勾股定理典型例题归纳,初二勾股定理经典例题及答案
勾股定理的典型例题
勾股定理是初中数学中的基本定理，常用于解决与直角三角形相关的问题。
以下是一些典型的勾股定理例题：
例题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。
即斜边的长度x²= 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度x = √25 = 5cm。
例题二：已知一边长为5cm的直角三角形的斜边长度为13cm，求另一条直角边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。
即5² + x² = 13²，即x² = 169 - 25 = 144，所以直角边的长度x = √144 = 12cm。
例题三：已知一条直角边长为8cm，另一条直角边长x cm，且斜边的长度为10cm，求直角边的长度x。
解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。
即x² + 8² = 10²，即x² + 64 = 100，即x² = 100 - 64 = 36，所以直角边的长度x = √36 = 6cm。
这些例题都是基于勾股定理的基本原理进行求解的。
通过掌握勾股定理的应用，可以帮助我们解决一些与直角三角形相关的数学问题。
其中√指代根号。
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
(完整版)勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
勾股定理经典题型（后附答案）
勾股定理经典题型（后附答案）第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)⼀、经典例题精讲题型⼀：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并⽤——例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41=那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？题型四：利⽤勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有⼀所中学，AP=160⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐上边缘的B 处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯的B 点，最少要花⼏秒钟？三、课后训练：⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。
勾股定理题型(很全面)
典型例题:一、利用勾股定理解决实际问题例题:水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?二、与勾股定理有关的图形问题1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___.4.如图,△ABC中,∠C=90°,(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3的关系;(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究S1+S2与S3的关系;(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3的关系.图①图②图③5.如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an,根据上述规律,则第n个正方形的边长an=___ _____记正方形AB-CD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,……,S n(n为正整数),那么S n=____ ____.6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为.ABCDEFG1FE DAB CA B C D EG F F 三、关于翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F. (1)求证:△FAC 是等腰三角形;(2)若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=,求BF 的长.4、如图,一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。
勾股定理初二练习题及答案
勾股定理初二练习题及答案勾股定理是初中数学中十分重要的定理之一，它在数学中的应用广泛，是解决直角三角形问题的基础。
下面将为大家提供一些勾股定理的初二练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
练习题1：已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设斜边长度为x，则根据勾股定理可得：x² = 3² + 4²x² = 9 + 16x² = 25两边同时开方，得到x = 5。
因此，该直角三角形的斜边长度为5cm。
练习题2：已知直角三角形的斜边为10cm，直角边为6cm，求另一个直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设另一个直角边长度为x，则根据勾股定理可得：10² = x² + 6²100 = x² + 36x² = 100 - 36x² = 64两边同时开方，得到x = 8。
因此，该直角三角形的另一个直角边长度为8cm。
练习题3：一个直角三角形的斜边长度为13cm，另一个直角边的长度为5cm，求第二个直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设第二个直角边长度为x，则根据勾股定理可得：13² = 5² + x²169 = 25 + x²x² = 169 - 25x² = 144两边同时开方，得到x = 12。
因此，该直角三角形的第二个直角边长度为12cm。
通过以上练习题，我们可以看到勾股定理的运用。
只需要知道其中两个量，即可求解第三个量。
这是数学中的一种非常有用的定理，能够帮助我们解决许多实际问题。
总结起来，勾股定理可以用公式表示为：斜边² = 直角边₁² + 直角边₂²其中，斜边表示直角三角形的斜边，直角边₁和直角边₂分别表示直角三角形的两个直角边。
勾股定理典型题型
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。
把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ CB D A解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。
仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB 41 可以设AB=4a ，那么BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a ,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。
初二上勾股定理(经典题型)
第十九章 几何证明-—勾股定理及两点之间的距离公式【知识回顾】1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
）3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
4、常见的勾股数:(3n ，4n ，5n ）,(5n ，12n,13n)，(8n,15n,17n ），(7n,24n,25n ），(9n,40n ，41n)….。
5、勾股定理的证明图6、两点之间的距离公式：212212)()(y y x x AB -+-=【例题讲解】例题1、细心观察下图,认真分析各式，然后解答问题（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；(2）求出 的值。
例题3、已知等腰三角形的周长是16cm ，底边上的高是4cm ，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长?若能,请把它们求出来,若不能，要说明理由。
