．【答案】16【解析】() 132r <-=E A ，() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-，，故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =.16．【答案】23p =【解析】A ：全成功，B ：至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18．设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定，求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18．【解】将0y =代入得e xz =-，则22e xz x ∂=-∂，代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+，得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦，代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >，平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =，2x t =及x 轴围成，D 的面积为()S t ，求()S t 的最大值.19．【解】()22ed txt S t x x -=⎰，()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则，42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时，()S t 取最大值，有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β（1）证明：方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解；（2）若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解，求a 的值.21.证明：（1）(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解，故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β，故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布，()0θ∈+∞，为未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == （1）求c 使得();c E T θ=（2）记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22．【解】（1）{}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+，所以1n c n+=.（2）()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++，22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+，即21n c n +=+时，()h c 取最小值.。

考研数学试题及答案详解

考研数学试题及答案详解一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(3)的值。

A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B解析：将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 3^2 - 6*3 + 8 = 9- 18 + 8 = 1。

2. 求极限lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案：D解析：原式可以化简为lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) =lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4。

3. 设矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，求A的行列式。

A. 0C. 5D. 8答案：C解析：矩阵A的行列式为1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2，但选项中没有-2，因此需要检查题目是否有误。

4. 求不定积分∫x^2 dx。

A. (1/3)x^3 + CB. (1/2)x^2 + CC. x^3 + CD. 2x + C答案：A解析：根据积分公式，∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，代入n=2，得到∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。

5. 设函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

A. cos(x)B. sin(x)C. -cos(x)D. -sin(x)答案：A解析：根据导数公式，f'(x) = cos(x)。

6. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为。

B. 2C. 3D. 4答案：C解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，α + β = -b/a = 5。

7. 设函数f(x) = e^x，求f'(x)。

A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A解析：根据导数公式，f'(x) = e^x。

考研数学练习题660

考研数学练习题660一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，下列哪个命题正确：A. f(x) 在 x = 1 处取得最大值B. f(x) 在 x = 3 处取得最小值C. f(x) 在 x = 2 处取得最大值D. f(x) 在 x = 1 处取得最小值2. 若集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，则下列命题是正确的：A. A ∩ B = {3, 4}B. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}C. A - B = {1, 2}D. B - A = {5, 6}3. 某人参加了一场含有10个问题的考试，每个问题都只有一个正确答案。

若他全部瞎蒙，那么他答对问题的概率是多少？A. 1/10B. 1/2^10C. 1/10^10D. 10/10!4. 已知 A 是一个n阶矩阵，其中A^T表示A的转置矩阵，下列命题正确的是：A. A + A^T 是对称矩阵B. A - A^T 是对称矩阵C. (A + A^T) = 2AD. (A - A^T) = 0二、填空题1. 若 f(x) = ax^2 + bx + c 经过点 (-1, 3) 和 (2, -8)，则 a + b + c =____。

2. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + kx - 2 的图像与 x 轴有且只有两个交点，其中一个交点为 (1, 0)，则 k =____。

3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，则 A ∪ B 的元素个数为____。

4. 设 A 和 B 是两个互不相交的事件，且 P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，则P(A∩B) =____。

