四川省阿坝州茂县中学2020届高三数学上学期第二次诊断性考试试题文
四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
四川省高中2020届毕业班第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）≥0}，则A∩B=()1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x−3x−2A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】C≥0}={x|x≥3或x<2}，【解析】解：∵A={1,2，3}，B={x|x−3x−2∴A∩B={1,2，3}∩{x|x≥3或x<2}={1，3}．故选：C．求解分式不等式化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，考查分式不等式的解法，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(m+mi)(m+i)是纯虚数，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵复数(m+mi)(m+i)=(m2−m)+(m2+m)i是纯虚数，m2−m=0，即m=1．∴{m2+m≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知λ∈R，向量a⃗=(λ−1,1)，b⃗=(λ,−2)，则“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若“a⃗⊥b⃗”，则a⃗⋅b⃗=0，即(λ−1)λ−2×1=0，即λ2−λ−2=0，得λ=2或λ=−1，即“a⃗⊥b⃗”是“λ=2”的必要不充分条件，故选：B．根据向量垂直的等价条件求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价求出λ的值是解决本题的关键．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i(i=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，(1≤k≤60)k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的ki为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=4sinC，则△ABC的外接圆面积为()A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c=4sinC，∴2R=csinC=4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R=csinC=4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.在(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为()A. 1B. 2C. 3D. 7【答案】D【解析】解：∵(1+1x )(2x+1)3=(1+1x)(8x3+12x2+6x+1)，∴(1+1x)(2x+1)3展开式中的常数项为1+6=7．故选：D．展开(2x+1)3，即可得到乘积为常数的项，作和得答案．本题考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．7.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后关于y轴对称，则函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π12个单位长度后图象所对应解析式为：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，即f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+π6+φ)，由g(x)关于y轴对称，则π6+φ=kπ+π2，φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0,π2]时，所以2x+π3∈[π3,4π3]，f(x)min=f(4π3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠ABF =π6，则双曲线的离心率e 的值是( ) A. 1+√32B. 1+√3C. 2D. 2√32【答案】B【解析】解：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AF ⊥BF ， 在Rt △ABF 中，|OF|=c ， ∴|AB|=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =π6，可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ， 取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，∴e =ca =2√3−1=√3+1．故选：B ．运用锐角三角函数的定义可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3c −c =2a ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9. 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号 1 2 3 4 5年生产利润y(单位：千万元)0.70.8 1 1.1 1.4预测第8年该国企的生产利润约为( )千万元 (参考公式及数据：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i2n i=1−nx −2；a ̂=y −−b ̂x −，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∑x i25i=1−nx −2=10A. 1.88B. 2.21C. 1.85D. 2.34【答案】C【解析】解：由表格数据可得，x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.7+0.8+1+1.1+1.45=1．又∑(5i=1x i −x −)2=10，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=1.7，∴b̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=1.710=0.17，a ̂=y −−b ̂⋅x −=1−0.17×3=0.49，∴国企的生产利润y 与年份x 得回归方程为y ̂=0.17x +0.49， 取x =8，可得y ̂=0.17×8+0.49=1.85． 故选：C ．由已知数据求得b^与a ^的值，可得线性回归方程，取x =8即可求得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图)，这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为27π，则该圆锥的侧面积为( )A. 9√10πB. 12√11πC. 10√17πD. 40√3π3【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得：13×π×r2×(√25−r2+5)=27π，解得r=3，所以该圆锥的侧面积：12×6π×√32+92=9π√10．故选：A．利用球的内接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积．本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知A(3,0)，若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆(x−2)2+y2=1上任意一点，则|PA|2|PQ|的最小值为()A. 3B. 4√3−4C. 2√2D. 4【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为l：x=−2，焦点F(2,0)，过P作PB⊥l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，圆(x−2)2+y2=1的圆心为F(2,0)，半径r=1，可得|PQ|的最大值为|PF|+r =|PF|+1， 由|PA|2|PQ|≥|PA|2|PF|+1，可令|PF|+1=t ，(t >1)，可得|PF|=t −1=|PB|=x P +2， 即x P =t −3，y P 2=8(t −3)， 可得|PA|2|PF|+1=(t−3−3)2+8(t−3)t=t +12t−4≥2√t ⋅12t−4=4√3−4，当且仅当t =2√3时，上式取得等号， 可得|PA|2|PQ|的最小值为4√3−4， 故选：B ．求得抛物线的焦点和准线方程，过P 作PB ⊥l ，垂足为B ，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 12.设函数f(x)满足，且在(0,+∞)上单调递增，则f(1e )的范围是(e 为自然对数的底数)( ) A. [−1,+∞) B. [1e ,+∞)C. (−∞,1e]D. (−∞,−1]【答案】B【解析】解：令g(x)=f′(x)， 由，故f′(x)=f′(x)−lnx +x[g′(x)−1x ]， 故g′(x)=lnx+1x，g′(x)<0在(0,1e )恒成立，g(x)=f′(x)在(0,1e)递减，g′(x)>0在(1e,+∞)恒成立，g(x)=f′(x)在(1e,+∞)递增，故f′(x)min=f′(1e)，∵f(x)在(0,+∞)递增，故f′(x)=f(x)x+lnx≥0在(0,+∞)恒成立，故在f(1e)1e+ln1e≥0，f(1e)≥1e，故选：B．令g(x)=f′(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f′(x)min=f′(1e)，得到f′(x)=f(x) x +lnx≥0在(0,+∞)恒成立，求出f(1e)的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα=45，α∈(π2,π)，则sin(α+π6)的值为______．【答案】4√3−310【解析】解：∵sinα=45，α∈(π2,π)，∴cosα=−35，则sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=45×√32−35×12=4√3−310，故答案为：4√3−310利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14.若函数f(x)=√a−a x(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a711+log1a 1411=______．【答案】−1【解析】解：因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，所以f(0)=1，即√a−1=1，解得a=2，所以原式=log2711+log121411=log2(711×1114)=−1，故答案为：−1．因为f(1)=0，所以f(x)是[0,1]上的递减函数，根据f(0)=1解得a=2，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．15.若正实数x，y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为______．【答案】92【解析】解：∵x>0，y>0，x+y=1∴x+1+y=2，4 x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)≥12(5+2√4)=92，(当接仅当x=13，y=23时取“=”)故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式4x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．16.在体积为3√3的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，AB=2，AC=3，则线段BC的长度为______．【答案】√19或√7【解析】解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，四棱柱ABCD−A1B1C1D1体积为3√3，∴底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32设BC=m，∠DAB=θ∴ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ)．∴{msinθ=3√3 25−m2=4mcosθ⇒m=√7或m=√17．故答案为：√19或√7．可得底面ABCD的面积为3√3.平行四边形ABCD边AB上的高为3√32.设BC=m，∠DAB=θ，可得ADsinθ=3√32，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos(π−θ).⇒m=√7或m=√17．本题考查了空间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5=172，a2a4=4．(1)求数列{a n}的通项公式(2)若b n=na n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：(1)由{a n}是递增等比数列，a1+a5=172，a2a4=4=a32=4∴a1+a1q4=172，(a1q2)2=4；解得：a1=12，q=2；∴数列{a n}的通项公式：a n=2n−2；(2)由b n=na n(n∈N∗)，∴b n=n⋅2n−2；∴S1=12；那么S n=1×2−1+2×20+3×21+⋯…+n⋅2n−2，①则2S n=1×20+2×21+3×22+⋯…+(n−1)2n−2+n⋅2n−1，②−1−2−⋯−2n−2+n⋅2n−1；将②−①得：S n=−12−2n−1+n⋅2n−1．即：S n=−(2−1+20+2+22+2n−2)+n⋅2n−1=12，a2a4=4.即可求解数列{a n}的通【解析】(1)根据{a n}是递增等比数列，a1+a5=172项公式(2)由b n=na n(n∈N∗)，可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．【答案】解：(1)由频率和为1，列方程(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+ 0.005+0.0025)×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5；年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，解得a=224，即中位数为224；(2)年平均销售量在[220,240)的农贸市场有0.0125×20×100=25(家)，同理可求年平均销售量[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为1125+15+10+5=15，∴从年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3(家)，从年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2(家)，从年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1(家)；即年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3、2、1家；(3)由(2)知，从[240,260)，[260,280)，[280,300)的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以ξ的可能取值分别为0，1，2，3； 则P(ξ=0)=C 30⋅C 33C 63=120，P(ξ=1)=C 31⋅C 32C 63=920，P(ξ=2)=C 32⋅C 31C 63=920，P(ξ=3)=C 33⋅C 30C 63=120，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P120920920120数学期望为E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32，方差为D(ξ)=(0−32)2×120+(1−32)2×920+(2−32)2×920+(3−32)2×120=920． 【解析】(1)由频率和为1列方程求出x 的值，再计算众数、中位数；(2)求出年平均销售量在[220,240)、[240,260)、[260,280)和[280,300]的农贸市场有多少家，再利用分层抽样法计算应各抽取的家数；(3)由(2)知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望和方差． 本题考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题． 19.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 是长方形，A 1B 1⊥BC ，AA11=AB ，AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ．(1)证明：平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1； (2)若BC =3，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，A 1B 1⊥BC ， ∴A 1B 1⊥B 1C 1．又∵在长方形BCC 1B 1中，B 1C 1⊥BB 1，A 1B 1∩BB 1=B 1， ∴B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .∵四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形， 且AB 1∩A 1B =E ，AC 1∩A 1C =F ，连接EF ， ∴EF//BC ．又BC//B 1C 1，∴EF//B 1C 1，又B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，∴EF ⊥平面AA 1B 1B . 又AB 1，A 1B 均在平面AA 1B 1B 内， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥A 1B .又平面A 1BC ∩平面AB 1C 1=EF ，AB 1⊂平面AB 1C 1，A 1B ⊂平面A 1BC ．∴由二面角的平面角的定义知，∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角． 又在平行四边形A 1ABB 1中，AA 1=A 1B 1，∴平行四边形A 1ABB 1为菱形， 由菱形的性质可得，A 1B ⊥AB 1，∴∠AEA 1=π2， ∴平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)解：由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，∴在△A 1AB 中，由余弦定理可得AB =AB 1=AA 1=4．又由(1)知，EB ，EA ，EF 两两互相垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴E(0,0，0)，A(2,0，0)，A 1(0,−2√3,0)，C(0,2√3,3)，B 1(−2,0，0)．AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2√3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4√3,3)．设平面AA 1C 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面A 1B 1C 的一个法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+√3y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2√3y 1+3z 1=0，取y 1=−√3，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√3,4)；由{n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 2+2√3y 2=0n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3y 2+3z 2=0，取y 2=√3，得n ⃗ =(3,√3,−4)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√7×2√7=−514．设二面角C 1−A 1C −B 1的大小为θ， 则sinθ=√1−cos 2<m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=3√1914． ∴二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值为3√1914．【解析】(1)由三棱柱的结构特征可知BC//B 1C 1，又A 1B 1⊥BC ，可得A 1B 1⊥B 1C 1，在长方形BCC 1B 1中，证明B 1C 1⊥平面AA 1B 1B .由四边形AA 1B 1B 与四边形AA 1C 1C 均是平行四边形，可得EF//BC ，进一步得到EF//B 1C 1，则EF ⊥平面AA 1B 1B ，证明∠AEA 1 是平面A 1BC 与平面AB 1C 1 所成二面角的平面角.由菱形的性质可得A 1B ⊥AB 1，即∠AEA 1=π2，从而得到平面A 1BC ⊥平面AB 1C 1；(2)由(1)及题设可知，四边形AA 1B 1B 是菱形，A 1B =4√3，∠A 1AB =2π3，求得AB =AB 1=AA 1=4.以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系.分别求出平面AA 1C 与平面A 1B 1C 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C 1−A 1C −B 1的正弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 20.已知，椭圆C 过点A(32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率为k 1，直线l 与椭圆C 相切于点A ，斜率为k 2．(1)求椭圆C 的方程； (2)求k 1+k 2的值．【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为y 2a +x 2b =1(a >b >0)，且c =2，2a =√(32)2+(52+2)2+√(32)2+(52−2)2=3√102+√102=2√10，即有a =√10，b =√a 2−c 2=√6， 则椭圆的方程为y 210+x 26=1；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程可得(5+3k 2)x 2+3k(5−3k)x +3(52−3k 2)2−30=0，可得x E +32=3k(3k−5)5+3k 2，即有x E =9k 2−30k−156k +10，y E =k(x E −32)+52，由直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，可将k 换为−k ， 可得x F =9k 2+30k−156k 2+10，y F =−k(x F −32)+52，则直线EF 的斜率为k 1=y F −yEx F−x E=−k(x F +x E )+3kx F −x E =1，设直线l 的方程为y =k 2(x −32)+52，代入椭圆方程可得：(5+3k 22)x 2+3k 2(5−3k 2)x +3(52−3k 22)2−30=0，由直线l 与椭圆C 相切，可得△=9k 22(5−3k 2)2−4(5+3k 22)⋅[3(52−3k 22)2−30]=0，化简可得k 22+2k 2+1=0，解得k 2=−1， 则k 1+k 2=0．