多元正态分布的检验

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多元正态分布

多元正态分布
1 (2 )
p 2

12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数: 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中,若U~N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ~N(μ,σ2)。利用这一性质,可以从标准 正态分布来定义一般正态分布: 若U~N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ~N(μ, σ2 )。 此定义中,不必要求σ>0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况,可得 出多元正态分布的第一种定义。
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).

多元统计分析:第二章 多元正态分布及

多元统计分析:第二章   多元正态分布及
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向
x11 x X 21 x n1
def
x12 x22 xn 2
x1 p X (1) def x2 p X (2) X xnp (n)
(d表示两边的随机向量服从相同的分布.) d
其中U=(U1,…,Uq),且U1,…,Uq 相互独 立同分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质2
Z=BX+d = B(AU+μ)+d = (BA)U+(Bμ+d) 由定义2.2.1可知 Z ~Ns(Bμ+d, (BA)(BA)), Z ~Ns(Bμ+d, BΣB). (这里Σ=AA).
X2 0 2 X ~ N 2 ( 0 , 0 3 0 ) 3
26
则有(1) X1 ~ N(2,1),
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的定义与基本性质—简单例子
X 2 0 1 0 X 1 令 Y X 3 0 0 1 X 2 BX , 1 0 0 X 3 X1
性质1的证明
根据随机向量特征函数的定义和性质,经计算即可 得出X的特征函数为 ΦX(t)= E(eitX)= E(eit (AU+μ) ) it AU 令t′A=s′=(s ,…s ) q 1
exp(it ) E(e ) i ( s1U1 s qU q ) exp( it ) E (e ) isqU q is1U1 exp( it ) E (e e )
du

e
e

多元正态分布

多元正态分布


(
xi1

x1)(xip

x
p
)

n (xi2 x1)(xi1 x2)


i1
(
xip

xp )(xi1

x1)
(xi2 x2)2
(xip xp )(x2 x2)

(xi2 x1)(xip xp )


(xip xp )2
组内组间水平内误差组内方差水平间误差组间误差总的误差其他随机因素的影响随机性影响某因素不同水平的影响系统性影响水平内误差组内方差水平间误差组间误差总的误差其他随机因素的影响随机性影响某因素不同水平的影响系统性影响水平内误差组内方差水平间误差组间误差总的误差其他随机因素的影响随机性影响某因素不同水平的影响系统性影响水平内误差组内方差水平间误差组间误差总的误差其他随机因素的影响随机性影响某因素不同水平的影响系统性影响水平内误差组内方差水平间误差组间误差总的误差其他随机因素的影响随机性影响某因素不同水平的影响系统性影响如果原假设成立
第一章多元正态分布及其参数估计
多元正态分布的重要性: (1)多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接
地建立在正态分布 基础上的,许多统计量的极限分布往往和 正态分布有关。 (2)许多实际问题涉及的随机向量服从多元正态分布或近似 服从正态分布。因此多元正态分布是多元统计分析的基础。
一、多元正态分布的定义 定义1:若p维随机向量 X (X1,X p) 的密度函数为:
(1 0,2 0, 1)
为X1和X2的相关系数。
当 0 时X1与X2不相关,对于正态分布来说不相关和独立
等价。因为:
X1, X 2

第二章 多元正态分布及参数的估计

第二章   多元正态分布及参数的估计

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北大数学学院
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的定义与基本性质—简单例子
y BxB


0 0 1
1 0 0
100 110
1 2 0
003 100
0 0 1
1 0 0



1 0 1
2 0 1
003 100
2
北大数学学院
第二章 多元正态分布及参数的估计
目录
§2.1 随机向量 §2.2 多元正态分布的定义与
基本性质
§2.3 条件分布和独立性 §2.4 随机矩阵的正态分布 §2.5 多元正态分布的参数估计
3
北大数学学院
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向
本课程所讨论的是多变量总体.把 p个随机变量放在一起得
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布性质2的推论
例2.1.1
f (x1, x2
()X1,X212)的e联 12合( x12密 x22度) [1函数x为1 x2e