例题2、如图所示，已知△ABC 的三边,25,20,15===AC BC AB 求△ABC 最长边上的高？例题4、已知如图△ABC 中,∠CAB=90°，AB=AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF=45°， 求证：EF 2=BE 2+FC 2．例题5、如图,已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。
例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯脚距离墙角0。
7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？例题7、如图一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？例题8、在直角坐标平面有点A（3，4），且AB=5，根据下列条件，求点B的坐标：（1）点B在x轴上；（2）点B在y轴上；(3）点B在第一、三象限的角平分线上；（4）点B与y轴的距离等于1.例题9、已知：如图,等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合）,联结AD,作AD 的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．（1)求△BDE和△DCF的周长和;（2）设CD长为x,△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;（3）当△BDE是直角三角形时，求CD的长．FED C BAB【巩固练习】1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E 的面积是（ ）A. 13B. 26 C 。
(文末带答案)八年级数学勾股定理经典大题例题
(每日一练)(文末带答案)八年级数学勾股定理经典大题例题单选题1、若△ABC三边长a，b，c满足√a+b−25+|b−a−1|+(c−5)2=0，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形2、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，，则BC的长是（）折痕现交于点F，已知EF=32A．3√2B．3√2C．3D．3√323、如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16√2，则CE的长度为（）A．2√2B．4C．3√2D．64、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AB =5，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（ ）A ．127B ．2C ．157D ．3 6、如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）A ．5B ．√7C ．√5D ．5或√78、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b ＝14cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A ．24cm 2B ．36cm 2C ．48cm 2D ．60cm 2填空题9、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米．则旗杆的高度______．10、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____．11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．12、正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为________．13、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____．解答题14、如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB=90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD=3米，AD=4米，BC=12米，AB=13米．（1）求证：∠ADC=90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．15、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b>a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2=c2．(文末带答案)八年级数学勾股定理_007参考答案1、答案：C解析：根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可解答．解：∵√a+b−25+|b-a-1|+(c-5)2=0，∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0，∴a=12，b=13，c=5，∵a2+c2=b2=169，∴△ABC是直角三角形．故选C．小提示：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键．2、答案：B解析：折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知AB,所以AB=AC,的长可求，再利∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=12用勾股定理即可求出BC的长．解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，且∠AFB=90°，∴EF=12AB，∵EF=32，∴AB=2EF=32×2=3，在ΔRtABC中， AB＝AC，AB=3，∴BC=√AB2+AC2=√32+32=3√2,故选B.小提示：本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．3、答案：C解析：设DC＝3x，CB′=2x，则DB'＝5x，由折叠的性质得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC ＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案．解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD＝3x，∴AB＝AD+DB＝8x＝16√2，∴x＝2√2，∴CD＝6√2，BD＝10√2，B'C＝4√2，∴BC＝√BD2−CD2＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，∵CE2+B'C2＝B'E2，∴a2+32＝（8√2﹣a）2，解得a＝3√2，∴CE＝3√2，故选：C．小提示：本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4、答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故4×12ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，4×12a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．5、答案：A解析：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据三角形面积公式即可求解．解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，在Rt△ACB中，AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵CD是角平分线，∴DE=DF，∴12AC⋅DE+12BC⋅DF=12AC⋅BC，即12×4×DE+12×3×DE=12×4×3，解得DE=127．故点D到AC的距离是127．故选：A．