相似三角形判定与性质定理

合集下载

相似三角形的性质与判定讲义)

相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆．三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

三角形的相似性质和判定

三角形的相似性质和判定三角形是几何中最基础的图形之一，具有广泛的应用价值。

在研究三角形的性质时，相似性质和判定是我们需要重点关注的内容。

本文将介绍三角形的相似性质和判定方法，帮助读者深入理解和应用这一重要概念。

一、相似三角形的定义和特点相似三角形指的是具有相同形状但可能不相等的三角形。

相似三角形的定义可以由以下两个条件来表示：1. 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即对应角度的度数相同。

2. 对应边成比例：两个三角形的对应边的比例相等，即两边的长度之比相同。

相似三角形具有以下重要的特点：1. 全等三角形是相似三角形的一个特例，全等三角形的对应边和角都相等。

2. 相似三角形的形状相似，但大小可能不同。

3. 当两个三角形相似时，它们的各个对应角度的度数相等，对应边长的比例相等。

二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有多种方法，以下是常用的两种判定方法：1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

这个定理又称为“角-角相似定理”。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的三个对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。

这个定理又称为“边-边-边相似定理”。

需要注意的是，在使用相似三角形判定时，要保证对应角和对应边是正确对应的，否则可能会得出错误的结论。

三、相似三角形的应用相似三角形的概念在几何学和实际应用中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.解决实际测量问题：通过观察和测量，我们可以利用相似三角形的性质来计算无法直接测量的长度和距离。

2.设计和建筑：在建筑和设计领域，相似三角形的概念被广泛用于绘制和设计建筑物、家具、道路等的比例。

3.地图和导航：地图中的比例尺就是通过相似三角形的概念来确定的。

通过相似三角形，我们可以在地图上测量出实际距离。

4.影子和高度测量：在日常生活中，我们可以利用相似三角形的性质来测量高楼、树木等的高度，以及计算无法直接测量的距离。

相似三角形的判定定理是什么

相似三角形的判定定理是什么
1、有两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例。

2、所有等腰直角三角形相似，所有的等边三角形都相似。

3、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。

5、三边对应平行的两个三角形相似。

扩展资料
相似三角形的性质
1、相似三角形的'对应角相等
2、相似三角形对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
3、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；
4、相似三角形具有传递性：如果两个三角形分别于同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。

5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

6、全等三角形可以看做相似比为1的特殊的相似三角形，凡是全等的三角形都相似。

知识讲解—相似三角形的判定及有关性质

条件一：∠1=∠B.
条件二：∠2=∠ACB.
条件三：，即 .
【变式2】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，
Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
∴
【变式4】如右图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H.
求证：(1)DG2＝BG·CG；
(2)BG·CG＝GF·GH.
【答案】(1)DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴由射影定理得DG2＝BG·CG.
(2)∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°，
2有时需要用到方程的思想.
3在复杂图形中分解出射影定理的基本图形来使用它的性质进行证明，是一种常用的证明线段等积式的方法，必要时需结合代换线段或线段的等积式来解决问题.
【典型例题】
类型一、平行截线定理的应用
例1.如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点，。连结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。
要点三、射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。
如右图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。
要点诠释：
1根据射影定理，已知“直角三角形斜边上的高”图形中六条线段中的任意两条，就可求出其余四条线段，
∴DE和CF互相平分

相似三角形的性质

相似三角形的性质【知识梳理】判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简述为：两角对应相等，两三角形相似）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简述为：三边对应成比例，两三角形相似）【例题精讲】1、如图，∠ABD=∠C，AD=2， AC=8，求AB。

2、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD的长。

3、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时一棵水衫树的影长为10.5米，这棵水衫树高为( )A．7.5米 B．8米 C．14.7米 D．15.75米4、如图是一面镜子，则有__ _∽__ __。