三、解答题1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)的零点。

2. 解方程：2sin^2(x) + sqrt(3)sin(x) - 2 = 0，其中 x ∈ (0, 2π)。

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第一章函数·极限·连续一. 填空题1. 已知 f ( x)sin x, f [ ( x)] 1 x 2 , 则 (x)__________, 定义域为 ___________.1 xax2．设 limate tdt , 则 a = ________.xx3. lim12n222=________.nnn 1 nn 2nn n1 | x | 1 4. 已知函数 f (x)| x | 1 0, 则 f[f(x)] _______.5.lim ( n3 nnn ) =_______.n6. 设当 x0 时, f (x)ex1ax为 x 的 3 阶无穷小 , 则 a _____, b ______ .1 bx7.lim cot x1 1=______.sin x xx 08. 已知 limn 1990A (0), 则 A = ______, k = _______.n k(n 1) kn二. 选择题1. 设 f(x)和 (x)在 (－ , + )内有定义 , f(x)为连续函数 , 且 f(x) 0, (x)有间断点 , 则(a) [ f(x)]必有间断点(b) [(x)]2必有间断点(c) f [(x)] 必有间断点 (d)( x)必有间断点f ( x)2. 设函数 f ( x) x tan xe sin x , 则 f(x) 是(a) 偶函数(b) 无界函数 (c) 周期函数(d) 单调函数3. 函数 f ( x)| x | sin( x 2) 在下列哪个区间内有界x( x 1)( x 2)2(a) ( － 1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)1时, 函数x 21 4. 当 x1e x 1 的极限x 15. 极限lim352n12 的值是122222n2( n1)n23(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在( x1)95 ( ax1)56. 设lim2508 ,则a的值为x( x1)(a) 1(b) 2(c) 58(d) 均不对7.设lim ( x 1)( x 2)( x3)( x 4)( x 5)x(3x2), 则,的数值为(a)= 1,1(b)= 5,1(c)1(d) 均不对=== 5, =33358. 设f ( x) 2x3x 2 ,则当x0 时(a) f(x) 是 x 的等价无穷小(b) f(x) 是 x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x) 比 x 较低价无穷小(d) f(x) 比 x 较高价无穷小9.设lim (1 x)(12x)(13x)a 6 ,则a的值为x 0x(a)－1(b) 1(c) 2(d) 310. 设lim a tan x b(1 cos x)22，其中 a2c20 ,则必有x 0cln( 1 2x) d(1 e x)(a) b = 4d(b) b = － 4d(c) a = 4c(d) a =－4c三. 计算题1.求下列极限1(1)lim (x e x ) xx(2)lim (sin2cos1) x x x x1tan x1 lim x3(3)x 01sin x2.求下列极限(1)lim ln(1 3x1)(2) lim1 cot2 x x 0x 23. 求下列极限 (1) limn(n n 1)nln n1 e nx (2)lim nx n 1 eannn b(3) lim, 其中 a > 0, b > 0n22(1 cosx)x 0x 2 4.f (x) 1x1 x2 dt x 0x costf (x) 在x0 的性与可性 .5. 求下列函数的断点并判型1(1) f ( x)2 x 112 x 1x(2 x)x2 cos x(2) f (x)1sinx 021xx sin 1x 06. 函数 f ( x)xxe x在 x = 0 的性 .7. f(x) 在 [a, b] 上 , 且 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, ⋯ , n) 任意正数 , 在 (a, b) 内至少存在一个, 使f ( )c 1 f (x 1 ) c 2 f ( x 2 )c ncn .c 1 c 28. f(x) 在 [a, b]上 , 且 f(a) < a, f(b) > b, 在 (a, b)内至少存在一个 , 使 f( ) = .9. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续 , 且 0 f(x) 1, 试证在 [0, 1] 内至少存在一个, 使 f( ) = .10. 设 f(x), g(x) 在[a, b] 上连续 , 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),试证在(a, b)内至少存在一个, 使f( ) = g( ).11.证明方程x5－3x－2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根 .12. 设 f(x) 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且lim sin 3x f ( x)0 ,求f (0), f ' (0), f ' '(0)及limf (x)3 x3x2x2.x 0x 0第二章导数与微分一. 填空题1 . 设lim f ( x0k x) f ( x0 )1f '( x0 ) ,则 k = ________.x0x32.设函数 y = y(x) 由方程e xy cos(xy)0确定 ,则 dy______.dx3.