小提示：本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6、答案：B解析：试题分析：设CH＝x，因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3，由折叠知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：(9−x)2=32+x2，解得：x＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理7、答案：D解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8、答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．9、答案：12米解析：设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：(x+1)2=x2+52，解得：x=12，答：旗杆的高度为12米．所以答案是：12米．小提示：本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．10、答案：45°解析：利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．所以答案是：45°．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．11、答案：29解析：如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得AB2=30,BC2=16,CD2=17，再利用勾股定理可得AD2的值，由此即可得出答案．如图，连接AC，由题意得：AB2=30,BC2=16,CD2=17，∵在△ABC中，∠ABC=90°，∴AC2=AB2+BC2=46，∵在△ACD中，∠ADC=90°，∴AD2=AC2−CD2=29，则正方形丁的面积为AD2=29，所以答案是：29．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．12、答案：2√5或52或√652 解析：分情况讨论：(1)当PB 为腰时，若P 为顶点，则E 点与C 点重合，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，∵P 是AD 的中点，∴AP=DP=2，根据勾股定理得：BP=√AB 2+AP 2=√42+22=2√5；若B 为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD 中点，此时腰长PB=2√5；(2)当PB 为底边时，E 在BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E ；①当E 在AB 上时，如图2所示：则BM=12BP=√5，∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP ，∴△BME ∽△BAP ，∴BE BP =BM BA ，即2√5=√54，∴BE=52；②当E 在CD 上时，如图3所示：设CE=x ，则DE=4−x ，根据勾股定理得：BE 2=BC 2+CE 2，PE 2=DP 2+DE 2，∴42+x 2=22+(4−x)2，解得：x=12，∴CE=12，∴BE=√BC 2+CE 2 =√42+(12)2=√652；综上所述：腰长为：2√5，或52，或√652； 故答案为2√5，或52，或√652. 点睛：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键.13、答案：4.8cm.解析：根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．∵直角三角形的两条直角边分别为6cm ，8cm ，∴斜边为√62+82 =10(cm)，设斜边上的高为h ，则直角三角形的面积为12×6×8=12×10h ， 解得：h=4.8cm ，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.小提示：此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.14、答案：（1）见解析；（2）24解析：（1）根据勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°；（2）利用△ABC 的面积减去△ACD 的面积即可．解：（1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13，∴AC=√AB2−BC2=5，∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°；（2）S阴影=S△ABC-S△ACD=1 2×AC×BC−12×CD×AD=1 2×5×12−12×3×4=24．小提示：本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力．15、答案：见解析．解析：首先连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−a，根据RtΔABC≅RtΔDAE，易证∠DAB=90°，再根据S四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE，S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB，两者相等，整理即可得证．证明：连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−aS四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE=12ab+12ab+(b−a)⋅b =ab+b2−ab=b2∵RtΔABC≅RtΔDAE ∴AB=AD=c∴∠ADE=∠BAC∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠BAC+∠DAE=90°即∠DAB=90°，∴AD⊥AB∴S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB=12c2+12(a+b)⋅(b−a) =12c2+12b2−12a2即有：b2=12c2+12b2−12a2∴a2+b2=c2小提示：本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
勾股定理典型例题含答案
勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2，b2= c2-a2 。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。
它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。
它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高，AD ＝8，则边BC 的长为（ ）A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为．直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。
(完整版)勾股定理经典题目及答案
勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____ 依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
勾股定理经典例题(附答案)
经典例题透析(一)类型一：勾股定理的直接用法1:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.3如图，已知：，，于P. 求证：.4已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
（二）用勾股定理求最短问题如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
经典例题透析(二)类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
初二数学下册知识点《勾股定理》150题及解析