【解析】(1)可设椭圆C 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由题意可得c =2，由椭圆的定义计算可得a ，进而得到b ，即可得到所求椭圆方程；(2)设直线AE ：y =k(x −32)+52，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E 的坐标，由题意可将k 换为−k ，可得F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF 的斜率，设出直线l 的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为0，可得直线l 的斜率，进而得到所求斜率之和．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题．21.已知f(x)=xlnx．(1)求f(x)的极值；(2)若f(x)−ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，令f′(x)>0，解得：x>1e，令f′(x)<0，解得：0<x<1e，故f(x)在(0,1e )递减，在(1e,+∞)递增，故x=1e 时，f(x)极小值=f(1e)=−1e；(2)记t=xlnx，t≥−1e，则e t=e xlnx=(e lnx)x=x x，故f(x)−ax x=0，即t−ae t=0，a=te t，令g(t)=te t ，g′(t)=1−te，令g′(t)>0，解得：0<t<1，令g′(t)<0，解得：t>1，故g(t)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，故g(t)max=g(1)=1e，由t=xlnx，t≥−1e ，a=g(t)=te t的图象和性质有：①0<a<1e，y=a和g(t)有两个不同交点(t1,a)，(t2,a)，且0<t1<1<t2，t1=xlnx，t2=xlnx各有一解，即f(x)−ax x=0有2个不同解，②−e1−e e<a<0，y=a和g(t)=te仅有1个交点(t3,a)，且−1e<t3<0，t3=xlnx有2个不同的解，即f(x)−ax x=0有两个不同解，③a 取其它值时，f(x)−ax x =0最多1个解， 综上，a 的范围是(−e1−e e,0)∪(0,1e).【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)记t =xlnx ，得到t −ae t=0，a =te t ，令g(t)=te t ，求出g(t)的最大值，通过讨论a 的范围，确定解的个数，从而确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．(1)把曲线C 1的方程化为普通方程，C 2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线C 2的垂线交曲线C 1于E ，F 两点，求|EF||PE|⋅|PF|．【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2(其中t 为参数)， 转换为直角坐标方程为：y 2=2x ． 曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√22．转换为直角坐标方程为：x −y −1=0． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且中点P(x 0,y 0)， 联立方程为：{y 2=2xx −y −1=0，整理得：x 2−4x +1=0 所以：x 1+x 2=4，x 1x 2=1， 由于：x 0=x 1+x 22=2，y 0=1．所以线段AB 的中垂线参数方程为{x =2−√22ty =1+√22t(t 为参数)，代入y 2=2x ，得到：t 2+4√2t −6=0， 故：t 1+t 2=−4√2，t 1⋅t 2=−6，所以：EF =|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√14，|PE||PF|=|t 1⋅t 2|=6故：|EF||PE|⋅|PF|=2√146=√143． 【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． (2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.已知函数h(x)=|x −m|，g(x)=|x +n|，其中m >0，n >0．(1)若函数h(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)=h(x)+|2x −3|，求不等式f(x)>2的解集．(2)若函数φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，求1m +1n 的最小值及其相应的m 和n 的值．【答案】解：(1)函数h(x)的图象关于直线x =1对称，∴m =1， ∴f(x)=h(x)+|2x −3|=|x −1|+|2x −3|，①当x ≤1时，(x)=3−2x +1−x =4−3x >2，解得x <23，②当1<x <32时，f(x)=3−2x +x −1=2−x >2，此时不等式无解，②当x≥32时，f(x)=2x−3+x−1=3x−4>2，解得x>2，综上所述不等式f(x)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵φ(x)=h(x)+g(x)=|x−m|+|x+n|≥|x−m−(x+n)|=|m+n|=m+n，又φ(x)=h(x)+g(x)的最小值为2，∴m+n=2，∴1m +1n=12(1m+1n)(m+n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2√mn⋅nm)=2，当且仅当m=n=1时取等号，故1m +1n的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】(1)先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．第21页，共21页。
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(文科) (解析版)
2020年高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．05．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．14．若，则sin2α＝．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：由（x﹣1）（x﹣3）≤0得1≤x≤3，所以集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}，又B＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i【分析】直接根据复数的四则运算化简即可求解．解：因为复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，故．故选：B．3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差【分析】由图数形结合可逐项判断选项的正误，解：根据统计图表可知，A，由图周跑步里程有增有减，故周跑步里程逐渐增加，故A错误，B，由图周跑步里程有8周里程在30km及以上，且最高里程为35km，有12周在35km 以下且最低为15km，故估算这20周跑步里程平均数远小于30km，故B错误，C项这20周跑步里程从小到大排列中位数是第十周和十一周里程数的平均值小于30km，故C错误；D项由图前10周的周跑步里程的极差为第十周里程减第三周里程，大于后10周的周跑步里程的极差为第十五周里程减第十一周里程，故D正确．故选：D．4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以（0，0），A（2，0），B （0，2）为顶点的三角形及其内部，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当目标函数z＝2x+y过点B（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，为2×2+0＝4，故选：B．5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．【分析】根据正弦定理求得b＝2a，再根据余弦定理可得c＝a．解：由sin B＝2sin A，据正弦定理有b＝2a；又，据余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得c2＝3a2．故．故选：A．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】画出图形，通过直线与圆的位置关系，转化求解写出即可．解：由题意知，PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关【分析】由题意可得SO⊥平面ABC，可得球心O1在SO上，设球的半径为R，在Rt△O1AO中由勾股定理可得R的值．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+（）2＝R2，解得R ＝2．故选：A．9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比得答案．解：设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为，△ABC面积为，所求概率．故选：C．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】利用已知条件画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），通过，推出x1x2＝﹣16，求解直线OP的斜率为k的表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），依题意，，即x1x2+y1y2＝0，即，即x1x2＝﹣16，从而直线OP的斜率为k，则＝，，当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，从而解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故答案为：．14．若，则sin2α＝．【分析】法一：由已知直接利用二倍角的余弦及诱导公式求解；法二：展开两角差的余弦，整理后两边平方即可求得sin2α．解：法一：由，得．法二：由，得，两边平方得，∴，即．故答案为：．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图可还原几何体直观图如图，易知S＝2×3，S'＝3×4，＝，h＝4，代入公式则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）＝．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．【分析】法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，利用函数的导数求解切线方程，转化求解a的最小值．解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值．所以，则a的最小值为．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），由题，当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．【分析】（1）直接利用数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用前n项和公式的应用求出结果．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2．当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣1．所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知：．所以＝﹣n2+21n＝当n＝10或11时，取最大值．．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．【分析】（1）由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，得DE∥BC且DE＝．在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得GF∥BC且GF＝．得到四边形DEGF 为平行四边形，得DF∥EG．再由直线与平面平行的判定可得DF∥平面PBE；（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，得S△BEC＝4S△DEC，求得V C﹣PBE＝1．再把三棱锥C﹣PBE的体积用含有a的代数式表示，则a值可求．【解答】（1）证明：由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，依题意得BE＝2a，BC＝4a，DE∥BC且DE＝．如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，∵，∴GF∥BC且GF＝．∴DE∥GF且DE＝GF．∴四边形DEGF为平行四边形，得DF∥EG．又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）解：由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，∴S△BEC＝4S△DEC，∴．则V C﹣PBE＝1．由，解得a＝1．∴BE＝2．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，确定满足条件的a的范围即可．解：（1）由题，．…………………………（1分）则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，．……………………………………此时，由f'（x）＝0得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数．………………………………（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，所以f（x）只有一个零点，不符合题意．……………………………………若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………………………②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝0，由x≤0得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，所以当a＜0时，f（x）始终有两个零点．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，0）．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。
2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测文科数学试题 word
2020届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测数学(文科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z 满足z(l+i)-2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为(A)i (B) -i (C)-l (D)l2．设全集U=R ．集合M={x|x<l}，N={x|x>2}，则(C ∪M)∩N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥2)3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30人，则n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线y=x 3-x 在点(1，0)处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α满足2sin2α= l-cos2α，则tan α= (A) 21 (B)l (C)2 (D)4 6．函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在[1，1]的图象大致为7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f 则函数f(x)的图象的对称轴方程为(A) Z k kx x ∈-=,4π (B) Z k kx x ∈+=,4π (C) Z k k x ∈=,21π (D) Z k k x ∈+=,421ππ 9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面α，A 1Q ∥平面α若直线B 1D ∩平面α=M ，则11MB MD 的值为 (A)41 (B) 31 (C) 21 (D) 32 10．如图，双曲线C: 2222by a x -=l(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F 1（-c ，0），F 2（c ，0)，直线abc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为 (A)2 (B) 324 (C) (D) 332 11已知EF 为圆(x-l)2+(y+1)2=l 的一条直径，点M(x ，y)的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅的取值范围为 (A)[ 29,13] (B)[4,13] (C)[4,12] (D)[ 27,12] 12．已知函数x x x f ln )(=，g(x)=xe -x ，若存在x l ∈(0,+∞)，x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)成立，则k e x x 212)(的最大值为 (A)e 2 (B)e (C)24e (D) 21e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数f(l)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,20,1x x x x 则f(f(x-1))= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=3π，a=2，b=3，则△ABC 的面积为 ．15.设直线l ：y=x-l 与抛物线y2=2px （p>0）相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知{a n }是递增的等比数列，a 1=l ，且2a 2，23a 3，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设2212log log 1++⋅=n n n a a b ，n ∈N*,求数列{bn}的前n 项和S n . 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为 AB ，BC 的中点．(I)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PE=3，求三棱锥B-PEM 的体积．19. (本小题满分12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：(I)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(I)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将(I)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：20.（本小题满分12分）已知椭圆E: 12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点分别为F 1(-l ，0)，F 2(1，0)，点P(1，22)在椭圆E 上．(I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设直线l ：x=my+1(m ∈R)与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，当|AB|▪|CD|2的值为82 时，求直线x 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-mx-mlnx ，其中m>0．(I)若m=l ，求函数，(l)的极值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+mx ．若g(x)> x1在(1，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m y m x 22（m 为参数）以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ+1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点P(2，1)，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求||1||1PN PM +的值 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设g(x)=-x 2+2ax ，其中a 为常数，若方程f(x)=g(x)在(0，+∞)上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，。
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测文科数学试题(带答案解析)