（第4题）（第5题）5、如图，某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，求电视塔的高ED 。

A 【夯实基础】1．如图所示，矩形ABCD ，E 、F 分别为CD 、BC 上的点，且∠AEF=90°，则一定有（） A ．△ADE ∽△ECF B ．△AEF ∽△ABF C ．△EFC ∽△AFE D ．△ADE ∽△AEF2．如图，已知ABC ∆，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能判定ABC ACP ∆∆~的是（） A 、B ACP ∠=∠ B 、ACB APC ∠=∠ C 、AC 2=AP •AB D 、BCABCP AC =APBC3．已知：如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP∆与ECP∆相似的是（）A、EPCAPB∠=∠ B、90=∠APE C、P是BC的中点 D、BP：BC=2：34．ABC∆中，D是AB上一个固定点，E是AC上的一个动点．若使ADE∆与ABC∆相似，则这样的点E有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、很多5．如图，若点D为ABC∆中AB边上一点，且ACDABC∠=∠，AD=2cm，BC=4cm，则AC的长为（）A、12cmB、22cmC、3cmD、2cm6．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②，④ B．①，③ C．①，②，④ D．②，③，④7．△ABC中，D是AB上一固定点，E是AC上的一个动点，若使△ADE与△ABC相似，则这样的点E有（）。

相似三角形的性质

相似三角形的性质相似三角形是初中数学重要的概念之一，它们有着特定的性质和应用。

在本文中，我们将探讨相似三角形的定义、性质以及应用。

一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件是：它们对应角度相等，或者它们的对应边比例相等。

基于这个定义，我们可以得出以下相似三角形的性质和定理。

二、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们是相似的。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，且对应边比例相等，那么它们是相似的。

4. 相似三角形中，对应边的比例关系是恒定的，我们可以表示为a/b = c/d = e/f。

其中，a、b、c、d、e、f分别表示两个相似三角形的对应边。

5. 相似三角形的高、中线和角平分线也成比例。

三、相似三角形的应用1. 测量无法直接获得的长度：我们可以利用相似三角形的性质，通过已知长度和已知角度的三角形推导出其他长度的值。

例如，可以利用相似三角形的边比例关系来测量高楼的高度。

2. 解决间接测量问题：相似三角形的性质也可以应用于间接测量问题。

例如，当我们无法直接测量河流宽度时，可以通过测量自己位置与河对岸某一点之间的距离及角度，运用相似三角形的理论来计算出河流的宽度。

3. 几何证明：相似三角形的性质在几何证明中也起到重要的作用。

通过利用相似三角形的角等性质和边比例关系，可以简化、解决一些几何问题。

4. 模型建立：相似三角形的性质也可以应用于模型建立。

例如，制作比例模型时，可以根据相似三角形的比例关系来设计模型的尺寸。

四、相似三角形的推论基于相似三角形的性质和定理，我们还可以得出一些推论。

1. 正弦定理的推论：当两个角相等时，一般使用正弦定理来求解三角形的边长。

但是，当角等于30°、60°或90°时，我们可以运用相似三角形的性质，通过已知边长求解其他边长。

相似三角形的判定和性质

A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB A相似三角形的性质和判定一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”。

2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）。

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C B A图（1）H 'H AB C C 'B 'A '图（2）D 'D A 'B 'C 'C B A图（3）A 'B 'C 'CBAH 'HA BC C 'B 'A '如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．4．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图4图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。