初二数学下册知识点《勾股定理》经典例题及解析一、选择题（本大题共50小题，共150.0分）1.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A.B.C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形=是解此题的关键．ABCD根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．2.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A. 10B. 8C. 6或10D. 8或10【答案】C【解析】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD-CD=8-2=6，则BC的长为6或10．故选：C．分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A.B. 2C.D. 10-5【答案】B【解析】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），AG2+BG2=AB2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE-BG=8-6=2，同理可得HE=2，在RT△GHE中，GH===2，故选：B．延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．4.如图，矩形纸片ABCD中，，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若，则AB的长为（）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm【答案】C【解析】【分析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可.【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠ACD，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO==3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.故选C.5.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A. （，1）B. （2，1）C. （1，）D. （2，）【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．由已知条件得到AD'=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD'==，于是得到结论．【解答】解：∵AD'=AD=2，AO=AB=1，∴OD'==，∵C'D'=2，C'D'∥AB，∴C'（2，），故选D．6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米【答案】C【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )．A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．8.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．综上可得，面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选D．根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵•BC•AH=•AB•AC，∴AH=，∵AE=AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE=DB=DC，∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵•AD•BO=•BD•AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故选：D．如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．10.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1，∠CAC1=60°，∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长=，故选：C．根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°．11.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A. B. 3 C. 6 D. 9【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根与系数的关系有关知识，根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算.【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，∴c=3，故选B.12.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF⊥BE，∴∠EBO=∠GAO，在△GAO和△EBO中，，∴△GAO≌△EBO，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt△BOE中，BE==，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，∴△BFG∽△BOE，∴=，即=，解得，BF=.故选A．13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度，如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，∴BE=AB=x，∴DF=AE==x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x．又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得x =2∴△ACD的面积是：AD•DF=x×x=×22=，故选：A．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A. 20cmB. 18cmC. 2cmD. 3cm【答案】C【解析】解：设运动时间为ts，∵AP=CQ=t，∴CP=6-t，∴PQ===，∵0≤t≤2，∴当t=2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．根据已知条件得到CP=6-t，得到PQ===，于是得到结论．本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．15.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A. x2-6=（10-x）2B. x2-62=（10-x）2C. x2+6=（10-x）2D. x2+62=（10-x）2【答案】D【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10-x）2．故选：D．根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．16.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD＝1，则AC的长是（）A.B. 2C.D. 4【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，∴CD=2BD=2，由勾股定理得：BC==，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，∴AC=2BC=2，故选A．求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可．本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．17.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别叫BD,CD于G,F两点。
八年级数学勾股定理30道必做题(含答案和解析)
