数学分析上册定理公式集锦复习进程
初一上数学知识点公式归纳总结
初一上数学知识点公式归纳总结在初一上学期的数学学习中，我们接触到了许多重要的数学知识点和公式。
这些知识点和公式在今后的学习中将会被广泛应用，因此我们有必要进行总结和归纳。
本文将对初一上学期数学知识点和公式进行系统整理，帮助同学们更好地理解和掌握。
1. 整数绝对值的性质- 整数a的绝对值表示为|a|，其性质如下：- |a| >= 0，绝对值非负；- |a| = a，当a >= 0时；- |a| = -a，当a < 0时。
2. 有理数的加减乘除- 有理数的加减法性质：- 加法交换律：a + b = b + a；- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)；- 减法定义：a - b = a + (-b)；- 乘法交换律：a * b = b * a；- 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)；- 乘法分配律：a * (b + c) = a * b + a * c；- 除法定义：a ÷ b = a * (1/b)，其中b ≠ 0。
3. 分数的四则运算- 分数的加法：a/b + c/d = (a * d + b * c) / (b * d)；- 分数的减法：a/b - c/d = (a * d - b * c) / (b * d)；- 分数的乘法：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)；- 分数的除法：(a/b) ÷ (c/d) = (a * d) / (b * c)，其中b、c、d ≠ 0。
4. 线段的中点和坐标- 线段的中点：线段AB的中点M，坐标为(Mx, My)，满足：Mx = (Ax + Bx)/2，My = (Ay + By)/2。
5. 整数的乘方- 整数的乘方定义：a的n次方，表示为a^n，n为正整数。
- 整数的乘方性质：- a^0 = 1，任何数的0次方等于1；- a^1 = a，任何数的1次方等于它本身；- a^m * a^n = a^(m+n)，同底数相乘，指数相加；- (a^m)^n = a^(m*n)，乘方的乘方，指数相乘。
微积分上册期中公式定理汇总
a，记作 lim
n→∞
xn
或xn→a（n→+∞）
。
2、 定义 2：设 a∈ R,∀U（a,ε）,∃N∈ Z+，当 n>N 时，总有xn ∈U（a,ε），则称数 列(xn)n∞=1收敛于 a。
3、 推论：数列(xn)n∞=1收敛于 a 的充分必要条件是，对 a 的任一ε邻域 U（a，ε）， 只有有限多项xn不属于 U（a，ε）
（2） lim g(x)= lim h(x)=A，则 lim f(x)存在且等于 A。
x→x0(x→∞）
x→x0(x→∞)
x→x0(x→∞)
2、关于数列的夹逼准则：设数列(xn)n∞=1，(yn)n∞=1，(zn)n∞=1满足： （1） yn ≤ xn ≤ zn（n=1,2,…）；
（2）
lim
n→∞
3、定理 1：（1）有限个无穷小之和是无穷小。 （2）有界函数与无穷小之积是无穷小。
4、推论：（1）常数与无穷小之积是无穷小。 （2）有限个无穷小之积是无穷小。
5、定义：如果对任意给定的正数 M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数 X），
使得当定义域中的 x 满足不等式 0<|x-x0|<δ（或|x|>X）时，对应的函数值 f(x) 满足不等式|f(X)|>M，就称函数 f(X)是当 x→x0（x→∞）时的无穷大，并记为
4、 定理 3（收敛函数的有界性）：如果数列(xn)n∞=1收敛，那么数列(xn)n∞=1必定 有界。
5、
定理
4（收敛函数的保号性）：如果 lim
n→∞
xn=a，且
a>0（或
a<0），那么存在
正整数 N，当 n>N 时，都有xn>0（或xn<0）。
高等数学上册(微积分)必背公式总结
高等数学上册(微积分)必背公式总结以下仅是个人总结仅供参考(不包含微分方程模块)常用三角函数公式积化和差公式\begin{aligned} \sin \alpha \cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta&=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta&=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\end{aligned}和差化积公式\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\beta}{2} \\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \tan\alpha+\tan\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\end{aligned}归一化公式\begin{aligned} \label{gyhgs} \sin^2 x+\cos^2x&=1\\\sec^2 x-\tan^2x&=1\\\cosh^2x-\sinh^2x&=1\end{aligned}倍(半)角公式降(升)幂公式\begin{aligned} \sin^2x&=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\\\cos^2x&=\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \\ \tan^2x&=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\ \sinx&=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ \cosx&=2\cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \\ \tan x&=\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}\end{aligned}万能公式令 u=\tan\dfrac{x}{2} 则\begin{aligned} \sin x=\frac{2u}{1+u^2}\\ \cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}\end{aligned}常用的佩亚诺型余项泰勒公式有泰勒公式 \begin{aligned}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]\notag\\f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\small{ (\xi \mbox{在}x_0 \mbox{与}x\mbox{之间})} \notag\end{aligned}\begin{aligned}\mathrm{e}^{x}&=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+ \cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n})\\ \ln(x+1)&=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^{n}+o(x^{n})\end{aligned}令 n=2m 有,\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{120}x^{5}+\cdots+(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}x^{2m-1}+o(x^{2m}) \\ \cos x&=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots+(-1)^m\frac{1}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m+1}) \\ \tanx&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+ \cdots+o(x^{2m-1})\end{aligned} \begin{aligned}\arcsinx&=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots+o(x^{2m}) \end{aligned}常用于近似计算的泰勒公式\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n) \\(1+x)^{\alpha}&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\prod_{j=0}^{i-1}{(\alpha-j})}{i!