1 2
(
x12

x22
)
]
我们从后面将给出的正态随机向量的联合密
度函数的形式可知, (X1,X2)不是二元正态随机向 量.但通过计算边缘分布可得出:
本节有关随机向量的一些概念(联合分布, 边缘分布,条件分布,独立性;X的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X与Y的协差阵)要求大家 自已复习.
三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X,Y为随机向量,A,B为常数阵,则
E(AX)=A·E(X) E(AXB)=A·E(X)·B
6

多元统计分析-第三章 多元正态分布

多元统计分析-第三章  多元正态分布

第三章 多元正态分布多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广,一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位,同样,多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。

多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的,要学好多元统计分析,首先要熟悉多元正态分布及其性质。

第一节 一元统计分析中的有关概念多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵,学习多元统计分析,首先要对随机向量和随机矩阵有所把握,为了学习的方便,先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习,并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。

一、随机变量及概率分布函数 (一)随机变量随机变量是随机事件的数量表现,可用X 、Y 等表示。

随机变量X 有两个特点:一是取值的随机性,即事先不能够确定X 取哪个数值;二是取值的统计规律性,即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。

(二)随机变量的概率分布函数随机变量X 的概率分布函数,简称为分布函数,其定义为:)()(x X P x F ≤=随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量,相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。

1、离散型随机变量的概率分布若随机变量X 在有限个或可列个值上取值,则称X 为离散型随机变量。

设X 为离散型随机变量,可能取值为1x ,2x ,…,取这些值的概率分别为1p ,2p ,…,记为k k p x X P ==)((Λ,2,1=k )称k k p x XP ==)((Λ,2,1=k )为离散型随机变量X 的概率分布。

离散型随机变量的概率分布具有两个性质: (1)0≥k p ,Λ,2,1=k(2)11=∑∞=k k p2、连续型随机变量的概率分布若随机变量X 的分布函数可以表示为dt t f x F x⎰∞-=)()(对一切R x ∈都成立,则称X 为连续型随机变量,称)(x f 为X 的概率分布密度函数,简称为概率密度或密度函数。

多元线性回归模型的各种检验方法

多元线性回归模型的各种检验方法

多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法,它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

然而,仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的,我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。

下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。

首先是模型的整体显著性检验。

在多元线性回归模型中,我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。

常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。

F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。

若F值大于一定的临界值,则可以拒绝原假设,即模型具有整体显著性。

通常,临界值是根据置信水平和自由度来确定的。

显著性检查表是一种常用的汇总表格,它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。

通过查找显著性检查表,我们可以评估模型的显著性。

其次是模型的参数估计检验。

在多元线性回归模型中,我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。

通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。

t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。

与F检验类似,t检验也是基于假设检验原理,通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。

通常,临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。

另外,我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。

相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度,常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。

Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况,它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。

取值范围为-1到1,绝对值越接近1表示关系越强。

Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况,它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。

取值范围也是-1到1,绝对值越接近1表示关系越强。

最后,我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。

多元正态分布均值向量和协差阵的检验

多元正态分布均值向量和协差阵的检验


Y n(X 0) ~ Np (0,)
故 T02 n(X 0)T 1(X 0) ~ 2( p)
(2)协差阵未知时,均值向量的检验
H0:=(0 0为已知向量),H1: 1
假设H
成立,检验统计量为
0
F (n 1) p 1T 2 ~ F ( p, n p) (n 1) p
第三章 多元正态分布均值向量和
协差阵的检验
一、均值向量的检验
二、协差阵的检验
一、均值向量 •的假设检验
1、霍特林(Hotelling)T 2分布
定义1:设X ~ N p (, ),S ~ Wp (n, ),且X与S相互独立,n p,
则称统计量 T 2 nX T S 1X的分布为非中心霍特林T 2分布,
X (i) ~ N4 (1, ), i 1,2,,10; Y(i) ~ N4 (2 , ), i 1,2,,10
且两组样本相互独立,有共同未知协方差阵 0
假设检验 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
构造统计量
F

(n+m 2) (n+m
p 2) p
X

~N
p
(0,
2
n
)