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．12．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()U M N ⋂=ð（ ） A ．{}|2x x > B ．{}|1x x ≥ C ．{}|12x x << D ．{}|2x x ≥ 3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）A ．20B ．50C ．40D ．60 4．曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．220x y +-=C ．220x y ++=D ．220x y --=5．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．46．函数())cos ln f x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1288．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点,P Q 分别为1111,A D D C 的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于,N 则BN BC的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．2310．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 B．3CD11．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．已知函数()() ln ,x x f x g x xe x-==.若存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为（ ）A ．1-B ．2e -C ．22e -D ．1e - 第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()()1f f -=___________．14．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,2,3B a b π===ABC V 的面积为___________．15．设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________．16．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．三、解答题17．已知{}n a 是递增的等比数列，11,a =且23432,,2a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设*21221,log log n n n b n N a a ++=∈⋅.求数列{}n b 的前n 项和n S 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面,,ABCD M E 分别为,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3,PE =求三棱锥B PEM -的体积.19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式:$()()()$$121,ni ii n ii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点()1,2P 在椭圆E 上. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于,A B 两点，与圆222x y a +=相交于,C D 两点，当2AB CD ⋅的值为l 的方程.21．已知函数()2ln f x x mx m x =--，其中0m >. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设()()g x f x mx =+.若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=.（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 23．已知函数()13f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】21iz =+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.2．A【解析】【分析】先求出U M ð，再与集合N 求交集.【详解】由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.3．B【解析】【分析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】 由题意，30=150015001000n ⨯+，解得50n =. 故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.4．D【解析】【分析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点1x =处的导数值即可.【详解】由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题. 5．C【解析】【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 6．B【解析】【分析】由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A.【详解】因为())cos()ln f x x x =-=-⋅+)cos ln x x ⋅cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅-<，排除A.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.7．B【解析】【分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环.【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.8．C【解析】【分析】 ()cos2f x x =，将2x 看成一个整体，结合cos y x =的对称性即可得到答案.【详解】由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos x 的性质，是一道容易题.9．B【解析】【分析】当N 为BC 中点时，易得MN ∥PQ ，再由线面平行的判定定理知，MN ∥平面DPQ .此时，12BN BC =. 【详解】如图因为PQ ∥11A C ，11A C ∥AC ，故PQ ∥AC ，所以当N 为BC 中点时，MN ∥AC ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面DPQ ，PQ ⊂平面DPQ ，由线面平行的判定定理可知，MN ∥平面DPQ .此时12BN BC =. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判断定理的应用，考查学生的推理能力，是一道容易题.10．A【解析】【分析】 易得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，在1FTB ∆中，利用1tan 3BT FT π=即可得到,,a b c 的方程.【详解】 由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12c FT =，又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bc b a c a == 所以双曲线C的离心率2e ==. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到,,a b c 的方程或不等式，本题属于容易题.11．D【解析】【分析】首先将ME MF ⋅u u u r u u u r 转化为21MT -u u u r ，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r 21MT =-u u u r ,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==2TB ==， 故ME MF ⋅u u u r u u u r 271[,12]2MT =-∈u u u r . 故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.12．D【解析】【分析】 将2121 ln e x x x x =变形为1212ln ln e ex x x x =，利用e x x y =单调性可得12ln x x =，从而1211ln x x x x =，再构造函数()ln h x x x =，通过求导找到最小值即可.【详解】()'21ln ,x f x x -=易知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，同理， ()'1e xx g x -=，易得()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，又存在 120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12(0,1),(,0)x x ∈∈-∞，12ln 0,0x x <<，且12112ln 1 ln ln 0e ex x x x x x ==<，又()g x 在(,1)-∞上单调递增， 故12ln x x =，所以1211ln x x x x =，令()ln h x x x =，则'()ln 1h x x =+，易知，()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,1)e上单调递增， 故min 11()()e eh x h ==-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究双变量函数的最值问题，考查学生的逻辑思维与等价转化思想，是一道难题.13．2【解析】【分析】 由内到外，一层一层的求，先求1(1)2f -=，再求1()2f . 【详解】 由已知，1(1)2f -=，()()11()22f f f -==. 故答案为：2.【点睛】本题考查已知分段函数求函数值的问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.14．2【解析】【分析】由余弦定理先算出c ，再利用面积公式1sin 2S ac B =计算即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==.【点睛】 本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题. 15．1【解析】【分析】联立直线与抛物线方程消x ，得2220y py p --=，再利用韦达定理即可解决.【详解】联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=， 则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =.故答案为：1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到中点弦问题，当然本题也可以用点差法求解. 16．36【解析】【分析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在1OO A ∆中，利用22211O A O O OA +=即可得到关于x 的方程，解方程即可解决.【详解】由已知，2428R ππ=，解得R =1O ，直三棱柱的棱长为x ，则13O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =. 故答案为：36.【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.17．（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）1n n S n =+. 【解析】【分析】（I ）由23432,,2a a a 成等差数列可得2320-+=q q ，解方程即可得到公比q ，再利用等比数列的通项公式计算即可；（II ）()11111n b n n n n ==-++，利用裂项相消法计算即可. 【详解】 ()I 设数列{}n a 的公比为.q由题意及11a =，知1q >.23432,,2a a a Q 成等差数列， 34232a a a ∴=+.2332q q q ∴=+，即2320-+=q q .解得2q =或1q =(舍去). 2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.()II ()21221111log log 11n n n b a a n n n n ++===-⋅++Q 1111112231n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111n =-+ 1n n =+ 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n 项和的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ. 【解析】【分析】（I ）要证明平面PAC ⊥平面PBD ，只需证明AC ⊥平面 PBD ，即证明PO AC ⊥，AC BD ⊥；（II ）利用等体积法，即B PEM P BEM V V --=来计算.【详解】()I ABCD Q 是正方形，AC BD ∴⊥PO ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD.PO AC ∴⊥,OP BD ⊂Q 平面,PBD且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 ,PBD又AC ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面,PBD()II )设三棱锥P BEM -的高为h .1.3B PEM P BEM BEM V V S h --∴==⨯V 连接OE ，PO ⊥Q 平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，PO OE∴⊥.2,3 OE PE== Q，h OP∴==11122332P BEM BEMV S h-=⨯=⨯⨯⨯∴=V【点睛】本题考查面面垂直的判定定理以及等体积法求三棱锥体积，考查学生逻辑推理及转化与划归思想，是一道容易题.19．（Ⅰ）$523y x=+，63亿元；（Ⅱ）815P=.【解析】【分析】（I）按照公式$()()()$$121,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑计算即可；（II）被评为A级利润年的有2年，分别记为12,A A，评为B级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B，采用枚举法列出从2015至2020年中随机抽取2年的总的情况以及恰有一年为A级利润年的情况，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】()I根据表中数据，计算可得()()714,43,140i iix y x x y y===--=∑又()27128iix x=-=∑$()()()712715i iiiix x y ybx x==--∴==-∑∑$$a y bx=-Q$435423a∴=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为$523y x =+.将代8x =入，$582363y ∴=⨯+=(亿元).∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.()II 由()I 可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)，其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A 级利润年的有2年，分别记为12,A A ；评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B232434,,B B B B B B ，共计15种情况.其中恰有一年为A 级利润年的情况分别为:1112131421,,,,A B A B A B A B A B ，222324,,A B A B A B 共有8种情况.记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年”的概率为P ，故所求概率815P =【点睛】本题考查线性回归方程的应用及古典概型的概率计算问题，考查学生运算求解能力，是一道容易题. 20．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）10x y --=或10x y +-=. 【解析】【分析】（I ）12PF PF ===，相加即可得到a ，又1c =及222,b a c =-可得b ；（II ）又直线与椭圆联立消x ，利用韦达定理得到)2212m AB m +=+，在圆中利用垂径定理与勾股定理可得CD =，代入2AB CD ⋅=m .【详解】()I 1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭Q 在椭圆上， 122PF PF a ∴+=.又12,22PF PF ===12PF PF ∴+=，则a =2221,,c b a c ==-Q1b ∴=故所求椭圆E 的标准方程为2212x y +=. ()II 设()()1122,,,A x y B x y联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. 2880,m ∴∆=+>12222m y y m +=-+，12212y y m =-+ )212212m AB y y m +=-=+∴ 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ， 则d =CD ∴==))2222222121214122m m m AB CD m m m +++∴⋅=⋅⋅=+++ 2AB CD ⋅=Q)22212m m +∴=+解得1m =±.经验证1m =±符合题意.故所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=.【点睛】本题考查直线与椭圆、圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.21．（Ⅰ）极小值0，无极大值；（Ⅱ）(]0,3.【解析】【分析】（Ⅰ）()2'21x x f x x --=，令()0f x '>，()'0f x <得到()f x 的单调性即可得到极值； （Ⅱ）21ln 0x m x x -->在(1,)+∞上恒成立，可构造函数()21ln ,1G x x m x x x=-->，()3'221212m x mx G x x x x x -+=-+=，令()321,1H x x mx x =-+>，()'26H x x m =-，分03m <≤，36m <≤，6m >讨论即可.【详解】()I 当1m =时，()2ln .f x x x x =--则()2'12121x x f x x x x --=--=，0x > 令()'0,f x = 解得112x =-(舍去)，21x =. 当()0,1x ∈时，()'0f x <()f x ∴在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x 的极小值为()10f =，无极大值.()II ()2ln g x x m x =-若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立， 即21ln 0x m x x-->在(1,)+∞上恒成立. 构造函数()21ln ,1G x x m x x x=-->， 则()3'221212m x mx G x x x x x-+=-+= 令()321,1H x x mx x =-+>.()'26H x x m ∴=-()i 若6,m ≤可知()'0H x >恒成立.()H x ∴在(1,)+∞上单调递增. ()()13H x H m ∴>=-.①当30,m -≥即03m <≤时，()0H x >在(1,)+∞上恒成立，即()'0G x >在(1,)+∞上恒成立. ()()10G x G ∴>=在(1,)+∞上恒成立，03m ∴<≤满足条件.②当30m -<即36m <≤时，()()130,21720H m H m =-<=->Q ，∴存在唯一的()01,2,x ∈使得()00H x =.当()01,x x ∈时，()0,H x <即()'0G x <()G x ∴在()01,x 单调递减.()()10G x G ∴<=，这与()0G x >矛盾.()ii 若6,m >由()'0,H x =可得1x =舍去)，2x =易知()H x在⎛ ⎝上单调递减.()()130H x H m ∴<=-<在⎛ ⎝上恒成立， 即()'0G x <在⎛ ⎝上恒成立. ()G x ∴在⎛ ⎝上单调递减.()()10G x G ∴<=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾. 综上，实数m 的取值范围为(]0,3. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值以及不等式恒成立问题，考查学生分类讨论的思想，是一道较难的题.22．（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为10x y --=；曲线C 的普通方程为24y x =；（Ⅱ）47. 【解析】 【分析】（I ）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得121214t t t t +==-，而根据直线参数方程的几何意义，知21222111211111t t t PM PN t t t t t t t ++=+===-，代入即可解决. 【详解】()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --=由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.23．（Ⅰ）(,4][2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）1,)+∞. 【解析】 【分析】（I ）零点分段法，分1x ≥，31x -<<，3x ≤-讨论即可； （II ）()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩，分211x x >≥，1201x x <<<，1201x x <<≤三种情况讨论.【详解】()I 原不等式即136x x -++≥.①当1x ≥时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥.此时无解； ③当3x ≤-时，化简得226x --≥.解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞U()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <.①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x =++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根. 此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x <<<时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根. ③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围，考查学生的运算能力，是一道中档题.。
20届高三文科数学二诊模拟考试试卷答案
参考答案
一、选择题
题目
12
答案
D
C
34 DA
56 DD
78 AB
9 10 11 12 BCBC
二、填空题 13．90 三、解答题
14． 2 5 5
15． 3,0 (3,)
16． 3 3
17．解：(Ⅰ)设 an 的公差为 d ,依题意有
a1 a22
1 a1
省
川
四
供
仅
a5
a1 1
a1 d 2
a1
(a1
且d 4d)
0
da1
1 2
………4
分
所以 an 1 2n 1 2n 1
Sn
na1
2
an
n2
………6
分
(Ⅱ)因为
bn
1 an21 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 n 1
……8
分
所以 Tn
1 4
1
1 1 2 2
1 ... 1 3 n
n
1
m 1m m 1m 5 4m 1 m 1m m
5 2使用14mm
1 m m
9 （当 m
1 3
时等号成立）……8
分
学 依题意， m (0,1中) ， x0
进
R ，有 1 m
4 1 m
f (x0 )
协 德
则
a
1
9
树 市
解之得 10 a 8
故实成数都a 的取值范围是 (10,8) ……10 分
1
1 1 1 4 n 1
18．（Ⅰ ）频 率4(分nn布1直) …方…图…如…下学1图使2 所分用示：
2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)