已知 f(－ x) =－f(x), 且f ' (x0 )k ,则 f ' ( x0 )______.4.设 f(x) 可导 ,f ( x0m x) f (x0n x)_______.则 limxx05. f ( x)1x ,则 f ( n ) ( x) = _______.1x6.已知df11, 则f '1_______. dx x2x27.设 f 为可导函数 ,y sin{ f [sindy_______.f ( x)]} ,则dx8.设 y = f(x) 由方程e2 x y cos( xy )e1所确定 , 则曲线 y = f(x) 在点 (0, 1)处的法线方程为 _______.二. 选择题1.已知函数 f(x) 具有任意阶导数 , 且f ' (x)[ f (x)] 2,则当 n 为大于 2 的正整数时 , f(x) 的 n 阶导数是(a) n![ f ( x)]n1(b)n[ f ( x)] n 1(c)[ f (x)] 2n(d)n![ f ( x)] 2n2.设函数对任意x 均满足 f(1 + x) = af(x),且 f ' (0)b,其中 a, b 为非零常数 , 则(a) f(x) 在 x = 1处不可导(b) f(x) 在 x = 1处可导 ,且 f ' (1) a(c) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1) b(d) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1)ab3.设 f ( x)3x3x 2| x |,则使 f ( n)(0) 存在的最高阶导数n 为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 34.设函数 y = f(x) 在点 x 0处可导 , 当自变量 x 由 x 0增加到 x0 +y dyx 时 , 记 y 为 f(x) 的增量 , dy 为 f(x) 的微分 , lim等于x 0xx2 sin 1x05. 设f ( x)x x0ax b在 x = 0 处可导 , 则(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b 为任意常数(c) a = 0, b = 0(d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.y ln[cos( 103x 2 )]，求 y'2. 已知 f(u) 可导 ,y f [ln( x a x2 )]，求 y'3.已知y e t 2dt x2costdt sin y2,求 y' .004.设 y 为 x 的函数是由方程ln x 2y2arctan y确定的 , 求y' . x四. 已知当 x0 时, f( x) 有定义且二阶可导 ,问 a, b, c 为何值时F ( x)f ( x)x0二阶可导 . ax2bx c x0五. 已知f ( x)x 2，求 f(n ) ( 0) .1x2六. 设y xln x ,求f( n) (1) .第三章一元函数积分学 (不定积分 )一. 求下列不定积分 : 1.1 2 ln 1 xdx 1 x 1 x1 1 x 1 x 1 x 1 1 22.x 1 x 2arctandx arctand arctanx 2arctanc1 x1 x1 1 x3.cos x sin x1 1 sin x dx(1 cos x)21 cos x4.dx x( x 8 1)1 111 sin x(1 sin x cosx)(sin x cosx)5．dx 222dx1 sin x cosx1 sin x cosx二. 求下列不定积分 :dx1.( x 1)2 x 2 2 x 2dx 2.x 4 1 x 23.dx1) 1 x 2(2x 2x 2dx 4.(a > 0)a 2 x 25.(1 x 2 ) 3 dx6.x 21dxx 4x 17.dxx2x21三. 求下列不定积分:e3x e xdx 1.e2xe4 x1dx2.2x (1 4 x)四. 求下列不定积分:x51.( x2)100dxdx2.x 1 x4五. 求下列不定积分:1.x cos2 xdx2.sec3 xdx3.(ln x)3dxx 24.cos(ln x)dxx cos4x1x cos4x1x1x sin 2x1sin 2xdx5.2dxx2dx xd sin 2sin 3 x8sin3 3 x828282cos221x sin 2 x1sin 2 x d x1x sin2x1cotxc824228242六. 求下列不定积分 :x ln( x1x 2 )2.x arctan x dx1x23.arctan e x dxe2 x七.x ln(1x 2 ) 3x0设 f ( x)22x 3)e x x, 求 f (x)dx .( x0八.设 f ' (e x ) a sin x b cos x, (a, b为不同时为零的常数), 求 f(x).九. 求下列不定积分:1.3x23x (2x3)dx32.(3x 22x5) 2(3x1) dx3.ln( x 1 x2 )dx1x2xdx4.(1 x2x21) ln(1x 21)十. 求下列不定积分:x arctan x1.(1x2)dx2.arcsinxdx 1 xarcsinx1x2 3.2dxx1x 2arctan x4.2(1x 2dxx)十一 . 求下列不定积分: 1.x34x 2 dxx2a22.x3.e x (1e x ) dx1e2 x4.xxdx (a > 0) 2a x十二 . 求下列不定积分:dx1.sin x 1cos x2.2sin x2dxcos x3.sin x cos x dxsin x cos x十三 . 求下列不定积分:x1.dx1 x x2.e x 1dxe x 13.x 1arctan x 1 dxx第三章一元函数积分学 (定积分 )b0 ,则f(x) 0.一．若 f(x) 在[a， b]上连续 , 证明 : 对于任意选定的连续函数(x), 均有f (x) ( x)dxa二. 设为任意实数 , 证明 :I21dx=21.0 1(tan x)0 1dx (cot x)4三．