在一元统计中,若 t ~ t(n 1) 分布, 则 t2 ~ F (1, n 1) 分布,即把t分布转化为F分 布来处理,在多元统计分析中统计量也有类 似的性质。
定理1:设X ~ N p (0, ), S ~ Wp (n, ),且X与S相互独立, 令 T 2 nX T S 1 X 则 n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
再由样本值计算出统计量T02,比较
若T02

多元统计分析多元正态分布

多元统计分析多元正态分布

因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法,通过迭代过程将数据划分为K个集群,使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法,其基本思想是:通过迭代过程将数据划分为K个集群,使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括:随机选择K个中心点,将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群,然后重新计算每个集群的中心点,并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值,表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差,表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数,不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用,如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析(PCA)是一种常用的多元统计分析方法,用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势,帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上,我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形,从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机(SVM)是一种有监督学习算法,用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下,支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。

多元正态分布参数的假设检验

多元正态分布参数的假设检验

2 22.74 32.56 51.49 61.39 9 22.62 32.57 51.23 61.39 16 23.02 33.05 51.48 61.44
3 22.60 32.76 51.50 61.22 10 22.67 32.67 51.64 61.50 17 23.02 32.95 51.55 61.62
5
武汉理工大学统计学系唐湘晋
一、Σ已知时单个总体均值向量的检验
设 X1, X2,…, Xn 是来自正态总体 N p ( μ , Σ ) 的样本, 考虑假设: H 0 :μ = μ 0 ,
H 1 :μ ≠ μ 0
a) p = 1 b) p > 1
U 1 )
T02 = n ( X − μ 0 )′ Σ − 1 ( X − μ 0 ) .
4
武汉理工大学统计学系唐湘晋
§3.2 多元正态分布的均值向量的检验
p维正态总体 N p (μ, Σ) 的统计推断问题,包括均 值向量的检验和均值的置信域问题。 p维正态随 机向量的每一个分量都是一元正态变量,若将p 维均值向量的检验问题化为p个一元正态的均值 检验问题,虽然可以使问题简化,但忽略了p个 分量间的互相依赖关系,常常得不出正确的结 论。
13
武汉理工大学统计学系唐湘晋
解:
⎡ X 1 ⎤ ⎡ 22.82 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X 2 ⎥ ⎢ 32.79 ⎥ ⎥ = X=⎢ ⎢ X 3 ⎥ ⎢ 51.45 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X 4 ⎥ ⎣ 61.38 ⎦ ⎢ ⎦ ⎣
1 21 V= ∑ (Xi − X)(Xi − X)′ 21 − 1 i=1 ⎡ 70.3076 ⎤ ⎢ −52.1469 ⎥ 73.5511 ⎥ =⎢ ⎢ 3.4462 −19.3637 ⎥ 90.4098 ⎢ ⎥ 1.2022 −33.6989 40.0895⎦ −6.9624 ⎣

多元正态分布

多元正态分布

混合模型
除了高斯混合模型,还有其他类 型的混合模型,如多项式混合模 型、泊松混合模型等。
扩展应用领域
多元正态分布在许多领域都有广 泛的应用,如心理学、经济学、 生物统计学等。
THANKS
感谢观看
02
联合分布的均值向量和协方差矩阵由各个分量的均 值和协方差决定。
03
当各分量之间相互独立时,其联合分布的协方差矩 阵为各分量协方差矩阵的线性组合。
04
多元正态分布的推断
参数估计
最大似然估计
01
通过最大化样本数据的似然函数来估计多元正态分布的参数,
包括均值向量和协方差矩阵。
最小二乘估计
02
将多元正态分布的均值向量作为回归系数,利用最小二乘法进
多元正态分布
• 多元正态分布概述 • 多元正态分布的参数 • 多元正态分布的性质 • 多元正态分布的推断 • 多元正态分布在统计和机器学习中的
应用 • 多元正态分布的扩展和变种
01
多元正态分布概述
定义与性质
定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 概率分布,其概率密度函数是多元高 斯函数。
性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、边缘分布的独立性和最大熵 等性质。
当其他维度固定时,该维度的边缘分 布是关于均值对称的,且方差与该维 度与其他维度的协方差成正比。
随机变量的线性变换
对于多元正态分布的随机变量,对其 进行线性变换后,新变量的分布仍然 是多元正态分布。
线性变换包括平移、旋转、缩放等, 这些变换不会改变变量的分布形态。
随机向量的联合分布
01
对于多元正态分布的随机向量,其各分量之间的联 合分布也是正态分布。
06