2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集U＝{x|x>0}，M＝{x|1<e x<e2}，则∁U M＝（）A.(1, 2)B.(2, +∞)C.(0, 1]∪[2, +∞)D.[2, +∞)【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A.2−iB.2+iC.l−2iD.i−2【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3. 已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（）A.10B.12C.13D.15【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】由分层抽样的定义得5045+50+55×30=13×30＝10人，4. 己知向量a→=(l, 2)，b→=(−l, x)，若a→ // b→，则|b→|＝（）A.√52B.52C.√5D.5【答案】 C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】利用向量平行先求出a ，由此能求出|b →|． 【解答】∵ 向量a →=(l, 2)，b →=(−l, x)，a → // b →，∴ −11=x2， 解得x ＝−2，∴ |b →|=√(−1)2+(−2)2=√5．5. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】通过证明，可判断充要性． 【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6. 已知M(−2, 0)，P 是圆N:x 2−4x +y 2−32＝0上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A.x 29+y 25=1 B.x 25−y 29=1 C.x 25+y 29=1D.x 29−y 25=1【答案】 A【考点】 轨迹方程 【解析】结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以M、N为焦点，长轴长等于6的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．【解答】圆N:x2−4x+y2−32＝0，化为(x−2)2+y2＝36的圆心为N(2, 0)，半径r＝6，M(−2, 0)，|MN|＝4．连结QN，由已知得|QN|＝|QP|∵|QN|+|QM|＝|QM|+|QP|＝MP＝r＝6>MN|．根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以M、N为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a＝3，c＝2，b2＝a2−c2＝9−4＝5，∴点Q的轨迹方程为：x29+y25=1．7. 己知某产品的销售额_y与广告费用x之间的关系如表：中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是20【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A.1 8B.14C.38D.12【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率． 【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况， 甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14， 9. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A.√2B.2C.√3D.3 【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出双曲线的右焦点F ，直线OA ，OB 的方程，过F 平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a ，b 的关系，进而得到所求离心率． 【解答】 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0)，设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )， 则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2， 则e =ca=√1+b 2a 2=√1+3=2．10. 已知圆C:x 2+y 2−2x −8＝0，直线l 经过点M(2, 2)，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A.x −2y +2＝0 B.2x +y −6＝0 C.2x −y −2＝0 D.x +2y −6＝0 【答案】 D【考点】点与圆的位置关系【解析】由题意可知，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，再利用两直线垂直时斜率相乘等于−1，可求出直线l的斜率，从而求出直线l的方程．【解答】如图所示：圆C:x2+y2−2x−8＝0，化为标准方程为：(x−1)2+y2＝9，∴圆心C(1, 0)，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，∵k CM=2−02−1=2，∴直线l的斜率k=−12，∴直线l的方程为：y−2=−12(x−2)，即x+2y−6＝0，故选：D．11. 己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log2m)<f(1)，则−1<log2m<1，解出即可．【解答】当x≥0时，f′(x)＝cosx−xsinx−cosx+x2＝x2−xsinx＝x(x−sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log2m)+f(log12m)<2f (1)等价为f(log2m)+f(−log2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2． 故选：A ．12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【答案】 D【考点】函数零点的判定定理 【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解． 【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0，∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0 ，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________． 【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是________．【答案】30.8【考点】茎叶图【解析】先通过茎叶图计算出成绩，再求出方差．【解答】由茎叶图可知五人成绩为：110，114，119，121，126．五人平均成绩为：x=110+114+119+121+1265=118，方差为：S2=(110−118)2+(114−118)2+(119−118)2+(121−118)2+(126−118)25=30.8．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【答案】2π3【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a+b+c+d=2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，若S△MBF＝4S△MAF，则△ABF的面积为________．【答案】3【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】利用S△MBF＝4S△MAF，得y2＝4y1，联立解方程组，求出k，利用S△ABF＝S△MFB−S△AMF＝3S△AMF，求出即可．【解答】不妨设A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A，B在x轴上方，S△MBF＝4S△MAF，得y2＝4y1，设AB的方程为x＝ky−1，与y2＝4x联立得y2−4ky+4＝0，y1+y2＝4k，y1y2＝4，把y2＝4y1，代入上式得y1=4k5，y2=16k5，由y1y2＝4得，k=54，y1＝1，y2＝4，S△ABF＝S△MFB−S△AMF＝3S△AMF=3⋅12⋅|FM|⋅y1=3⋅12⋅2⋅1=3，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m的值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项．数列{b n}的通项公式为b n＝2a n+3．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n+√b n(n∈N∗)，求数列c n的前n项和S n．【答案】等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项，可得a4a7＝27，即(a1+6)(a1+12)＝27，解得a1＝−3或−15，由a3>0即a1+4>0，即a1>−4，可得a1＝−3（−15舍去），故a n＝−3+2(n−1)＝2n−5；b n＝2a n+3=22n−2＝4n−1；c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，前n项和S n＝(−3−1+...+2n−5)+(1+2+4+...+2n−1)=12n(−3+2n−5)+1−2n1−2=n2−4n+2n−1．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）运用等差数列的通项公式和等比中项性质，解方程可得首项a1，进而得到舍去a n，b n；（2）求得c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项，可得a4a7＝27，即(a1+6)(a1+12)＝27，解得a1＝−3或−15，由a3>0即a1+4>0，即a1>−4，可得a1＝−3（−15舍去），故a n＝−3+2(n−1)＝2n−5；b n＝2a n+3=22n−2＝4n−1；c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，前n项和S n＝(−3−1+...+2n−5)+(1+2+4+...+2n−1)=12n(−3+2n−5)+1−2n1−2=n2−4n+2n−1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．【答案】∵(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)＝c(c+b)，即a2＝b2+c2+bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵0<A<π，∴A=2π3．∵在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅AD，即√32bc＝a⋅AD，由已知BC＝2√3AD，可得AD=2√3，∴3bc＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bccos120∘，即3bc＝b2+c2+bc，整理可得(b−c)2＝0，即b＝c，∴B＝C=π6，∴sinB＝sinπ6=12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a2＝b2+c2+bc，由余弦定理可得cosA=−12，结合范围0<A<π，可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD=2√3，可得3bc＝a2，进而由余弦定理可得b＝c，可求A＝B=π6，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】∵(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)＝c(c+b)，即a2＝b2+c2+bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵0<A<π，∴A=2π3．∵在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅AD，即√32bc＝a⋅AD，由已知BC＝2√3AD，可得AD=2√3，∴3bc＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bccos120∘，即3bc＝b2+c2+bc，整理可得(b−c)2＝0，即b＝c，∴B＝C=π6，∴sinB＝sinπ6=12．已知椭圆C：$${\{}$\${dfrac\{\{x\}^{\wedge}\{2\}\}\{2\}\, + \, \{y\}}$^${\{2\}\, = }$ （1）},动直线{l}过定点{(2,\, 0)}且交椭圆{C}于{A},{B}两点({A},{A}不在{x}轴上).{(l)}若线段{AB}中点{Q}的纵坐标是{ - \dfrac{2}{3}},求直线{l}$的方程；（2）记A点关于x轴的对称点为M，若点N(n, 0)满足MN→=λNB→，求n的值．【答案】设A(x, y)(x′, y′)，设直线AB的方程：x＝ty+2，联立与椭圆的方程整理得：(2+t2)y2+4ty+2＝0，△＝t2−2>0，得t>√2或t<−√2，y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，因为AB的中点的纵坐标为−23，所以−4t2+t2=2⋅(−23)，解得：t＝1或t＝2，由判别式得，t＝2，所以直线AB的方程：x−2y−2＝0；由题意知M(x, −y)，由MN→=λNB→，知，M，N，B三点共线，即k MN＝k MB，即yn−x =y+y′x′−x，n=y(x′−x)y+y′+x，将x＝ty+2，x′＝ty′+2，得n=2tyy′y+y′+2，联立直线与椭圆的方程：(2+t2)y2+4ty+2＝0，∴y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，∴n＝1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）设直线AB的方程，联立与椭圆的方程，求出纵坐标之和，写出中点的纵坐标，由题意求出参数，进而写出直线l的方程；（2）由（1）得M的坐标，由向量的关系，求出n的值．【解答】设A(x, y)(x′, y′)，设直线AB的方程：x＝ty+2，联立与椭圆的方程整理得：(2+t2)y2+4ty+2＝0，△＝t2−2>0，得t>√2或t<−√2，y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，因为AB的中点的纵坐标为−23，所以−4t2+t2=2⋅(−23)，解得：t＝1或t＝2，由判别式得，t＝2，所以直线AB的方程：x−2y−2＝0；由题意知M(x, −y)，由MN→=λNB→，知，M，N，B三点共线，即k MN＝k MB，即yn−x =y+y′x′−x，n=y(x′−x)y+y′+x，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2，得n =2tyy ′y+y ′+2，联立直线与椭圆的方程：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2， ∴ n ＝1己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a ≥3，记函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），求f(x 2)−f(x I )的最大值． 【答案】f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x (x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，①当a ≤0或△≤0时，即a ≤2√2时，得f ′(x)≥0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f ′(x)>0，得0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82，由f ′(x)<0，得a−√a2−82<x <a+√a 2−82，∴ 函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a2−82, a+√a 2−82)上单调递减，综上所求，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >2√2时，函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上单调递减；由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)， 则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根， ∴ x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)＝2ln x 2x 1+12(x22−x 12)−a(x 2−x 1)＝2ln x2x 1−x 22−x 122 ＝2ln x 2x 1−x 22−x 12x 1x 2＝2ln x 2x 1−x 2x 1+x 1x 2， 令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)＝ℎ(t)＝2lnt −t +1t ，由a ≥3，得a 22=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2≥92，即2t 2−5t +2≥0，解得t ≥2， ∵ ℎ′(t)=2t −1−1t 2=−t 2+2t−1t 2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在[2, +∞)上单调递减， ∴ ℎ(t)max ＝ℎ(2)＝2ln2−32， 即f(x 2)−f(x 1)的最大值为2ln2−32． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x(x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，利用导数结合△对a 分情况讨论，分别求函数f(x)的单调区间；（2）由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)，则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，利用根与系数的关系得到f(x 2)−f(x 1)＝2ln x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)＝ℎ(t)＝2lnt −t +1t，再利用导数得到ℎ(t)max ＝ℎ(2)＝2ln2−32，即f(x 2)−f(x 1)的最大值为2ln2−32． 【解答】f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x(x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，①当a ≤0或△≤0时，即a ≤2√2时，得f ′(x)≥0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f ′(x)>0，得0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82，由f ′(x)<0，得a−√a2−82<x <a+√a 2−82，∴ 函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a2−82, a+√a 2−82)上单调递减，综上所求，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >2√2时，函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上单调递减；由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)， 则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根， ∴ x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴f(x2)−f(x1)＝2ln x2x1+12(x22−x12)−a(x2−x1)＝2ln x2x1−x22−x122＝2ln x2x1−x22−x12x1x2＝2ln x2x1−x2x1+x1x2，令t=x2x1(t>1)，则f(x2)−f(x1)＝ℎ(t)＝2lnt−t+1t，由a≥3，得a 22=(x1+x2)2x1x2=t+1t+2≥92，即2t2−5t+2≥0，解得t≥2，∵ℎ′(t)=2t −1−1t2=−t2+2t−1t2=−(t−1)2t2<0，∴ℎ(t)在[2, +∞)上单调递减，∴ℎ(t)max＝ℎ(2)＝2ln2−32，即f(x2)−f(x1)的最大值为2ln2−32．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2, π3)，曲线C2的直角坐标方程为x2−y2＝1．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【答案】将曲线C1的参数方程转化成普通方程为：(x−1)2+y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C1得r2＝3，∴曲线C1的普通方程为：(x−1)2+y2＝3，C2可化为ρ2cos2θ−ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2的极坐标方程，得p12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值．【解答】将曲线C1的参数方程转化成普通方程为：(x−1)2+y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C1得r2＝3，∴曲线C1的普通方程为：(x−1)2+y2＝3，C2可化为ρ2cos2θ−ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2的极坐标方程，得p12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。
2020-2021学年四川省高三第二次诊断性测试数学(文)试题及答案解析
高三第二次诊断性测试数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}11A x x =-≤≤，{}03B x x =<<，则A B =I(A) {}01x x <≤(B) {}01x x << (C){}13x x -≤< (D){}13x x ≤<2．在复平面内，复数31i 1i++对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10 4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y 轴对称的函数是(A) cos(2)2y x π=+(B) sin y x =(C) 2sin ()4y x π=-(D) sin 2cos 2y x x =+5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为5-，则输出y 的值是(A) －1 (B) 1 (C) 2 (D) 146．已知函数2()x f x a-=，()log a g x x =（其中0a >且1a ≠），若(5)(3)0f g ⋅->，则()f x ，()g x 在同一坐标系内的大致图象是(A) (B) (C) (D)7．已知直线2100x y +-=过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为(A)221169x y -= (B)221205x y -= (C) 221520x y -= (D) 221916x y -=8．设5()ln(f x x x =+，则对任意实数a ，b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件9．设实数x ，y 满足约束条件324040120x y x y x y a ⎧⎪-+≥⎪+-≤⎨⎪⎪--≤⎩，已知2z x y =+的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为(A) 6(B) 6- (C) 1- (D) 110.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，它的准线与对称轴的交点为,H 过点H 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，过点A 作直线AF 与抛物线C 交于另一点1B ，过点1A B B 、、的圆的圆心坐标为,a b （），半径为r ，则下列各式成立的是(A) 2214a r =-(B) a r = (C) 2214a r =+(D)221a r =+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：51log 25lg100++ . 12．已知等腰三角形ABC 的底边AB 的长为4，则AC AB ⋅=u u u r u u u r.13．已知βα,3(,)4ππ∈，4cos()5αβ+=，5cos()413πβ-=-,则sin()4πα+=________.14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 .15．若存在实数0x 和正实数x ∆，使得函数)(x f 满足00()()4f x x f x x +∆=+∆，则称函数)(x f 为“可翻倍函数”，则下列四个函数 ① ()f x x =②2()2,[0,3]f x x x x =-∈；③()4sin f x x =； ④ ()ln x f x e x =-. 其中为“可翻倍函数”的有 （填出所有正确结论的番号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21231761,9a a a a a +==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3132333log log log log n n b a a a a =++++L ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 17．