3.1.2空间向量基本定理【2014年】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM xOA ＋ 1 OB ＋ 1 OC ,则x的值为： D
C OG 1 a b 1 c 2 2
4：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M 和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使 MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG


解：在△OMG中，
O
M A
G
OG OM MG
1 2 OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
间的一个基底.如： a , b, c


看书P84
空间向量基本定理:（又称空间向量分解定理） 如果三个向量 e1, e2 , e3 不共面,那么对空间任一向 量 p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得 p xe1 ye2 ze3
证明:（1）先证存在性
设e1， e2， e3是 三 个 不 共 面 的 向 量 过 ，空 间 一 点 O作OA e1， OB e2， OC e3， OP p， P 过点P作直线PP’∥OC，交平面 C OAB于点P’； O B B’ 在平面OAB内，过点P’作直线 A P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别 A’ P’ 交直线OA，OB于点A’，B’. 存在实数则(x,y,z),使 OA, xOA xe1 OB , yOB ye2 OC , zOC ze3 p xe1 ye2 ze3
可证明或判断四点共面
练 习:
B 1.下列命题中正确的有： (1) p xa yb p与 a 、 b 共面 ;
(2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
OO c ，用a , b , c 表示如下 OC b， OA a ，
向量:(1) OB , BA , CA；
(2)OG （点G是侧面BB’C’C的中心） O/ C/ ' OB a b c / / B A
A
a
O
c
b
B
BA c b
' '
G
CA a b c
三、空间向量基本定理（又称空间向量分解定理）:
如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组
x, y, z
使
p xa yb zc .
b E
p
O C B
A
D
对向量 p 进行分解,
c
a
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线
AP t AB
OP xOA yOB( x y 1)
中点公式：
1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2
B
P A O


平面向量基本定理：
如果是 e1， e2 同一平面内两个不共线的 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数1，2，使
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC 2.对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC 3.能转化为都以O为起点的向量吗？ OP （ 1 x y)OA xOB yOC
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底.
特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单 位向量时,称为单位正交基底，通常用 {i, j, k }
空间向量基本定理的推论：
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共 面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的 有序实数组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．
3.1.2空间向量基本定理
回顾复习
一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2、共线向量定理对平面任意两个向量a,b(a ≠ 0),
b与a共线的充要条件是存在实数λ , 使b= λa.


练习
1、如果a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则a与b 有什么关系？ 共线
2、 判 断 ： O, A, B, C为 空 间 四 点 ， 且 向 量 OA, OB, OC不 构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有 什 么 关 系 ？
共面
3.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且
a 1 e1 2 e2
思考1：空间任意向 量 p 与两个不共线 的向量 a， b 共面时， 它们之间存在怎样 的关系呢？
b
a
b
A
C
P
a B
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
a
A

a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了
．
(2)再证惟一性 用反证法
2.假设存在实数组 ( x2 , y2 , z2 ) ,
x ¹ x2
使
p = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 , ye2 + ze3 = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 x2 )e1 + ( y - y2 )e2 + ( z - z2 )e3 = 0 x ¹ x2 y - y2 z - z2 e1 = e2 e3 x - x2 x - x2
{e1 , e2 , e3}—-基底
e1 , e2 , e3 --基向量
强调：对于基底 {e1, e2 , e3}
（1)e1, e2 , e3不共面
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.
（3）e1, e2 , e3中能否有0 ?
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向 量,二者是相关联的不同概念。
问题 情境
（e1、 e 2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 有 所向 量 的 一 组 基 底 )
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示. 能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?
猜想:
如果三个向量 e1、 e2、 e 3不 共 面 ， 那 么 空 间 任 一 向 量p， 存 在 一 个 唯 一 的 有 实 序 数 组 x， y， z， 使p B1 B
A1
B1
C1
c
A
M
b
C N
a
B
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
如 果e1， e 2是 同 一 平 面 内 的 两 个 共 不线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内任 的一 向 量 a， 有 且 只 有 一对实数λ a＝ λ 1 e1＋ λ 2 e 2。 1， λ 2， 使
3 3
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
(2) OP 2OA 2OB OC ；
例1.如图三棱柱, 设 AB a, AC b, AA1 c, AM k AC1 , BN k BC , 求证 : MN与向量a和c共面.
1 1 1 OA OB OC 6 3 3
C N
B
小结:
1. 共线向量定理. 2.共面向量定理. 3.空间向量基本定理及推论. (1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和； (2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面
的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量， 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。
4.共线向量定理是在一维空间中利用向量 平移得到的，而平面向量基本定理是在 二维空间中借助与向量加法的平行四边 形法则推导的，空间向量基本定理是在 三维空间中研究的。
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
b
C
p
P
请证明
A
a B
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
O
A a B
b
C
p
P
结论:空间四点P、A、B、C共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间 任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
O
OP xOA yOB zOC
C
A P
B
数学运用
例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c 中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
所以 xe1 + 即 (x 因
从而 e1 , e2 , e3 共面, 这与 e , e , e 不共面矛盾, 1 2 3 所以有序实数组(x,y,z)惟一.