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+o(x^n) \\\alpha^x&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\ln^n\alpha}{n!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+x\ln\alpha+\frac{\ln^2 \alpha}{2}x^2+\cdots+\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n)\end{aligned}基本求导公式\begin{equation} \left( C\right)'=0 \\\left( x^{\mu}\right)'=\mu x^{\mu-1} \\ \left( \sinx\right)'=\cos x \\ \left( \cos x\right)'=-\sin x \\ \left( \tan x\right)'=\sec^2 x\\ \left( \cotx\right)'=-\csc^2 x \\ \left( \sec x\right)'=\secx\cdot\tan x \\ \left( \csc x\right)'=-\csc x\cdot\cot x \\ \left( a^x\right)'=a^x\ln a\ (a>0,a\neq1)\\\left( \log_{a}x\right)'=\frac{1}{x\cdot\ln a}\(a>0,a\neq1) \\ \left( \arcsinx\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arccosx\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arctanx\right)'=\frac{1}{1+x^2} \\ \left( \mathrm{arccot}\, x\right)'=-\frac{1}{1+x^2} \\ \end{equation}函数图形描述中涉及到的重要公式常用曲率计算公式曲率的定义式K=\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|由定义式我们可以推得1.直角坐标系中的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|y''\right|}{\left( 1+y^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}2.参数方程表示的曲线 x=\varphi(t),y=\psi(t) 有曲率表达式 K=\frac{\left|\varphi'(t)\psi''(t)-\varphi''(t)\psi'(t)\right|}{\left[ \varphi^{'2}(t) +\psi^{'2}(t) \right]^{3/2}}\mbox{;}3.极坐标表示的的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|r^2+2r^{'2}-r\cdotr''\right|}{\left(r^2+r^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}曲线在对应点 M(x,y) 的曲率中心 D(\alpha,\beta) 的坐标为\begin{cases} \alpha=x-\displaystyle\frac{y'(1+y^{'2})}{y^{''2}} \\\beta=y+\displaystyle\frac{1+y^{'2}}{y''} \end{cases} 曲线的渐近线1.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }f(x)=b ,则称 y=b 为曲线 f(x) 的水平渐近线;2.若 \lim\limits_{ x\rightarrow x_0 }f(x)=\infty ,则称 x=x_0 为曲线 f(x) 的垂直渐近线;3.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }[f(x)-(ax+b)]=0 ,其中 \begin{cases} a=\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} \\b=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-ax] \end{cases} 则称 y=ax+b 为曲线 f(x) 的斜渐近线.基本积分公式\begin{aligned} &\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \ \mbox{(其中}k\mbox{为常数)} \\ &\intx^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\(\mu\neq-1) \\ &\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ &\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ &\int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ &\int\tanx\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ &\int\cotx\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ &\int\cscx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{ 2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \\ &\int\secx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \\ &\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ &\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \secx\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ &\int\csc x\cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ &\int\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\inta^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\ &\int \sinhx\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\ &\int \coshx\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\ &\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac {x}{a}+C \\ &\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ &\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{aligned}基本积分方法第一类换元法1.