八年级数学勾股定理30道必做题（含答案和解析）1、如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c. A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c ＝ ．（用含有a ，b 的代数式表示）．答案：√a 2+b 2.解析：由三个正方形如图的摆放.∵四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形. ∴∠CNB ＋∠ENH ＝90°.又∵∠CNB ＋∠NCB ＝90°，∠ENH ＋∠EHN ＝90°. ∴∠CNB ＝∠EHN ，∠NCB ＝∠ENH. 在△CBN 和△NEH 中：{∠BNC =∠EHNNC =HN ∠NCB =∠HNE .∴△CBN ≌△NEH （ASA ）. ∴HE ＝BN.在Rt △CBN 中，BC 2＋BN 2＝CN 2.又已知三个正方形的边长分别为a ，b ，c. 则有a 2＋b 2＝c 2. ∴c =√a 2+b 2．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理. 四边形——正方形——正方形的性质.2、在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，AB 2＋AC 2＋BC 2的值为（ ）． A.9 B.18 C.6 D. 无法计算答案：B.解析：在Rt△ABC中，斜边长BC＝3.BC2＝AB2＋AC2＝9.∴AB2＋AC2＋BC2＝9＋9＝18．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.3、三角形三边长分别为① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．其中能构成直角三角形的有．答案：①②③④⑤⑥.解析：① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．全都能构成直角三角形．考点：三角形——直角三角形——勾股数.4、已知点A（3,5），B（-1，1）那么线段AB的长度为（）．A.4B.3√2C.4√2D.5答案：C.解析：已知A（3,5）和B（-1，1），由两点间的距离公式可知AB=√(3+1)2+(5−1)2=4√2．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离.5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为．答案：1．5√2.2．5.解析：等腰三角形的三边关系为1∶1∶√2.因为等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5√2.斜边上的高，即为斜边的中线，为斜边的一半，长为5．考点：三角形——直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.6、若正方形的周长为40，则其对角线长为（）．A.100B.20√2C.10√2D.10答案：C.解析：正方形边长为10，根据勾股定理得对角线长为10√2．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC的长是（）．A.2B.√32C.√3D.√3+2答案：C.解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.8、等边三角形的边长为4，则它的面积是．答案：4√3 .解析：等边三角形的面积=√34×42=4√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.9、已知一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，则此三角形斜边是__________，斜边上的高为__________．A.5；125B.6；145C.6；125D.5；145答案：A.解析：略.考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.直角三角形——勾股定理.10、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．答案：6013.解析：设斜边的长为c，斜边上的高为h.∵直角三角形的两直角边长分别为5和12.∴c=√52+122=13.∴5×12＝13h，解得h＝60．13考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.11、如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端点B，C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根号）．答案：4√3.=2√3，BC=BD−CD=4√3．解析：依题可知，BC=6√3，CD=√3考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.三角形——锐角三角函数——解直角三角形.12、一张直角三角形的纸片，按图所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝√3，则DC的长为．答案：1.解析：由题知∠DAE＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°－∠B－∠DAE＝30°．AC=1．∴在Rt△ADC中，DC=√33考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.13、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB延长线上一点且∠CDB＝45°．求DB与DC的长．答案：证明见解析．解析：过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4.∴BC＝2，∠ABC＝60°.∴∠BCE＝30°.∴BE＝1，CE＝√3.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠CDB＝45°.∴∠ECD＝45°.∴DE＝CE＝√3.∴CD＝√CE2+DE2=√6.∴BD＝√3－1．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.14、如图，数轴上有两个Rt△OAB，Rt△OCD，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以O为圆心，OA，OC为半径画弧交x轴于E，F，则E，F分别对应的数是.答案：−√2，√5.解析：在Rt△OAB中，OA＝√OB2+AB2=√2.∴OE＝√2.∴点E对应的数为−√2．在Rt△OCD中，OC＝√OD2+CD2=√5.∴OF＝√5.∴点F对应的数为√5．考点：数——有理数——数轴.三角形——直角三角形——勾股定理.15、在△ABC中，三条边的长分别为AB＝√5，BC＝√10，AC＝√13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，其中每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样就不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2a，√13a，√17a(a>0).请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上．（3）若△ABC中有两边的长分别为√2a,√10a(a>0).且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上．.答案:（1）72a2.（2）52（3）4a或2√2a.解析:（1）△ABC的面积为72．（2）△ABC的面积为52a2.（3）图中三角形为符合题意的三角形．第三边的长度为4a或2√2a.考点：函数——平面直角坐标系——坐标与面积.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝5，c＝4，则S△ABC＝．答案：94.解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2＋b2＝c2．又有(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴(a＋b)2－c2＝2ab.∴S△ABC＝12ab=94．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.17、已知Rt△ABC的周长为2+√6，其中斜边AB＝2，则这个三角形的面积为．答案：12.解析：在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b．由勾股定理得a2＋b2＝4．由题意得a ＋b ＋2＝2＋√6. ∴a ＋b ＝√6. ∴ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=6−42=1．∴s =12ab =12．考点：式——整式——完全平方公式.