控制系统MATLAB仿真2-根轨迹仿真

Gk ( s)
k g ( s 0.5) s( s 1)( s 2)( s 5)
绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数kg 的取值范围。 num=[1 0.5]; den=conv([1 3 2],[1 5 0]); G=tf(num,den); K=0:0.05:200; rlocus(G,K) [K,POLES]= rlocfind(G) figure(2) Kg=95; t=0:0.05:10; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0,t)
Root Locus 8
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8 x x x
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8 -8
-6
-4
-2
0 Real Axis
2
4
6
8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(a) 直接绘制根轨迹
(b) 返回参数间接绘制根轨迹
图1 例1系统根轨迹
二、MATLAB根轨迹分析实例

用户可以通过Control Architecture窗口进行系 统模型的修改，如图9。
图9 rltool工具Control Architecture窗口

也可通过System Data窗口为不同环节导入已 有模型，如图10。
图10 rltool工具System Data窗口

可以通过Compensator Editor的快捷菜单进行 校正环节参数的修改，如增加或删除零极点、 增加超前或滞后校正环节等，如图11。
Step Response 2 1.8 1.6 1.4 1.2
Amplitude
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
5 Time (sec)
6
7
8
9
10
图5 例3系统时的阶跃响应
分析：由根轨迹图4，结合临界稳定值可知，系统稳定时，临 界稳定时的阶跃响应曲线如图5。
二、MATLAB根轨迹分析实例
运行结果：
Root Locus 1.5 0.707
1 System: G Gain: 1.97 Pole: -1 + 0.983i Damping: 0.713 Overshoot (%): 4.09 Frequency (rad/sec): 1.4
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
2.增加零点。可直接在工具栏上操作，也可通过 快捷菜单操作。增加零点为 1 j 。
图14 系统增 加零点
1 j
后的根轨迹
1 j
图15 系统增 加零点
后的阶跃响应
加入零点后，根轨迹向左弯曲，如图14。所 选K值对应的极点在s平面左侧，系统是稳定 的。对应K值的阶跃响应曲线如图15。
例2：若单位反馈控制系统的开环传递函数为
G( s )
k g ( s 3)
( s 1)(s 2 2 s )
绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系统的稳定性。 num=[1 3]; den=conv([1 1],[1 2 0]); G=tf(num,den); rlocus(G) figure(2) %新开一个图形窗口 Kg=4; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0)
一、MATLAB根轨迹分析的相关函数
[K,POLES] = rlocfind(G) 交互式地选取根轨迹增益。产生一个十 字光标，用此光标在根轨迹上单击一个极 点，同时给出该增益所有对应极点值
返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应 [K,POLES]= rlocfind(G,P) 的全部极点值 sgrid 在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线 和等自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1 ，范围从0到1，自然振荡角频率间隔 1rad/s，范围从0到10 sgrid(z,wn) 在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线 和等自然振荡角频率线。用户指定阻尼系 数值和自然振荡角频率值
Root Locus 15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15 -16
-14
-12
-10
-8
-6 Real Axis
-4
-2
0
2
4
图4 例3系统根轨迹
二、MATLAB根轨迹分析实例
Select a point in the graphics window selected_point = -0.0071 + 3.6335i K= 95.5190 POLES = -7.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821
如果性能指标以单位阶跃响应的峰
值时间、调整时间、超调量、阻尼 系统、稳态误差等时域特征量给出 时，一般采用根轨迹法校正。
根轨迹法校正的基本思路为借助根
轨迹曲线进行校正。
四、控制系统的根轨迹法校正
系统的期望主导极点往往不在系统的根 轨迹上。由根轨迹的理论，添加上开环 零点或极点可以使根轨迹曲线形状改变。 若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则 只要加上一对零、极点，使零点位置位 于极点右侧。如果适当选择零、极点的 位置，就能够使系统根轨迹通过期望主 导极点s1，并且使主导极点在s1点位置 时的稳态增益满足要求。此即相当于相 位超前校正。
3.增加极点。去掉零点，为系统增加极点 1
。
j
图16系统增加极点 1
j 后的根轨迹
图17 系统增 加极点
1 j
后的阶跃响应
系统增加极点后，根轨迹向右弯曲，如图16。当进入 s平面右半平面时，系统不稳定。图17所选K值对应的 极点已进入s平面右侧，系统是不稳定的。
四、控制系统的根轨迹法校正
图8 rltool初始界面
三、MATLAB图形化根轨迹法分析与设计

也可以指定命令参数，其具体用法如表：
指定开环传递函数 指定校正环节和待校正传递函数
rltool(Gk) rltool(Gk,Gc)
rltool(Gk,Gc,Locat 指定校正环节和待校正传递函数，并指定校正 ionFlag,… 环节的位置和反馈类型 FeedbackSign) LocationFlag = 'forward': 位于前向通道 LocationFlag = 'feedback': 位于反馈通道 FeedbackSign = -1: 负反馈 FeedbackSign = 1: 正反馈
例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为 Kg Gk ( s) s( s 2) 绘制系统的根轨迹，并观察当ξ=0.707时的Kg值。 绘制ξ=0.707时的系统单位阶跃响应曲线。 num=[1]; den=[1 2 0]; G=tf(num,den); rlocus(G) sgrid(0.707,[ ]) [K,POLES]=rlocfind(G)
Root Locus 10 8 6 4
System: G Gain: 4.02 Pole: -0.247 + 2.18i Damping: 0.113 Overshoot (%): 70 Frequency (rad/sec): 2.19
Imaginary Axis
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -3.5 System: G Gain: 45.1 Pole: -0.0575 - 6.84i Damping: 0.0084 Overshoot (%): 97.4 Frequency (rad/sec): 6.84
根轨迹分析仿真
主要内容
– – – – MATLAB根轨迹分析的相关函数 MATLAB根轨迹分析实例 MATLAB图形化根轨迹法分析与设计 MATLAB根轨迹校正方法
一、MATLAB根轨迹分析的相关函数
rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k) 绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统 绘于同一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定 增益向量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵 。r有length(k)列，每列对应增益的闭 环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为 复根位置矩阵。r有length(k)列，每列 对应增益的闭环根
二、MATLAB根轨迹分析实例
例1：若单位反馈控制系统的开环传递函数为 kg Gk (s) s(s 1)(s 5) 绘制系统的根轨迹。
num=1; den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制根轨迹 figure(2) r=rlocus(num,den); %返回根轨迹参数 plot(r,'-') %绘制根轨迹
1 0.8 0.6
0.4
0.4
0.2 0
0.2 0
0
5
10 Time (sec)
15
20
25
0
1
2
3
4
5 Time (sec)
6
7
8
9
10
(a) kg=4时系统时域响应曲线
(b) kg=45时系统时域响应曲线
图ห้องสมุดไป่ตู้ 例2系统时域响应曲线
二、MATLAB根轨迹分析实例
例3：若单位反馈控制系统的开环传递函数为
图11 rltool工具Compensator Editor窗口

通过Analysis Plots配置要显示的不同图形及其位置 如图12。