(本小题满分12分)某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币4次为一局，每次掷到正面时赋值为1，掷到反面时赋值为0，将每一局所掷4次赋值的结果用(,,,)a b c d 表示，其中,,,a b c d 分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”.（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；（Ⅱ）求每局获奖的概率；（Ⅲ）求每局结果满足条件“+++2a b c d ≤”的概率. 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()a b c a b c bc +--+=. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）已知向量m (1)c =,n (,2)b =,若m 与n 共线，求tan C .19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点. （Ⅰ）证明：EF //平面BOC ； （Ⅱ）证明:OD ⊥平面EFG ； （Ⅲ）求三棱锥G EOF -的体积.20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率等于2，椭圆Γ上的点到它的中心的距离的最小值为2. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E 作关于y 轴对称的两条直线分别与椭圆Γ相交，y 轴左边的交点由上到下依次为A B ,，y 轴右边的交点由上到下依次为,C D ，求证：直线AD 过定点，AC并求出定点坐标.21．(本小题满分14分)已知函数()2xf x me x =--.（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若曲线()y f x =过点(0,1)P ，求曲线()f x 在点(0,1)P 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x >在R 上恒成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，求21211()()x xx x y e e m e e =--+的值域.数学(文史类)参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题11.12 12.8 13.3365- 14. 15. ①④ 三、解答题16.解：（Ⅰ）设等比数列公比为为q ,因各项为正,有0q > …………………….…（1分）由1121122426317111616139913a a a a a q a a a a q a q q ⎧=⎪+=+=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩……………………………….…（5分） 1()3n n a ∴= (n *∈N ) …………………………………………….…. …（6分）（Ⅱ）n n a a a a b 3332313log log log log ++++=Λ312log ()n a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅12+31log ()3n ++=L (1)2n n +=- …………………………………………………...（9分）12112()(1)1n b n n n n ∴=-=--++………………………………………….…（10分） ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和12111111111+212231n n S b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 21n n =-+…（12分）17.解：（Ⅰ）每局所有可能的赋值结果为：(1,1,1,1)， (1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,1,0,0)，(1,0,1,1)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)，(1,0,0,0)，(0,1,1,1)， (0,1,1,0)，(0,1,0,1)，(0,1,0,0)，(0,0,1,1)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(0,0,0,0) ……………………………..…（4分）（Ⅱ）设每局获奖的事件为A ，以（Ⅰ）中结果为基本事件，A 所含的基本事件有5个，∴每局获奖的概率P A =（）516………………………………………..………（8分） （III ）设满足条件“+++2a b c d ≤”的事件为B ，由（Ⅰ）知B 所含的的基本事件有11个，∴ P B （）=1116…………………………………………..…..（12分） 法2：+++2a b c d ≤⇔所掷4次中至多2次正面向上，为（Ⅱ）中A 的对立事件A ，∴ 51111616P A =-=（） 18.解: （Ⅰ）Q ()()a b c a b c bc +--+=∴2222a b c bc bc --+=∴222b c a bc +-= ………………………………………..(3分)由余弦定理知：Q 2222cos b c a bc A +-= ………………..…(5分)∴1cos 2A = Q 0A π<< ∴ 3A π=…………………………….(6分)（Ⅱ）Q m 与n 共线∴21)c b = ……………………………...(7分)由正弦定理知：2sin 1)sin C B = …………….………...(8分) 又Q 在ABC ∆中， sin sin()B A C =+∴2sin 1)sin()3C C π=+ ……………………………………..(10分)即：12sin sin )2C C C =+(33)cos C C =∴tan 2C =+ ………………………………………….（12分）19.（Ⅰ）证明：作OC 的中点H ,连接,FH BH ,,F H Q 分别是,OD OC 的中点 ∴FH //12CD ……………………………………………………(1分) 又Q 在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点∴EB //12CD …………………………………………………………（2分）∴EB //FH∴四边形BEFH 是平行四边形∴//EF BH ,又Q EF ⊄平面BOC ，BH ⊂平面BOC∴EF //平面BOC ………………………………………………(4分)（Ⅱ）证明:Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点,∴DE =又Q 侧棱OB ⊥底面ABCD ,AB ⊂面ABCD∴OB ⊥AB又Q 2,1OB EB ==∴OE =∴DE OE ==∴ODE ∆是等腰三角形， F Q 是OD 的中点,∴EF OD ⊥ ………………………………………….……………..(5分)同理DG DG ==∴ODG ∆是等腰三角形， F Q 是OD 的中点,FG OD ∴⊥ ……………………………………………………….（6分） EF FG F =Q I,EF FG ⊂面EFGOD ⊥平面EFG ……………………………………………………(8分)（Ⅲ）解:Q 侧棱OB ⊥底面ABCD ,BD ⊂面ABCD∴OB ⊥BDQ 2,OB DB ==∴OD =由（Ⅱ）知：OD ⊥平面EFGOF 是三棱锥O 到平面EFG 的距离F Q 分别是OD 的中点OF = …………………………………………………………(9分)DE OE ==EF OD ⊥,∴EF =DG DG ==FH OD ⊥∴FG =Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，,E G 是,AB BC 的中点∴EG =∴三角形EFG 是等边三角形∴EFG S =V ……………………………………………………………（11分） 01132G EOF EFG V V Sh --=== …………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）由已知2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩， ……………………………………………..……（2分）得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 椭圆Γ的方程为22184x y += ……………..…（4分）（Ⅱ）证明：由已知可设AB 方程为4(0),y kx k =+>代入22184x y += 得22(12)16240k x kx +++=………………………………………..……（5分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212221624,1212k x x x x k k+=-=++.…..……（6分）由对称性知22(,)D x y -，AD ∴方程为121112(),y y y y x x x x --=-+.……（8分） 11224,4y kx y kx =+=+Q ，AD ∴方程可化为121112()()4k x x y x x kx x x -=-+++……………………………………..……（9分） 1212111212()()4k x x k x x x x kx x x x x --=-++++2122121121212224()2()124241612k x x x k x x k x kx x k k x x x x x x k --+=++=+⨯++++-+ 1212()1k x x x x x -=++ …………………………………………………..……（12分）AD ∴恒过定点，定点为(0,1)……………………………………………..……（13分）其它证法，参照给分。
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题(文)(解析版)
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -= B. 220x y +-= C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点,P Q 分别为1111,A D D C 的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于,N 则BNBC的值为（ ）A.13B.12C. 1D.23『答案』B 『解析』如图因为PQ ∥11A C ，11A C ∥AC ，故PQ ∥AC ，所以当N 为BC 中点时，MN ∥AC ，所以MN ∥PQ ，又MN ⊄平面DPQ ，PQ ⊂平面DPQ ，由线面平行的判定定理可知，MN ∥平面DPQ .此时12BN BC =. 故选：B.10. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ） A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==2TB ==， 故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()() ln ,x xf xg x xe x-==.若存在120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12x x 的最小值为（ ）A.1-B. 2e- C. 22e-D. 1e-『答案』D『解析』()'21ln ,xf x x-=易知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，同理， ()'1ex xg x -=，易得()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，又存在 120,,,()x x R ∈∞∈+使得()()120f x g x =<成立，则12(0,1),(,0)x x ∈∈-∞， 12ln 0,0x x <<，且12112ln 1 ln ln 0e ex x x x x x ==<，又()g x 在(,1)-∞上单调递增， 故12ln x x =，所以1211ln x x x x =，令()ln h x x x =，则'()ln 1h x x =+，易知，()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,1)e上单调递增，故min 11()()e eh x h ==-. 故选：D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 已知函数()1,02,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()()1f f -=___________．『答案』2『解析』由已知，1(1)2f -=，()()11()22f f f -==.故答案为：2.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.故答案为：215. 设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________．『答案』1『解析』联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=，则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.16. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ， 直三棱柱的棱长为x，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11,a =且23432,,2a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*21221,log log n n n b n N a a ++=∈⋅.求数列{}n b 的前n 项和n S解：()I 设数列{}n a 的公比为.q 由题意及11a =，知1q >.23432,,2a a a 成等差数列，34232a a a ∴=+. 2332q q q ∴=+，即2320-+=q q . 解得2q或1q =(舍去).2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为12n na .()II ()21221111log log 11n n n b a a n n n n ++===-⋅++1111112231n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 1n n =+ 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面,,ABCD M E 分别为,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若3,PE =求三棱锥B PEM -的体积. 解：()I ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD .PO AC ∴⊥,OP BD ⊂平面,PBD且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 ,PBD又AC ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面,PBD()II )设三棱锥P BEM -的高为h .1.3B PEM P BEM BEMV V Sh --∴==⨯连接OE ，PO ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，PO OE ∴⊥.2,3OE PE ==，h OP ∴==111223323P BEM BEMV Sh -=⨯=⨯⨯⨯∴=19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式:()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑解：()I 根据表中数据，计算可得()()714,43,140iii x y x x y y ===--=∑又()27128ii x x =-=∑()()()712715iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑a y bx =- 435423a ∴=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将代8x =入，582363y ∴=⨯+=(亿元)∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.()II 由()I 可知2015 年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)， 其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A 级利润年有2年，分别记为12,A A ； 评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 232434,,B B B B B B ，共计15种情况.其中恰有一年为A 级利润年情况分别为:1112131421,,,,A B A B A B A B A B ，222324,,A B A B A B 共有8种情况.记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年”的概率为P ，.故所求概率815P =20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点(P 在椭圆E 上. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于,A B 两点，与圆222x y a +=相交于,C D两点，当2AB CD ⋅的值为l 的方程.解：()I 21,P ⎛ ⎝⎭在椭圆上， 122PF PF a ∴+=.又12,22PF PF ===12PF PF ∴+= ，则a =2221,,c b a c ==-1b ∴=故所求椭圆E 的标准方程为2212x y +=.()II 设()()1122,,,A x y B x y联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. 2880,m ∴∆=+>12222m y y m +=-+，12212y y m =-+ )212212m AB y m +=-=+∴设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))2222222121214122m m m AB CD m m m +++∴⋅=⋅⋅=+++2AB CD ⋅= )22212m m +∴=+解得1m =±.经验证1m =±符合题意.故所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 21. 已知函数()2ln f x x mx m x =--，其中0m >.（Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）设()()g x f x mx =+.若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 解：()I 当1m =时，()2ln .f x x x x =--则()2'12121x x f x x x x--=--=，0x >令()'0,fx =解得112x =-(舍去)，21x =. 当()0,1x ∈时，()'0f x <()f x ∴在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x 的极小值为()10f =，无极大值.()II ()2ln g x x m x =-若()1g x x>在(1,)+∞上恒成立，即21ln 0x m x x-->在(1,)+∞上恒成立. 构造函数()21ln ,1G x x m x x x=-->， 则()3'221212m x mx G x x x x x -+=-+=令()321,1H x x mx x =-+>.()'26H x x m ∴=-()i 若6,m ≤可知()'0H x >恒成立.()H x ∴在(1,)+∞上单调递增. ()()13H x H m ∴>=-. ①当30,m -≥即03m <≤时，()0H x >在(1,)+∞上恒成立，即()'0G x >在(1,)+∞上恒成立. ()()10G x G ∴>=在(1,)+∞上恒成立，03m ∴<≤满足条件.②当30m <即36m <≤时，()()130,21720H m H m =-<=->，∴存在唯一的()01,2,x ∈使得()00H x =.当()01,x x ∈时，()0,H x <即()'0G x <()G x ∴在()01,x 单调递减.()()10G x G ∴<=，这与()0G x >矛盾.()ii 若6,m >由()'0,H x =可得1x =舍去)，2x =易知()H x在⎛ ⎝上单调递减. ()()130H x H m ∴<=-<在⎛ ⎝上恒成立，即()'0G x <在⎛ ⎝上恒成立. ()G x ∴在⎛ ⎝上单调递减. ()()10G x G ∴<=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾.综上，实数m 的取值范围为(]0,3.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=.设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥.此时无解； ③当3x ≤-时，化简得226x --≥.解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <.①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根.③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。
高三第二次诊断性考试试题数学文扫描版含答案