第十二讲多元正态分布的参数估计与检验

第十二讲多元正态分布的参数估计与检验
检验问题
H 0:? ? ? 0,H 1:? ? ? 0
令F
?
n (n ? p
p)( X
?
? 0 )T S ?1 ( X
?
? 0 ),
则可以证
明当 H 0 成立时,即 ? ? ? 0时,F ~ F ( p, n ? p)
而当
H
不成立时,
0
F
有偏大的趋势。因此,对
给定的显著性水平 ? ,当
F
?
n (n ?
?
?
)T V
?1(X
?
?
)?? ?
则称随机向量 X 为 p维正态随机向量,其中 ?
称为均值向量,V 为协方差矩阵(协差阵),且
V ? 0. 对于一般情形V ? 0, 仍可定义多维正
态随机向量, 记为X ~ N p(? ,V )。 当 V ? 0时,
X有前面的密度表示,而当 |V |? 0 时, X 的分 布是退化的正态分布。
且相互独立, 故 ? 2 ? 分布的定义知 Y TY ~ ? 2 ( p).
二、参数的估计
在此给出多元正态分布的参数 ? 和V的估
计。为简单计,仅考虑 V ? 0 的情形。 设 X 1, X 2 ,? , X n (n ? p) 是来自多元正态总
体 N p (? ,V )的简单样本,令
? X
?
1 n
Y ~N p ( A? ? b, AVA T ).
(4) X 为 p 维正态随机向量的充要条件为对任
一 p维向量c, cT X 是一维正态随机变量。
(5)
设X
?
(
X
T 1
,
X
T 2
)T
为多维正态随机向量,

第3章多元正态分布

第3章多元正态分布
注意:性质3说明了多元正态分布的任何边际分布仍为多 元正态分布,但反之不成立。
2019/9/4
© 谢中华, 天津科技大学数学系.
例 3.2.4 设 x ~ N4 (, ) ,这里
多元统计分析
x1
1
11 12 13 14
x


x2




2




© 谢中华, 天津科技大学数学系.
二、多元正态分布的定义
多元统计分析
iid
定义3.2 设p 维随机向量 u(u1,u2, ,up),u1,u2, ,up ~N(0,1)
则 u 的密度函数为
f(u)i p1(2)12exp1 2ui2 (2)p2exp12ip1ui2
(2)
x1和
x2 x3
独立。
多元统计分析
2019/9/4
© 谢中华, 天津科技大学数学系.
多元统计分析
第三节 极大似然估计及估计量的性质
一、总体、样本、样本数据矩阵
1. 总体 x~Np(,), 0
2. 样本 x1,x2, ,xn ,其中 xixi1,xi2, ,xip,i1,2, ,n
(2)p2exp12uu, u i ,i 1 ,2 , ,p
u的均值和协方差矩阵分别为
E ( u ) ( E ( u 1 ) ,E ( u 2 ) , ,E ( u p ) ) 0
V ( u ) d i a g ( V ( u 1 ) ,V ( u 2 ) , ,V ( u p ) ) I
n
所以 f(X)f(x1,x2, ,xn) f(xi) i1
多元统计分析
(2)p| | n 2e x p 1 2i n 1(x i) 1 (x i)

多元正态总体的假设检验和方差分析

多元正态总体的假设检验和方差分析

第 3 章多元正态总体的假设检验与方差分析从本章开始,我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。

统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。

按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验,通过试验结果形成样本信息(通常以数据的形式),再根据样本进行统计推断,是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。

由于试验指标常为多个数量指标,故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体,这是本章理论方法研究的出发点。

所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测,这种推测必然伴有某种程度的不确定性,需要用概率来表明其可靠程度。

