[高考真题]2016年高考新课标Ⅰ卷理数试题解析

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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试题卷共5页,24题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.

2、选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效.

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应

的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合2

{|430}A x x x =-+< ,{|230}B x x =->,则A B =I

（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2

（D ）3(,3)2

【答案】D

考点：集合运算

（2）设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +

（A ）1 （B ）2 （

C ）3 （

D ）2 【答案】B 【解析】

试题分析：因为(1)=1+,i x yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=所以故故选B.

考点：复数运算

（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a

（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】

试题分析：由已知,11

93627

,98a d a d +=??

+=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 考点：等差数列及其运算

（4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的

时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3

4

【答案】B

考点：几何概型

（5）已知方程x 2m 2+n –y 2

3m 2–n

=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是

（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) 【答案】A

【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上,所以2

2

34m n m n ++-=,解得：2

1m =,因为方程

22

113x y n n -=+-表示双曲线,所以1030n n +>??->?

,解得13n n >-??

（6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积

是28π

3

,则它的表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

【答案】A

【解析】

试题分析：由三视图知：该几何体是78个球,设球的半径为R ,则37428V R 833

ππ=?=,解得R 2=,所以它的表面积是2273

4221784

πππ??+??=,故选A ．

考点：三视图及球的表面积与体积

（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为

（A ） （B ）

（C ）

（D ）

【答案】D

考点：函数图像与性质

（8）若101a b c >><<，,则

（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <

【答案】C

考点：指数函数与对数函数的性质

（9）执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足

（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C 【解析】

试题分析：当0,1,1x y n ===时,11

0,1112

x y -=+

=?=,不满足2236x y +≥； 211

2,0,21222n x y -==+

==?=,不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==?=,满足2236x y +≥；输出3

,62

x y ==,则输出的,x y 的值满足4y x =,

故选C.

考点：程序框图与算法案例

（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,

则C 的焦点到准线的距离为

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B 【解析】

试题分析：如图,设抛物线方程为2

2y px =,圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =,即A 点纵坐标为

22

,则

A 点横坐标为

4

p

,即

4OC p

=

,由勾股定理知

2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224

(5)()(22)()2p p

+=+,解得4p =,即C 的

焦点到准线的距离为4,故选B. 考点：抛物线的性质

（11）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面ABB 1 A 1=n ,

则m ,n 所成角的正弦值为

（A ）3 （B ）22 （C ）3

（D ）13

【答案】A

考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角

（12）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，

ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点,π

4

x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π

(

)1836

，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B

考点：三角函数的性质

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分.

（13）设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2- 【解析】

试题分析：由2

2

2

||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ?+?=,解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算 （14）5(2)x x +

的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案）

【答案】10 【解析】 试题分析：5

(2)x x +

的展开式的通项为5552

5

5

C (2)

()2

C r r r

r r

r x x x

-

--=(0r =,1,2,…,5),令532

r

-

=得4r =,所以3x 的系数是4

5

2C 10=. 考点:二项式定理

（15）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2鬃?a n 的最大值为 . 【答案】64

考点：等比数列及其应用

（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙

材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.

【答案】216000

【解析】

试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么由题意得约束条件 1.50.5150,0.390,53600,

0,0.x y x y x y x y +??+??

+???

?????……

目标函数2100900z x y =+.

约束条件等价于3300,

103900,53600,0,0.x y x y x y x y +??+??

+???

?????……

①

作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示.

将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,作直线：73y x =-并平移,当直线73900

z y x =-+经过点M 时,z 取得最大值.

解方程组103900

53600x y x y +=??+=?

,得M 的坐标为(60,100).

所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =?+?=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.

考点：线性规划的应用

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ； （II ）若7,c ABC △=的面积为

33

2

,求ABC △的周长． 【答案】（I ）C 3

π

=（II ）57+

【解析】

试题解析：（I ）由已知及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =,

()2cosCsin sinC A+B =．

故2sinCcosC sinC =．

可得1cosC 2=

,所以C 3

π=．

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 （18）（本小题满分12分）

如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=o

,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o

．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【答案】（I ）见解析（II ）219

- 【解析】

试题分析：（I ）证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立

空间坐标系,利用向量求解.

试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．

（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．

以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r

为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．

由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o

,则DF 2=,DG 3=,可得

()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,()

D 0,0,3．学科&网

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；

（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；

（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =

考点：概率与统计、随机变量的分布列 （20）（本小题满分12分）

设圆2

2

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .

（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）13

42

2=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】

试题分析：利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(2

2

=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：

13

42

2=+y x （0≠y ）.

考点：圆锥曲线综合问题 （21）（本小题满分12分）

已知函数

有两个零点.

（I ）求a 的取值范围； （II ）设x 1,x 2是

的两个零点,证明：+x 2<2.

【答案】(I)(0,)+∞ （II ）见解析 【解析】

试题分析：(I)求导,根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借组(I)的结论来证明,由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．设2()(2)x

x g x xe

x e -=---,则

2'()(1)()x x g x x e e -=--．则当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<．

试题解析：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x

f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x

f x x e =-,()f x 只有一个零点．学科&网

（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞单调递减,在(1,)+∞单调递增．

又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln

2

a

b <,则 223

()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >

-+-=->, 故()f x 存在两个零点．

考点：导数及其应用

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.

（I）证明：直线AB与⊙O相切；

（II）点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

【答案】(I)见解析(II)见解析

考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）.在以坐标原点为极

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.

（I ）说明C 1是哪种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；

（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .

【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1

考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.

（I ）在答题卡第（24）题图中画出y = f (x )的图像； （II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集.

【答案】（I ）见解析（II ）()()11353?

?-∞+∞ ??

?U U ，，

，

考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法