绵阳市高级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DDCAC CCBBA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．95 14．106.5 15．416．34三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 31tan 21tan ==，∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ， 在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-， ……3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1． ……………………………………4分 若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π． …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，即sin B =2cos B ，sin C =3cos C ，…………………………………………7分结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1， 可得sin B =52，sin C =103， (负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =10252252sin sin =⨯=⋅a A B ， …………11分 于是S △ABC =21ab sin C =15103102521=⨯⨯⨯． ……………………………12分18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关． ……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有=⨯660404人，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，中老年人=⨯660202人，分别记为B 1，B 2．…………………………7分 则从这6人中任意选取3人的可能有(A 1，A 2，A 3)，(A 1，A 2，A 4)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，A 4)， (A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)，(A 2，A 3，A 4)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，(A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，(A 4，B 1，B 2)， 共20种，…………………………………………………………………………9分 其中，至少一个老年人的有(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)， (A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)， (A 4，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)， (A 1，A 4，B 1)，共16种， ………………………………………………………………………11分 ∴ 所求的概率为542016=． ……………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ，∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn <n 2+2n +4， 即等价于(-1)n 24++<nn k ．……………………………………………………7分 ∵ n 为正奇数，∴ 原式变为2)4(-+->nn k ，令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x >0，则222)2)(2(4)(x x x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ， 即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 由f (1)=-7<f (3)=319-，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >319-． ……………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，∴ =(0，y 0)，DM =(x -x 0，y )，由=，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，∴ 曲线C 的方程为：14822=+y x ． …………………………………………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．设直线AB 的方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=12822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分∵ k QA +k QB =02211=-+-QQ x x y x x y ，将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：2x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+4x Q =0， …………………………………………10分即12161622+-k k -(x Q +2)×12822+k k +4x Q =0，化简得x Q =4，故此时存在点Q (4，0)使得直线AQ ，BQ 的斜率之和为0．………………12分 21．解：（Ⅰ）对)(x f 求导可得a e x f x -=')(． …………………………………1分∵ a >1，于是由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增， …………3分 ∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a =1-2ln2． 令2ln 22ln )(+--=a a a a g ，则a a g ln )(-='， 由a >1知)(a g '<0，于是函数)(a g 在(1，+∞)单调递减， 又0)2(=g ，∴ a 的值是2．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ，故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x ，变形得2321-+>x xe xe k ．……………………………………………………………8分 令函数h (x )=)1(2321>-+x e xe x x ，则2)2()421()(---='x x x e x e e x h ．令函数)1(421)(>--=x x e x xϕ，则)1(0121)(>>-='x e x x ϕ，又0621)2(2<-=e ϕ，0721)3(3>-=e ϕ，∴ 存在t ∈(2，3)，使得0)(=t ϕ．当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ，故0)(<'x h ，)(x h 在(1，t )单调递减； 当x ∈(t ，+∞)，0)(>x ϕ，故0)(>'x h ，)(x h 在(t ，+∞)单调递增．故)()(min t h x h ==2321-+t te te ． …………………………………………………10分 又0421)(=--=t e t tϕ，故82+=t e t ，故)()(min t h x h ==)1(21)3(2)3)(1(62342823)82(2123212+=+++=+++=-+++=-+t t t t t t t t t t e te t t ，又t ∈(2，3)，故)223()1(21，∈+t ，故正整数k 的最小值是2．……………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得31=+xy ， 即l 的普通方程为013=--y x ．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0． …………5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中，整理得04)132(2=++-t t ，由韦达定理：41322121=⋅+=+t t t t ，， ……………………………………8分16534)(2)(11112212122122212221222122+=-+=⋅+=+=+t t t t t t t t t t t t PB PA故165341122+=+PBPA． …………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35，所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分（Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1．当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2．y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23． ……………………………………10分。
2020届四川省高三上学期联合诊断考试数学(文)试题(解析版)
2020届四川省高三上学期联合诊断考试数学（文）试题一、单选题1．已如集合{}{}22,1,0,1,|1A B x x =--=…，则A B =A ．{}2,1,1--B ．{}|1,0-C ．{}0,1D ．{}2,1,0--【答案】A【解析】利用集合的交集运算求解 【详解】由{}2|1B x x =…可得B 中11x x ≥≤-或，则A B ={}2,1,1--答案选A 【点睛】本题考查集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集 2．若2000(1)()2i z i i -+= ，则z = A ．i - B ．iC ．-1D ．1【答案】D【解析】需对运算公式进行变形，由20002000200022(1)()211i i i z i iz i z i i i-+=⇒+=⇒=---，再进行化简即可【详解】由200020002000222(1)()21111i i i z i i z i z i i i i i-+=⇒+=⇒=-=-=---答案选D 【点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式3．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A.6 B.8C.10D.12【答案】C【解析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论． 【详解】末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个 故选：C ． 【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量n 的最小值为 A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【解析】从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样 【详解】由题已知，总体样本容量为36人，当样本容量为n 时，系统抽样的样距为36n，分层抽样的样比为36n，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为18362n n ⨯=，篮球运动员人数为12363n n ⨯=，乒乓球运动员人数为6366n n⨯=，可知n 是6的整数倍，最小值为6 答案选A 【点睛】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和讨论，以便求出样本容量5．设函数0()1,02x lnx x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，若()(1)3f a f +-=，则a =A.1或eB.e 或1eC.eD.l【答案】B【解析】根据分段函数的表达式求出f （﹣1），进而求出f （a ）＝1，解方程即可． 【详解】 f （﹣1）11()22-==，则由f （a ）+f （﹣1）＝3，得f （a ）＝﹣f （﹣1）+3＝3﹣2＝1， 1若a ＜0，则f （a ）＝（12）a＝1， 则a ＝0不成立， 故a ＝e 或a 1e=， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式求值是解决本题的关键． 6．在等比数列{}n a 中，4112,2a a == ，若52k a -= ，则k = A ．5 B ．6C ．9D ．10【答案】D【解析】先求出公比q ，再根据通项公式直接求k 值 【详解】由34231112,224a a q q -==⇒=⇒=，115122k k k a a q q ---∴==⋅=，2(1)16322k k q ----∴==2(1)63k -∴-=- 10k ∴=答案选D 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，先求q ，再求通项，属于基础题型7．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则'()f x 的图像可能为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数，故排除B 、D .又()f x 在()0,1上存在极大值，故排除A 选项， 本题选择C 选项.8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C 。
四川省绵阳市2020届高三数学第二次诊断性测试试题文含解析
四川省绵阳市2020届高三数学第二次诊断性测试试题 文（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122iz i i+==-． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15【答案】A 【解析】 【分析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ．【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题．4.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ）B.52D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模．【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴2(1)b =-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 分析】说明命题1cos 23α=⇒sin α=和sin α=⇒1cos 23α=是否为真即可．【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．6.已知()2,0M ，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A. 22195x y +=B. 22159x y -=C. ,? a c ==D.22195x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】利用6QM QN QP QN PN +=+==，确定M 点轨迹是椭圆，从而易求得其方程． 【详解】由题意圆标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6， ∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=， ∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，∴3,2a c ==，b ==∴其轨迹方程为22195x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出,a b 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B.14C. 38D.12【答案】B 【解析】 【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．9.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -，∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 10.已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A. 220x y B. 260x y +-= C. 220x y --= D. 260x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】如图，设设AOB θ∠=(0)θπ<≤，求出直线l 分圆所成两部分面积之差的绝对值9(sin )S πθθ=-+，利用导数确定函数的单调性，确定出当θ最小时S 最大，由圆的性质知θ最小时，CM AB ⊥，从而可求得直线方程．【详解】圆C 标准方程为22(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22S r r πθθ=-+， ∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．在CAB ∆中，2222218cos 218r AB AB rθ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CM k k =-=-，∴直线l 方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=．故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入AOB θ=∠，借助于扇形面积公式用θ表示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的θ值，从而确定直线l 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用．11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. (][)1,23,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D 【解析】 【分析】由零点存在定理1(0)()0f f a <得23a <<，但还要验证此时在1(0,)a上是否只有一个零点，然后讨论(0)0f =和1()0f a=两种情形是否符合题意．【详解】（1）若由1(0)()0f f a<得(1log 2)(1log 3)0a a --<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a--<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．设2()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数， 作出()g x ，()h x 的示意图，如图．1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a >==，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（3）若1()0f a =，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时11()()1h g a a==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一个交点，即()f x 在1[0,]a上有两个零点，不合题意．综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ．【点睛】本题考查函数零点分布问题．()f x 在闭区间[,]m n 上只有一个零点，首先由零点存在定理()()0f m f n <确定参数范围，但是此种情形下必须验证在(,)m n 上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论()0f m =和()0f n =两种情形是否满足题意．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222AB C A B C =≠． 14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.【答案】30.8. 【解析】 【分析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差．【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++==，方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s =-+-+-+-+-30.8=故答案为：30.8【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础． 15.函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】 【分析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点．【详解】由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ， ∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______. 【答案】3. 【解析】 【分析】不妨设,A B 在第一象限且由设1122(,),(,)A x y B x y ，由4MBF MAF S S ∆∆=，得2111422MF y MF y =⨯，从而214y y =．由,,A B M 共线及,A B 在抛物线上，可求得12,y y ． 【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ， ∵4MBF MAF S S ∆∆=，∴2111422MF y MF y =⨯，∴214y y =．又,,M A B 共线，∴121211y yx x =++，即122212111144y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114y yy y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴12112MAF S ∆=⨯⨯=，4MBF S ∆=，∴413FAB MBF MAF S S S ∆∆∆=-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现MAF ∆和MBF ∆有共同的底MF ，从而由面积比得出,A B 两点的纵坐标比，再由,,M A B 共线及,A B 在抛物线上，求得,A B 的纵坐标，从而得三角形面积．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【解析】【分析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m=.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N=∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）222n n b -=；（2）2241n n S n n =+--.【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式表示出47,a a ，由等比中项定义求得1a ，注意30a >可确定只有一解，从而中得n a ，也即得n b ；（2）由（1）得1252n n c n -=-+，用分组求和法可求得n S ．【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.∴(()()211612a a -=+⋅+，解得13a =-或115a =-.又31220a a =+⨯>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125n a n n =-+⋅-=-.∴32222n a n n b +-==.（2）由（1）可知，1252n n n c a n -==-+.12n n S c c c =+++()123112512nn -=--+++-+⎡⎤⎣⎦-()325212n n n -+-=+-2241n n n =+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前n 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础．19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12.【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；（2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】（1）ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅． 20.已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x轴上）.（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值. 【答案】（1）220x y --=；（2）1n =. 【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+，直线方程与椭圆方程联立消元得y的二次方程，由判别式得t 的取舍范围，由韦达定理得1212,y y y y +，利用AB 中点纵坐标是23-可求得t ，只要满足>0∆即可； （2）由题意()11,M x y -，MN NB λ=，说明M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.这样可求出n ，化为只含12,y y 的式子后代入（1）中的1212,y y y y +就可求得n ． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+.由22222x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()222420t y ty +++=. 220t ∆=->，解得t >t <由韦达定理得12242t y y t -+=+，12222y y t =+.① ∵AB 中点Q 的纵坐标是23-，∴1243y y +=-，代入①解得1t =或2t =.