相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的判定及性质

R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理定义引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定和性质知识讲解1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项．如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项．比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ad=bc②a ：b=b ：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB 0．618AB cb b a =⇔ac b =⇔2db c a =⇒=d c b a ac bd =ab c d =cd a b d c b a =⇒=dd c b b a d c b a ±=±⇒=215-≈如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ;BC AC =EF DF. ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．5. 相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．6. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似．7. 相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法．8.相似三角形的判定方法（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理（HL）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似①垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．9. 相似三角形中的基本图形：（1）平行型：（2）交错型：（3）旋转型：（4）子母型：（5）其他：10. 双垂直条件下的计算与证明问题：“双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D”（如图），结论有：（1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB（2）由△ADC ∽△CDB 得CD2=AD·BD（3）由△ADC ∽△ACB 得AC2=AD·AB（4）由△CDB ∽△ACB 得BC2=BD·AB（5）由面积得AC·BC=AB·CD（6）勾股定理AB C D EA B C D A B C D E DAB C ED A BC第一部分：比例线段例题精讲【例1】下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（）A ．1、2、3、4B ．1、2、2、4C ．3、5、9、13D ．1、2、2、3【例2】若b m m a 2,3==，则_____:=b a ．【例3】已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,a b c h h h ，且6:5:4::=c b a ，那么,,a b c h h h 等于（）A ．4：5：6B ．6：5：4C ．15：12：10D ．10：12：15【例4】已知754z y x ==，则下列等式成立的是（） A ．91=+-y x y x B ．167=++z z y x C ．38=-+++z y x z y x D ．x z y 3=+【例5】如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A ．AD AE AB AC = B ．CE EA CF FB =C ．DE AD BC BD = D ．EF CF AB CB =【例6】已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：AB AE ＋CDCG ＝1．课堂练习1. 若a ， x ， b ， y 是比例线段，则比例式为_________；若a=1，x= -2， b=-2．5，则y=_______．2. 若ab=cd ，则有a ∶d=_______；若m ∶x=n ∶y ，则x ∶y=_______．3. 已知△ABC 中三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为4,5,3ab c h h h ===．则a ：b ：c=____________． 4. 若0234x y z ==≠，则23______x y z+=. 5. 如图，△ABC 中，，且DE=12，BC=15，GH=4，求AH ．6. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，():():()(2):7:1,24a c a b c b a b c -+-=-++= .① 求a 、b 、c 的值．②判断△ABC 的形状．第二部分：相似三角形判定类型一(平行法、‘AA’)例题精讲【例7】如图，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE=∠B ，则对应角为______________________________________________，AG DE AH BC=对应边为________________________________________________．【例8】已知：如图，D、E是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE=∠B．（1）求证：△ADE∽△ABC（2）求证：AD·AC=AE·AB【例9】已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且CE=CD，∠DAC=∠B．求证：△AEC∽△BDA【例10】已知:如图，ΔABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证:ΔABC∽ΔEAD．【例11】如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，12DE CD．（1）求证：△ABF∽△EDF （2）求证：△EFD∽△EBC；（3）若DF=4，求BC的长课堂练习7. 图，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________8. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，试说明:2.AB AD AC9. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．10. 已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC．11. 如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，连接BE交对角线AC于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF的长．第三部分：相似三角形判定类型二(‘SAS’、‘SSS’)例题精讲【例12】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【例13】已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【例14】已知:如图，ΔABC中，CE⊥AB，BF⊥AC．求证:ΔAEF∽ΔACB．课堂练习12. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请在图中画出一个与△ACB相似且相的三角形．13. 如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC．14. 如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：DFDEAC AB．第四部分：相似三角形判定类型三（直角三角形）例题精讲【例15】如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【例16】已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高．求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．课堂练习15. 如图，锐角△ABC的高BD，CE交于O点，则图中与△BOE相似的三角形的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．416. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：（1）AC=3，BC=4；（2）AC=52，AD=2；（3）AD=5，DB=1445；（4）BD=4，AB=29．第五部分：相似三角形判定类型四（特殊三角形）例题精讲【例17】下列说法正确的个数是( )①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似A．1 B．2 C．3 D．4【例18】已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD．ADB C【例19】如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．课堂练习17. 下列说法正确的个数是( )①所有的等腰三角形都相似②所有等边三角形都相似③所有直角三角形都相似④所有等腰直角三角形都相似A．1 B．2 C．3 D．418. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A．（1）找出图中相似的三角形，并证明；（2）求证：BD AB CE BC．19. 如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．第六部分：解决实际问题例题精讲【例20】2012黔南州）如图，夏季的一天，身高为1．6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3．2m，CA=0．8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6．4m C．4．8m D．10m【例21】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1．5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是（）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m【例22】如图，A ﹑B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ﹑B 间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A ﹑B 两点，在AC 的延长线上取一点D ，使CD=21CA ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE=21CB ，测得DE 的长为5米，则AB 两点间的距离为（）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米【例23】如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0．8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m ，又测得地面的影长为2．6m ，请你帮她算一下，树高是（）A ．3.25mB ．4.25mC ．4.45mD ．4.75m【例24】如图，有一所正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点C ）有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点D ），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地平方米．课堂练习20. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC 的距离为0．1米，胶片的高BC为0．038米，若需要投影后的图象DE高1．9米，则投影机光源离屏幕大约为（）A．6米B．5米C．4米D．3米21. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4．5米B．6米C．7．2米D．8米22. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A ．61cmB ．31cmC ．21cmD ．1cm23. 一个油桶高0．8m ，桶内有油，一根长1m 的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0．8m ，则油桶内的油的高度是（）A ．0．8mB ．0．64mC ．1mD ．0．7m24. 汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1．75m ．他量得客厅高AB=2．8m ，楼梯洞口宽AF=2m ．阁楼阳台宽EF=3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1．75m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米? （2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20cm ，每个台阶宽要大于20cm ，问汪老师应该将楼梯建几个台阶?为什么?课堂练习诊断结果课后作业1.下列各组中的四条线段成比列的是（） A ．1cm 、2cm 、20cm 、30cm B ．1cm 、2cm 、3cm 、4cm C ．4cm 、2cm 、1cm 、3cmD ．5cm 、10cm 、10cm 、20cm2.已知：32+a =4b =65+c ，且2a-b+3c=21，a 、b 、c 的值分别为________，________，_________．3. 如图，△ADE ∽△ACB ，其中∠1=∠B ，则AB BC AD)()()(==．4. 如图，画一个三角形，使它与已知△ABC 相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1．5. △ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________．6. 分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应比例式．图1 图2 图3(1)如图1，△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC ，则_________=_________=_________．(2)如图2，△AOB ∽△DOE ，其中DE ∥AB ，则_________=_________=_________．(3)如图3，△ABC ∽△ADE ，其中∠ADE=∠B ，则_________=_________=_________．7. 如图．从下面这些三角形中，选出相似的三角形____________________．8.画符合要求的相似三角形在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）9.如图，已知⊿ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，（1）求证：⊿ACE ∽⊿ADC；（2）如果CE＝1，CD＝2，求AC的长．10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF．11.如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．（1）△ABD 和△DCB 相似吗?说明理由．（2）BD2和AD·BC相等吗?说明理由．12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m13.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是_________．14.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是_______mm．15.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=30cm，BC=40cm．问题1：将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是________cm2．问题2：若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n-1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n-1）张纸条的面积和是____________cm2．16.如图，点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）BD2=AD•DF吗?为什么?17.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．课后作业诊断结果学习札记。