已知 f(x) 在 [0， 1]上连续 , 对任意 x, y 都有 |f(x) － f(y)| < M|x－y|, 证明f ( x)dx1n f k M1n k n2n01四.设 In4 tan n xdx , n为大于1的正整数,证明:1I n1.02(n1)2(n1)五. 设 f(x) 在[0, 1] 连续 , 且单调减少 , f(x) > 0,证明:对于满足0 << < 1 的任何, , 有f ( x)dx f ( x)dx六. 设 f(x) 在[a, b] 上二阶可导 , 且 f ' ' ( x) < 0,证明 :b f (x)dx (b a) fa ba2七. 设 f(x) 在[0, 1] 上连续 , 且单调不增 , 证明 : 任给 (0, 1), 有1 f ( x)dxf ( x)dx八. 设 f(x) 在[a, b] 上连续 ,f ' ( x) 在 [a, b]内存在而且可积 , f(a) = f(b) = 0, 试证 :| f ( x) |1b2 | f ' (x) | dx , (a < x < b)a九. 设 f(x) 在[0, 1] 上具有二阶连续导数f ' ' ( x) , 且 f (0) f (1) 0， f ( x) 0 , 试证 :1f ' ' ( x)dx 4f ( x)十. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数 , 且 f(1) －f(0) = 1,试证 :1 2dx 1[ f ' (x)] 022十一 . 设函数 f(x) 在 [0, 2] 上连续 , 且f (x)dx = 0,xf ( x)dx = a > 0. 证明 :[0, 2], 使 |f( )| a.0 0第三章一元函数积分学(广义积分 )一. 计算下列广义积分:x2edx(1)10 (e x1)31(2)0( x21)( x24)dx(3)dx3 (1 x2 ) 21(4)sin(ln x)dx11dx (5)2 x x21 (6)arctan x3dx(1 x2 ) 2第四章微分中值定理一. 设函数 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上可微 , 对于 [0, 1] 上每一个 x, 函数 f(x) 的值都在开区间(0, 1)内 , 且 f ' ( x) 1, 证明 : 在 (0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.1f ( x) dxf (0) . 证明 : 在(0, 1)内存在一个, 使 f ' ( ) 0 .二. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且 3 2 3三．设函数 f(x) 在[1, 2] 上有二阶导数 , 且 f(1) = f(2) = 0,又 F(x) =(x － 1)2f(x), 证明 : 在(1, 2)内至少存在一个 , 使 F ' ' ( ) 0 .四. 设 f(x)在 [0, x](x > 0) 上连续 , 在 (0, x)内可导 , 且 f(0) = 0, 试证 : 在(0, x) 内存在一个, 使f ( x) (1 ) ln(1 x) f ' ( ) .五. 设 f(x)在 [a, b]上可导 , 且 ab > 0, 试证 : 存在一个 (a, b), 使1b n a n [nf ( ) f '()] n 1f (b)b a f (a)六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在 [a, b] 上连续 , 在(a, b)内可导 , 证明 :存在一个(a, b), 使f (a) g(a) h(a)f (b)g( b) h(b) 0f ' ( )g' ( )h' ( )七. 设 f(x)在 [x1, x2] 上二阶可导 , 且 0< x1 < x2 , 证明 : 在( x1 , x2)内至少存在一个, 使1e x1e x2 e x1e x2 f ( x1 )f ( ) f ' ( )f ( x2 )八. 若 x1x2 > 0, 证明 : 存在一个(x1, x2)或( x2, x1 ), 使x1e x2x2 e x1(1)e (x1x2 )九 .设f(x), g( x) 在 [a, b] 上连续 ,在(a,b) 内可导 ,且f( a) = f(b) = 0, g(x)0,试证:至少存在一个(a, b),使f ' ( ) g( ) g' ( ) f ( )十. 设 f(x) 在 [a, b] 上连续(0 a b) ,在(a, b)内可导,证明在(a, b)存在,2f ' ()使 f ' ( )ab.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设 f(x) 在 (－, + )内可导 , 且对任意x1, x2 , x1 > x2时, 都有 f(x 1) > f(x 2), 则(a) 对任意 x, f '( x) 0(b) 对任意 x, f '( x)0(c) 函数 f( － x)单调增加(d) 函数－ f(－ x)单调增加1x 2x 1的渐近线有2. 曲线y e x2arctan( x 1)( x2)(a) 1 条(b) 2 条(c) 3 条(d) 4 条3. 设 f(x) 在 [－ , + ] 上连续 , 当 a 为何值时 , F (a)[ f (x) a cosnx ]2 dx 的值为极小值.(a) f ( x) cos nxdx(b)(c)2(d)f ( x) cosnxdx4. 函数 y = f(x)具有下列特征 :1f ( x) cosnxdx 1f ( x) cosnxdx 2f(0) = 1; f ' (0)0 ,当x0 时, f '( x)0x00 ; f '' ( x)x, 则其图形00(a)(b)(c)(d)11115. 设三次函数y f ( x) ax3bx 2cx d ,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于 y 轴对称(b) 关于原点对称(c) 关于直线 y = x 轴对称(d) 以上均错6.