统计推断的任务是“观察现象,提取信息,建立模型,作出推断”。

统计推断有参数估计和假设检验两大类问题,其统计推断目的不同。

参数估计问题回答诸如“未知参数的值有多大?”之类的问题, 而假设检验回答诸如“未知参数的值是吗?”之类的问题。

本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用,我们将对一元正态总体情形作一简单回顾,然后将介绍单个总体均值的推断,两个总体均值的比较推断,多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。

3.1 一元正态总体情形的回顾一、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设(简称假设), 一个作为原假设(或称零假设),另一个作为备择假设(或称对立假设),分别记为和。

1、显著性检验2为便于表述,假定考虑假设检验问题:设X1, X2,…,X n来自总体N(,)的样本,我们要检验假设3.1)原假设H。

与备择假设H i应相互排斥,两者有且只有一个正确。

备择假设的意思是,一旦否定原假设H0 ,我们就选择已准备的假设H1。

2当 已知时,用统计量 z在原假设H 。

成立下,统计量z 服从正态分布z 〜N (0 ,1),通过查表,查得N(0 ,1)的上对于检验问题(3.1.1,我们制定这样一个检验规则(简称检验)(3.2)分位点z 2。

当z z 2时,拒绝H 0 ; 当z z 2时,接受H o 。

Lab2多元正态分布的特征

Lab2多元正态分布的特征

Lab2:多元正态分布的特征1.内容:练习多元正态分布特征的计算手段2.作业提交:完成后面的作业,现场演示给助教并解释结果.1多元正态的特征多元正态分布随机数可以通过R包MASS中的函数mvrnorm来获得.#二元正态随机数mu<-c(0,1)Sigma<-matrix(c(1,0.5,0.5,1),2,2)n<-1000library(MASS)biv<-mvrnorm(n,mu,Sigma)colnames(biv)<-c("X","Y")#参数估计mu.hat<-colMeans(biv)Sigma.hat<-cov(biv)#常数密度轮廓线install.packages("mixtools")library(mixtools)plot(biv)ellipse(mu<-colMeans(biv),sigma<-cov(biv),alpha=.05,col=’red’)points(t(mu),col=’red’,pch=19)练习 1.设一个五元正态分布的均值为µ=c(1,0,0,1,1),协方差为2R,其中R为参数是θ=0.5的AR(1)结构的相关系数阵(即其i,j元ρij=0.5|i−j|)。

试(1)利用outer函数,写函数ar1(θ,n)以生成n维参数为θ的AR(1)相关系数矩阵;(2)取θ=0.5,从此五元正态分布中随机生成1000组随机数并绘制散点图阵,在散点图阵中的每个图上添加值为χ25(0.95)的常数密度轮廓线(提示,使用car包里的spm函数).从图上你能发现什么?若θ=0和0.9呢?2多元正态分布的检验多元正态分布的检验可以通过验证其一些特征是否具有来进行.比如一维边际正态性,卡方Q-Q图,一维投影正态性,energy检验统计量等等方法.#Create a normal probability plot.qqnorm(biv[,1],pch=20,main="Normal Probability Plot")qqline(biv[,1])#Chi-squre Q-Q plotD2<-mahalanobis(biv,mu,Sigma)qqplot(qchisq(ppoints(n),df=2),D2,main=expression("Q-Q plot for"~~{chi^2}[nu==2]))abline(c(0,1))#一维投影下的多重假设检验方法pvals<-testnormality(biv,numproj=10000)#testnormality函数见课件sum(sort(pvals)<1:length(pvals)*0.05/length(pvals))#Energy Statisticslibrary(energy)mvnorm.etest(biv)当数据存在异常点时,一般需要仔细处理.可以基于一些距离工具来发现异常点.R包mvoutlier (http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/filz/papers/ArticleFGR05.pdf)提供了一些工具来发现异常点.dat<-read.table("T1-11.dat")pairs(dat)chisq.plot(dat)abline(c(0,1))library(rgl)plot3d(dat1,col=c(rep(1,300),2))##automatic detectioninstall.packages("mvoutlier")library(mvoutlier)aq.plot(dat)练习2.使用表1.10(T1-10.dat)数据,考察变量YrHgt,FtFrBody,PrctFFB,BkFat,SaleHt和SaleWt是否具有联合正态性?是否存在异常点?3正态化变换当数据的正态性假设不满足时,有时可以通过一些变换使其近似满足正态性要求.install.packages("car")library(car)m1<-read.table(file="datafiles/T4-1.dat",header=F)#microwave.door.closem2<-read.table("datafiles/T4-5.dat",header=F)#microwave.door.openmdat1<-as.matrix(cbind(m1,m2))colnames(mdat1)<-c("close","open")bc<-powerTransform(mdat1~1)#find the optimal box-cox parameter vector lambda summary(bc)bc.mdat<-bcPower(mdat1,bc$lambda)#save the transformed values#check the normalityplot(bc.mdat)chiqqplot(bc.mdat)mvnorm.etest(bc.ndat,R=999)练习3.对表3.2数据(T3-2.dat),试考察(1)对每一个变量使用散点图,盒形图判断是否存在异常值?(2)基于边际正态和联合正态两种方法分别对两个变量进行Box-Cox变换,对比两种方法下得到的Box-Cox参数值.使用正态QQ图和卡方QQ图对比原始数据和变换后的数据。