又t >t <2t =. ∴直线l 的方程为220x y --=. （2）由题意得()11,M x y -，由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线， 即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--，即121121y y y n x x x +=--， 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++.②由①有12242t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会．21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，函数()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减； （2）32ln 22-. 【解析】 【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >得增区间，由'()0f x <得减区间，注意题中函数定义域是(0,)+∞，因此对二次三项式28x ax -+分类情况为第一类：0a ≤或0∆≤，第二类0a >且>0∆．（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用12,x x 表示极值点，由12,x x 是方程220x ax -+=的解，得12x x a +=，122x x =.2212221()()2ln 2f x f x x x ax -=+-21111(2ln )2x x ax -+-()()2222121112ln 2x x x a x x x =+---2222112ln 2x x x x -=-222211122ln x x x x x x -=-2211122lnx x x x x x =-+.不妨设12x x <，引入变量21xt x =，则1t >，21()()f x f x -就转化为t 的函数，由3a ≥求得t 的范围，由导数知识可得所求最大值．【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+，则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即a ≤()'0f x ≥恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩，即a >时，由()'0f x >，得0x <<x >由()'0f x <，得22a a x -<<. ∴函数()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减.综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得，当a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）. 则1x ，2x 为()220x a g x x =-+=的两根，∴12x x a +=，122x x =.()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.由3a ≥，得()22121219222x x a t x x t +==++≥，即22520t t -+≥，解得2t ≥.∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<， ∴()h t 在[)2,+∞上单调递减， ∴()()max 322ln 22h t h ==-. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为12,x x ，由极值点的定义得出函数中参数与12,x x 的关系，即用12,x x 表示参数，并代入待求（证）式，同时设21x t x =（本题），可把待求（证）式转化为t 的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．（二）选考题：共10分。
四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次(1月)诊断性考试试题 文
四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次（1月）诊断性考试试题文一、选择题（60分）1、在复平面内，复数12i+对应的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B=｜x ｜1x e -＞1｝，则A ∩B ＝A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，4}C 、{3，4}D 、{4} 3.右图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总 成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m 的值为A 、0B 、2C 、3D 、54、“a ＝b ＝1”是“直线a x －y+1＝0与直线x －by －1＝0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、直线l ：x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则∠AOB 等于 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 6．设a ，b 是互相垂直的单位向量，且（λa ＋b ）⊥（a ＋2b ），则实数λ的值是 A 、2 B 、－2 C 、1 D 、－17、执行如图的程序框图，其中输入的7sin 6a π=，7cos 6b π=，则输出a 的值为 A 、1 B 、－1 C 3 D 38、若函数2()ln 21f x x x bx =+--的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b 的取值范围为A 、（－∞，4）B 、（－∞，4］C 、（4，＋∞）D （0,4）9、已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝A 、1B 2C 、2D 、4 10、已知F 1，F 2是焦距为8的双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点F 2关于 双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A ，若｜AF 1｜＝4，则此双曲线的离心率为A 2B 3C 、2D 、311．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往 酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第 二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二： 直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则A 、P 1•P 2＝14B 、P 1＝P 2＝13C 、P 1+P 2＝56D 、P 1＜P 2 12、已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （一2，2)为椭圆C 内一点。
2019-2020年高三数学上学期第二次诊断性检测试题 文 新人教A版
2019-2020年高三数学上学期第二次诊断性检测试题 文 新人教A 版一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有．．s ．一个选项．．．．符合题意） 1.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a = A. 2-B.2C. 12-D. 122.已知集合{}{}1,,2A y y x x R B x x ==-∈=≥，则下列结论正确的是 A. 3A -∈B. 3B ∉C. A B B ⋂=D. A B B ⋃=3.已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4,n a a a a -++=则A. 342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B. 243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C. 1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D. 1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5.右图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是A. 10i >B. 10i <C. 11i >D. 11i <6.函数()21log f x x x=-的零点所在的区间为 A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,47.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A.3πB.4πC. 4D. 以上全错（*周练变式）8. 要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移个单位 9.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足O P O A λ=+uu u r uu r (sin sin AB AC AB B AC C+uu u r uuu ruu u r uuu r)(()0λ≥，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的 A.内心B.外心C.垂心D.重心10.已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图像关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f =A 0B 4-C 8-D 16-第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题包括5小题，共25分）11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m12.已知函数()()34f x x ax a R =-+-∈若函数()y f x =的图象在点()()1,1P f 处的切线的倾斜角为4a π=，则________（*周练变式）13. 在区间上随机取一个数x ，则cosx 的值介于0到21之间的概率是_____（*周练变式）14. b a ,的夹角为120____________2则,31=-==a（*周练变式） 15. 若直角坐标平面内的两点P 、Q 同时满足下列条件： ①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称. 则称点对[,]P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（注：点对[,]P Q 与[,]Q P 看作同一对“友好点对）.已知函数{)0(log )0(2)(>≤-=x x x x x f 则此函数的“友好点对”有_____对。
四川绵阳市2020届高三第二次诊断性考数学(文)试卷附答案详析
这三个班中抽 30 人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ）
A．10
B．12
C．13
D．15
【答案】A
【解析】分层抽样是按比例抽取人数．
【详解】
设高一（2）被抽取
x
人，则
x 30
45
50 50
55
，解得
x
10
．
故选：A．
【点睛】
本题考查分层抽样，属于基础题．
6．已知 M 2, 0 ， P 是圆 N ： x2 4x y2 32 0 上一动点，线段 MP 的垂直平分线交 NP 于点 Q ，则
动点 Q 的轨迹方程为（ ）
A． x2 y2 1 95
B． x2 y2 1 59
C． a 13 k , c 10
D． x2 y2 1 95
(1)2 (2)2
5．
故选：C． 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．
5．已知
为任意角，则“ cos 2
1 3
”是“ sin
3 ”的（ 3
）
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
【解析】说明命题 cos 2
若根据表中的数据用最小二乘法求得 y 对 x 的回归直线方程为 y 6.5x 9 ，则下列说法中错误的是（ ）
A．产品的销售额与广告费用成正相关
B．该回归直线过点 2, 22
C．当广告费用为 10 万元时，销售额一定为 74 万元
1
D． m 的值是 20
四川省阿坝州茂县中学2020届高三上学期第二次诊断性考试试题 数学(文)【含答案】
四川省阿坝州茂县中学2020届高三上学期第二次诊断性考试试题数学（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，B ＝{x|x ＝2n，n ∈N}，则A ∩B ＝ A.{－1，1，2} B.{1，2} C.{1，2，4} D.{0，1，2，4} 2.已知i 为虚数单位，复数z ＝i(2＋3i)，则其共扼复数z = A.2－3i B.－2－3i C.3－2i D.－3－2i3.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)。
若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为A.1033π+10π C.1033π+233π- 4.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(44sin ,cos33ππ)，则cos α＝ 3 B.12 C.12- D.35.函数2()1x x f x e =-的图象大致是6.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为－2，19，输出y 的值分别为a ，b ，则a ＋b ＝A.－4B.－2C.74-D.147.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA|3|OB|(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为 A.233 B.6322D.33 8.关于函数()3sin(2)1()3f x x x R π=-+∈的图象向右平移12π个单位长度后得到y ＝g(x)图象，则函数g(x)A.最大值为3B.最小正周期为2πC.为奇函数D.图象关于y 轴对称9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。
分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
四川绵阳市2020届高三第二次诊断性考数学(文)试卷附答案详析
四川绵阳市2020届高三第二次诊断性考数学（文）试卷一、单选题 1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ）A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞UD ．[)2,+∞2．已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i -D ．2i -3．已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A ．10B ．12C ．13D ．154．已知向量()1,2a =r ，()1,b x =-r ，若//a b r r，则b =r （ ）A B ．52C D ．55．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要6．已知()2,0M，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．22195x y +=B ．22159x y -=C ． ,? a c ==D ．22195x y -=y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A ．产品的销售额与广告费用成正相关B ．该回归直线过点()2,22C ．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D ．m 的值是208．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．129．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D ．310．已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．260x y +-=C ．220x y --=D ．260x y +-=11．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D ．()2,+∞12．函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(][)1,23,+∞UC ．()[)1,23,+∞U D ．[)2,3二、填空题 13．直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.15．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16．过点()1,0M-的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______.三、解答题17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表附表：其中：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.18．已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N =∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B .20．已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）.（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=u u u u r u u u r，求n 的值.21．已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=. （1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.23．已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.解析四川绵阳市2020届高三第二次诊断性考数学（文）试卷一、单选题 1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ）A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞UD ．[)2,+∞【答案】D【解析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解． 【详解】 由题意2{|1}{|02}x Mx e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ． 【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足12z ii ⋅=+，则z =（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i -D ．2i - 【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】 由题意122iz i i+==-． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3．已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A ．10 B ．12C ．13D ．15【答案】A【解析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ． 【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题．4．已知向量()1,2a =r ，()1,b x =-r ，若//a b r r，则b =r （ ）A B ．52C D ．5【答案】C【解析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模． 【详解】∵//a b r r ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴b ==r ．故选：C ． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．5．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】说明命题1cos 23α=⇒sin α=和sin α=⇒1cos 23α=是否为真即可． 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6．已知()2,0M，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．22195x y +=B ．22159x y -=C ． ,? a c ==D ．22195x y -=【答案】A 【解析】利用6QM QN QP QN PN +=+==，确定M 点轨迹是椭圆，从而易求得其方程．【详解】由题意圆标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6，∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =，∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=，∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，∴3,2a c ==，b ==∴其轨迹方程为22195x y +=．故选：A ． 【点睛】本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出,a b 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7．已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A ．产品的销售额与广告费用成正相关 B ．该回归直线过点()2,22C ．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D ．m 的值是20 【答案】C【解析】根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时，6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误；由10153035225m y++++==，得20m =，D 正确．故选：C ． 【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】B【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率． 【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．9．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD ．3【答案】B【解析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -，∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．10．已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．260x y +-=C ．220x y --=D ．260x y +-=【答案】D【解析】如图，设设AOB θ∠=(0)θπ<≤，求出直线l 分圆所成两部分面积之差的绝对值9(sin )S πθθ=-+，利用导数确定函数的单调性，确定出当θ最小时S 最大，由圆的性质知θ最小时，CM AB ⊥，从而可求得直线方程．