6相似三角形的性质和判定

相似三角形的性质和判定一、一周知识概述(一)相似三角形1、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形．用符号“∽”表示相似，读作“相似于”．①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三边对应成比例的两三角形相似．判定定理2：两角对应相等的两个三角形相似．判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．方法总结：（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：①两角对应相等；②两边对应成比例且夹角相等；③三条边对应成比例．理解时，可类比全等三角形的判定方法．在①中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角(或补角)”都是相等的，这是常用的判定方法．（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（3）．但是，在选择利用判定定理（3）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛．如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．所以AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.(三）相似三角形的性质1、相似三角形的周长的比等于相似比．如图，其符号语言：2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．其符号语言：如图①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，性质(1)与(2)可简记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比．3、相似三角形的面积的比等于相似比的平方．二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：①“平行线型”相似三角形，②“相交线型”相似三角形，③“旋转型”相似三角形．从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．三、典型例题讲解1、寻找相似三角形例1、如图，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC 于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对2、画符合要求的相似三角形例2、在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1请在图中画出一个△A1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）3、利用相似三角形定义求线段长例3、已知△ABC中，AB=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E 为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为，求AD和AE的长．4、相似三角形的判定例4、根据下列各组条件，判定△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)AB=3.5，BC=2.5，CA=4，A′B′=24.5，B′C′=17.5，C′A′=28；(2)∠A=35°，∠B=104°，∠C′=44°，∠A′=35°；(3)AB=3，BC=2.6，∠B=48°，A′B′=1.5，B′C′=1.3，∠B′=48°．例5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．例6、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：．5、相似三角形的性质的应用例7、如图所示，D是BC上一点，△ABC∽△DBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BE∶BF．例8、如图所示，PN∥BC，AD⊥BC，交PN于E，交BC于D．例9、如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高．一、选择题1、下列命题正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．以上结论都不正确2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEFC．△CFB D．△EFB和△DEF3、点P是△ABC的AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条4、如图，正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则（）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD5、两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别是（）A．8和12 B．9和11C．7和13 D．6和146、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=1∶2，则S△ADE∶S△ABC等于（）A．1︰2 B．1︰4C．1︰8 D．1︰97、两个相似三角形面积的比值为a，周长的比值为b，若a＋b=6，则等于（）A．2 B．C．3 D．8、两个相似三角形对应中线之比为，其中一个三角形面积是9，则另一个三角形面积是（）A．B．3或27C．27 D．39、如图所示，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，下列结论正确的是（）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．△AOC∽△DOA10、下列命题不成立的是（）A．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=80°，∠B=40°，∠A′=80°，∠B′=60°，那么这两个三角形相似B．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，设∠C=∠C′=90°，AB、A′B′边上的中线分别为CD和C′D′，且，则△ABC∽△A′B′C′C．如果一个三角形的两边及第三边上的高与另一个三角形的两边及第三边上的高对应成比例，那么这两个三角形相似D．如果一个三角形的两边及第三边上的中线与另一个三角形的两边及第三边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似二、解答题11、如图所示，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．12、如图，在△ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？13、如图，已知格点△ABC，请在图中分别画与△ABC相似的格点△A1B1C1和格点△A2B2C2，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于2，而△A2B2C2与△ABC的相似比等于．(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．友情提示：请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母．)14、如图，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，P是AD上的一个动点，且和A、D不重合，过P作PE⊥CP交直线AB于E，设PD=x，AE=y．(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)判断直线PE是否一定和线段AB相交？证明你的结论．15、已知：DE是△ABC的中位线，P为DE上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于N、M．求证：.16、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6）.