一般地,对于 \sin^{2k+1}x\cos^n x 或 \sin^n x\cos^{2k+1}x (其中 k\in\mathbb{N} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\cos x 或 u=\sin x ,从而求得结果;2.一般地,对于 \sin^{2k}x\cos^{2l}x 或 (其中 k,l\in\mathbb{N} )型函数的积分,总是利用降幂公式\sin^2=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x),\cos^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x) 化成 \cos 2x 的多项式,从而求得结果;3.一般地,对于 \tan^{n}x\sec^{2k} x 或 \tan^{2k-1} x\sec^{n}x (其中 n,k\in\mathbb{N}_{+} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\tan x 或 u=\sec x ,从而求得结果;\begin{aligned} &\int {f( ax + b){\rm{d}}x= }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a\neq 0)} \\ &\int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{a(m + 1)}}\int {f(a{x^{m + 1}} +b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\ &\int{f\left( \frac{1}{x}\right)\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\;} = - \int{f\left( \frac{1}{x}\right){\rm{d}}\left( \frac{{\rm{1}}}{x}\right) \;} \\ &\int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\lnx){\rm{d(}}\ln x)} \\ &\int {f({\mathrm{e}^x})}{\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int{f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\ &\int {f(\sqrt x } )\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\ &\int {f(\sinx)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\ &\int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\ &\int {f(\tan x){{\sec }^2}}x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\ &\int{f(\cot x){{\csc }^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cotx){\rm{d}}\cot x} \\ &\int {f(\arcsinx)\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} {\rm{d}}x = \int{f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\ &\int {f(\arctanx)\frac{1}{{1 + {x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\ &\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| f(x)\right| + C\end{aligned}部分分式\begin{aligned} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} =&\frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} +\frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{\alpha - 1}}}} + \cdots + \frac{{{A_\alpha }}}{{x - a}} + \notag\\\&\frac{{{B_1}}}{{{{(x - b)}^\beta }}} +\frac{{{B_2}}}{{{{(x - b)}^{\beta - 1}}}} + \cdots +\frac{{{B_\beta }}}{{x - b}} + \notag\\\&\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{({x^2} + px +q)}^\lambda }}} + \frac{{{M_2}x + {N_2}}}{{{{({x^2} + px + q)}^{\lambda - 1}}}} + \cdots +\frac{{{M_\lambda }x + {N_\lambda }}}{{{x^2} + px + q}} + \notag\ \\&\cdots \end{aligned}三角函数的特殊定积分\begin{aligned}I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0 ^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x\notag \I_n&\\&=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\notag\ \\&=\begin{cases} \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}}\cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\quad (n\mbox{为大于}1\mbox{的正奇数}),I_1=1\\ \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2}\quad(n\mbox{为正偶数}),I_0=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\end{aligned}。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