多项分布分布与多元正态分布

多项分布分布与多元正态分布

01
统计分析
机器学习
02
03
金融领域
多元正态分布在统计分析中广泛 使用,如回归分析、方差分析等。
多元正态分布用于高维数据的概 率模型,如高斯过程回归和朴素 贝叶斯分类器。
多元正态分布用于描述股票价格、 收益率等金融数据的分布情况。
03 多项分布与多元正态分布 的联系与区别
联系
两者都是概率分布
多项分布和多元正态分布都是描述随机变量概率分布的方式,用 于描述随机变量的特性。
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多项分布与多元正态分布
目录
• 多项分布 • 多元正态分布 • 多项分布与多元正态分布的联系与区
别 • 多项分布与多元正态分布在统计学中
的重要性 • 实例分析
01 多项分布
多项分布的定义
定义
多项分布是一种离散概率分布, 描述了在n次独立重复试验中某一 事件A发生的次数。
公式
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1p)^(n-k),其中C(n, k)表示组合数, p是事件A发生的概率。
多元正态分布的边缘分布都是正态分布。
多元正态分布的性质
线性性质
多元正态分布的线性变换仍为多元正态分布 。
独立性
如果随机变量之间相互独立,则它们构成的多元正 态分布的均值向量和协方差矩阵与单个变量的均值 和方差有关。
中心极限定理
多个独立同分布随机变量的平均值的分布趋 于正态分布。
多元正态分布的应用场景
模型检验
多项分布和多元正态分布可以用 于检验统计模型的假设,提高模 型的准确性和可靠性。
05 实例分析
多项分布实例分析
投掷硬币

多元正态分布的性质

多元正态分布的性质

多元正态分布的性质多元高斯分布向量随机变量X=[X1...Xn]TX=[X1...Xn]T服从多元高斯分布,均值为μ∈Rnμ∈Rn(这里μμ是一个n维向量),协方差矩阵为Σ∈S++nΣ∈S++n,(S++nS++n是对称的正定矩阵),概率密度函数:。

p(x;μ,Σ)=1(2π)n2|Σ|12exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) p ( x ;μ , Σ ) = 1 ( 2 π ) n 2 | Σ | 1 2 e x p ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) 。

单变量高斯分布的密度函数:p(x;μ,σ2)=1(2π)12σexp(−12σ2(x−μ)2) p ( x ; μ , σ 2 ) = 1 ( 2 π ) 1 2 σ e x p ( − 1 2 σ 2 ( x − μ ) 2 ) 。

系数1(2π)12σ 1 ( 2 π ) 1 2 σ 是一个不依赖x的常量,可以简单看做正则化因子(normalization foctor)确保:∫∞−∞1(2π)12σexp(−12σ2(x−μ)2)=1 ∫ − ∞ ∞ 1 ( 2 π ) 1 2 σ e x p ( − 1 2 σ 2 ( x − μ ) 2 ) = 1推广到多元高斯分布,即1(2π)n2|Σ|121(2π)n2|Σ|12也是一个不依赖向量X的常数,做为正则化因子:1(2π)n2|Σ|12∫∞−∞∫∞−∞...∫∞−∞exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) 1 ( 2 π ) n 2 | Σ | 1 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ . . . ∫ −∞ ∞ e x p ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) 。