那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB.由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.故选 B.点评：本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找．分析：设单位正方形的边长为1，则△ABC的三边为，从而根据相似三角形判定定理1或3可画△A1B1C1，易得点评：B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数在4×4的正方形方格中，满足题设的△A1不加限制，则和△ABC相似且不全等的三角形可以画无数个．分析：通过相似比，将AD，AE的长转化到方程中求解．由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论．解：①如图(1)所示，当△ADE∽△ABC时，有，，AE=2．②如图(2)所示，当△ADE∽△ACB时，，小结：数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法．在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索．分析：(1)中所给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”；(2)中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”；(3)中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”．解：(2)因为∠C=180°－∠A－∠B=41°，∠B′=180°－∠A′－∠C′=101°，所以两个三角形中只有∠A=∠A′，所以△ABC与△A′B′C′不相似．分析：(1)△ADF与△EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)．证明：(1)∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．(2)由(1)得，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．点评：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，∴△ABE∽△ACF，点评：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；解析：BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答．因为△ABC∽△DBA，且BC=36，AB=28，所以相似比．又因为BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，．点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确分析：首先，先说明△APN与△ABC相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件，就可求出这三个问题的结论．解：(1)因为PN∥BC，所以可得△APN∽△ABC．又因为相似三角形面积比等于相似比的平方，因为S△=18cm2，所以S△APN=2cm2．ABC小结：两个三角形相似，具有的性质包括：(1)周长比等于相似比；(2)对应高(中线、角平分线)的比等于相似比；(3)面积比等于相似比的平方．本题的关键是由相似三角形面积的比等于相似比的平方这一性质建立比例式，列方程求解，体现了数形结合的思想．分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小．解：(1)如图(1)，设正方形CDEF的边长为x cm．∵EF∥AC，．解之得．(2)如图(2)，设正方形DEFG的边长为y cm．作CN⊥AB于N，交DG于M．由勾股定理得AB=10cm．由，得AC·BC=AB·CN．．∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB．(相似三角形对应高的比等于相似比)．即．解之，得．由于．所以第(1)种加工方法的利用率较高．反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．第1题答案错误! 正确答案为 C第2题答案错误! 正确答案为 B第3题答案错误! 正确答案为 C第4题答案错误! 正确答案为 B第5题答案错误! 正确答案为 A第6题答案错误! 正确答案为 D第7题答案错误! 正确答案为 B第8题答案错误! 正确答案为 B第9题答案错误! 正确答案为 C第10题答案错误! 正确答案为 C提示：1、根据相似三角形的定义，要判定两个三角形相似，一定满足：(1)对应角相等；(2)对应边成比例．选项C满足上述两个条件．故选C．2、利用有两角对应相等的两个三角形相似可判定．3、过P分别作与BC和AC平行的直线所截得的三角形与原三角形相似，这时有两条直线，过P作∠PKB=∠A交BC于K可得一条直线；过P作∠PNA=∠B交AC于N又可得一条直线，故可作4条直线．4、因为且∠A=∠C=60°，所以△AED∽△CBD．5、可设一个三角形的周长为x，另一个三角形的周长为20－x，故，所以x=8．20－x=12．6、DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，．7、a=b2，知b2＋b=6，解得b1=2，b2=－3．由b＞0，知b=2，所以a=b2=4，．8、题中未注明面积为9的三角形是哪一个三角形，故有可能出现两种情形．9、设OA=OB=BC=CD=a，因为∠AOD=90°，所以根据勾股定理，得又∠ABC=∠DBA，所以△BAC∽△BDA．11 解：∵，又∴．(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等．∴CP＋CQ＋PQ=AP＋AB＋BQ＋PQ，而AP=CA－CP，BQ=CB－CQ．∴CP∶CA=CQ∶CB．即CP∶CQ=4∶3，．12 分析：△PBQ与△ABC相似，顶点之间有两点可能的对应关系，一种是△PBQ∽△ABC，另一种是△PBQ∽△CBA，所以我们要分两种情况加以解决．解：设P、Q同时出发后，经x秒，△PBQ与△ABC相似，则AP=2x，BQ=4x，PB=8-2x．(1)若△PBQ∽△ABC，则，即，∴x=2；(2)若△PBQ∽△CBA，则，即，∴．答：经过2秒或秒，△PBQ与△ABC相似．13解答：因为AC＝1，BC=由于三角形的位置不确定，所以所作的三角形具有开放性，答案不唯一，如图是其中一种答案．15 分析：要证几个比的和（差）为常数，通常需将这几个比转化为分母相同的比，而后再进行加减运算．本题中利用已有的平行线DE//BC，无法将两个比转化，所以需要添加适当的辅助线．证明：过A作GF//BC交BN、CM的延长线于F、G.∴，∴∵AG//PE，AE=EC，∴CP=PG，同理可证：BP=PF又∵∠BPC=∠FPG，∴△BPC≌△FPG∴BC=FG，∴说明：若需证几个比的积为常数，则通常把几个比化为能约分的比，而后再进行乘积运算．16 解：（1）t=2s，△QAP为等腰直角三角形；（2）S=36，∴P、Q两点在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变；QAPC（3）分两种情况：若△QAP∽△ABC，t=1.2s；若△PAQ∽△ABC，t=3s.中考解析中考对本节的要求：会用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似，会画与已知三角形相似的三角形，能利用“相似三角形对应角相等，对应边成比例”证明或计算一些简单的几何问题．例1、( 临安)如图所示，小正方形的边长均为1，则下图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（）分析：本题考查三角形相似的判定与勾股定理的综合应用．从上左图中可知△ABC三边长分别为，而A中三角形三边长为；B中三角形三边长分别为；C中三角形三边长分别为；D中三角形三边长分别为，故知B中三角形与△ABC相似．故正确答案为B．例2、(南京)如图所示，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）分析：本题考查相似三角形性质的运用．根据题意，由AB∥CD可知∠PAB=∠PCD，又∠A=∠A，所以△PAB∽△PCD．因此△PAB的高与△PCD的高的比等于相似比，而AB=2，CD=5，点P到CD的距离为3，故点P到AB的距离等于，故正确答案为C．。