数学分析定义、定理、推理一览表复习课程
数学分析定义、定理、推理一览表定义1给定两个非负实数x a0.a1.a2L a n L , y b0.b1.b2L b n L其中a o,b o为非负整数，a k,b k k 1,2,L为整数，若有0 a k 9,0 b k 9.则称x与y相等，记为x y .若a0b0或存在非负实数l,使得a kb k k 0,1,2丄l 而a i b 1,则称x大于y或y小于x,分别记为x y或y x.定义2设x a0.a1a2L a n L为非负实数.称有理数a。
.q a? L a为实数x的n位不足近似，而有理数x n x n称为x的n位过剩近似, n 0,1,2,L .实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a b,a b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4.实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3绝对值得一些性质1. a a 0;当且仅当a=0时有a 0.2. a a a .3. a h h a h; ah h a h(h 0). 4. 对于任何a 、b R 有如下三角形不等式：a b a b a b .5. ab a||b .a |a|&冷0)定义4 实数a 的绝对值定义为a 从数轴上看，数a 的绝对值 a, a 0, a, a 0. a 就是a 到原点的距离区间和邻域开区间：a,b x a x b ,有限区间闭区间：a,b x|a x b ,半开半闭区间：a,b xa x b , 区间(,a] x|x a , , a,b R.工(a, ) xx a ,无限区间(,a) x|x a ,(,)x x R,邻域：a R, 0.满足x a 的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U a;,或U (a),即有U(a; ) {x||x a| } (a ,a ).点a的空心邻域：U°(a; ) {x| 0 | x a| }.点a的右邻域：U (a; ) [a,a );点a的左邻域：U (a; ) (a ,a];点a的空心右邻域：U 0(a; ) (a, a );点a的空心左邻域：U 0(a; ) (a , a);邻域U( ) {X||x| M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；定义5有界的定义设S为R中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x S,都有x M (x L),则称S为有上界(下界)的数集，数M (L)称为S的一个上界(下界)■简记：S R, M 0, x S x M ,称S有界■若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集■若S不是有界集, 则称为无界集.定义6确界的定义1设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的上界；ii , x o S,使得x o ，即又是S的最小上界,则称为数集S的上确界，记作=sup S.2.设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的下界；ii , x0 S,使得x0，即又是S的最大下界,则称为数集S的下确界，记作=inf S定理1设数集S有上确界•i) =sup S S =max S.ii) =inf S S min S.定理一确界原理设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.定理2设A B为非空数集，满足：对一切x A和y B有x y.数集A有上确界，数集B有下确界，且supA inf B.推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的) 函数的概念定义1 给定两个实数集D和M，若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f : D M,x a y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (x).全体函数值的集合f(D) y| y f (x),x D ( M ) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f ,x ^和g,x D 2,记D=D 11 D 2,并设D .定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：F(x) f(x) g(x),x D,G(x) f(x) g(x),x D,H(x) f(x)g(x),x D.若在D 中剔除g(x) 0的x 值，即令D * D i I x| g(x) 0,x D 2, 则除法如下L(x) f (x)/g(x),x D *. 初等函数定义2给定实数a 0,a 1设x 为我们规定sup {a r | r 为有理数}，当a 1时， a x r xi n f {a r |r 为有理数}，当0 a 1时.r x几个重要的等式(不等式)数列极限定义1收敛数列的性质定义1设a-为数列，n k为正整数集N +的无限子集，且n i n2 L n k L ，则数列a-i,a-2,L ,a-k,L称为数列a-的一个子列，简记为a-k.平凡子列：数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列a-收敛的充要条件是：a-的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限定义1设f为定义在a, 上的函数，A为定数若对人给的0,存在正数Ml（ a）,使得当x M时有f x A ，则称函数f当x趋于时以A为极限，记作lim f x A或f x Ax .x2设函数f在点怡的某个空心邻域U。
初中数学公式定理大全七年级（上册）
初中数学公式定理大全七年级（上册）初中数学公式定理大全：七年级（上册）第一章有理数1.2.1 有理数整数和分数统称为有理数（rational number ）。
1.2.2 数轴在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（number axis ）。
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin ）。
1.2.3 相反数像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number ）。
1.2.4 绝对值一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值（absolute value ），记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
一般地：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。
1.3.1 有理数的加法有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
3、一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律：a+b=b+a 。
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
1.3.2 有理数的减法有理数减法法则：a-b=a+(-b)。
减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4.1 有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
