高考数学二轮复习专题《数列》

2009年高考数学二轮复习数列

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题也是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

一、教学要求

本专题的教学要求有以下几点。

1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式的意义。

2、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。

3、理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。

探索等差、等比数列的通项公式和前n项和公式。

4、数列教学，要注意的问题：

(1) 教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。

(2) 会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。

(3) 教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。

(4) 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。这样做，既突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。

二、考纲要求

江西省2009年高考仍按教育部考试中心颁布的《大纲》实施，其中有关数列的部分是这样写的：考试内容：数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．

等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．

考试要求：

(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

三、试题特点

1、考情统计

2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解答题试题，处于压轴位置的有6道。数列解答题属于中档题或难题。其中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道。另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点。

2006年高考各地的18套试卷中,有18道数列解答试题。其中与函数综合的有6道，涉及数列不等式证明的有8道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”。值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点。

2007年高考各地的各套试卷中都有数列题，有7套试卷是在压轴题的位置，有9套是在倒数第二道的

位置，其它的一般在第二、三的位置，几乎每道题涉及到递推数列，有9道涉及到数列、不等式或函数的综合问题，安徽省还出现了一道数列应用题。

2008年高考各地的各套试卷中都有数列题，也都是几乎每道题涉及到递推数列， 数列、不等式或函数的综合问题。

综上可知，数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题。其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点，而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将成为高考命题的一个新亮点。

2、主要特点

数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强。

数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度。

高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏．一般情况下都是一个客观题和一个综合解答题。数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法．其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中。

3、考查知识

(1) 考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能。

(2)与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养。

(3)以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间。

四、试题类型

下面我以2008年高考试题为例，大致概括一下高考数列试题的常见类型。只谈数列本身，不涉及数列与向量、三角或解析几何等知识的交汇。

类型一：考查等差、等比数列的基本问题

等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。

在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n

+=++，则n a =( )

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

解：选A 。 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11

ln(1)1

n n a a n -=++-

1234ln()()()()2ln 123

1

n n

a a n n ⇒=+=+-

{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且

113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =。

(1) 求,n n a b ；(2) 求证

12

11

134

n S S S +++

<。 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1

n n b q -=，依题

意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-⎧====⎪

⎨⎪=+=⎩

①