【详解】圆C 标准方程为22(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r=，直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22S r r πθθ=-+，∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．在CAB ∆中，2222218cos 218r AB AB r θ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CMk k =-=-，∴直线l方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入AOB θ=∠，借助于扇形面积公式用θ表示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的θ值，从而确定直线l 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用． 11．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D ．()2,+∞【答案】A【解析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<．故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12．函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(][)1,23,+∞UC ．()[)1,23,+∞U D ．[)2,3【答案】D【解析】由零点存在定理1(0)()0f f a <得23a <<，但还要验证此时在1(0,)a上是否只有一个零点，然后讨论(0)0f =和1()0f a=两种情形是否符合题意． 【详解】 （1）若由1(0)()0f f a<得(1log 2)(1log 3)0a a --<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a --<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．设2()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数， 作出()g x ，()h x 的示意图，如图．1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a >==，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a上只有一个交点，即()f x在1[0,]a上只有一个零点，符合题意． （3）若1()0f a=，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时11()()1h g a a==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一个交点，即()f x 在1[0,]a上有两个零点，不合题意．综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点分布问题．()f x 在闭区间[,]m n 上只有一个零点，首先由零点存在定理()()0f m f n <确定参数范围，但是此种情形下必须验证在(,)m n 上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论()0f m =和()0f n =两种情形是否满足题意．二、填空题 13．直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.【答案】2.【解析】由两直线平行的条件判断． 【详解】 由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2． 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222A B C A B C =≠． 14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.【答案】30.8.【解析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差． 【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++==，方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s=-+-+-+-+-30.8= 故答案为：30.8 【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础． 15．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点．【详解】 由题意411()3126Tπππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈，在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和． 16．过点()1,0M-的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______. 【答案】3.【解析】不妨设,A B 在第一象限且由设1122(,),(,)A x y B x y ，由4MBF MAF S S ∆∆=，得2111422MF y MF y =⨯，从而214y y =．由,,A B M 共线及,A B 在抛物线上，可求得12,y y ． 【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，∵4MBF MAF S S ∆∆=，∴2111422MF y MF y =⨯，∴214y y =． 又,,M A B 共线，∴121211y y x x =++，即122212111144y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114y yy y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴12112MAF S ∆=⨯⨯=，4MBF S ∆=，∴413FAB MBF MAF S S S ∆∆∆=-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现MAF ∆和MBF ∆有共同的底MF ，从而由面积比得出,A B 两点的纵坐标比，再由,,M A B 共线及,A B 在抛物线上，求得,A B的纵坐标，从而得三角形面积．三、解答题17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【解析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m 的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m=.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．18．已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和nS.【答案】（1）222n n b -=；（2）2241nn S n n =+--.【解析】（1）由等差数列的通项公式表示出47,a a ，由等比中项定义求得1a ，注意30a >可确定只有一解，从而中得n a ，也即得n b ； （2）由（1）得1252n n c n -=-+，用分组求和法可求得n S ．【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.∴(()()211612a a -=+⋅+，解得13a =-或115a =-.又31220a a =+⨯>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125na n n =-+⋅-=-.∴32222n a n n b +-==.（2）由（1）可知，1252n nn c a n -==-+.12n n S c c c =+++L()123112512nn -=--+++-+⎡⎤⎣⎦-L ()325212n n n -+-=+-2241n n n =+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前n 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础． 19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12.【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；（2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =代入可得23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅，即2bc a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =.在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒，即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABCS bc A BC AD ∆==⋅． 20．已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）.（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=u u u u r u u u r，求n 的值.【答案】（1）220x y --=；（2）1n =. 【解析】（1）设()11,Ax y ，()22,B x y ，直线AB ：2xty =+，直线方程与椭圆方程联立消元得y的二次方程，由判别式得t 的取舍范围，由韦达定理得1212,y y y y +，利用AB 中点纵坐标是23-可求得t ，只要满足>0∆即可；（2）由题意()11,Mx y -，MN NB λ=u u u u r u u u r，说明M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.这样可求出n ，化为只含12,y y 的式子后代入（1）中的1212,y y y y +就可求得n ．【详解】 （1）设()11,Ax y ，()22,B x y ，直线AB ：2xty =+.由22222x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()222420t y ty +++=.220t ∆=->，解得t >t <由韦达定理得12242t y y t -+=+，12222y y t =+.① ∵AB 中点Q 的纵坐标是23-，∴1243y y +=-，代入①解得1t =或2t =.又t >t <2t =.∴直线l 的方程为220x y --=. （2）由题意得()11,M x y -，由MNNB λ=u u u u ru u u r，知M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--，即121121y y y n x x x +=--， 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++.②由①有12242t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会． 21．已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，函数()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减；（2）32ln 22-.【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >得增区间，由'()0f x <得减区间，注意题中函数定义域是(0,)+∞，因此对二次三项式28x ax -+分类情况为第一类：0a ≤或0∆≤，第二类0a >且>0∆．（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用12,x x 表示极值点，由12,x x 是方程220x ax -+=的解，得12x x a +=，122x x =.2212221()()2ln 2f x f x x x ax -=+-21111(2ln )2x x ax -+-()()2222121112ln 2x x x a x x x =+---2222112ln 2x x x x -=-222211122ln x x x x x x -=-2211122ln x x x x x x =-+.不妨设12x x <，引入变量21x t x =，则1t >，21()()f x f x -就转化为t 的函数，由3a ≥求得t 的范围，由导数知识可得所求最大值． 【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22gx x ax =-+，则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即a ≤时，得()'0f x ≥恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩，即a >由()'0f x >，得0x <<x >由()'0f x <，得22a a x +<<.∴函数()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减.综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在22a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得，当a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.则1x ，2x 为()220x a g x x =-+=的两根，∴12x x a +=，122x x =.()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.由3a ≥，得()22121219222x x a t x x t +==++≥，即22520t t -+≥，解得2t ≥.∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<， ∴()ht 在[)2,+∞上单调递减，∴()()max 322ln 22h t h ==-. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为12,x x ，由极值点的定义得出函数中参数与12,x x 的关系，即用12,x x 表示参数，并代入待求（证）式，同时设21x t x =（本题），可把待求（证）式转化为t 的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=. （1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【答案】（1）()2213x y -+=，2cos 21ρθ=；（2）⎝. 【解析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得2212,ρρ，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程， 得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 222223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，23πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝.所以2211OAOB +的取值范围是2⎛ ⎝. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23．已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）04a <≤. 【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围． 【详解】（1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-；当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-.∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，画图可知，函数()f x 的最大值为32.由123log 2a ≤，解得04a <≤. 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．。
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四川省阿坝州茂县中学 2020 届高三数学上学期第二次诊断性考试试
题文
注意事项：
( 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 )
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。
D.
3
3
2
3
-3-
8. 关于函数 f ( x)
象，则函数 g(x)
3sin(2 x
) 1(x 3
R) 的图象向右平移
个单位长度后得到
12
y＝ g(x) 图
A. 最大值为 3 B. 最小正周期为 2π C. 为奇函数 D. 图象关于 y 轴对称
9. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断
பைடு நூலகம்
x 的值分别为－ 2， 1 ，输出 y 的值分别为 a， b，则 a＋ 9
A. － 4 B. －2 C.
7
1
D.
4
4
x2 y2 7. 已知椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左顶点为 A，上顶点为 B，且 |OA| ＝ 3 |OB|(O 为坐标原
点 ) ，则该椭圆的离心率为
23
6
2
3
A.
B.
C.
11. 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售。现有
3
个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形。
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为
A. 9 B. 19 C. 27 D. 37
28
28
64
64
10. 圆 x2 ＋y2＋ 2x－ 2y－ 2＝ 0 上到直线 l ： x＋ y ＋ 2 ＝ 0 的距离为 l 的点共有
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3
A. 10 3 3 B. 10
C. 10 3
3 D. 2 3 3
-2-
4. 在平面直角坐标系中，若角
α 的终边经过点 P( sin 4 ,cos 4 ) ，则 cos α ＝
3
3
3
1
1
3
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
5. 函数 f ( x)
x 2 的图象大致是
x
e1
6. 执行如图所示的程序框图，若输入 b＝
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z＝ i(2 ＋ 3i) ，则其共扼复数 z
A.2 － 3i B. － 2－ 3i C.3 － 2i D. － 3－ 2i 3. 已知圆柱的底面半径为 2，高为 3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形
ABCD(如
图 ) 。若底面圆的弦 AB所对的圆心角为 ，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为
迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融
合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。如图，由波兰数学家谢尔
宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿
三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合 A＝ {x|x 2－ 3x－ 10≤ 0} ， B＝ {x|x ＝2n， n∈ N}，则 A∩ B＝ A.{ － 1， 1， 2} B.{1 ， 2} C.{1 ， 2，4} D.{0 ， 1，2， 4}
1 拿到试卷：熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道 题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效 措施，也从根本上防止了“漏做题”。 2 答题顺序：从卷首依次开始 一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。所以，正确的做法是从卷首开始依次做 题，先易后难， 最后攻坚。 但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难， 但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先 做好有保证的题，才能尽量多得分。 3 答题策略 答题策略一共有三点： 1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题，再做综 合题、难题。 2. 先小后大。先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。 3. 先 局部后整体。把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就 能得到一步的分数。 4 学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分。”不会做的题 目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对， 立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处。如”果题目 有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。 5 立足中下题目，力争高水平 考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中 要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些 题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 6 确保运算正确，立足一次性成功 在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。不 能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。试题做完后要认真做好 解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。 7 要学会“挤”分 考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把 要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做 几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。 8 检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。如果对现有的题 解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了，写 新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！不管 是大型考试还是平时的检测，或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎么办？ 为防患于未然，老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施，告诉孩子遇事不慌乱，沉重冷 静，必要时可以向监考老师寻求帮助。