乘法交换律：ab=ba 。
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
乘法结合律：(ab)c=a(bc)。
一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 。
八年级上册数学公式定理知识点
八年级上册数学公式定理知识点数学公式定理知识点数学是一门基础性学科，它是各个领域中必备的基础知识。
数学公式和定理是数学学习的重要内容，正确使用它们可以有效提升数学学习和应用的能力。
在本文中，我们将带领大家探讨八年级上册数学公式定理知识点。
一、点、线、面的关系1.点、线、面的概念：点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的事物；线没有宽度，只有长度的事物；面是有长、宽的在平面上被限定的空间。
2.点、线、面的分类：根据点的位置关系，点可分为相交、重合、异面、非异面；线可分为平行、垂直、夹角、角平分线；面可分为相交、平行、垂直、三角形。
3.点、线、面的运用：在几何问题中，点、线、面的位置关系非常重要。
可以通过绘制图形，找出关键点、线、面，并进行综合运用，解决各种几何问题。
二、平行线及其性质1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线，它们的方向相同，永不相交，被称为平行线。
2.平行线的判定：可以通过角度、重心、斜率、向量等多种方法进行判定。
3.平行线的性质：(1)平行线截向之间相等。
(2)平行线内角和为180°。
(3)平行线与横线或竖线所截的角相等。
(4)在平行线上，同旁内角相等，同旁外角互补。
三、等腰三角形及其性质1.等腰三角形的定义：两边相等的三角形称为等腰三角形。
2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的底角相等。
(2)等腰三角形的底边中点与顶点连线为高线，高线也是中线和角平分线。
(3)等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合。
四、相似三角形及其性质1.相似三角形的定义：如果两个三角形的相应角度相等，那么这两个三角形就是相似三角形。
2.相似三角形的性质：(1)相似三角形的相应边比相等。
(2)相似三角形的对应角度相等。
(3)如果两个三角形相似，那么它们的高、中线、角平分线比相等。
五、勾股定理及其应用1.勾股定理的定义：如果一个三角形中，直角的两条直角边的长度分别为a、b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。
数学分析公式定理1-11章
第一章 变量与函数 § 1函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １． 定义１ 设 X ,Y R ， 如果存在对应法则f ， 使对 xX ， 存在唯一的一个数y Y 与之对应，则称 f 是定义在数集X 上的函数，记作 f : X Y ( x | y ).也记作 x | f(x) 。
习惯上称 x 自变量，y 为因变量 。
函 数 f 在 点 x 的 函 数 值 ， 记 为 f(x) ， 全 体 函 数 值 的 集 合 称 为 函 数 f 的 值 域 ， 记 作 f (X)f(X) y|y f(x),x X 。
２．注 ( 1) 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。
例： 1 ) f (x) 1,x R, g(x) 1,x R 0 .(不相同，对应法则相同，定义域不同)2)(x) | x |, x R, (x) x 2 ,x R.(相同，对应法则的表达形式不同)。
( 2) 函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写， 而只用对应法则 f 来表示一个函数。
即 “函数 y f (x) ” 或 “函数 f ” 。
( 3)“映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ， f (a) 称为映射f 下 a 的象。
a 称为 f (a) 的原象。
3)函数的表示方法 1 主要方法：解析法(分式法)、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
分段函数 ：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
1,x 0例：sgn x 0,x 0 ，(符号函数)1,x 0用语言叙述的函数 。
例： １) y [ x] ( x 的最大整数部分)三 函数的一些几何特性1、单调函数 定义 2 设 f 为定义在 X 上的函数， x 1, x 2 X ,x 1x 2 , (１)若f (x 1 ) f (x 2 ) ， 则 称 f 为 X 上的增函数 ； 若 f (x 1 ) f (x 2 ) ， 则 称 f 为 X 上的严格增 函数。
数学分析总结复习提纲
数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。
一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。
§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。
§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。
§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。
§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。
§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。
§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。
§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。
§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。
§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。
第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。
§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
《数学分析》1复习
xx 无穷大.
导数与微分
1．设函数
f
(x) 在 x
=
x0 处可导，且
f ′(x0 )
=
2, 则 lim h→0
f
(x0
− h) − h
f (x0 )
=
。
2．设
f
(0) = 0 ，且
（10） y = (tan5x2 )3 （12） y = e−x sin 2x
（13） y = xsin x
（14） y = ln(arcsin 2x)
6．设 f (x) = ⎪⎨⎧12 x 2 !!! x ≤ 2 ，且 f (x) 在 x = 2 可导，求 a, b 。 ⎪⎩ax + b!! x > 2
上有界。
15.设 b > 0, a0 > 0，数列{an}由以下递推公式给出,
an
=
1 2 (an−1
+
b )， an−1
n=1,2,3….证明该数列{an}收敛，并求其极限值。 16.设 f (x) 为定义在[a,+∞) 上的增函数，证明： lim f (x) 存在的充要条件是
x→+∞
f (x) 在[a,+∞) 上有上界。
f
(x)
=
3 x −1 x −1 ，则
x=1
是函数
f
(x) 的（
）
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点
D、无穷间断点
13、设 f (x) = ⎪⎨⎧sinx x ⎪⎩0