三角形相似的判定条件

三角形相似的判定条件：三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。

一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。

二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。

反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。

2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。

由此，所有的等边三角形都相似。

相似三角形的性质

相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和特点。

本文将介绍相似三角形的性质，以及与之相关的定理和应用。

一、比例关系相似三角形中，对应边的长度成比例。

设ABC和DEF是相似三角形，对应边的长度满足以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC为三角形ABC的边长，DE、EF、DF为三角形DEF的边长。

这个比例关系可以推广至所有对应边。

二、角度关系相似三角形中，对应角度相等。

设ABC和DEF是相似三角形，对应角度满足以下关系：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F其中，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的内角，∠D、∠E、∠F为三角形DEF的内角。

三、边长比例定理设ABC和DEF是相似三角形，若两个相似三角形的边长比例相等，则它们是相似的。

即如果AB/DE = BC/EF = AC/DF成立，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

四、高度定理相似三角形的高度成比例。

设ABC和DEF是相似三角形，h1和h2分别为三角形ABC和DEF的高度，则有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF成立。

五、面积定理相似三角形的面积成比例的平方。

设ABC和DEF是相似三角形，S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2成立。

六、勾股定理相似直角三角形中，斜边成比例。

设ABC和DEF是两个相似的直角三角形，且∠C和∠F是直角，则有AC/DF = BC/EF成立。

七、应用举例1. 角平分线定理：在相似三角形中，角平分线分割对应边成比例。

2. 重心定理：在相似三角形中，连接重心和顶点的线段成比例。

相似三角形的性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用。

例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形来计算无法直接测量的长度和距离。

九年级数学相似三角形性质

3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（）D C
A.没有实数根 B.有两个相等实根 C.有两个不等实根 D.以上都不对
A B
3.如图，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,则a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（） D C c
相似三角形
开封市金明区杏花营中学李晓淑
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形. 三角形相似判定： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 C △ABC相似的三角形（）。
A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
C D
B A F
E
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
直角三角形相似判定的情况除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似。 2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么着两个直角三角形相似。
Hale Waihona Puke 1.下列命题正确的是（）

人教版高中数学选修41教材用书第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质1.相似三角形

三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．相似三角形的判定如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB解析：选C 在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A、B、D都能推出两三角形相似．在C项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD中，AEEB＝AFFD，BGGC＝DHHC，EH，FG相交于点O.求证：△OEF∽△OHG.证明：如图，连接BD.∵AEEB＝AFFD，∴EF∥BD.又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF . ∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ，则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ，所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa ＝2，所以AD EC ＝DE CF. 又因为∠D ＝∠C ＝90°，所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC. 相似三角形的应用如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD .∴GH∥AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：△CDE∽△FAE；(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∵点F在BA的延长线上，∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.∴△CDE∽△FAE.(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.由△CDE∽△FAE，得CDFA ＝DE AE.∴CD＝FA.∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC ＝DF AF.证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴DBAD＝DFAF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DB AD， ∴AB AC ＝DFAF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ，因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角，所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ，所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD解析：选B 因为∠A＝∠C，BCAE ＝CDAD＝2，所以△AED∽△CBD.二、填空题5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC ＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：∵∠BAC＝∠ADC，又∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC.又∵AC＝8，BC＝16.∴CD＝4.答案：46．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5，∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC 的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ，且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BFAF.∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB . 求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC. ∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AFAD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD.∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE .∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD，∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.。

相似三角形的判定和性质

∵∠A＝ ∵∠ ＝∠A,∠AED＝∠C ∠ ＝ ∴△ADE∽△ABC ∽
(有两个角对应相等的两个三角形相似。) 有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似
B D
A
E
C
如图，、分别是分别是△ 的边AB、上的点上的点，如图，D、E分别是△ABC的边、AC上的点，请你添加一个的边 AE AD 条件，相似，条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是 AB 和相似你添加的条件是____________. AC
A
∵∠A＝ ∵∠ ＝∠A,∠AED＝∠B ∠ ＝ ∴△AED∽△ABC ∽
(有两个角对应相等的两个三角形相似。) 有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似
B C D E
如图，、分别是分别是△ 的边AB、上的点上的点，如图，D、E分别是△ABC的边、AC上的点，请你添加一个的边 ∠ 条件，相似，条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是 ∠ADE=∠C 和相似你添加的条件是____________.
（3）当PQ在△ABC外部时（如图），求y关于的函数关系式外部时（），求关于关于x的函数关系式）在外部时如图2），的取值范围），并求出x为何值时最大，（注明x的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？注明的取值范围），并求出为何值时y最大最大值是多少？ A
C D A
E
在Rt△OBC中，已知 △ 中已知OB=4，OC=2，OA=1，，，，求证：求证：△AOC∽△COB ∽
A O B
C
M
OB=4，OC=2，OA=1 ，，在直线AC上是否存在点，在直线上是否存在点M，上是否存在点使得以A，，为顶点的三使得以，B，M为顶点的三角形和△ 相似，角形和△AOC相似，若不存相似请说明理由.若存在在,请说明理由若存在这样请说明理由若存在,这样点共有几个?请求出的M点共有几个请求出点共有几个请求出AM 的长。的长。