协方差矩阵ΣΣ 是一个n×n n × n 矩阵,(i,j)位置代表Cov[Xi,Xj] C o v [ X i , X j ]命题1:对任意均值为μμ,协方差矩阵为ΣΣ的随即向量X,有:Σ=E[(X−μ)(X−μ)T]=E[XXT]−μμTΣ=E[(X−μ)(X−μ)T]=E[XXT]−μμT命题2:协方差矩阵ΣΣ是对称半正定的矩阵。

多元正态分布

多元正态分布
nlp n 2 nln | |1t(r 1S)
2 22
仅当x时等号成立
n
( x(i) )( x(i) )'
i 1
n
( x(i) x x )( x(i) x x )( x(i) x ) [ ( x(i) x )]( x )
f(x 1 , xp )(2)1 p 1 /2ex 1 2 p (x μ ) 1 (x μ )
其中, x(x1,xp),μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵,则称X服从p维正态分布,记为 X~Np(μ,)
定义2:独立标准正态变量 X1,Xm 的有限线性组合

a p1 a p2 a pm
定义3:若随机向量X的特征函数为: (t)expitμ12tt 其中t为实向量,则称X服从p元正态分布。特征函数定义的
优点在于可以包含 0 的情况。
特别地,二元正态分布: X (X 1 ,X 2 )~ N 2 (μ , ),
n l2 p n n l| n | 1 t( r 1 S n 1 ( x )x () ) 2 22
n l2 p n n l| n | 1 t( r 1 S ) n ( x ) 1 '( x )) 222 2
(1, 2) ,
2 11
1122
1122
2 22

EX1 1, EX2 2,
(10,20,1)
Var(
X1)

2 11
Var(
X2
)

222,
(X1, X2) cov(X1, X2) 1122
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n
x1
x2
1 6 9
2 10 6
3 8 3
2 试对 0 (9,5)计算 T 的值。
多元正态总体均值的置信域
置信域和T2置信区间的关系(续)
一元正态总体均值的置信区间
Hale Waihona Puke 多元正态总体均值的T2置信区间
置信域和T2置信区间的关系
置信域和T2置信区间的关系(续)
n
15 25 50 100
K=p
2 0.88 0.90 0.91 0.91 0.91 4 0.69 0.75 0.78 0.80 0.81 10 0.29 0.48 0.58 0.62 0.66
联合置信区间与单一置信区间的比较
§2.2 两个正态总体均值 的成组比较
一元情形的回顾
两个多元正态总体均值成组比较
均值差的T2置信区间
§2.1 单个正态总体均值的检 验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾
(1)
2 已知时
( 2)
未知时
2
单个多元正态总体均值的检验
(1) 已知时
马氏距离 的 n倍
( X ) 1 ( X )
( 2)
未知时
例题:
设一个容量为 n 3的 随 机 样 本 取 自 二 维 态 正总 体 , 其样本数据为
州卫生实验室 y1i(BOD) y2i(SS)
25 28 36 35 15 44 42 54 34 29 39 15 13 22 29 31 64 30 64 56 20 21
-19 -22 -18 -27 -4 -10 -14 17 12 10 42 15 -1 11 -4
9 4 -19
60 -2 10 -7
问两种工艺制造的肥皂是否一致? F0.05 (2,97) 3.1 (认为两总体协方差矩阵相等)
练习:
用两种工艺各生产50块肥皂,测量两个指标 X1=泡沫量,X2=舒适度。由两种工艺生产的肥 皂的汇总统计数字为
8.3 X1 4.1 , 10.2 X2 3.9
2 1 S1 1 6
2 1 S2 1 4
均值差的Bonferroni置信区间
§2.3 两个正态总体均值 的成对比较
两个一元正态总体均值的成对比较
两个多元正态总体均值的成对比较
样品 商业实验室 i x1i(BOD) x2i(SS)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 6 18 8 11 34 28 71 43 33 20 27 23 64 44 30 75 26 124 54 30 14
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