x>0 ，则 x=0 是函数 f (x) 的第
(完整版)数学分析复习资料及公式大全
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
完整版)数学分析复习资料及公式大全
完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。
常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。
常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。
高等数学上常用公式定理
高等数学上常用公式定理1.导数的基本公式：(a) (c^k)' = kc^(k-1) * f'(x) ，其中c为常数，k为常数(b) (ax^n)' = anx^(n-1)，其中a为常数，n为常数(c) (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, (tanx)' = sec^2x, (cotx)' = -csc^2x(d) (lnx)' = 1/x，(ex)' = ex , (a^x)' = a^x * ln(a)2.基本积分公式：(a) ∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数(b) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数(c) ∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为常数(d) ∫e^xdx = e^x + C3.基本微分方程：(a) dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数，求解y(x)(b)y'+P(x)y=g(x)，其中P(x)和g(x)为已知函数，求解y(x)(c)y'+yP(x)=Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数，求解y(x)4.泰勒级数展开：函数f(x)在a点的n阶泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)，其中R_n(x)为剩余项5.定积分的基本定理：(a) 若F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b] f(x)dx = F(b) -F(a)(b) 若F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b]f(x)dx =∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx，其中a < c < b6.常用级数：(a)等比数列求和公式：Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比(b)幂级数：f(x)=Σ(a_n*x^n)，其中a_n为常数，n从0到无穷大7.连续函数定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在[a,b]的任意一点x处可导，则f(x)在[a,b]上有界。
数学分析第五版上册知识点总结
数学分析第五版上册知识点总结1：数列是一种特殊的函数，特殊的地方就在于它的定义域是离散的正整数，而函数则是连续的．因此我们可发现数列极限和函数极限存在着许多相似的地方，而海涅定理（归结原则）则将这两者很好的结合起来了．2:（实）函数是一种特殊的映射，特殊的地方就在于它的定义域和值域都是在实数内取值．且定义域和对应法则决定了两个函数是否相同，我们应该知道数学分析的研究对象是实函数．3：函数的极限中我们有一点应该注意，那就是函数在这一点是否有定义，这是无须考虑的．而函数的连续性中就要求在该点必有定义，这也算是函数的极限与函数的连续性的区别4：连续与一致连续是函数连续性中两个极为重要的概念，连续是指点态连续，是一个局部概念．而一致连续是指区间连续．是一个全局概念．这一点类似于极值与最值．并且在他们的精确定义中也存在着区别，同时我们知道一致连续可以推出连续，但连续却不可以推出一致连续，反例是：y =1/x.5：初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合得到的，而基本初等函数有六类：常量函数，幂函数，指数函数．对数函数，三角函数，反三角函数．对于分段函数，并非所有的分段函数都是非初等函数，存在着一些分段函数是初等函数．6：对数求导法是在函数两边取自然对数然后运用隐函数求导法，适用于幂指函数，以及含有因式相乘除，开方的函数．7：洛必达法则是求极限的一种极为重要的方法，但必须注意其适用的条件．若使用洛必达法则后出现极限不存在的情况（极限既不是有限数，也不是无穷大），这并不能说明原极限不存在，只能说明该法则失效．8：等价无穷小代换只限于乘除，而不限于加减．同阶无穷小量不一定是等价无穷小量，但等价无穷小量一定是同阶无穷小量，无穷大量一定是无界量，但无界量不一定是无穷大量．9：不定积分和定积分是有区别的．我们注意到不定积分是原函数族，或原函数类．是一个集合的概念．而定积分是黎曼和的极限，它是一个数．同时我们知道不定积分是一种算子，而定积分则是一种泛函。
七年级数学上册60个重点公式定理
七年级数学上册期中60个重点公式定理1.的数叫做。
2.在正数前面加上负号“”的数叫做。
3.和统称为。
4.人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做。
5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做。
6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做。
7.由绝对值的定义可知：一个是它；一个是它的；0的绝对值是。
8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
9.两个负数，的小。
10.有理数加法法则(1)两数相加，的符号，并把(2)绝对值不相等的两数相加，取，并用较大的绝对值较小的绝对值，互为的两个数相加。
(3)一个数同0相加，仍得这个数。
11.有理数的加法中，两个数相加，的位置，。
12.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
13.有理数减法法则，等于加上这个数的。
14.有理数乘法法则两数相乘，，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。
15.有理数中仍然有：的两个数。
16.一般的，有理数乘法中，两个数相乘，的位置，。
17.三个数相乘，先把前两个数，或者先把后两个数相乘，。
18.一般地，一个数同两个数的，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把。
19.有理数除法法则除以一个的数，等于乘这个数的。
20.两数相除，，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
21.求N个相同因数的积的运算，叫做，乘方的结果叫做。
在a³中,a叫做,3叫做。
22.根据有理数的乘法法则可以得出，。
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
23.做有理数时，应注意以下(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
24.接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个。
25.从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的。
26.都是数或字母的积的式子叫做，单独的一个数或一个字母也是单项式。