曲线 y x( x 1)(2 x) 与x轴所围图形面积可表示为21)( 2x)dx11)( 2x) dx21)( 2x)dx(a)x( x(b)x( x x( x00111)( 2x)dx21)(2x)dx21)(2x)dx(c)x(x x(x(d)x( x010二. 填空题x11. 函数F ( x)2dt (x > 0)的单调减少区间______.1t2. 曲线y x3x 与其在x13. 二椭圆x2y 21,x2y 21( a > b > 0)之间的图形的面积______. a2b2b2 a 24. x2+ y2= a2绕 x =－b(b > a > 0) 旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线= 4(1+cos ) 和直线= 0, =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.2三. 证明题xtf (t )dt0 时函数( x)01. 设 f(x) 为连续正值函数 , 证明当 x单调增加 .xf (t )dt2. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内f ' ' ( x)f ( x) f (a)0 ,证明 ( x)在 (a, b)内单增 .x a3. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内可导且f ' ( x)0 ,求证:F ( x)1xf (t )dt 在(a, b)内也 F ' ( x) 0 . x a a4. 设 f(x)在[ a, b] 上连续 , 且 f(x) > 0,又 F ( x)x x 1f ( t)dt dt .证明:a b f ( t)i. F ' ( x) 2, ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.5. 明方程tan x 1 x 在(0, 1)内有唯一根.6.a1, a2, ⋯ , a n n 个数 , 并足a1a2(1) n 1a n0 .明:方程32n1a1 cos x a2 cos3x a n cos(2n1) x0在 (0,2) 内至少有一根 .四. 算1. 在直 x－y + 1=0 与抛物y x24x 5 的交点上引抛物的法, 求由两法及接两交点的弦所成的三角形的面.22f (x)] 2 dx 最小的直方程.2. 求通点 (1, 1)的直 y = f(x)中 , 使得[ x3. 求函数f ( x)x2(2 t)e t dt 的最大与最小. 04. 已知 (x－ b)2 + y2 = a2, 其中 b > a > 0, 求此 y 旋所构成的旋体体和表面.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面 4 条性质( I ) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续;( II ) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续; ( I II) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微;( IV ) f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在;若用 P Q 表示可由性质P推出性质Q,则有( A ) ( C )(II )(III )( I )(III )(IV )( I )( B )( D )( III )(II )( I )(III )(I )( IV )xy2,( x, y)(0,0)二. 二元函数f ( x, y)x2y0) 处在点 (0, 0,(x, y)(0,0)( A ) 连续 , 偏导数存在 ;( B ) 连续 , 偏导数不存在 ; ( C ) 不连续 , 偏导数存在 ;( D ) 不连续 , 偏导数不存在 .三. 设 f, g 为连续可微函数 , u f ( x, xy)， v g( x xy) ,求uv . x x四. 设x2z2y z, 其中为可微函数 , 求z .y y五. 设u f ( x, y, z)，又 y(x, t )， t( x, z)，求u. x六. 求下列方程所确定函数的全微分:1. f ( x y, y z, z x)0，求 dz ;2.z f ( xz， z y)，求 dz .七. 设z f ( e x sin y, x2y 2 ) ,其中f具有二阶连续偏导数, 求 2z.x y八.已知 z f (2 x, x )，求 zxx ' '， z yy ' ' . y九. 已知z f (xln,)' ' ,zxy' ' ,zyy' '.y x y ，求 z xx十. 设y y( x)， zx y z z20确定 , 求dy dz z(x)，由y2z z30， .x dx dx十一 . 设z xf (y)(y)，求 x2 2 z2xy 2 z y 2 2 zx x x 2x y y22十二 . 设z f [ x2y, ( xy)] ,其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,(u) 二阶可导,求z. x y十三 . 设F ( x, y(x), z(x))P( x, y(x)) Q ( x, y( x)) z( x) ,其中出现的函数都是连续可微的F d F , 试计算.第七章二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设I1D 结论正确的是x y x y 3xy{( x, y) | (x 1)2( y1)22},则下列dxdy, I2dxdy, I 3dxdy 其中D4D4D4( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C )I 1I 3I 2( D )I 3I 2I 12.