三角形——直角三角形——勾股定理.18、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 ． 答案：132cm. 解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.19、如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求水深是多少？答案：水深为1.5米．解析：设水深AC 为x 米．则红莲的长是(x ＋1)米．在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴(x ＋1)2＝x 2＋4． 解得x ＝1.5． 答：水深为1.5米．考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的应用.20、如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD ＝1，BD ＝√17，则BC 的长为 ．.答案：178解析：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD＝1，BD＝√17，AB＝4．设BC＝BD＝x，AC＝4－x..由勾股定理可知12＋(4－x)2＝x2，解得x＝178考点：三角形——直角三角形——勾股定理.21、如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．答案：6.解析：∵AB＝10，EF＝2.∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4.∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.ab=96.设AE＝a，DE＝b，即4×12∴2ab＝96，a2＋b2＝100．∴a＋b＝14.∵a－b＝2.解得a＝8，b＝6.∴AE＝8，DE＝6.∴AH＝8－2＝6．考点：方程与不等式——二元一次方程组——解二元一次方程组.三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.22、在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是．答案：13或√119.解析：若AC＝5，BC＝12都是直角边，则AB＝13．若BC＝12是斜边，则AB＝√122−52=√119．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.23、等腰三角形的一边长为12，另一边长是10，则其面积为．答案：48或5√119.解析：作出底边上的高AD.当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝5.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√119．∴S=12BC×AD=12×10×√119=5√119．当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝6.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√102−62=8．∴S=12BC×AD＝48.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.24、在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．答案：66或126.解析：如图所示，分如下两种情况：由勾股定理可得，B1H＝B2H＝5，CH＝16．∴CB1＝21，CB2＝11.∴△ABC的面积为66或126cm2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.25、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）．A.3，4，5B.1，1，√2C.5，12，13D.4，6，8答案：D.解析：∵32＋42＝52，∴选项A正确.∵12＋12＝(√2)2，∴选项B正确.∵52＋122＝132，∴选项C正确.∵42＋62≠82，∴选项D错误．考点：三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果三边长满足b2－a2＝c2，那么△ABC中互余的一对角是．答案：∠A和∠C.解析：∵b2－a2＝c2.∴b2＝a2＋c2.∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°.∴∠A＋∠C＝90°．考点：几何初步——角——余角和补角.三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.27、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD．求证：△AEF 是直角三角形．答案：证明见解析．解析：如图所示，延长FE交AB的延长线于点G.∵∠C＝∠GBE＝90°，CE＝BE，∠1＝∠2．∴△CEF≌△BEG．∴EF＝EG，CF＝BG．设正方形ABCD的边长为a，则CF＝14a，DF＝34a．在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝a2+(34a)2=2516a2．∴AF=54a，BG=14a．∴AG=54a.∴AF＝AG．∵EF＝EG.∴AE⊥FG．∴∠AEF＝90°．∴△AEF是直角三角形.考点：三角形——全等三角形——全等三角形的应用.三角形——等腰三角形——等腰三角形的性质.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.28、如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．答案：四边形ABCD的面积为1＋√5．解析：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.∴AC＝√AB2+BC2=√5．在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD＝12AB×BC+12AC×CD=12×1×2+12×√5×2=1+√5.故四边形ABCD的面积为1＋√5．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.29、在△ABC中，点D为BC的中点，点M，N分别为AB，AC上的点，且MD⊥ND．（1）若∠A＝90°，以线段BM，MN，CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证AD2=14(AB2+AC2)．答案：（1）能，该三角形是直角三角形．（2）证明见解析．解析：（1）略.（2）延长ND至E，使DE＝DN，连接EB，EM，MN．因为DE＝DN，DB＝DC，∠BDE＝∠CDN，则△BDE≌△CDN．从而BE＝CN，∠DBE＝∠C．而DE＝DN，∠MDN＝90°，故ME＝MN.因此DM2＋DN2＝MN2＝ME2.即BM2＋BE2＝ME2，则∠MBE＝90°.即∠MBD＋∠DBE＝90°．因为∠DBE＝∠C，故∠MBD＋∠C＝90°．则∠BAC＝90°．AD为Rt△ABC斜边BC上的中线.BC．故AD＝12(AB2+AC2)．由此可得AD2=14考点：三角形——全等三角形——全等三角形常用辅助线——倍长中线.三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理.30、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）图1中∠APB的度数等于．（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2√2，PB＝1，PD＝√17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为．（3）如图，在正六边形ABCDEF内有一点，且PA＝2，PB＝1，PF＝√13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为（并写出解答过程）．答案:（1）150°.（2）1．135°.2．√13.（3）1．120°.2．√7.解析：（1）∵△ABC为正三角形，PA＝P’A.∴△AP P’为正三角形.∴∠A P’P＝60°，P’P＝AP＝3.∵P’C＝PB＝4，PC2＝P’P2＋P’C2.∴∠PP’C＝90°.∴∠APB＝∠AP’C＝150°.（2）1．135°；2．√13.（3）图4中∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为√7．将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F，连接P’P．过点A作AN⊥P’P，过点A作AH⊥FP’于点H．∵△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F.∴∠PAP’＝120°，P’A＝PA＝2，P’F＝PB＝1.∴∠AP’P＝30°．在Rt△ANP’中，P’A＝2AN＝2.∴P’N＝√3．∴PP’＝2√3．在△FPP’中，PF＝√13，PP’＝2√3，P’F＝2．∴PF2＝P’F2＋P’P2.∴∠FP’P＝90°．∴∠APB＝∠FP’A＝∠FP’P＋∠AP’P＝120°.∴∠HP’A＝60°．在Rt△HP’A中，AP’＝2, ∠P’AH＝30°．∴HP’＝1．在Rt△HFA中，FA2＝FH2＋HA2.∴FA＝√FH2+HA2=√7.考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.几何变换——图形的旋转——旋转全等.。