设 I ie ( x2y2) dxdy, i1, 2，3, 其中 :D1{( x, y) | x 2y2r 2 } , D2{( x, y) | x2y 22r 2 } ,D iD 3{( x, y) | | x |r , | y |r } 则下列结论正确的是( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 13.设I1cos x 2y2,I 2cos(x 2y2 ), I 3cos(x 2y 2 ) 2其中 D{( x, y) | x2y 21} ,则下列D D D结论正确的是( A ) I1I 2I 3( B ) I2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 1二. 将二重积分I f ( x, y)d 化为累次积分(两种形式),其中D给定如下:D1. D: 由y28x 与 x28 y 所围之区域.2. D: 由 x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0 及 x －2y + 7 = 0 所围之区域 .3. D: 由x2y 2 1 , y x 及 x > 0 所围之区域 .4. D: 由 |x| + |y| 1 所围之区域 .三.改变下列积分次序 :a a2x21.dx a2x 2 f ( x, y)dy2a1x 233xf (x, y) dy2.dx0f (x, y)dy dx201002x 2f ( x, y)dy12x23.dxx dxxf ( x, y) dy10四. 将二重积分I f ( x, y)d 化为极坐标形式的累次积分, 其中 :D1.D: a2x2 +y 2b2 , y0, (b > a > 0)2.D: x 2+y2y, x03.D: 0x +y1, 0 x1五. 求解下列二重积分:2x 1.dx1x sinx42dy dx2y2xxsin dy1y 2 x2. dx e 2 dy003.y dxdy , D:由y = x4－x3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形Dx 64.xydxdy , D: y x及1 x2+ y22 x2y2D六. 计算下列二重积分 :x222y 21.yx 1 .1dxdy , D:22 Da b a b2.ln( x2y 2 )dxdy , D:2x 2y 21 , 并求上述二重积分当0 时的极限 .Dax f ' ( y)3.dxdy(a x)( x y)1 x 2y 24.2 2 dxdy , D: x 2 + y 2 1, x 0, y 0. D1 x y2七. 求证 :f ( xy)dxdy ln 2 f ( u) du , 其中 D 是由 xy = 1, xy = 2, y = x 及 y = 4x(x > 0, y > 0) 所围成之区域 .1Df ( x y)dxdy2 2f (u)du八 . 求证 :2 u x 2y 2121x2y 21t 2e2 dxdy a九 . 设 f(t)是半径为 t 的圆周长 , 试证 : f (t) e 2 dt2x 2 y2 a220m y n dxdy 0十 . 设 m, n 均为正整数 , 其中至少有一个是奇数, 证明xx 2y2 a2十一.设平面区域 D {( x, y) | x 3y 1, 1 x 1}, f (x) 是定义在 [ a, a] (a1) 上的任意连续函数试求: I 2 y[( x 1) f ( x) (x1) f ( x)] dxdyDLy x 3第八章无穷级数一. 填空题x 1n a n1(1) 设有级数a n, 若lim2a n 1, 则该级数的收敛半径为 ______.n 1n3(2) 幂级数n n3)n x2n 1的收敛半径为 ______.n 1 2((3) 幂级数x n的收敛区间为 ______. n 1n 1(4) 幂级数x n 1的收敛区间为 ______. n 1 n2n(5)幂级数(n1)x n的和函数为______.n1二. 单项选择题(1)设 a n0(n1,2,)，且a n收敛,常数(0,) ,则级数( 1)n (n tan ) a2 nn 12n 1n(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D) 收敛性与有关(2)设 u n( 1)n ln(11) ,则n(A)u n与u n2都收敛. (B)u n与u n2都发散. (C)u n收敛,而u n2发散. (D)u n发散,u n2收敛.n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1(3)下列各选项正确的是(A) 若u n2与v n2都收敛 , 则(u n v n ) 2收敛n 1n 1n 1(B) 若| u n v n | 收敛,则u n2与v n2都收敛n 1n 1n 1u n 1(C) 若正项级数发散 ,则u nn 1n(D) 若级数u n收敛,且 u n v n ( n 1,2, ) ,则级数v n收敛.sin n1(4) 设为常数 , 则级数nn 1 n2(A)绝对收敛 . (B) 发散 . (C) 条件收敛 . (D) 敛散性与取值有关 .三. 判断下列级数的敛散性:11(1)sinn 1 ln( n 2)n(2)1( a 0) n 1 ( a n 1)( a n)( a n 1)3n n!(3)n 1 n nn2(4)n 1 ( n 1 / n) n( n! )2(5)n1 ( 2n)!(6)(1ln n)nn 1n四. 判断下列级数的敛散性n(1)( 1)n 2n1n 13n1(2)( 1)n n1n 1(n 1) n 1 1(3)sin( n)n 1n(4)( 1)n 1 tan1n 1n n五. 求下列级数的收敛域:( x2x1)n (1)n 1n( n1) (2)( 1)n x2 n 1n 12n 1 (3)2n 1 x2 n 1n 12n( x1)2 n(4)n 1n 9n六. 求下列级数的和:(1)( 1)n 1 x2 n 12n 1n 1(2)n(n 1)xn 1( x1)n (3)n 1n2nn七. 把下列级数展成x 的幂级数 :(1) f ( x)1ln1x1arctan x 21x2x ln(1x)(2) f ( x)x dx第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题1. 微分方程y' y tan x cos x 的通解为_________.2.微分方程 ydx( x24x)dy0的通解为 ________.3.微分方程 y' 'y 2 x 的通解为________.4.微分方程 y' ' 2 y' 2 y e x的通解为________.5.已知曲线 y f ( x) 过点(0,1),且其上任一点 (x, y) 处的切线斜率为x ln(1x2 ) ,则 f ( x) =_______.2二. 单项选择题2 x 1. 若函数 f (x) 满足关系式 f ( x)tf ( )dt ln 2 ,则 f (x) 等于(A)e x ln 2(B)e2 x ln 2(C)e x ln 2(D)e2 x ln 22.微分方程 y' 'y e x1的一个特解应具有形式(式中 a、 b 为常数 )(A)ae x b(B)axe x b (C) ae x bx(D) axe x bx三. 解下列微分方程:dy3( x 1) 2 (1 y 2 )1. dxy| x 012. (1y2 )dx x(1 x) ydy0dy13.1dx x y四. 解下列微分方程:yy1. y' e xx2.xdy ydx x2y 2 dxy y3. ( x y cos )dx x cos dy0x x五. 解下列微分方程:1.y' y cos x e sin x1x2.x2 y' y x2 e x3.xy' ln x y ax(ln x1)4.y' sin x cos x y sin3 x0六. 解下列微分方程:1.y' y tan x sec x， y(0)02.y' y cos x sin x cos x， y(0)13.y' x sin 2 y xe x2 cos2 y， y( 0)4七. 解下列方程 :1.y' ' 2 2 y' 2 y02.y' ' 2 y' 3y03.y' ' 2 y' 3y0八. 解下列方程 :x 23 )e2x 1. y' ' 4 y' 4y (1 x2.y' ' 3 y' 2y cos 2x3.y' ' 2 y' y5xe x4. 2 y' ' 2 y' 3 y x22x 15.y' ' y' x21第十章函数方程与不等式证明11aa n 1a n一. 证明不等式ln a( n 1) 21 1n 1 a n. (a > 1, n 1)n 2二. 若 a0, b 0, 0 < p < 1, 证明( ab) p a p b p三. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上有连续导数 , 满足 0f ' ( x) 1且 f (0)0. 求证1 213( x)dxf ( x)dxf四. 求证| a |p | b |p 21 p (| a | | b |) p , (0 < p < 1).五. 求证 : 若 x + y + z = 6,则 x2y 2 z 2 12 , (x 0, y 0, z0).六.证明 : 1 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上2 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上f ' ' ( x) 0，则 (b a) f ( a) f ( x) dx (b a)f (a)f (b)ba2f ' ' ( x) 0 ，则 ( b a) f (b) f ( x)dx ( b a) f (a) f (b)ba2x1x2x n x12x22x n2七. 证明 : 1n nx1x2x n nx1 x2x n2n八. 设f ' ' ( x)c[ a, b] , 且f (a)f (b) 0, 求证f (x) dx(b a) 3ba12a x b九. 若 f ' ( x) 在 [0, 2 ] 上连续 , 且 f ' (x)2 2[ f (2 ) f (0)]0, n(正整数 )有f ( x) sin nxdxn十. 设在 [a, b] 上 f ' ' ( x) 0 , a < x 1 < x 2 < b, 0 << 1, 试证 :f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ) f [ x 1 (1) x 2 ]第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为 x 时的边际成本函数为 C ' 40 20 x3x 2, 边际收益为R'32 10x ,试求: ( 1 )总利润函数 ; ( 2 ) 使总利润最大的产量 .二. 设某商品的需求量Q 是单价 P(单位 : 元 )的函数 : Q = 12000 －80P; 商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数 : C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税 2 元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系P = 7－ 0.2x(万元 / 吨), x 为销售量 ( 单位 :吨 ), 商品的成本函数C3x 1(万元). (1)若每销售一吨商品政府要征税 t ( 万元 ), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时 , 政府税收总额最大 .四 . 设某企业每月需要使用某种零件2400 件 , 每件成本为150 元, 每年库存费为成本的 6 , 每次订货费为100 元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。