初二勾股定理经典例题
初二勾股定理经典例题例题1：在直角三角形中，斜边长为10，一直角边长为6，则另一直角边的长为 _______．解释：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和。
设另一直角边长为$x$，则有$10^2 = 6^2 + x^2$，解得$x = 8$。
例题2：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 _______．解释：由于△ABC是直角三角形，且AC为直角边，BC为斜边。
根据勾股定理，$AB^2 = AC^2 + BC^2$，解得斜边AB=5。
旋转后的圆锥侧面积是$π\times AB \times BC$，计算得$4\pi \times 5 = 20\pi$。
例题3：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB边上的中线长为_______．解释：利用勾股定理在直角三角形中求斜边上的中线长度。
已知直角三角形的两直角边为AC和BC，斜边为AB。
根据勾股定理有$AB^2 = AC^2 +BC^2$，解得斜边AB的长度为10。
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以中线长度为$\frac{10}{2} = 5$。
例题4：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上的高为 _______．解释：利用三角形的面积公式和勾股定理求解。
已知直角三角形的两直角边为AC和BC，斜边为AB。
根据勾股定理有$AB^2 = AC^2 + BC^2$，解得斜边AB的长度为5。
再根据三角形的面积公式有$\frac{1}{2} \times AC\times BC = \frac{1}{2} \times AB \times h$（h为高），解得高h为$\frac{12}{5}$。
例题5：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC的长为 _______．解释：已知直角三角形ABC的两直角边BC和斜边AB的长度。
勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典范【2 】例题常识点一.直策应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图,在单位正方形构成的网格图中标有AB.CD.EF.GH四条线段,个中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD.EF.GHB. AB.EF.GHC. AB.CD.GH D. AB.CD.EF勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程.所以,在应用勾股定理求线段的长时常经由过程解方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,假如前提中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出别的两个量之间的关系,这一点是应用勾股定理求线段长时须要明白的思绪.方程的思惟：经由过程列方程（组）解决问题,如：应用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决现实问题时,经常应用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等.例3：一场罕有的大风事后,黉舍那棵老杨树折断在地,此刻,张先生正和占明.清华.绣亚.冠华在楼上凭栏远眺.清华启齿说道：“先生,那棵树看起来挺高的.”“是啊,有10米高呢,如今被风拦腰刮断,惋惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧.”冠华兴趣勃勃地说.张先生心有所动,他说：“适才我跑过时用脚步量了一下,发明树尖距离树根正好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根.树尖.折断处三点依次相连后构成一个直角三角形.”“勾股定理必定是要用的,并且不动笔墨生怕是不行的.”绣亚补充说.几位男孩子走进教室,绘图.盘算,不一会就得出了答案.同窗们,你算出来了吗？思绪剖析：1）题意剖析：本题考核勾股定理的应用2）解题思绪：本题症结是卖力审题抓住问题的本质进行剖析才能得出准确的解答常经由过程作帮助线结构直角三角形将它们转化为直角三角形问题等.解题后的思虑：分类评论辩论思惟是解题时常用的一种思惟办法,同窗们假如控制了这种办法,可以使思维的层次性.周密性.灵巧性得到造就,才能在解题中真正做到不重不漏.常识点三.勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：（1）图甲是由四个雷同的直角三角形与中央的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中央小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm.宽为2cm的纸片,如图乙,请你将它朋分成6块,再拼合成一个正方形.（请求：先在图乙中画出朋分线,再画出拼成的正方形并标明响应数据）。
八年级勾股定理十道典型题
1、直角三角形中，一直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边长为：A. 2B. 3C. 4D. 6（答案）C2、若等腰直角三角形的腰长为a，则其斜边长为：A. a2B. 2aC. a√2D. a/√2（答案）C3、在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为：A. 3+4B. 5C. 7D. √(32+42)（答案）D（但实际计算结果为5，与B相同，此处考察的是勾股定理的应用过程）4、一个直角三角形的两条直角边分别增加20%和30%，那么斜边增加的百分比最接近：A. 20%B. 25%C. 30%D. 50%（答案）B（实际增加百分比需通过计算得出，但接近25%）5、已知直角三角形的一直角边长为5，斜边与另一直角边之差为2，则斜边长为：A. 6B. 7C. 8D. 9（答案）D6、设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，若a+b=10，c=8，则ab的值为：A. 18B. 36C. 50D. 64（答案）B（利用勾股定理a2+b2=c2和(a+b)2=a2+2ab+b2求解）7、一个直角三角形的斜边长为10，一直角边与斜边之比为3:5，则另一直角边长为：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案）A（利用比例关系和勾股定理求解）8、直角三角形中，若斜边长为斜边上的高的5倍，则较小的锐角为：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°（答案）B（利用三角函数和勾股定理求解）9、在直角三角形中，若一直角边长为6，斜边上的高为4，则斜边长为：A. 8B. 9C. 10D. 12（答案）C（利用直角三角形的面积公式和勾股定理求解）10、已知直角三角形的两直角边a和b满足a+2b=10，且斜边c为整数，则c的可能取值为：A. 4或5B. 5或6C. 6或7D. 7或8（答案）B（通过枚举和勾股定理验证）。