考研数学考试题及答案

考研数学考试题及答案考研数学模拟试题一、选择题（每题3分，共36分）1. 设函数 $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1 $，求 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $ 是（）。

A. $ 6x^2 - 6x + 5 $B. $ 6x^2 - 6x + 4 $C. $ 6x^2 - 3x + 5 $D. $ 6x^2 + 3x + 5 $答案：A2. 已知 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，求$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} $ 的值是（）。

A. 1B. 0C. -1D. $ -\frac{1}{2} $答案：A3-8. （略）二、填空题（每题4分，共20分）9. 设等比数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，则该数列的第5项 $ a_5 $ 等于________。

答案：4810. 已知 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 等于________。

答案：$ \frac{1}{4} $11-12. （略）三、解答题（共44分）13. （本题10分）求由方程 $ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0 $所表示的圆的圆心和半径。

解：将方程 $ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0 $ 配方，得到$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 $。

所以，圆心为 (-1, 2)，半径为 1。

14. （本题12分）设 $ I = \int_{0}^{1} x e^x dx $，求证$ I > \frac{1}{2} $。

考研数学习题集精选

考研数学习题集精选一、函数与极限1. 计算以下极限：(a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$(b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\cos(2x)}$(c) $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$(d) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x+2}{2x^2-4x+1}$2. 求以下函数的极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}{x}$(c) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4x+4}{\sqrt{x+2}-2}$(d) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3-27}{\sqrt{x}-3}$二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(a) $y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$(b) $y = \sin(3x) - \cos(2x)$(c) $y = e^x \ln(x)$(d) $y = \frac{x^2-1}{x+1}$2. 求以下函数在给定点处的切线方程：(a) $y = 2x^2 - 3x + 1$，点$(1, 0)$(b) $y = \sqrt{3x-1}$，点$(2,1)$(c) $y = \frac{\ln(1+x)}{x}$，点$(0,0)$(d) $y = \tan(2x)$，点$(\frac{\pi}{4}, 1)$三、定积分1. 求以下定积分：(a) $\int_0^1 (2x^3 - x^2 + x - 1)dx$(b) $\int_0^{\pi} \cos(x)dx$(c) $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$(d) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x)dx$2. 求以下曲线与坐标轴所围成的面积：(a) 曲线 $y = x^3 - 3x^2 + 3x$ 与$x$轴的交点为$(0,0)$和$(3,0)$(b) 曲线 $y = \ln(x)$，$x$轴与直线$x=1$所围成的区域(c) 曲线 $y = \sin(x)$，$x$轴与直线$x=\frac{\pi}{2}$所围成的区域(d) 曲线 $y = \frac{1}{x}$，直线$x=1$与$x=2$所围成的区域四、微分方程1. 解下列微分方程：(a) $y'+2y = x^2$(b) $y' + y = e^x$(c) $y' = \frac{1}{x+y}$(d) $x^2y' - 2xy = \sqrt{x}$2. 求通过点$(1,2)$的特解：(a) $y' = \frac{2x-y}{x-y}$(b) $y' = \frac{x-y}{x+y}$(c) $y' = \frac{1+y}{1-x}$(d) $y'+2xy=\cos(x)$以上是一些考研数学习题的精选，希望能够对备考的同学们有所帮助。

考研数学卷子练习题

考研数学卷子练习题一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 - 6x + 1C. 6x^2 - 6x + 2D. 6x^2 - 6x - 12. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。

A. 0B. 1C. -1D. 24. 已知矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，求矩阵A的行列式。

A. -2B. 0C. 2D. -55. 设随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(X ≤ 1)。

A. 0.1587B. 0.8413C. 0.8412D. 0.15866. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D是由x^2 + y^2 ≤ 1定义的圆盘。

A. π/2B. πC. π/4D. 2π7. 已知函数f(x) = e^x，求f''(x)。

A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)8. 计算级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2)的和。

A. π^2/6B. 1C. ln(2)D. e9. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1, 0)处的切线方程。

A. y = 3x - 3B. y = 3x - 2C. y = -3x + 3D. y = -3x + 210. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

A. 0B. 4C. -4D. 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的结果为_。

12. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求f'(x)在x=1处的值为_。

考研数学试题大全及答案

考研数学试题大全及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的概念是微积分学的基础，以下哪个选项是正确的极限定义？A. 函数在某点的极限是该点的函数值B. 函数在某点的极限是该点的函数值的极限C. 函数在某点的极限是该点的函数值的极限，如果存在的话D. 函数在某点的极限是该点的函数值，如果存在的话答案：C2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C答案：D4. 二阶导数测试法可以用来确定函数的凹凸性，以下哪个选项是正确的？A. 如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该点是凹的B. 如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该点是凸的C. 如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该点是凸的D. 如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该点是凹的答案：C5. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / hB. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x, y+h) - f(x, y)] / hC. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / hD. ∂f/∂x = lim(h->0) [f(x, y) - f(x-h, y)] / h答案：C6. 以下哪个选项是正确的二重积分的性质？A. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(y, x) dAB. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(-x, -y) dAC. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(-x, y) dAD. ∬R f(x, y) dA = ∬R f(x, -y) dA答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是_________。